文科考研微積分第二章一元函數(shù)微分學(xué)(“導(dǎo)數(shù)”文檔)共78張

第二章

一元函數(shù)微分學(xué)一、導(dǎo)數(shù)定義第一種方式：第二種方式：導(dǎo)數(shù)的幾何意義：切線的斜率；內(nèi)容提要二、求導(dǎo)法那么根本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的四那么運(yùn)算；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；隱函數(shù)求導(dǎo)；高階導(dǎo)數(shù),幾個簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：三、中值定理費(fèi)馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.四、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用洛必達(dá)法那么——求極限的重要方法.利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)研討函數(shù)的單調(diào)性及其極值.利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)研討函數(shù)的凹凸性及其拐點(diǎn).最大值、最小值問題.漸近線問題：典型例題解例1題型1：導(dǎo)數(shù)的定義解例2延續(xù)：可導(dǎo)：解例3例4(Ⅰ98二3)〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0分析解類題(Ⅰ92二3)例5解(Ⅰ99二3)〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續(xù)〔C〕延續(xù)但不可導(dǎo) 〔D〕可導(dǎo)選(D).解例6所以解例7(1)(2)及時分別非零因子例8解所以，(A)(B)(C)都正確，應(yīng)選(D).例9解(A)，(B)兩項中分母的極限為0，存在.【答案】應(yīng)選(D)。反例：存在，題型2：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線和法線方程解例1所以所求切線方程為解例2題型3：普通導(dǎo)函數(shù)的計算解例1先化簡，所以例2解用對數(shù)求導(dǎo)法,解例3(1)式兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)：解例4例5解先用待定系數(shù)法分解，另:例6解法1由Leibniz公式：得解法2由麥克勞林公式,得例6題型4：可導(dǎo)、延續(xù)與極限的關(guān)系解例1〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續(xù)〔C〕延續(xù)但不可導(dǎo) 〔D〕可導(dǎo)解例1〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續(xù)〔C〕延續(xù)但不可導(dǎo) 〔D〕可導(dǎo)【答案】應(yīng)選(C).題型4：可導(dǎo)、延續(xù)與極限的關(guān)系類題題型5：微分的概念與計算解例1兩邊對x求導(dǎo)，例2解題型6：利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間與極值解例1選〔A〕.例2解根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)有3個，而x=0那么是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個極小值點(diǎn)，一個極大值點(diǎn)；在x=0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正，右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，可見x=0為極大值點(diǎn)，故f(x)共有兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)，應(yīng)選(C).例3解(Ⅰ03二4)xyo(A)

一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).(B)

兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn).(C)

兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).(D)三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn).例4解選(C).例5解(Ⅱ96六8)兩邊關(guān)于x求導(dǎo),得對(1)式再求導(dǎo)，得例6解于是所求線段的最短長度為題型7：求函數(shù)曲線的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn)解例1解例2故應(yīng)選(C).題型8：求函數(shù)曲線的漸近線解例1〔A〕1條 〔B〕2條 〔C〕3條 〔D〕4條選(B).〔A〕沒有漸近線〔B〕僅有程度漸近線〔C〕僅有鉛直漸近線 〔D〕既有程度漸近線又有鉛直漸近線選(D).解例2(Ⅰ91二3)例3解〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條故應(yīng)選(D).例3解〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條【評注】例3〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條解例4〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條故應(yīng)選(D).題型9：確定函數(shù)方程f(x)=0的根解例1〔A〕2 〔B〕4 〔C〕6 〔D〕8選(B).【評注】xyo證例2證例3的零點(diǎn)的個數(shù)。xyo只需一個交點(diǎn)；有兩個交點(diǎn)；題型10：確定方程的根例1證(1)分析：用微分方程法,原等式改寫為證(2)例1證且由題設(shè)及(1)知,例1(Ⅳ95七5)類題例2證[Ⅰ05(18)12](Ⅰ)略.所以例3解【證明】無妨設(shè)存在例4題型11：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式證例1于是證法1【分析】根據(jù)所證不等式的方式,可思索用拉格朗日中值定理或轉(zhuǎn)化為函數(shù)不等式用單調(diào)性證明.例2[Ⅰ04(15)12]證法2例2〔C〕僅有鉛直漸近線(2)需求對價錢的彈性；高階導(dǎo)數(shù),幾個簡單函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)：費(fèi)馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.(D)至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn).對(1)式再求導(dǎo)，得(1)式兩邊再關(guān)于x求導(dǎo)：反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；題型12：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的運(yùn)用(C)

兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn).題型6：利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)區(qū)間與極值(2)需求對價錢的彈性；〔A〕3〔B〕2〔C〕1〔D〕0(2)需求對價錢的彈性；(D)至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn).利用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)研討函數(shù)的單調(diào)性及其極值.反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)；〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條費(fèi)馬引理,羅爾中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理.〔A〕極限不存在 〔B〕極限存在但不延續(xù)〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條(2)需求對價錢的彈性；〔A〕0條 〔B〕1條 〔C〕2條 〔D〕3條(2)需求對價錢的彈性；【答案】應(yīng)選(C).題型12：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的運(yùn)用三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不一致，必為極值點(diǎn)，且兩個極小值點(diǎn)，一個極大值點(diǎn)；題型4：可導(dǎo)、延續(xù)與極限的關(guān)系再用單調(diào)性進(jìn)展證明即可.例2題型12：導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)上的運(yùn)用解例1需求彈性為例2解(1)利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤；(2)需求對價錢的彈性；(3)需求對價錢彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量.〔1〕利潤函數(shù)為例2解(1)利潤最大時的產(chǎn)量及最大利潤；(2)需求對價錢的彈性；(3)需求對價錢彈性的絕對值為1時的產(chǎn)量.〔2〕〔3〕例3解根據(jù)延續(xù)復(fù)利公式，這批酒在窖藏t年末總收入R的現(xiàn)值為END解例3(Ⅰ05二4)(