經(jīng)典力學(xué)：第4章 分析力學(xué)

§4分析力學(xué)§4-1約束和廣義坐標(biāo)§4-2達(dá)郎貝爾原理§4-3保守系統(tǒng)的拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程§4-4多諧振子系統(tǒng)§4-5哈密頓函數(shù)和正則方程§4-6泊松括號(hào)和泊松定理§4-7哈密頓原理§4-8正則變換§4-9哈密頓-雅科畢理論§4-1約束和廣義坐標(biāo)一、約束與分類1、約束：限制各質(zhì)點(diǎn)自由運(yùn)動(dòng)的條件。2、分類(1)幾何約束和運(yùn)動(dòng)約束(微分約束)幾何約束:fi(r1,r2,

…rn

,t)=0運(yùn)動(dòng)約束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

,t)=0(i=1,2,…k)式中k為約束個(gè)數(shù),獨(dú)立約束的個(gè)數(shù)≤3n。(2)穩(wěn)定約束和非穩(wěn)定約束

穩(wěn)定約束:約束方程不顯含t的約束。非穩(wěn)定約束:約束方程顯含t的約束。例：穩(wěn)定的幾何約束：fi(r1,r2,

…rn

)=0

穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)約束:fi(r1,r2,

…rn

,v1,v2,

…vn

)=0

(i=1,2,…k)(3)可解約束和不可解約束不可解約束：約束方程為等式。

可解約束：約束方程可在一個(gè)方向偏離等式。例：不可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn,t)=0

可解幾何約束：fi(r1,r2,

…rn,t)≥0或≤0。(4)完整約束和非完整約束非完整約束:有兩種情況(a)可解約束;(b)微分約束中若約束方程不能單獨(dú)積分(必須與運(yùn)動(dòng)方程聯(lián)立才能積分,即解出運(yùn)動(dòng)的同時(shí)才能積分).

完整約束:除上述兩種情況外的約束.今后主要研究受完整約束的力學(xué)體系,即研究完整系的力學(xué)問題.例1：一球面擺，O點(diǎn)固定；OM為輕剛性桿，桿長(zhǎng)為l；M點(diǎn)系一質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量為m。

設(shè)O點(diǎn)為直角坐標(biāo)原點(diǎn)，則質(zhì)點(diǎn)M的約束方程為：

x2+y2+

z2-

l2=0它是穩(wěn)定、不可解、幾何、完整約束。若O點(diǎn)不固定，在x方向有一恒定速率c，t=0時(shí)O點(diǎn)處于坐標(biāo)原點(diǎn)，則約束方程為:(x–ct)2+y2+

z2-

l2=0它是非穩(wěn)定、不可解、幾何、完整約束。若OM為不可伸長(zhǎng)的柔軟繩，則約束方程為：O點(diǎn)固定：x2+y2+

z2-

l2≤0O點(diǎn)不固定：(x–ct)2+y2+

z2-

l2≤0它是可解約束。約束空間為以O(shè)為球心、l為半徑的球體。OMl例2：線性三原子分子組成的體系只能在該連線上運(yùn)動(dòng)。體系在無外力作用。分析：體系的質(zhì)心速度為常數(shù)，即約束方程為：

vC

=C（微分約束）積分得：xC

=Ct+xCo

x1m2m3m1x2x3§4-2達(dá)郎貝爾原理一、虛位移

假想的、符合約束條件的、無限小的、即時(shí)的位置變更，δr.注意:(1)某一固定時(shí)刻,即:dt=0.(2)與實(shí)位移dr無關(guān).理解:dr

=δr+

vo

dt

當(dāng)vo

→∞,dt→0,

dr→δr.BB’B”Adrδrvvodt’vodt”voAOxyD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βαAOyxD(x2,y2)B(x3,y3)FC(x1,y1)P1P2βα對(duì)于非理想約束的處理：理想約束的條件是從實(shí)際約束的主要因素中抽象出來的，在理想約束不滿足的情況下，可增加主動(dòng)力和約束力而視為理想約束。具體處理方法是：

把非光滑約束中起限制作用的法向分量視為約束力，而將起限制作用的切向分量——摩擦力視為待求的主動(dòng)力?！?-3拉格朗日方程5.7軸為豎直而頂點(diǎn)在下的拋物線金屬絲，以勻角速ω繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在此金屬絲上，并可沿著絲滑動(dòng)。求小環(huán)在x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知拋物線方程為x2=4ay，式中a為常數(shù)。ωmgvrxxoy四、拉格朗日方程的應(yīng)用

拉格朗日方程是運(yùn)動(dòng)微分方程的一種表述形式，其優(yōu)點(diǎn)有：對(duì)約束的處理使方程數(shù)減少；表述形式統(tǒng)一；適用范圍普遍；用標(biāo)量能量函數(shù)描述運(yùn)動(dòng)易于處理;處理方法可以歸納為一種固定格式，易于掌握。五、非完整約束的拉格朗日方程mlθ§4-4多諧振子系統(tǒng)mgmglly1y2kθ1θ2§4-5哈密頓函數(shù)和正則方程一、哈密頓函數(shù)例：在直角坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中分別寫出自由質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)場(chǎng)U(r)中運(yùn)動(dòng)的哈密頓函數(shù).5.7軸為豎直而頂點(diǎn)在下的拋物線金屬絲，以勻角速ω繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的小環(huán)，套在此金屬絲上，并可沿著絲滑動(dòng)。求小環(huán)在x方向的運(yùn)動(dòng)微分方程。已知拋物線方程為x2=4ay，式中a為常數(shù)。ωmgvrxxoyωmgvrxxoy§4-6泊松括號(hào)和泊松定理§4-7哈密頓原理力學(xué)第一性原理1、牛頓定律2、虛功原理3、達(dá)朗貝爾原理4、最小作用量原理（1）等時(shí)不等能變分——哈密頓原理（2）不等時(shí)等能變分——莫培督原理oxyAB若拉格朗日函數(shù)為用哈密頓原理可導(dǎo)出完整保守力系的拉格朗日方程為：pABDh2h1irxn1