教學第七章參數(shù)估計課件

第七章參數(shù)估計§7.1參數(shù)的點估計概念§7.2估計量的評選標準§7.3參數(shù)的區(qū)間估計1第七章參數(shù)估計§7.1參數(shù)的點估計概念§7.2估計§7.1參數(shù)的點估計概念定義

設總體X的分布函數(shù)的形式已知，它的一個或多個參數(shù)未知，根據(jù)總體X的一個樣本X1,X2,…,Xn來估計總體未知參數(shù)的真值稱為參數(shù)的點估計。定義

設總體X的分布函數(shù)F(x,)中含有未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本，x1,x2,…,xn是相應的一個樣本值。構造一個適當?shù)牟缓粗獏?shù)的統(tǒng)計量，用它的觀測值作為參數(shù)的近似值，稱為參數(shù)的估計量，稱為參數(shù)的估計值。2§7.1參數(shù)的點估計概念定義設總體X的分布函數(shù)的形式已知設總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它含有k個不同的未知參數(shù)1,2,,k時設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本構造k個統(tǒng)計量：當測得一組樣本值(x1,x2,…,xn)時，代入上述統(tǒng)計量，即可得到k個數(shù),分別作為這k個參數(shù)的估計值數(shù)值隨機變量3設總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它含有設X1,X2,…

設(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的一個樣本,根據(jù)大數(shù)定律，對任意ε>0，有并且對于任何k，只要E(Xk)存在，同樣有

因此，很自然地想到用樣本矩來代替總體矩，從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計。矩估計法4設(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的一個樣本,定義

設總體X的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)1,2,…,k,即F=F(x;1,2,…,k)，總體X的前k階矩l=E(Xl)(l=1,2,…,k)存在,它們是1,2,…,k的函數(shù)l(1,2,…,k)(l=1,2,…,k)假設X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本，建立統(tǒng)計量--樣本l階原點矩Al(l=1,2,…,k)，由下列方程組：估計量，這種估計量稱為矩估計量，矩估計量的觀察值就是矩估計值。5定義設總體X的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)1,2,…,例2設總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b為未知量，X1,X2,…,Xn是X的一個樣本，試求a,b的矩估計量。解：建立統(tǒng)計量方程組6例2設總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b為未知量，X一般地,不論總體服從什么分布，若總體的期望與方差2均存在,則它們的矩估計量分別為7一般地,不論總體服從什么分布，若總體的期望與方差2均定義

設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本，x1,x2,…,xn為樣本觀察值，的似然函數(shù)為L(x1,x2,…,xn;)極大似然函數(shù)估計法的主要思想適當選取，使得似然函數(shù)L()的值達到最大，也就是使試驗得出的結果X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn的概率最大，這個值就是參數(shù)的估計值。如果存在，使得函數(shù)L達到最大值，即則稱是參數(shù)的極大似然估計值；而稱為參數(shù)的極大似然估計量。8定義設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未極大似然函數(shù)估求極大似然估計的一般步驟(1)構造似然函數(shù)L()為參數(shù)的似然函數(shù)。若總體X是離散型隨機變量，其分布律為

P(X=x)=p(x,)其中為未知參數(shù)設X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個樣本，而x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的一個樣本值，那么稱9求極大似然估計的一般步驟(1)構造似然函數(shù)L()為參數(shù)若總體X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,)，x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的一個樣本值，則參數(shù)的似然函數(shù)為(2)求似然函數(shù)L()的最大值點10若總體X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,)，x1,似然方程當未知參數(shù)可以不止一個時，例如1,…,k，那么可由下述方程組求得似然方程組

因為L()與lnL()有相同的極大值點，而lnL()往往計算更為方便，所以常用lnL()進行計算。一般地，參數(shù)的極大似然估計值可由下式求得11似然當未知參數(shù)可以不止一個時，例如1,…,k，那么可由可求得未知參數(shù)的極大似然估計值然后再求得極大似然估計量。若L是1,

2,…,n的可微函數(shù)，解似然方程組若L不是1,2,…,n的可微函數(shù)，則需用其它方法(即回到原始的定義)來求極大似然估計值。求解注意事項12可求得未知參數(shù)的極大似然估計值然后再求得極大似然估計量。若L§7.2估計量的評選標準

對于總體分布的某一參數(shù)，因為只要求其估計量是統(tǒng)計量，所以對此參數(shù)可以有多種不同的估計量。這就涉及到估計量的評選標準。

對于同一參數(shù)，用不同的估計方法求出的估計量可能不相同。另外，用矩估計法和極大似然估計法所得的參數(shù)估計量不一定唯一。例如，在泊松分布中，由于均值和方差都為，因此除了樣本均值是參數(shù)的矩估計量外，樣本方差也是參數(shù)的矩估計量。13§7.2估計量的評選標準對于總體分布的某一一致性則稱是參數(shù)的一致(或相合)估計量。定義

設是總體X的未知參數(shù)的估計量。若n時，依概率收斂于，即對于任意給定的正數(shù)>0有一致性估計量僅在樣本容量n足夠大時才顯其優(yōu)越性14一致性則稱是參數(shù)的一致(或相合)估計量。定義設關于一致性的常用結論

樣本k階矩是總體k

階矩的一致性估計量

由大數(shù)定律證明矩法得到的估計量一般為一致估計量在一定條件下,極大似然估計具有一致性15關于一致性的常用結論樣本k階矩是總體k由大數(shù)定律證明矩無偏性

估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值。我們希望估計值在未知參數(shù)的真值附近擺動，并且使它的數(shù)學期望值等于未知參數(shù)的真值，這就導致無偏性這個標準。則稱為參數(shù)的無偏估計量,否則為有偏估計量。定義

設是未知參數(shù)的估計量，.真值16無偏性估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的特別地

是總體期望E(X)的無偏估計量樣本均值樣本二階原點矩是的無偏估計量總體二階原點矩

17特別地是總體期望E(X)的無偏估計量樣本均值樣本二階原點結論：設總體X

的期望E(X)=與方差D(X)=2存在，X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本。不是D(X)的無偏估計。(2)195頁例9是D(X)的無偏估計；(1)194頁例818結論：設總體X的期望E(X)=與方差不是D(X)有效性D()<D()則稱較有效。都是參數(shù)的無偏估計量，若有定義

設和19有效性D()<D()則稱較有在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計：其中是的任一無偏估計，則稱為

的最小方差無偏估計，也稱最佳無偏估計。定義

設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個樣本，是未知參數(shù)的無偏估計量，如果羅·克拉美(Rao-Cramer)不等式20在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計：其中是的任一無結論：設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個樣本，且E(X)=,

D(X)=

2

則有是的無偏估計量；(1)若常數(shù)(2)在中，最有效。算術均值比加權均值更有效21結論：設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個則有§7.3參數(shù)的區(qū)間估計

上一節(jié)中，我們討論了參數(shù)的點估計，它是由樣本算得的一個值去估計未知參數(shù)。但是，即使是無偏估計量也會由于樣本的隨機性使得估計值帶有偏差，所以點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出近似值的誤差范圍，而有時我們又需要對此偏差作出衡量，知道近似值的精確程度。

本節(jié)的區(qū)間估計正好彌補了點估計的缺陷，它是通過尋找一個區(qū)間，并利用此區(qū)間包含未知參數(shù)真值的可信程度來估計未知參數(shù)的方法。22§7.3參數(shù)的區(qū)間估計上一節(jié)中，我們討論了參數(shù)的點置信區(qū)間

定義

設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參數(shù)，對于給定的(0<<1)，若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個統(tǒng)計量定義設統(tǒng)計量則稱為隨機區(qū)間，和分別稱為隨機區(qū)間的下限和上限。則稱1-為置信度，隨機區(qū)間稱為的置信度為1-的置信區(qū)間，和分別稱為置信度為1-的置信下限和置信上限。23置信區(qū)間定義設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參求置信區(qū)間的步驟(1)先求出樣本的一個函數(shù)它含有待估參數(shù)，不含其它未知參數(shù)，它的分布已知，而且該分布不依賴于待估參數(shù)(通常由的點估計作為考慮的出發(fā)點

)。例如：—稱為樞軸量24求置信區(qū)間的步驟(1)先求出樣本的一個函數(shù)它含有待估參數(shù)，(3)

由不等式a<

g(X1,X2,…,Xn)<

b解出得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間(2)對于給定的置信度1,求出常數(shù)a和

b

使得25(3)由不等式a<g(X1,X2,…,Xn)<b置信區(qū)間常用公式(一)單個正態(tài)總體X~N(2)的區(qū)間估計(1)

方差

2已知，的置信區(qū)間199頁例13(2)

方差2未知，的置信區(qū)間

26置信區(qū)間常用公式(一)單個正態(tài)總體X~N((3)

當已知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得

2

的置信度為1-的置信區(qū)間為

??27(3)當已知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得(4)

當未知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得

2

的置信度為1-的置信區(qū)間為

??28(4)當未知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得(二)兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計設X1,X2,…,Xn是取自總體N(112)

的樣本，而Y1,Y2,…,Ym是取自總體N(222)

的樣本

分別表示兩樣本的均值與方差，置信度為1-

在實際生活中經(jīng)常遇到已知某一產品的質量指標服從正態(tài)分布，但由于其它因素的影響，從而引起總體均值和方差改變的問題。如果想要研究這種變化究竟有多大，就需要考慮兩個正態(tài)總體的均值差或方差比的估計問題，并給出判斷。29(二)兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計設X1,X2,…,Xn是取自相互獨立(1)方差12,22已知，1-2的置信區(qū)間可得1-2的置信度為1-的置信區(qū)間為

取樞軸量兩個正態(tài)總體均值差1-2的置信區(qū)間30相互獨立(1)方差12,22已知，1-2的置信區(qū)間(2)方差12,22均未知，但n,m>50，1-2的置信區(qū)間取樞軸量相互獨立可得1-2的置信度為1-的置信區(qū)間為

31(2)方差12,22均未知，但n,m>50，1-(3)

12=

22=2而2未知，1-2的置信區(qū)間取樞軸量可得1-2的置信度為1-的置信區(qū)間為

32(3)12=22=2而2未知，1-2的兩個正態(tài)總體方差比12/22的置信區(qū)間(1)期望1,

2

均已知，12/22的置信區(qū)間取樞軸量可得12/22的置信度為1-的置信區(qū)間為

33兩個正態(tài)總體方差比12/22的置信區(qū)間(1)期望1(2)期望1,

2

均未知，12/22的置信區(qū)間取樞軸量可得12/22的置信度為1-的置信區(qū)間為

34(2)期望1,2均未知，12/22的置信區(qū)間單側置信區(qū)間定義

對于給定的(0<<1)，是待估參數(shù)，X1,X2,…,Xn是取自總體X

的樣本。若能確定一個統(tǒng)計量使得則稱隨機區(qū)間為的置信度為1-

的單側置信區(qū)間。單側置信下限單側置信上限35單側置信區(qū)間定義對于給定的(0<<1)，非正態(tài)總體的區(qū)間估計

實際中經(jīng)常遇到的一批產品的次品率的估計就是常見的一種非正態(tài)總體的區(qū)間估計問題。

在這批產品中隨機地抽取一個產品，只有兩種可能，或者是正品，或者是次品，可以看成一個服從(0-1)分布的隨機變量X，其分布律為f(x,p)=px(1-p)1-x，x=0,1其中p是未知參數(shù)。36非正態(tài)總體的區(qū)間估計實際中經(jīng)常遇到的一批產品的次品率(近似)由第四章可知(0-1)分布的均值和方差分別為：

=p

2=p(1-p)=pq0<p,q<1

因為樣本容量較大，由中心極限定理可知所以由正態(tài)分布的上分位點的性質可知現(xiàn)設有一容量為n(n>50)的大樣本來自(0-1)分布總體，求p的置信度為1-的置信區(qū)間。37(近似)由第四章可知(0-1)分布的均值和方差分別為：因為樣所以p的近似置信度為1-的置信區(qū)間為(p1,p2)設則有解之得38所以p的近似置信度為1-的置信區(qū)間為(p1,p21掌握點估計的概念，會使用矩估計法和極大似然估計法。3掌握置信區(qū)間、置信度的概念，并會計算指定的未知參數(shù)的置信區(qū)間，會求解單個正態(tài)總體和兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計。小結2了解估計量的評選標準，會判斷給定的估計量的一致性、無偏性和有效性。391掌握點估計的概念，會使用矩估計法和極大似然估計法。3掌第七章參數(shù)估計§7.1參數(shù)的點估計概念§7.2估計量的評選標準§7.3參數(shù)的區(qū)間估計40第七章參數(shù)估計§7.1參數(shù)的點估計概念§7.2估計§7.1參數(shù)的點估計概念定義

設總體X的分布函數(shù)的形式已知，它的一個或多個參數(shù)未知，根據(jù)總體X的一個樣本X1,X2,…,Xn來估計總體未知參數(shù)的真值稱為參數(shù)的點估計。定義

設總體X的分布函數(shù)F(x,)中含有未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn為總體X的一個樣本，x1,x2,…,xn是相應的一個樣本值。構造一個適當?shù)牟缓粗獏?shù)的統(tǒng)計量，用它的觀測值作為參數(shù)的近似值，稱為參數(shù)的估計量，稱為參數(shù)的估計值。41§7.1參數(shù)的點估計概念定義設總體X的分布函數(shù)的形式已知設總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它含有k個不同的未知參數(shù)1,2,,k時設X1,X2,…,Xn為總體的一個樣本構造k個統(tǒng)計量：當測得一組樣本值(x1,x2,…,xn)時，代入上述統(tǒng)計量，即可得到k個數(shù),分別作為這k個參數(shù)的估計值數(shù)值隨機變量42設總體X的分布函數(shù)的形式已知，但它含有設X1,X2,…

設(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的一個樣本,根據(jù)大數(shù)定律，對任意ε>0，有并且對于任何k，只要E(Xk)存在，同樣有

因此，很自然地想到用樣本矩來代替總體矩，從而得到總體分布中參數(shù)的一種估計。矩估計法43設(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的一個樣本,定義

設總體X的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)1,2,…,k,即F=F(x;1,2,…,k)，總體X的前k階矩l=E(Xl)(l=1,2,…,k)存在,它們是1,2,…,k的函數(shù)l(1,2,…,k)(l=1,2,…,k)假設X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本，建立統(tǒng)計量--樣本l階原點矩Al(l=1,2,…,k)，由下列方程組：估計量，這種估計量稱為矩估計量，矩估計量的觀察值就是矩估計值。44定義設總體X的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù)1,2,…,例2設總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b為未知量，X1,X2,…,Xn是X的一個樣本，試求a,b的矩估計量。解：建立統(tǒng)計量方程組45例2設總體X在[a,b]上服從均勻分布，a,b為未知量，X一般地,不論總體服從什么分布，若總體的期望與方差2均存在,則它們的矩估計量分別為46一般地,不論總體服從什么分布，若總體的期望與方差2均定義

設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本，x1,x2,…,xn為樣本觀察值，的似然函數(shù)為L(x1,x2,…,xn;)極大似然函數(shù)估計法的主要思想適當選取，使得似然函數(shù)L()的值達到最大，也就是使試驗得出的結果X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn的概率最大，這個值就是參數(shù)的估計值。如果存在，使得函數(shù)L達到最大值，即則稱是參數(shù)的極大似然估計值；而稱為參數(shù)的極大似然估計量。47定義設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未極大似然函數(shù)估求極大似然估計的一般步驟(1)構造似然函數(shù)L()為參數(shù)的似然函數(shù)。若總體X是離散型隨機變量，其分布律為

P(X=x)=p(x,)其中為未知參數(shù)設X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個樣本，而x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的一個樣本值，那么稱48求極大似然估計的一般步驟(1)構造似然函數(shù)L()為參數(shù)若總體X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,)，x1,x2,…,xn為X1,X2,…,Xn的一個樣本值，則參數(shù)的似然函數(shù)為(2)求似然函數(shù)L()的最大值點49若總體X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度為f(x,)，x1,似然方程當未知參數(shù)可以不止一個時，例如1,…,k，那么可由下述方程組求得似然方程組

因為L()與lnL()有相同的極大值點，而lnL()往往計算更為方便，所以常用lnL()進行計算。一般地，參數(shù)的極大似然估計值可由下式求得50似然當未知參數(shù)可以不止一個時，例如1,…,k，那么可由可求得未知參數(shù)的極大似然估計值然后再求得極大似然估計量。若L是1,

2,…,n的可微函數(shù)，解似然方程組若L不是1,2,…,n的可微函數(shù)，則需用其它方法(即回到原始的定義)來求極大似然估計值。求解注意事項51可求得未知參數(shù)的極大似然估計值然后再求得極大似然估計量。若L§7.2估計量的評選標準

對于總體分布的某一參數(shù)，因為只要求其估計量是統(tǒng)計量，所以對此參數(shù)可以有多種不同的估計量。這就涉及到估計量的評選標準。

對于同一參數(shù)，用不同的估計方法求出的估計量可能不相同。另外，用矩估計法和極大似然估計法所得的參數(shù)估計量不一定唯一。例如，在泊松分布中，由于均值和方差都為，因此除了樣本均值是參數(shù)的矩估計量外，樣本方差也是參數(shù)的矩估計量。52§7.2估計量的評選標準對于總體分布的某一一致性則稱是參數(shù)的一致(或相合)估計量。定義

設是總體X的未知參數(shù)的估計量。若n時，依概率收斂于，即對于任意給定的正數(shù)>0有一致性估計量僅在樣本容量n足夠大時才顯其優(yōu)越性53一致性則稱是參數(shù)的一致(或相合)估計量。定義設關于一致性的常用結論

樣本k階矩是總體k

階矩的一致性估計量

由大數(shù)定律證明矩法得到的估計量一般為一致估計量在一定條件下,極大似然估計具有一致性54關于一致性的常用結論樣本k階矩是總體k由大數(shù)定律證明矩無偏性

估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的估計值。我們希望估計值在未知參數(shù)的真值附近擺動，并且使它的數(shù)學期望值等于未知參數(shù)的真值，這就導致無偏性這個標準。則稱為參數(shù)的無偏估計量,否則為有偏估計量。定義

設是未知參數(shù)的估計量，.真值55無偏性估計量是隨機變量，對于不同的樣本值會得到不同的特別地

是總體期望E(X)的無偏估計量樣本均值樣本二階原點矩是的無偏估計量總體二階原點矩

56特別地是總體期望E(X)的無偏估計量樣本均值樣本二階原點結論：設總體X

的期望E(X)=與方差D(X)=2存在，X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本。不是D(X)的無偏估計。(2)195頁例9是D(X)的無偏估計；(1)194頁例857結論：設總體X的期望E(X)=與方差不是D(X)有效性D()<D()則稱較有效。都是參數(shù)的無偏估計量，若有定義

設和58有效性D()<D()則稱較有在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計：其中是的任一無偏估計，則稱為

的最小方差無偏估計，也稱最佳無偏估計。定義

設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個樣本，是未知參數(shù)的無偏估計量，如果羅·克拉美(Rao-Cramer)不等式59在數(shù)理統(tǒng)計中常用到最小方差無偏估計：其中是的任一無結論：設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個樣本，且E(X)=,

D(X)=

2

則有是的無偏估計量；(1)若常數(shù)(2)在中，最有效。算術均值比加權均值更有效60結論：設X1,X2,…,Xn是取自總體X的一個則有§7.3參數(shù)的區(qū)間估計

上一節(jié)中，我們討論了參數(shù)的點估計，它是由樣本算得的一個值去估計未知參數(shù)。但是，即使是無偏估計量也會由于樣本的隨機性使得估計值帶有偏差，所以點估計值僅僅是未知參數(shù)的一個近似值，它沒有反映出近似值的誤差范圍，而有時我們又需要對此偏差作出衡量，知道近似值的精確程度。

本節(jié)的區(qū)間估計正好彌補了點估計的缺陷，它是通過尋找一個區(qū)間，并利用此區(qū)間包含未知參數(shù)真值的可信程度來估計未知參數(shù)的方法。61§7.3參數(shù)的區(qū)間估計上一節(jié)中，我們討論了參數(shù)的點置信區(qū)間

定義

設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參數(shù)，對于給定的(0<<1)，若由樣本X1,X2,…,Xn確定的兩個統(tǒng)計量定義設統(tǒng)計量則稱為隨機區(qū)間，和分別稱為隨機區(qū)間的下限和上限。則稱1-為置信度，隨機區(qū)間稱為的置信度為1-的置信區(qū)間，和分別稱為置信度為1-的置信下限和置信上限。62置信區(qū)間定義設總體X的分布函數(shù)F(x;)中含有未知參求置信區(qū)間的步驟(1)先求出樣本的一個函數(shù)它含有待估參數(shù)，不含其它未知參數(shù)，它的分布已知，而且該分布不依賴于待估參數(shù)(通常由的點估計作為考慮的出發(fā)點

)。例如：—稱為樞軸量63求置信區(qū)間的步驟(1)先求出樣本的一個函數(shù)它含有待估參數(shù)，(3)

由不等式a<

g(X1,X2,…,Xn)<

b解出得到參數(shù)的置信度為1-的置信區(qū)間(2)對于給定的置信度1,求出常數(shù)a和

b

使得64(3)由不等式a<g(X1,X2,…,Xn)<b置信區(qū)間常用公式(一)單個正態(tài)總體X~N(2)的區(qū)間估計(1)

方差

2已知，的置信區(qū)間199頁例13(2)

方差2未知，的置信區(qū)間

65置信區(qū)間常用公式(一)單個正態(tài)總體X~N((3)

當已知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得

2

的置信度為1-的置信區(qū)間為

??66(3)當已知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得(4)

當未知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得

2

的置信度為1-的置信區(qū)間為

??67(4)當未知時，方差2的置信區(qū)間取樞軸量可得(二)兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計設X1,X2,…,Xn是取自總體N(112)

的樣本，而Y1,Y2,…,Ym是取自總體N(222)

的樣本

分別表示兩樣本的均值與方差，置信度為1-

在實際生活中經(jīng)常遇到已知某一產品的質量指標服從正態(tài)分布，但由于其它因素的影響，從而引起總體均值和方差改變的問題。如果想要研究這種變化究竟有多大，就需要考慮兩個正態(tài)總體的均值差或方差比的估計問題，并給出判斷。68(二)兩個正態(tài)總體的區(qū)間估計設X1,X2,…,Xn是取自相互獨立(1)方差12,22已知，1-2的置信區(qū)間可得1-2的置信度為1-的置信區(qū)間為

取樞軸量兩個正態(tài)總體均值差1-2的置信區(qū)間69相互獨立(1)方差12,22已知，1-2的置信區(qū)間(2)方差12,22均未知，但n,m>50，