全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)分類匯編動(dòng)態(tài)問(wèn)題(含解析)

匠心文檔，專屬精選。動(dòng)向問(wèn)題一.選擇題1．（2016·四川宜賓）如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別是6和8，則點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（）A．4.8B．5C．6D．7.2【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)．【剖析】第一連結(jié)OP，由矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面積，而后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF求得答案．【解答】解：連結(jié)OP，∵矩形的兩條邊AB、BC的長(zhǎng)分別為6和8，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，∴OA=OD=5，∴S△ACD=S矩形ABCD=24，∴S△AOD=S△ACD=12，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA?PE+OD?PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，解得：PE+PF=4.8．應(yīng)選：A．匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。2.（2016·湖北荊門·3分）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，在正方形的邊上沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)行程為x（cm），在以下圖象中，能表示△ADP的面積y（cm2）對(duì)于x（cm）的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A．B．C．D．【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象．【剖析】△ADP的面積可分為兩部分議論，由A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，面積漸漸增大，由B運(yùn)動(dòng)到時(shí)，面積不變，進(jìn)而得出函數(shù)關(guān)系的圖象．【解答】解：當(dāng)P點(diǎn)由A運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，即0≤x≤2時(shí)，y=×2x=x，當(dāng)P點(diǎn)由B運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)，即2＜x＜4時(shí)，y=×2×2=2，切合題意的函數(shù)關(guān)系的圖象是A；應(yīng)選：A．3.（2016·青海西寧·3分）如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B是x軸正半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AB為邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為x，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大概是（）匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選。A．B．C．D．【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象．【剖析】依據(jù)題意作出適合的協(xié)助線，能夠先證明△ADC和△AOB的關(guān)系，即可成立y與x的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而能夠獲得哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．【解答】解：作AD∥x軸，作CD⊥AD于點(diǎn)D，若右圖所示，由已知可得，OB=x，OA=1，∠AOB=90°，∠BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是y，∵AD∥x軸，∴∠DAO+∠AOD=180°，∴∠DAO=90°，∴∠OAB+∠BAD=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠OAB=∠DAC，在△OAB和△DAC中，，∴△OAB≌△DAC（AAS），∴OB=CD，CD=x，∵點(diǎn)C到x軸的距離為y，點(diǎn)D到x軸的距離等于點(diǎn)A到x的距離1，y=x+1（x＞0）．應(yīng)選：A．匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。二.填空題1.（2016·四川眉山·3分）如圖，已知點(diǎn)A是雙曲線在第三象限分支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AO并延伸交另一分支于點(diǎn)B，以AB為邊作等邊三角形ABC，點(diǎn)C在第四象限內(nèi)，且跟著點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C的地點(diǎn)也在不停變化，但點(diǎn)C一直在雙曲線上運(yùn)動(dòng)，則k的值是﹣3．【剖析】依據(jù)反比率函數(shù)的性質(zhì)得出OA=OB，連結(jié)OC，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和解直角三角形求出OC=OA，求出△OFC∽△AEO，相像比，求出頭積比，求出△OFC的面積，即可得出答案．【解答】解：∵雙曲線的圖象對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴點(diǎn)A與點(diǎn)B對(duì)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴OA=OB，連結(jié)OC，以下圖，匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選?！摺鰽BC是等邊三角形，OA=OB，∴OC⊥AB．∠BAC=60°，∴tan∠OAC==，∴OC=OA，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥y軸，垂足為E，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥y軸，垂足為F，∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°﹣∠FOC=∠OCF，∴△OFC∽△AEO，相像比，∴面積比，∵點(diǎn)A在第一象限，設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，b），∵點(diǎn)A在雙曲線上，∴S△AEO=ab=，∴S△OFC=FC?OF=，∴設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（x，y），∵點(diǎn)C在雙曲線上，∴k=xy，∵點(diǎn)C在第四象限，∴FC=x，OF=﹣y．∴FC?OF=x?（﹣y）=﹣xy=﹣，故答案為：﹣3．【評(píng)論】本題考察了反比率函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，相像三角形的性質(zhì)和判斷的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解本題的重點(diǎn)．2．（2016·四川內(nèi)江）如圖12所示，已知點(diǎn)C(1，0)，直線y＝－x＋7與兩坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，D，E分別是AB，OA上的動(dòng)點(diǎn)，則△CDE周長(zhǎng)的最小值是______．[答案]10[考點(diǎn)]勾股定理，對(duì)稱問(wèn)題。[分析]作點(diǎn)C對(duì)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)C1(－1，0)，點(diǎn)C對(duì)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C2，連結(jié)C1C2交OA匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，則此時(shí)△CDE的周長(zhǎng)最小，且最小值等于C1C2的長(zhǎng)．∵OA＝OB＝7，∴CB＝6，∠ABC＝45°．∵AB垂直均分CC2，∴∠CBC2＝90°，C2的坐標(biāo)為(7，6)．在Rt△C12中，12＝1222＝8262＝10．BCCCCBCB即△CDE周長(zhǎng)的最小值是10．yAC2DEC1OCBx答案圖故答案為：10．3.（2016·黑龍江龍東·3分）如圖，MN是⊙O的直徑，MN=4，∠AMN=40°，點(diǎn)B為弧AN的中點(diǎn)，點(diǎn)P是直徑MN上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PA+PB的最小值為2．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題；圓周角定理．【剖析】過(guò)A作對(duì)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，由對(duì)稱的性質(zhì)可知=，再由圓周角定理可求出∠A′ON的度數(shù)，再由勾股定理即可求解．【解答】解：過(guò)A作對(duì)于直線MN的對(duì)稱點(diǎn)A′，連結(jié)A′B，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知A′B即為PA+PB的最小值，連結(jié)OB，OA′，AA′，∵AA′對(duì)于直線MN對(duì)稱，∴=，∵∠AMN=40°，∴∠A′ON=80°，∠BON=40°，∴∠A′OB=120°，匠心教育文檔系列6匠心文檔，專屬精選。過(guò)O作OQ⊥A′B于Q，在Rt△A′OQ中，OA′=2，∴A′B=2A′Q=2，即PA+PB的最小值2．故答案為：2．三.解答題1．（2016·四川攀枝花）如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．1）當(dāng)t為什么值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)．（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【剖析】（1）由題意知CD⊥OA，因此△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）因?yàn)?＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)；匠心教育文檔系列7匠心文檔，專屬精選。（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種狀況，①當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種狀況即可得出t的取值范圍．【解答】解：（1）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，∴AC=2t，∵AC是⊙P的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，當(dāng)Q與D重合時(shí)，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，如圖1，OQ=OA﹣QA=4，t==4s，PA=4，BP=AB﹣PA=6，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB訂交于點(diǎn)F、G，連結(jié)PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，匠心教育文檔系列8匠心文檔，專屬精選?！?，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，由垂徑定理可求知：FG=2EF=；3）當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，如圖2，此時(shí)∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，∴AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)QC⊥OA時(shí)，此時(shí)Q與D重合，由（1）可知：t=，∴當(dāng)＜t≤5時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤5．匠心教育文檔系列9匠心文檔，專屬精選?！驹u(píng)論】本題考察圓的綜合問(wèn)題，波及圓的切線判斷，圓周角定理，相像三角形的判斷與性質(zhì)，學(xué)生需要依據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)剖析，而且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．2．（2016·四川攀枝花）如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，﹣3）（1）求拋物線的分析式；（2）點(diǎn)P在拋物線位于第四象限的部分上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積．（3）直線l經(jīng)過(guò)A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線位于y軸左邊的部分上運(yùn)動(dòng)，直線m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)Q，能否存在直線m，使得直線l、m與x軸圍成的三角形和直線l、m與y軸圍成的三角形相像？若存在，求出直線m的分析式，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．匠心教育文檔系列10匠心文檔，專屬精選。【剖析】（1）由B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線的分析式；（2）連結(jié)BC，則△ABC的面積是不變的，過(guò)P作PM∥y軸，交BC于點(diǎn)M，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出PM的長(zhǎng)，可知當(dāng)PM取最大值時(shí)△PBC的面積最大，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得P點(diǎn)的坐標(biāo)及四邊形ABPC的最大面積；（3）設(shè)直線m與y軸交于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)G，因?yàn)椤螦GP=∠GNC+∠GCN，因此當(dāng)△AGB和△NGC相像時(shí)，必有∠AGB=∠CGB=90°，則可證得△AOC≌△NOB，可求得ON的長(zhǎng)，可求出N點(diǎn)坐標(biāo)，利用B、N兩的點(diǎn)坐標(biāo)可求得直線m的分析式．【解答】解：（1）把B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線分析式可得，解得，∴拋物線分析式為y=x2﹣2x﹣3；（2）如圖1，連結(jié)BC，過(guò)Py軸的平行線，交BC于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，在y=x2﹣2x﹣3中，令y=0可得0=x2﹣2x﹣3，解得x=﹣1或x=3，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0），∴AB=3﹣（﹣1）=4，且OC=3，∴S△ABC=AB?OC=×4×3=6，∵B（3，0），C（0，﹣3），∴直線BC分析式為y=x﹣3，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2﹣2x﹣3），則M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x﹣3），∵P點(diǎn)在第四限，PM=x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+3x，匠心教育文檔系列11匠心文檔，專屬精選?！郤△PBC=PM?OH+PM?HB=PM?（OH+HB）=PM?OB=PM，∴當(dāng)PM有最大值時(shí)，△PBC的面積最大，則四邊形ABPC的面積最大，∵PM=﹣x2+3x=﹣（x﹣）2+，∴當(dāng)x=時(shí)，PMmax△PBC=×=，=，則S此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣），S四邊形ABPC=S△ABC+S△PBC=6+=，即當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（，﹣）時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為；（3）如圖2，設(shè)直線m交y軸于點(diǎn)N，交直線l于點(diǎn)G，則∠AGP=∠GNC+∠GCN，當(dāng)△AGB和△NGC相像時(shí)，必有∠AGB=∠CGB，又∠AGB+∠CGB=180°，∴∠AGB=∠CGB=90°，∴∠ACO=∠OBN，在Rt△AON和Rt△NOB中Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），ON=OA=1，N點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣1），匠心教育文檔系列12匠心文檔，專屬精選。設(shè)直線m分析式為y=kx+d，把B、N兩點(diǎn)坐標(biāo)代入可得，解得，∴直線m分析式為y=x﹣1，即存在知足條件的直線m，其分析式為y=x﹣1．【評(píng)論】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，波及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、二次函數(shù)的最值、相像三角形的判斷、全等三角形的判斷和性質(zhì)等．在（2）中確立出PM的值最時(shí)四邊形ABPC的面積最大是解題的重點(diǎn)，在（3）中確立出知足條件的直線m的地點(diǎn)是解題的重點(diǎn)．本題考查知識(shí)點(diǎn)許多，綜合性較強(qiáng)，特別是第（2）問(wèn)和第（3）問(wèn)難度較大．3．（2016·四川攀枝花）如圖，在△AOB中，∠AOB為直角，OA=6，OB=8，半徑為2的動(dòng)圓圓心Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿著OA方向以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿著AB方向也以1個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0＜t≤5）以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P與AB、OA的另一個(gè)交點(diǎn)分別為C、D，連結(jié)CD、QC．1）當(dāng)t為什么值時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)D重合？2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，求⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)．（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，求t的取值范圍．【考點(diǎn)】圓的綜合題．【剖析】（1）由題意知CD⊥OA，因此△ACD∽△ABO，利用對(duì)應(yīng)邊的比求出AD的長(zhǎng)度，若Q與D重合時(shí)，則，AD+OQ=OA，列出方程即可求出t的值；（2）因?yàn)?＜t≤5，當(dāng)Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，OQ=4，此時(shí)用時(shí)為4s，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，利用垂徑定理即可求出⊙P被OB截得的弦長(zhǎng)；（3）若⊙P與線段QC只有一個(gè)公共點(diǎn)，分以下兩種狀況，①當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；②當(dāng)Q與D重合時(shí)，計(jì)算出此時(shí)的時(shí)間；由以上兩種狀況即可得出t的取值范圍．匠心教育文檔系列13匠心文檔，專屬精選?！窘獯稹拷猓海?）∵OA=6，OB=8，∴由勾股定理可求得：AB=10，由題意知：OQ=AP=t，AC=2t，∵AC是⊙P的直徑，∴∠CDA=90°，∴CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴，∴AD=，當(dāng)Q與D重合時(shí)，AD+OQ=OA，+t=6，t=；（2）當(dāng)⊙Q經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)，如圖1，OQ=OA﹣QA=4，t==4s，PA=4，BP=AB﹣PA=6，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB于點(diǎn)E，⊙P與OB訂交于點(diǎn)F、G，連結(jié)PF，∴PE∥OA，∴△PEB∽△AOB，∴，∴PE=，∴由勾股定理可求得：EF=，匠心教育文檔系列14匠心文檔，專屬精選。由垂徑定理可求知：FG=2EF=；3）當(dāng)QC與⊙P相切時(shí)，如圖2，此時(shí)∠QCA=90°，∵OQ=AP=t，AQ=6﹣t，AC=2t，∵∠A=∠A，∠QCA=∠ABO，∴△AQC∽△ABO，∴，∴，∴t=，∴當(dāng)0＜t≤時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)QC⊥OA時(shí)，此時(shí)Q與D重合，由（1）可知：t=，∴當(dāng)＜t≤5時(shí)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)，⊙P與QC只有一個(gè)交點(diǎn)，t的取值范圍為：0＜t≤或＜t≤5．匠心教育文檔系列15匠心文檔，專屬精選。【評(píng)論】本題考察圓的綜合問(wèn)題，波及圓的切線判斷，圓周角定理，相像三角形的判斷與性質(zhì)，學(xué)生需要依據(jù)題意畫出相應(yīng)的圖形來(lái)剖析，而且能綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答．4.（2016·黑龍江龍東·8分）已知：點(diǎn)P是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），分別過(guò)點(diǎn)A、C向直線BP作垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，點(diǎn)O為AC的中點(diǎn)．1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)如圖1，易證OE=OF（不需證明）2）直線BP繞點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)∠OFE=30°時(shí)，如圖2、圖3的地點(diǎn)，猜想線段CF、AE、OE之間有如何的數(shù)目關(guān)系？請(qǐng)寫出你對(duì)圖2、圖3的猜想，并選擇一種狀況賜予證明．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【剖析】（1）由△AOE≌△COF即可得出結(jié)論．2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE，延伸EO交CF于點(diǎn)G，只需證明△EOA≌△GOC，△OFG是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE，延伸EO交FC的延伸線于點(diǎn)G，證明方法近似．【解答】解：（1）∵AE⊥PB，CF⊥BP，∴∠AEO=∠CFO=90°，在△AEO和△CFO中，匠心教育文檔系列16匠心文檔，專屬精選。，∴△AOE≌△COF，∴OE=OF．2）圖2中的結(jié)論為：CF=OE+AE．圖3中的結(jié)論為：CF=OE﹣AE．選圖2中的結(jié)論證明以下：延伸EO交CF于點(diǎn)G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，∴∠EAO=∠GCO，在△EOA和△GOC中，，∴△EOA≌△GOC，∴EO=GO，AE=CG，在RT△EFG中，∵EO=OG，∴OE=OF=GO，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等邊三角形，∴OF=GF，∵OE=OF，∴OE=FG，∵CF=FG+CG，CF=OE+AE．選圖3的結(jié)論證明以下：延伸EO交FC的延伸線于點(diǎn)G，∵AE⊥BP，CF⊥BP，∴AE∥CF，匠心教育文檔系列17匠心文檔，專屬精選。∴∠AEO=∠G，在△AOE和△COG中，，∴△AOE≌△COG，∴OE=OG，AE=CG，在RT△EFG中，∵OE=OG，∴OE=OF=OG，∵∠OFE=30°，∴∠OFG=90°﹣30°=60°，∴△OFG是等邊三角形，∴OF=FG，∵OE=OF，∴OE=FG，CF=FG﹣CG，∴CF=OE﹣AE．5．（2016·黑龍江齊齊哈爾·12分）以下圖，在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點(diǎn)，且B、C兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個(gè)根匠心教育文檔系列18匠心文檔，專屬精選。1）求線段BC的長(zhǎng)度；2）試問(wèn)：直線AC與直線AB能否垂直？請(qǐng)說(shuō)明原因；3）若點(diǎn)D在直線AC上，且DB=DC，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；4）在（3）的條件下，直線BD上能否存在點(diǎn)P，使以A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明原因．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【剖析】（1）解出方程后，即可求出B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出BC的長(zhǎng)度；2）由A、B、C三點(diǎn)坐標(biāo)可知OA2=OC?OB，因此可證明△AOC∽△BOA，利用對(duì)應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°；（3）簡(jiǎn)單求得直線AC的分析式，由DB=DC可知，點(diǎn)D在BC的垂直均分線上，因此D的縱坐標(biāo)為1，將其代入直線AC的分析式即可求出D的坐標(biāo)；（4）A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可分為以下三種狀況：①AB=AP；②AB=BP；AP=BP；而后分別求出P的坐標(biāo)即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB?OC，∵∠AOC=∠BOA=90°，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，匠心教育文檔系列19匠心文檔，專屬精選?！唷螩AO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°，∴∠BAC=90°，∴AC⊥AB；（3）設(shè)直線AC的分析式為y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC的分析式為：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴點(diǎn)D在線段BC的垂直均分線上，∴D的縱坐標(biāo)為1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐標(biāo)為（﹣2，1），（4）設(shè)直線BD的分析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點(diǎn)E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直線BD的分析式為：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），匠心教育文檔系列20匠心文檔，專屬精選?！郞E=3，tan∠BEC==，∴∠BEO=30°，同理可求得：∠ABO=30°，∴∠ABE=30°，當(dāng)PA=AB時(shí)，如圖1，此時(shí)，∠BEA=∠ABE=30°，∴EA=AB，∴P與E重合，∴P的坐標(biāo)為（﹣3，0），當(dāng)PA=PB時(shí)，如圖2，此時(shí)，∠PAB=∠PBA=30°，∵∠ABE=∠ABO=30°，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90°，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為﹣，令x=﹣代入y=x+3，y=2，∴P（﹣，2），當(dāng)PB=AB時(shí)，如圖3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若點(diǎn)P在y軸左邊時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P1，過(guò)點(diǎn)P1作P1F⊥x軸于點(diǎn)F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，匠心教育文檔系列21匠心文檔，專屬精選。令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若點(diǎn)P在y軸的右邊時(shí)，記此時(shí)點(diǎn)P為P2，過(guò)點(diǎn)P2作P2G⊥x軸于點(diǎn)G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，x=3，∴P2（3，3+），綜上所述，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)為極點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．匠心教育文檔系列22匠心文檔，專屬精選。6．（2016·湖北黃石·12分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=2∠DAE=2α．（1）如圖1，若點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，求證：△ADF∽△ABC；（2）如圖2，在（1）的條件下，若α=45°，求證：DE2=BD2+CE2；（3）如圖3，若α=45°，點(diǎn)E在BC的延伸線上，則等式DE2=BD2+CE2還可以成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明原因．【剖析】（1）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得∠EAF=∠DAE，AD=AF，再求出∠BAC=∠DAF，然后依據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比率，夾角相等兩三角形相像證明；（2）依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再求出∠BAD=∠CAF，而后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，而后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可；（3）作點(diǎn)D對(duì)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF，依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得EF=DE，AF=AD，再依據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，而后利用“邊角邊”證明△ABD和△ACF全等，依據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CF=BD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠ACF=∠B，而后求出∠ECF=90°，最后利用勾股定理證明即可．【解答】證明：（1）∵點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴∠EAF=∠DAE，AD=AF，又∵∠BAC=2∠DAE，∴∠BAC=∠DAF，AB=AC，匠心教育文檔系列23匠心文檔，專屬精選?！?，∴△ADF∽△ABC；2）∵點(diǎn)D對(duì)于直線AE的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，∴△ABD≌△ACF（SAS），∴CF=BD，∠ACF=∠B，AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°，在Rt△CEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，因此，DE2=BD2+CE2；3）DE2=BD2+CE2還可以成立．原因以下：作點(diǎn)D對(duì)于AE的對(duì)稱點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF，由軸對(duì)稱的性質(zhì)得，EF=DE，AF=AD，∵α=45°，∴∠BAD=90°﹣∠CAD，CAF=∠DAE+∠EAF﹣∠CAD=45°+45°﹣∠CAD=90°﹣∠CAD，∴∠BAD=∠CAF，在△ABD和△ACF中，，匠心教育文檔系列24匠心文檔，專屬精選?！唷鰽BD≌△ACF（SAS），CF=BD，∠ACF=∠B，AB=AC，∠BAC=2α，α=45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠ACB=45°，∴∠ECF=∠