總體離散程度的估計-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊

9.2.4總體離散程度的估計一、導(dǎo)入上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)1)平均數(shù)：如果有n個數(shù)據(jù)

那么這n個數(shù)的平均數(shù)從頻率分布直方圖中估計平均數(shù)：平均數(shù)的估計值等于頻率分布直方圖中每個小矩形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和.一、導(dǎo)入2）中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處在最中間的一個數(shù)據(jù)(或兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù));從頻率分布直方圖中估計中位數(shù)：中位數(shù)左右兩邊的直方圖的面積相等.3）眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù);從頻率分布直方圖中估計眾數(shù)：眾數(shù)是最高的矩形的中點.一、導(dǎo)入平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)為我們提供了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢的信息,這是概括一組數(shù)據(jù)的特征的有效方法.但僅知道集中趨勢的信息,很多時候還不能使我們做出有效的決策.這節(jié)課學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)的另一大重要特征:離散程度一、導(dǎo)入離散程度簡單理解就是數(shù)據(jù)聚在一塊還是分散開聚在一塊分散開這幾天武漢的平均溫度是18.1°c那不是挺舒服的么？整齊穩(wěn)定穩(wěn)定，整齊就是離散程度低的意思一、導(dǎo)入初中用方差和標準差來衡量一組數(shù)據(jù)的離散程度方差，標準差大離散程度大方差，標準差小離散程度小一、導(dǎo)入計算方差和標準差：1）求平均數(shù)數(shù)據(jù):2)數(shù)據(jù)與平均數(shù)作差3）平方4）求平方的平均數(shù)二、新課講授問題1：有兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲78795491074乙9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當如何作出選擇？二、新課講授通過簡單的排序和計算，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩名運動員射擊成績的平均數(shù)、中位數(shù)眾數(shù)都是7.從這個角度看，兩名運動員之間沒有差別。

但從上圖中看,甲的成績比較分散,乙的成績相對集中，即甲的成績波動幅度比較大，而乙的成績比較穩(wěn)定。他們的射擊成績是存在差異的，那么，如何度量成績的這種差異呢？二、新課講授一種簡單的度量數(shù)據(jù)離散程度的方法就是用極差。根據(jù)甲、乙運動員的10次射擊成績，可以得到甲命中環(huán)數(shù)的極差=10-4=6乙命中環(huán)數(shù)的極差=9-5=4可以發(fā)現(xiàn)甲的成績波動范圍比乙大。極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度，但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少。二、新課講授你還能想出其他刻畫數(shù)據(jù)離散程度的辦法么？二、新課講授我們知道，如果射擊的成績很穩(wěn)定，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績不會太遠；相反，如果射擊的成績波動幅度很大，那么大多數(shù)的射擊成績離平均成績會比較遠。因此，我們可以通過這兩組射擊成績與它們的平均成績的“平均距離”來度量成績的波動幅度。二、新課講授如何定義“平均距離”？

二、新課講授假設(shè)一組數(shù)據(jù)是

，用表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)。用每個數(shù)據(jù)與平均數(shù)的差的絕對值作為“距離”，即則這組數(shù)據(jù)到的“平均距離”為為了避免式中含有絕對值，通常改用平方來代替，即我們將其定義為這組數(shù)據(jù)的方差：二、新課講授有時為了計算方差的方便，我們還把方差寫成以下形式二、新課講授由于方差的單位是原始數(shù)據(jù)的單位的平方，與原始數(shù)據(jù)不一致。為了使二者單位一致，我們對方差開方，取它的算數(shù)平方根，即我們稱其為這組數(shù)據(jù)的標準差二、新課講授1.總體方差和總體標準差（1）若總體中所有個體的變量值分別為Y1，Y2，…，YN，總體的平均數(shù)為，則稱為總體方差，為總體標準差.(2)總體方差的加權(quán)形式：如果總體的N個變量值中，不同的值共有k(k≤N)個，可以記為Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為fi(i＝1,2，…，k)，則總體方差為二、新課講授2.樣本方差和樣本標準差若一個樣本中個體的變量值分別為y1,y2,....,yn,總體平均數(shù)為，則稱為樣本方差，為樣本標準差標準差刻畫了數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標準差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標準差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。伙@然，在刻畫數(shù)據(jù)的分散程度上，方差和標準差是一樣的，但在解決實際問題中，一般多采用標準差。二、新課講授問題1：有兩名射擊隊員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:甲78795491074乙9578768677如果你是教練，你如何對兩位運動員的射擊情況作出評價？如果這是一次選拔性考核，你應(yīng)當如何作出選擇？即乙比甲的射擊成績穩(wěn)定例1甲、乙兩機床同時加工直徑為100cm的零件，為檢驗質(zhì)量，從中抽取6件測量數(shù)據(jù)為(單位：cm)：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計算說明哪臺機床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．變式1

樣本數(shù)均為9的四組數(shù)據(jù)，它