三年級(jí)思維拓展訓(xùn)練數(shù)學(xué)奧數(shù)方法教師版課件

小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展訓(xùn)練小學(xué)數(shù)學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)思維拓展訓(xùn)練1第1講

奇妙的規(guī)律在日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定規(guī)律排列的數(shù)，例如，日期（月份）1、2、3、4、5……年齡：10、11、12、13、14、15……像上面這樣的例子都是按一定規(guī)律排列的，我們可以根據(jù)這個(gè)規(guī)律來推斷后面的數(shù)是什么。尋找數(shù)列的規(guī)律，除了從相鄰兩數(shù)的和、差考慮，有時(shí)還要從積、商考慮。善于發(fā)現(xiàn)數(shù)列的規(guī)律是填數(shù)的關(guān)鍵。第1講奇妙的規(guī)律在日常生活中，我們經(jīng)常接觸到許多按一定2第1講

奇妙的規(guī)律例1觀察下面的數(shù)列，找出其中的規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律，在括號(hào)中填上合適的數(shù)。（1）2、4、6、8、10、（

）、（

）。（2）1、2、5、10、17、（

）、（

）。（3）2、6、18、54、（

）、（

）。第1講奇妙的規(guī)律例13第1講

奇妙的規(guī)律分析與解答：（1）在數(shù)列2、4、6、8、10、（

）、（

）。中，后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)多2。根據(jù)這一規(guī)律可知道（

）應(yīng)分別填12和14。（2）在數(shù)列1、2、5、10、17、（26）、（37）。后一個(gè)數(shù)比前一個(gè)數(shù)依次多2，即第二個(gè)數(shù)比第一個(gè)數(shù)多1；第三個(gè)數(shù)比第二個(gè)數(shù)多3；第四個(gè)數(shù)比第三個(gè)數(shù)多5；第五個(gè)數(shù)比第四個(gè)數(shù)多7……根據(jù)這一規(guī)律可知道（

）應(yīng)分別填26和37。（3）在數(shù)列2、46、18、54、（

）、（

）中，后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的3倍。根據(jù)這一規(guī)律可知道（

）應(yīng)分別填162和486.第1講奇妙的規(guī)律分析與解答：4第1講

奇妙的規(guī)律隨堂練習(xí)：找規(guī)律填數(shù)。（1）5、10、15、（

）、（

）。（2）1、3、7、13、21、（

）、（

）。（3）1、4、16、64、（

）、（

）。第1講奇妙的規(guī)律隨堂練習(xí)：5第1講

奇妙的規(guī)律擴(kuò)展訓(xùn)練1、在括號(hào)內(nèi)填上合適的數(shù)。（1）48、40、36、34、（

）。（2）1、3、15、105、（

）。（3）1，3，6，10，（

），21，28，36，（

）。（4）2，5，8，11，（

），17，20。（5）19，17，15，13，（

），9，7。第1講奇妙的規(guī)律擴(kuò)展訓(xùn)練6第1講

奇妙的規(guī)律擴(kuò)展訓(xùn)練2、依據(jù)規(guī)律填數(shù)。（1）3、7、（

）、15、19、23、（

）。（2）1、2、3、4、5、12、7、48、（

）3、找出下列數(shù)列中一個(gè)與眾不同的數(shù)列，它是第（

）個(gè)。A1、2、3、6、11、20、37……B0、2、2、4、6、10、16……C1、1、2、3、5、8、13……D1、3、4、7、11、18……第1講奇妙的規(guī)律擴(kuò)展訓(xùn)練7第2講

加法的巧算1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？兩個(gè)數(shù)相加，若能恰好湊成整十、整百、整千、整萬…，就把其中的一個(gè)數(shù)叫做另一個(gè)數(shù)的“補(bǔ)數(shù)”。如：1+9=10，3+7=10，

2+8=10，4+6=10，

5+5=10。又如：11+89=100，33＋67=100，

22+78=100，44+56=100，

55+45=100，在上面算式中，1叫9的“補(bǔ)數(shù)”；89叫11的“補(bǔ)數(shù)”，11也叫89的“補(bǔ)數(shù)”.也就是說兩個(gè)數(shù)互為“補(bǔ)數(shù)”。第2講加法的巧算1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？8第2講

加法的巧算1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？對(duì)于一個(gè)較大的數(shù)，如何能很快地算出它的“補(bǔ)數(shù)”來呢？一般來說，可以這樣“湊”數(shù)：從最高位湊起，使各位數(shù)字相加得9，到最后個(gè)位數(shù)字相加得10。如：87655→12345，46802→53198，

87362→12638，…下面講利用“補(bǔ)數(shù)”巧算加法，通常稱為“湊整法”。第2講加法的巧算1.什么叫“補(bǔ)數(shù)”？9第2講

加法的巧算2.互補(bǔ)數(shù)先加。例1巧算下面各題：

①36+87+64②361＋972＋639＋28解：①式=（36＋64）＋87=100＋87=187②式=（361＋639）＋（972＋28）=1000+1000=2000第2講加法的巧算2.互補(bǔ)數(shù)先加。解：①式=（36＋6410第2講

加法的巧算隨堂練習(xí)：巧算下面各題：99+136＋10179＋62＋121＋38第2講加法的巧算隨堂練習(xí)：11第2講

加法的巧算3.拆出補(bǔ)數(shù)來先加。例2

①188＋873②548＋996③9898＋203解：①式=（188+12）+（873-12）（熟練之后，此步可略）＝200+861=1061②式=（548-4）＋（996＋4）

=544+1000=1544③式=（9898＋102）＋（203-102）

=10000+101=10101第2講加法的巧算3.拆出補(bǔ)數(shù)來先加。解：①式=（18812第2講

加法的巧算隨堂練習(xí)：巧算下面各題：196+365254＋103第2講加法的巧算隨堂練習(xí)：13第2講

加法的巧算1、直接寫出計(jì)算結(jié)果。①1000-547②100000-85426③11111111110000000000-1111111111④78053000000-78053第2講加法的巧算1、直接寫出計(jì)算結(jié)果。14第2講

加法的巧算

2、用簡便方法求和。①536+（541+464）+459②588＋264＋148③8996＋3458＋7546④567+558+562＋555＋563第2講加法的巧算2、用簡便方法求和。15第3講

乘法的巧算例1

一個(gè)數(shù)×10，數(shù)后添0；一個(gè)數(shù)×100，數(shù)后添00；一個(gè)數(shù)×1000，數(shù)后添000；以此類推。如：15×10=150

15×100=1500

15×1000＝15000第3講乘法的巧算例116第3講

乘法的巧算隨堂練習(xí)：計(jì)算：29×1035×10048×1000第3講乘法的巧算隨堂練習(xí)：17第3講

乘法的巧算例2

一個(gè)數(shù)×9，數(shù)后添0，再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)×99，數(shù)后添00，再減此數(shù)；一個(gè)數(shù)×999，數(shù)后添000，再減此數(shù)；……以此類推。如：12×9＝120-12＝108

12×99＝1200－12＝1188

12×999＝12000-12=11988第3講乘法的巧算例218第3講

乘法的巧算隨堂練習(xí)：計(jì)算：16×916×9916×999第3講乘法的巧算隨堂練習(xí)：19第3講

乘法的巧算例3

一個(gè)偶數(shù)乘以5，可以除以2添上0。如：6×5＝30

16×5＝80

116×5=580。第3講乘法的巧算例320第3講

乘法的巧算隨堂練習(xí)：計(jì)算：26×548×5214×5第3講乘法的巧算隨堂練習(xí)：21第3講

乘法的巧算拓展訓(xùn)練用簡便方法計(jì)算。①17×100②1112×5③23×9④23×99⑤23×99

第3講乘法的巧算拓展訓(xùn)練22第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形小猴是個(gè)十分聰明的孩子，一次到豬大嬸家做課。到那兒一看，門上有一道題，請(qǐng)你說出圖中有幾個(gè)長方形，然后在門上按幾下門鈴，門就會(huì)自動(dòng)打開。同去的小熊一看圖形脫口而出是6個(gè)長方形，又急忙跑去按了6下門鈴，可門就是打不開。小猴見了，走到門前按了幾下，門打開了。那么小猴按幾下呢？小熊為什么打不開呢？

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形小猴是個(gè)十分聰明的孩子，一次到豬大嬸23第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形例1下圖中有幾條線段？

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形例124第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形分析：在這幅圖中一條一條地沒有規(guī)律地?cái)?shù)往往會(huì)少數(shù)其中的一條或幾條線段。我們可以按一定的規(guī)律去數(shù)。方法一：以A點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有：AB、AC、AD、AE五條，從點(diǎn)出發(fā)的線段有BC、BD、BE、BF,4條，從C點(diǎn)出發(fā)的線段有：CD、CE、CF,3條，以D點(diǎn)為左端點(diǎn)的線段有DE,1條。方法二：由A點(diǎn)出發(fā)的線段有：AB、AC、AD、AE，4條，倒著4+3+2+1=10（條）。

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形分析：25第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形隨堂練習(xí)：數(shù)一數(shù)下面的圖形中共有多少條線段？

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形隨堂練習(xí)：26第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形例2數(shù)一數(shù)下圖中有幾個(gè)三角形？

分析：這個(gè)題目也可以用數(shù)線段的方法來解。在圖中找到4個(gè)基本三角形，再依次找有2個(gè)基本三角形的三角形、有3個(gè)基本三角形的三角形、有4個(gè)基本三角形的三角形，也可以依次以AB為起始邊找三角形，找出有4個(gè)三角形，然后4+3+2+1=10.第4講一個(gè)不少數(shù)圖形例2分析：這個(gè)題目也可以用數(shù)線段的方27第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形隨堂練習(xí)：數(shù)一數(shù)下圖中有多少個(gè)三角形？

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形隨堂練習(xí)：28第4講

一個(gè)不少數(shù)圖形拓展訓(xùn)練

第4講一個(gè)不少數(shù)圖形拓展訓(xùn)練29第5講

巧算周長專題簡析：正方形周長＝邊長×4，長方形周長＝（長＋寬）×2＝長×2＋寬×2這兩個(gè)計(jì)算公式看起來十分簡單，但用途卻十分廣泛。利用它們可以巧求一些復(fù)雜圖形的周長。一、運(yùn)用平移、翻轉(zhuǎn)的方法改變圖形的形狀，巧算周長．

第5講巧算周長專題簡析：30第5講

巧算周長例11．移動(dòng)哪幾根火柴，就能使它變成正方形？怎樣移？火柴的總根數(shù)變沒變？周長是多少根？你是怎樣算的？

第5講巧算周長例131第5講

巧算周長例12．下面各圖形行、列之間點(diǎn)與點(diǎn)的距離都是一厘米，幾號(hào)圖形的周長與其它3個(gè)不同？你是怎樣想的？

小結(jié)：有些圖形通過將線段平移或翻轉(zhuǎn)，可轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的長方形、正方形，從而便于計(jì)算他們的周長．對(duì)于這些圖形，這是一個(gè)巧方法。第5講巧算周長例1小結(jié)：有些圖形通過將線段平移或翻轉(zhuǎn)，32第5講

巧算周長隨堂練習(xí)：求下面圖形的周長。（單位：厘米）

第5講巧算周長隨堂練習(xí)：33第5講

巧算周長二、重新認(rèn)識(shí)長、寬或去掉拼合處的邊，巧算周長．

第5講巧算周長二、重新認(rèn)識(shí)長、寬或去掉拼合處的邊，巧算34第5講

巧算周長例21．求邊長是1厘米的正方形的周長．2．用2個(gè)正方形拼成一個(gè)長方形，這個(gè)長方形的周長是正方形的2倍嗎？(拼一拼，算一算)

第5講巧算周長例235第5講

巧算周長隨堂練習(xí)：你能用4個(gè)小正方形拼成一個(gè)長方形或正方形，并算出它們的周長嗎？思考：(1)為什么圖②的周長比圖①的周長??？(拼合處越多，周長越小)(2)4個(gè)小正方形還可以怎樣拼？你能想出與眾不同的拼法，并算出它的周長嗎？(3)你發(fā)現(xiàn)了周長的大小與什么有關(guān)系？第5講巧算周長隨堂練習(xí)：思考：36第5講

巧算周長拓展訓(xùn)練1、兩個(gè)長7厘米，寬3厘米的長方形，拼成一個(gè)大長方形，怎樣拼周長最大？2、有兩個(gè)相同的長方形，長7cm，寬3cm，如圖疊放，求圖形的周長．

第5講巧算周長拓展訓(xùn)練37第5講

巧算周長拓展訓(xùn)練3、把3個(gè)邊長6厘米的正方形拼成一個(gè)大的長方形。大的長方形的周長是多少厘米？4、兩個(gè)同樣的長方形拼成一個(gè)正方形，其周長與這兩個(gè)長方形的周長有什么關(guān)系？

第5講巧算周長拓展訓(xùn)練38第6講

有余數(shù)的除法在有余數(shù)的除法中，要記?。河鄶?shù)必須比除數(shù)小，也就是除數(shù)必須比余數(shù)大。被除數(shù)=商×除數(shù)＋余數(shù)。解答這類題目的關(guān)鍵是要先根據(jù)除數(shù)與余數(shù)的關(guān)系，由除數(shù)推出余數(shù)可能是哪些數(shù)，或由余數(shù)推出除數(shù)可能是哪些數(shù)，再根據(jù)條件與除法中各部分之間的關(guān)系，便可解決問題。

第6講有余數(shù)的除法在有余數(shù)的除法中，要記?。?9第6講

有余數(shù)的除法例1在算式（

）÷7=（

）……（

）中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？

分析與解答：根據(jù)被除數(shù)=商×除數(shù)＋余數(shù)，除數(shù)是7，被除數(shù)就應(yīng)是7的倍數(shù)多1、2、3……即8、9、10……；15、16、17……；22、23、24……第6講有余數(shù)的除法例1分析與解答：40第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)下列算式中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？（

）÷3=（

）……（

）

（

）÷4=（

）……（

）（

）÷5=（

）……（

）

（

）÷6=（

）……（

）

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)41第6講

有余數(shù)的除法例2在算式（）÷（

）=（

）……6中，商和除數(shù)相等，被除數(shù)最小是幾？

分析與解答：要求“被除數(shù)最小是幾？”則商和除數(shù)都應(yīng)是最小的，根據(jù)“余數(shù)必須比除數(shù)小”，除數(shù)和商應(yīng)是7，被除數(shù)是：7×7＋6=55第6講有余數(shù)的除法例2分析與解答：42第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)下列算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？（

）÷（

）=（

）……4（

）÷（

）=（

）……7（

）÷（

）=（

）……8（

）÷（

）=（

）……10

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)43第6講

有余數(shù)的除法例3算式12÷（

）=（

）……（

）中，不同的余數(shù)有幾個(gè)？

分析與解答：

當(dāng)除數(shù)是1、2、3、4、6、12時(shí)，都沒有余數(shù)。只有當(dāng)除數(shù)是5、7、8、9、10、11時(shí)，才有余數(shù)。當(dāng)除數(shù)是5時(shí)，余數(shù)是2；當(dāng)除數(shù)是7時(shí)，余數(shù)是5；當(dāng)除數(shù)是8時(shí)，余數(shù)是4；當(dāng)除數(shù)是9時(shí)，余數(shù)是3；當(dāng)除數(shù)是10時(shí)，余數(shù)是2；當(dāng)除數(shù)是11時(shí)，余數(shù)是1。所以不同的余數(shù)有5個(gè)。第6講有余數(shù)的除法例3分析與解答：44第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)算式18÷（

）=（

）……（

）中，不同的余數(shù)有幾個(gè)？

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)45第6講

有余數(shù)的除法例4算式（

）÷（

）=15……6中，除數(shù)最小是幾？被除數(shù)最小是幾？

分析與解答：余數(shù)是6，根據(jù)“余數(shù)必須比除數(shù)小”，除數(shù)最小是7，被除數(shù)是：7×15＋6=111。答：除數(shù)最小是

7，被除數(shù)最小是111。第6講有余數(shù)的除法例4分析與解答：46第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)下列算式中，除數(shù)最小是幾？被除數(shù)最小是幾？（

）÷（

）=4……4（

）÷（

）=12……9（

）÷（

）=2……19（

）÷（

）=10……1

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)47第6講

有余數(shù)的除法例5算式（）÷5=8……（

）中，被除數(shù)最小是幾？最大是幾？

分析與解答：

除數(shù)是5，要求“被除數(shù)最小是幾”，余數(shù)就應(yīng)是最小的，即1。根據(jù)被除數(shù)=商×除數(shù)＋余數(shù)，除數(shù)是5，商是8，余數(shù)是1，被除數(shù)=5×8＋1=41。同理，要求“被除數(shù)最大是幾”，余數(shù)就應(yīng)是最大的，即4。被除數(shù)=5×8＋4=44。答：被除數(shù)最小是41，最大是44。第6講有余數(shù)的除法例5分析與解答：48第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)下列算式中，被除數(shù)最小是幾？最大是幾？（

）÷5=10……（

）

（

）÷6=3……（

）（

）÷8=4……（

）

（

）÷9=1……（

）

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)49第6講

有余數(shù)的除法例6算式29÷（

）=（

）……5中，除數(shù)和商各是多少？

分析與解答：

本題中商與除數(shù)的積=29－5=24；這樣除數(shù)與商的積是24就符合。第6講有余數(shù)的除法例6分析與解答：50第6講

有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)下列算式中，除數(shù)和商各是多少？19÷（

）=（

）……534÷（

）=（

）……422÷（

）=（

）……647÷（

）=（

）……1

第6講有余數(shù)的除法隨堂練習(xí)51第6講

有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練1、下列算式中，商和余數(shù)相等，被除數(shù)可以是哪些數(shù)？（

）÷2=（

）……（

）

（

）÷11=（

）……（

）2、下列算式中，除數(shù)和商相等，被除數(shù)最小是幾？（

）÷（

）=（

）……2（

）÷（

）=（

）……5

第6講有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練52第6講

有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練3、算式15÷（

）=（

）……（

）中，不同的余數(shù)有幾個(gè)？4、下列算式中，除數(shù)最小是幾？被除數(shù)最小是幾？（

）÷（

）=2……3（

）÷（

）=7……8（

）÷（

）=18……2（

）÷（

）=4……10

第6講有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練53第6講

有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練5、下列算式中，被除數(shù)最小是幾？最大是幾？（

）÷10=7……（

）

（

）÷3=9……（

）（

）÷4=6……（

）

（

）÷15=4……（

）6、下列算式中，除數(shù)和商各是多少？18÷（

）=（

）……625÷（

）=（

）……734÷（

）=（

）……929÷（

）=（

）……9第6講有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練54第6講

有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練7、甲、乙兩數(shù)的和是16，甲數(shù)除以乙數(shù)商2余1，求甲數(shù)和乙數(shù)各是多少？8、兩個(gè)數(shù)相除，商是6，余數(shù)是2，被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的和是31，求除數(shù)是多少？

第6講有余數(shù)的除法拓展訓(xùn)練55第7講

平均數(shù)問題王老師一人教三年級(jí)一班和二班兩個(gè)班的數(shù)學(xué)，期末檢測(cè)時(shí)用的是同一張?jiān)嚲?，為了比較一班和二班哪個(gè)班更好一些，王老師就把這兩個(gè)班的期末考試成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并求出了兩個(gè)班的平均成績，結(jié)果發(fā)現(xiàn)一班的平均成績是92分，二班的平均成績是93分，很明顯二班的數(shù)學(xué)成績要好于一班的成績，這就說明二班的成績總體上要好于一班，這樣問題就是平均問題。平均數(shù)問題在我們的日常生活中有廣泛的應(yīng)用，如：求平均距離、平均價(jià)格、平均分……等。

第7講平均數(shù)問題王老師一人教三年級(jí)一班和二班兩個(gè)班的數(shù)56第7講

平均數(shù)問題例1小王、小剛、小紅、小里、小明分別有圖書42、20、53、33、32本。平均每人有多少本圖書？

分析：求平均每人有多少本圖書，就是把5個(gè)人的本數(shù)加在一起，再平均分成5份，也可選擇一個(gè)數(shù)如35作為基準(zhǔn)，再把每個(gè)人的圖書本數(shù)與35的差算出來，將這些差相加，相減，多出的作為加數(shù)，（如42=35+7，7作為加數(shù)），不足的作為減數(shù)，（如32=35-3，3作為減數(shù)），所得結(jié)果除以總?cè)藬?shù)，再加上基準(zhǔn)數(shù)，就是要求的平均數(shù)。解答：（1）：（33+42+20+53+32）÷5=36（本）（2）35+(7-2+18-15-3)÷5=36(本)第7講平均數(shù)問題例1分析：57第7講

平均數(shù)問題隨堂練習(xí)：學(xué)校游泳隊(duì)5名同學(xué)的身高分別是：147厘米、148厘米、151厘米、152厘米、152厘米，求游泳隊(duì)同學(xué)的平均身高？

第7講平均數(shù)問題隨堂練習(xí)：58第7講

平均數(shù)問題例2鋼鐵廠在一周內(nèi)煉一批鋼材，前3天平均每天煉46噸，后4天每天煉53噸，這個(gè)鋼廠平均每天煉多少噸？

分析：在本題中使用的數(shù)量關(guān)系式時(shí)，且記是總噸數(shù)除以總份數(shù)，才是平均數(shù)，因此我們首先要找出總噸數(shù)：前3天共煉鋼46×3（噸），后4天共煉鋼：53×4（噸），7天共煉鋼：46×3+53×4=350（噸），最后再用總噸數(shù)350噸除以總份數(shù)7天就是平均每天煉鋼多少噸？解答：（46×3+53×4）÷（3+4）=50（噸）第7講平均數(shù)問題例2分析：59第7講

平均數(shù)問題隨堂練習(xí)：某校三年級(jí)同學(xué)參加植樹活動(dòng)，（1）班和（2）班平均每班植樹38棵，（3）班和（4）班平均每班植樹44棵。該校三年級(jí)平均每班植樹多少棵？

第7講平均數(shù)問題隨堂練習(xí)：60第7講

平均數(shù)問題拓展訓(xùn)練1、小紅在一學(xué)期的五此單元檢測(cè)中的得分分別是87、100、96、95、92.求小紅五此檢測(cè)的平均成績？2、敬老院有18位老奶奶，平均年齡是75歲、有12位老爺爺，平均年齡是70歲，這些老人的平均年齡是多少歲？

第7講平均數(shù)問題拓展訓(xùn)練61第7講

平均數(shù)問題拓展訓(xùn)練3、孫杰同學(xué)在期末考試中語文、數(shù)學(xué)、兩科的平均成績是93分，后來英語考了92分，科學(xué)90分，他這四門的平均成績是多少分？

4、用4個(gè)同樣的杯子裝水，水面的高度分別是9厘米，6厘米，5厘米，8厘米。這4個(gè)杯子里的水面的平均高度是多少厘米？

5、工人叔叔修機(jī)器，第一天修了6臺(tái)，第二天修了8臺(tái)，第三天上午修了3臺(tái)，下午修了4臺(tái)。平均每天修了多少臺(tái)？

第7講平均數(shù)問題拓展訓(xùn)練62第8講

等量代換在曹沖稱象的故事中，為什么大象的重量可以換成一船石塊的重量呢？因?yàn)閮纱未鲁梁蟊凰嫜蜎]的深度一樣。只有當(dāng)大象與一船石頭一樣重（重量相等）時(shí)，船才會(huì)被淹沒到一樣深。在這個(gè)故事中，就是運(yùn)用了“等量代換”的思考方法，兩個(gè)完全相等的量，可以互相替換。

第8講等量代換在曹沖稱象的故事中，為什么大象的重量可以63第8講

等量代換例1◎＋◎＋□=25……（1）□=◎＋◎＋◎……（2）◎=？□=？

分析：把兩個(gè)算式編號(hào)為（1）式、（2）式。把（1）式中的□用（2）式中的三個(gè)◎代換，可得◎＋◎＋◎＋◎＋◎=25也就是◎×5=25解：◎=25÷（2＋3）=5□=5＋5＋5=15

第8講等量代換例1分析：把兩個(gè)算式編號(hào)為（1）式、（264第8講

等量代換隨堂練習(xí)想一想下面的符號(hào)代表什么數(shù)：已知：☆＋☆＋○=35，○=☆＋☆＋☆＋☆＋☆☆代表（

），○代表（

）。

第8講等量代換隨堂練習(xí)65第8講

等量代換例2百貨店運(yùn)來300雙球鞋，分別裝在2個(gè)木箱、6個(gè)紙箱里。如果2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的球鞋一樣多，想一想：每個(gè)木箱和每個(gè)紙箱各裝多少雙球鞋？

分析：根據(jù)“2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的球鞋一樣多”，把木箱換成紙箱，也就是說，把300雙球鞋全部用紙箱裝，不用木箱裝。根據(jù)已知條件，2個(gè)木箱里的球鞋剛好裝滿4個(gè)紙箱，再加上原來已裝好的6個(gè)紙箱，一共是10個(gè)紙箱。這樣，題目就變?yōu)椤鞍?00雙球鞋平均裝在10個(gè)紙箱里，平均每個(gè)紙箱裝多少雙球鞋？”可以求出每個(gè)紙箱裝多少雙鞋，也就能求出一個(gè)木箱能裝多少雙鞋。解300÷（2×2＋6）=300÷10=30（雙）30×2=60（雙）答：每個(gè)紙箱里裝30雙球鞋，每個(gè)木箱里裝60雙球鞋。第8講等量代換例2分析：根據(jù)“2個(gè)紙箱同1個(gè)木箱裝的66第8講

等量代換隨堂練習(xí)：媽媽在超市買了6盒牛奶和5包餅干，一共用去了27元，已知3盒牛奶的價(jià)錢與2包餅干的價(jià)錢相等。你會(huì)算算1盒牛奶和1盒餅干各需要多少元嗎？

第8講等量代換隨堂練習(xí)：67第8講

等量代換拓展訓(xùn)練1、一筐蘋果等于兩筐梨，兩筐梨等于四筐櫻桃，兩筐蘋果等于多少筐櫻桃?2、一只大象的重量等于四只猴的重量,兩只猴的重量等于四只鼠的重量,一只象的重量等于幾只鼠的重量?

第8講等量代換拓展訓(xùn)練68第8講

等量代換拓展訓(xùn)練3、小明的錢加兩元等于小紅的錢減去3元,小紅的錢比小明的錢多多少元?

不好意思,只想得到這么多了.將就用吧!4、食品柜中的大中小三種瓶子都裝著果汁，每只小瓶裝1千克，每只大瓶裝的是中瓶的2倍，1只中瓶裝的是小瓶的3倍，食品柜有三層，每層裝的果汁的總重相等，這只食品柜每層各裝了多少千克果汁？

第8講等量代換拓展訓(xùn)練69第9講

雞兔同籠問題例1雞兔共10只，30只腳，問：雞兔各多少只？

首先接觸這個(gè)問題時(shí)，為了方便理解，可以先畫圖做：先畫10個(gè)頭，假設(shè)全是雞的話，就在每個(gè)頭下面畫兩個(gè)腳，這樣就畫了20個(gè)腳，可是比我們實(shí)際的少10只腳，因?yàn)榛\子里不僅有2只腳的雞還有4只腳的兔，一只兔換一只雞就多了兩只腳，換一個(gè)就多兩只，畫上兩只，再換一個(gè)就再畫兩只，就這樣一直畫，把剛才差的十只腳都畫上，就能看出是5只兔換5只雞了。這是畫圖的方法，是為了孩子能更好的理解題目，這是二年級(jí)的做法，因?yàn)閿?shù)量多的時(shí)候畫圖就不能用了雞兔共100個(gè)頭，240只腳，問：雞兔各多少只？

假設(shè)法是學(xué)習(xí)雞兔同籠問題的關(guān)鍵！所以一定要讓孩子寫出假設(shè)什么。假設(shè)100個(gè)頭都是雞的，那么每只雞2只腳，一個(gè)就有2×100=200只腳，可是實(shí)際是240只腳，為什么實(shí)際比我們想象的多240-200=40只呢？因?yàn)椴粌H有腳少的雞，還有腳多的兔。一只兔換一只雞就多4-2=2只腳第9講雞兔同籠問題例1首先接觸這個(gè)問題時(shí)，為了方便理解70第9講

雞兔同籠問題例1雞兔共10只，30只腳，問：雞兔各多少只？

總共多40只腳，換一次多2只，所以共換了40/2=20次這20是雞還是兔呢？因?yàn)樽铋_始我們假設(shè)全是雞，所以肯定是換上的是兔，所以20是兔。共有100只，20只是兔，所以雞有100-20=80只。過程：假設(shè)100個(gè)頭都是雞

共有2×100=200只腳

實(shí)際多240-200=40只

1兔換1雞

共換40÷2=20次——兔多4-2=2只腳

100-20=80只——雞

雞兔共100個(gè)頭，雞比兔多80只腳，雞兔各多少只？

雞兔同籠有三大類問題，這是第二大類，也是最不好理解的。

每只的腳數(shù)

只數(shù)

共有的腳數(shù)雞

2

4

8兔

4

2

8

（共有的腳數(shù)是自己假設(shè)都有8只，那么雞兔各有幾只）第9講雞兔同籠問題例1總共多40只腳，換一次多2只，所71第9講

雞兔同籠問題例1雞兔共10只，30只腳，問：雞兔各多少只？

能看出雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍，所以可以得出結(jié)論：當(dāng)雞兔的腳數(shù)一樣時(shí)，雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍。這句話不好記，最好記成：雞占2份，兔占1份，共3份。為了能用這個(gè)結(jié)論，就要先符合前提，雞兔腳數(shù)一樣。雞比兔多80只腳，為了讓雞兔腳數(shù)一樣，要把少的添上，所以要增加80只兔腳，一只兔4只腳，就相當(dāng)于添上80÷4=20只兔，現(xiàn)在就有100+20=120只動(dòng)物了，這120只是雞兔腳數(shù)一樣的，所以就可以用剛才的結(jié)論，120只是總數(shù)，總數(shù)是3份，所以一份是120÷3=40只（現(xiàn)在不要用雞2份，兔1份求雞兔各多少只，因?yàn)橥玫臄?shù)變了，所以容易錯(cuò)）既然兔的數(shù)變了，求兔就難，所以我們先求雞的數(shù)量，雞占2份，所以雞是2×40=80只共有100只，雞80只，所以兔有100－80=20只。（其實(shí)兔可以用1×40－20=20做，可這樣孩子容易忘記兔子增加了20只，很容易錯(cuò)）第9講雞兔同籠問題例1能看出雞的只數(shù)是兔的只數(shù)的2倍，72第9講

雞兔同籠問題例1雞兔共10只，30只腳，問：雞兔各多少只？

過程：增加80只兔腳增加80/4=20只兔現(xiàn)在共100+20=120只動(dòng)物——3份

一份是120÷3=40只

因?yàn)橥米訑?shù)變了所以先求雞的數(shù)

雞占2份，2×40=80只

兔：100－80=20只其實(shí)孩子很容易錯(cuò)在，明明是增加兔腳，在算相當(dāng)于增加多少只兔時(shí)，除以2所以一定要明確：增加兔腳除以4，增加雞腳除以2。第9講雞兔同籠問題例1過程：增加80只兔腳73第9講

雞兔同籠問題隨堂練習(xí)：有若干只雞和兔在一個(gè)籠子里，從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94只腳，求籠中各有雞和兔多少只？

第9講雞兔同籠問題隨堂練習(xí)：74第9講

雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練1、小麗的儲(chǔ)蓄罐中有100枚硬幣。她把其中的貳分幣全換成等值的伍分幣，硬幣總數(shù)變成73枚；然后她又把壹分幣換成等值的伍分幣，硬幣總數(shù)變?yōu)?3枚。那么她的儲(chǔ)蓄罐中共有

元。2、三種昆蟲共18只，共有20對(duì)翅膀116條腿。其中每只蜘蛛無翅8條腿，每只蜻蜓是2對(duì)翅膀6條腿，蟬是一對(duì)翅膀6條腿。問這三種昆蟲各多少只？

第9講雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練75第9講

雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練3、一張數(shù)學(xué)試卷，只有25道選擇題。做對(duì)一題得4分，做錯(cuò)一題倒扣1分；如不做，不得分也不扣分。若小明得了78分，那么他做對(duì)

題，做錯(cuò)

題，不做

題。4、某雜志每期定價(jià)2元5角，全年共出12期。某班一些學(xué)生訂半年，其余學(xué)生訂全年，共需1320元；如果訂半年的改訂全年，訂全年的改訂半年，那么共需訂費(fèi)1245元。問這個(gè)班共有多少名學(xué)生？

第9講雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練76第9講

雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練5、已知甲、乙、丙3位同學(xué)共解出100道數(shù)學(xué)題，且他們3人每人都解出其中的60道題。若將其中只有1人解出的題叫做“難題”，3人都解出的題叫做“容易題”，則“難題”比“容易題”多多少道？

第9講雞兔同籠問題拓展訓(xùn)練77第10講

趣題巧解為了考考同學(xué)們的智力和靈氣，先提幾個(gè)問題：一張長方形的紙，用剪刀剪掉一個(gè)角，還剩幾個(gè)角？把一根毛線對(duì)折兩次后剪一刀，毛線被剪成了幾段？一樹枝上有10只鳥，用汽槍打中了一只，樹枝上還剩幾只鳥？這類智力問題很有趣，但回答時(shí)要小心，稍有不慎，就可能落入“圈套”。要想正確地解答這類題目，一是要全面考慮各種情況，二是要充分運(yùn)用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)，再就是還需要些思考問題的靈氣和非常規(guī)的思考方法。

第10講趣題巧解為了考考同學(xué)們的智力和靈氣，先提幾個(gè)問78第10講

趣題巧解例1一張長方形紙片有四個(gè)角，用剪刀沿直線剪掉一個(gè)角后，還剩幾個(gè)角？

分析：由于已知“剪掉一個(gè)角”，但沒有限制如何剪，所以必須對(duì)這個(gè)已知條件中的“剪法”有一個(gè)全面的考慮。否則，不加思索地順口答出“還剩3個(gè)角”，答案就不全面了。當(dāng)我們仔細(xì)考慮“剪法”的各種可能性后，再根據(jù)角的定義，就會(huì)得到全面而正確的答案。解：由于剪掉長方形紙片的一個(gè)角有下頁圖所示的三種不同剪法(圖中陰影部分為剪掉的角)，所以，可能還有5個(gè)角、4個(gè)角或3個(gè)角。第10講趣題巧解例1分析：由于已知“剪掉一個(gè)角”，但沒79第10講

趣題巧解隨堂練習(xí)：王大爺帶了一籃青菜、一匹狼、一只羊要乘船到河對(duì)面去，按規(guī)定，他每次只能帶一樣?xùn)|西過河，但沒人的時(shí)候，狼會(huì)吃羊，羊會(huì)吃青菜。請(qǐng)你給王大爺設(shè)計(jì)一個(gè)過河方案。

第10講趣題巧解隨堂練習(xí)：80第10講

趣題巧解例237個(gè)同學(xué)要坐船過河，渡口處只有一只能載5人的小船(無船工)。他們要全部渡過河去，至少要使用這只小船渡河多少次？

分析：如果由37÷5=7……2，得出7+1=8次，那么就錯(cuò)了。因?yàn)楹鲆暳酥辽僖?個(gè)人將小船劃回來這個(gè)特定的要求。實(shí)際情況是：小船前面的每一個(gè)來回至多只能渡4個(gè)人過河去，只有最后一次小船不用返回才能渡5個(gè)人過河。解：因?yàn)槌詈笠淮慰梢远?個(gè)人外，前面若干個(gè)來回每個(gè)來回只能渡過4個(gè)人，每個(gè)來回是2次渡河，所以至少渡河

[(37-5)÷4]×2+1=17(次)。答：至少要渡河17次。第10講趣題巧解例2分析：如果由37÷5=7……2，81第10講

趣題巧解隨堂練習(xí)：有一個(gè)獵人帶了一條獵狗，一只兔子和一筐青菜，要乘船到河對(duì)面去。河里只有一條小船，因?yàn)榇?，獵人一次只能帶一樣?xùn)|西過河。但是他不在時(shí)，獵狗會(huì)咬兔子，兔子又會(huì)吃青菜，請(qǐng)同學(xué)們幫他想一想，應(yīng)該怎樣安排過河？

第10講趣題巧解隨堂練習(xí)：82第10講

趣題巧解拓展訓(xùn)練1、畫三條線段，能構(gòu)成幾個(gè)角？2、用6根長短、粗細(xì)一樣的火柴棍拼出四個(gè)等邊三角形(即三邊相等的三角形)，如何拼？

第10講趣題巧解拓展訓(xùn)練83第10講

趣題巧解拓展訓(xùn)練3、一只掛鐘，1點(diǎn)整敲1下，2點(diǎn)整敲2下……12點(diǎn)整敲12下，每半點(diǎn)整敲1下。一晝夜(24時(shí))一共要敲多少下？4、打靶時(shí)，小林和小峰各打了三槍，環(huán)數(shù)為1，2，4，5，7，9環(huán)。已知小林的總環(huán)數(shù)比小峰的總環(huán)數(shù)多6環(huán)。哪幾環(huán)是小峰打的？

第10講趣題巧解拓展訓(xùn)練84第10講

趣題巧解拓展訓(xùn)練5、五個(gè)小朋友圍坐在一個(gè)大圓桌邊，按順時(shí)針方向依次編為1，2，3，4，5號(hào)。老師給1，2，3，4，5號(hào)小朋友分別發(fā)1，2，3，4，5個(gè)蘋果。從5號(hào)小朋友開始，依次按順時(shí)針方向看，若鄰坐的蘋果比自己少，則送給對(duì)方一個(gè)；若鄰坐的蘋果不比自己少就不送。照此做下去，到第三圈為止，他們每人手中各有多少個(gè)蘋果？

第10講趣題巧解拓展訓(xùn)練85第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的手段，而規(guī)律的找尋既需要敏銳的觀察力，又需要嚴(yán)密的邏輯推理能力.為培養(yǎng)這方面的能力，本講將從幾何圖形的問題入手，逐步分析應(yīng)從哪些方面來觀察思考。因此，學(xué)習(xí)本講的知識(shí)有助于養(yǎng)成全面地、由淺入深、由簡到繁觀察思考問題的良好習(xí)慣，可以逐步掌握通過觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律并利用規(guī)律來解決問題的方法。

第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律找規(guī)律是解決數(shù)學(xué)問題的一種重86第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律例1

按順序觀察圖5—1與圖5—2中圖形的變化，想一想，按圖形的變化規(guī)律，在帶“？”的空格處應(yīng)畫什么樣的圖形？

解：在圖5—1的“？”處應(yīng)是三角形△，在圖5—2的“？”處應(yīng)是第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律例1解：在圖5—1的“？”87第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題2：請(qǐng)觀察右圖中已有的幾個(gè)圖形，并按規(guī)律填出空白處的圖形:分析：首先可以看出圖形的第一行、第二列都是由一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形所組成的；其次，在所給出的圖形中，我們發(fā)現(xiàn)各行、各列均沒有重復(fù)的圖形，而且所給出的圖形中，只有圓、三角形和正方形三種圖形.由此，我們知道這個(gè)圖的特點(diǎn)是：①僅由圓、三角形、正方形組成；②各行各列中，都只有一個(gè)圓、一個(gè)三角形和一個(gè)正方形。因此，根據(jù)不重不漏的原則，在第二行的空格中應(yīng)填一個(gè)三角形，而第三行的空格中應(yīng)填一個(gè)正方形。第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題2：請(qǐng)觀察右圖中已有的幾88第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題3：按順序觀察下圖中圖形的變化規(guī)律，并在“？”處填上合適的圖形.分析：顯然，圖（a）、圖（b）中都是圓，而圖（c）中卻不是圓；同時(shí)，圖（a）、（c）中都有3個(gè)圖形，而（b）中只有兩個(gè).由此可知：圖（a）到（b）的變化規(guī)律對(duì)應(yīng)于圖（c）到（d）的變化規(guī)律.再注意到圖（a）到圖（b）中圖形在繁簡、多少、位置幾方面的變化，就容易得到圖（d）中的圖形了。解：在上圖的“？”處應(yīng)填如下圖形.第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題3：按順序觀察下圖中圖形89第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題4：下圖中的圖形是按一定規(guī)律排列的，請(qǐng)仔細(xì)觀察，并在“？”處填上適當(dāng)?shù)膱D形.第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律例題4：下圖中的圖形是按一定90第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律分析：本題中，首先可以注意到每個(gè)圖形都由大、小兩部分組成，而且，大、小圖形都是由正方形、三角形和圓形組成，圖中的任意兩個(gè)圖形均不相同.因此，我們不妨試著把大、小圖形分開來考慮，再一次觀察后我們可以發(fā)現(xiàn)：對(duì)于大圖形來說，每行每列的圖形決不重復(fù)。因此，每行每列都只有一個(gè)大正方形，一個(gè)大三角形和一個(gè)大圓，對(duì)于小圖形也是如此，這樣，“？”處的圖形就不難得出。解：圖中，（b）、（f）、（h）處的圖形分別應(yīng)填下面的圖甲、圖乙、圖丙.小結(jié)：對(duì)于較復(fù)雜的圖形來說，有時(shí)候需要把圖形分開幾部分來單獨(dú)考慮其變化規(guī)律，從而把復(fù)雜問題簡單化。第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律分析：本題中，首先可以注意到91第11講

找?guī)缀螆D形的規(guī)律拓展訓(xùn)練1、按順序觀察下面圖形，并按其變化規(guī)律在“？”處填上合適的圖形。第11講找?guī)缀螆D形的規(guī)律拓展訓(xùn)練92第12講

巧填算式在這一講中介紹填算式的未知數(shù)的方法.我們將根據(jù)算式中給定的運(yùn)算關(guān)系或數(shù)量關(guān)系，利用運(yùn)算法則和推理的方法把待定的數(shù)字確定出來.研究和解決這一類問題對(duì)學(xué)生觀察能力、分析和解決問題的能力，以及聯(lián)想、試探、歸納等思維能力的培養(yǎng)有重要的作用。

第12講巧填算式在這一講中介紹填算式的未知數(shù)的方法.我93第12講

巧填算式例1在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.第12講巧填算式例1在下面算式的空格中，各填入一個(gè)合94第12講

巧填算式例2在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。第12講巧填算式例295第12講

巧填算式例3用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)字組成下面的加法算式，每個(gè)數(shù)字只許用一次，現(xiàn)已寫出三個(gè)數(shù)字，請(qǐng)把這個(gè)算式補(bǔ)齊.第12講巧填算式例396第12講

巧填算式例4在下面算式的空格內(nèi)填上合適的數(shù)字，使算式成立。分析：由于被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是兩位數(shù)，差是一位數(shù)，所以被減數(shù)的首位數(shù)字為1，且十位必向百位借1，由于差是一位數(shù)，所以個(gè)位必向十位借1.因此，被減數(shù)的個(gè)位數(shù)字為0，被減數(shù)的十位數(shù)字也為0。第12講巧填算式例4分析：由于被減數(shù)是三位數(shù)，減數(shù)是97第12講

巧填算式例5在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立。分析：這是一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)四位數(shù)，差仍為四位數(shù).先看個(gè)位，由于第12講巧填算式例5分析：這是一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)四位數(shù)98第12講

巧填算式例6在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的數(shù)字，使算式成立.分析：這是一道加減混合的填算式題，為了便于分析，可以把加法、減法分開考慮：觀察這兩個(gè)算式，減法算式空格內(nèi)的數(shù)字容易填。①減法算式由于被減數(shù)是四位數(shù)，減數(shù)是三位數(shù)，差為一位數(shù)，所以被減數(shù)為1000，減數(shù)為999，因此，加法算式的和就已知了。②加法算式第12講巧填算式例6在下面算式的空格內(nèi)各填入一個(gè)合適的99第13講

整數(shù)的分拆整數(shù)的分拆，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為若干個(gè)自然數(shù)的和的形式，每一種表示方法，就是自然數(shù)的一個(gè)分拆。

整數(shù)的分拆是古老而又有趣的問題，其中最著名的是哥德巴赫猜想。在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競賽中，整數(shù)分拆的問題常常以各種形式出現(xiàn)，如，存在性問題、計(jì)數(shù)問題、最優(yōu)化問題等。

第13講整數(shù)的分拆整數(shù)的分拆，就是把一個(gè)自然數(shù)表示成為100第13講

整數(shù)的分拆例1小兵和小軍用玩具槍做打靶游戲，見下圖所示.他們每人打了兩發(fā)子彈。小兵共打中6環(huán)，小軍共打中5環(huán).又知沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)，并且彈無虛發(fā)。你知道他倆打中的都是哪幾環(huán)嗎？分析：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，要求每次打中的環(huán)數(shù)，可將6分拆6=1+5=2+4；同理，要求小軍每次打中的環(huán)數(shù)，可將5分拆5=1+4=2+3。由題意：沒有哪兩發(fā)子彈打到同一環(huán)帶內(nèi)并且彈無虛發(fā)，只可能是：小兵打中的是1環(huán)和5環(huán)，小軍打中的是2環(huán)和3環(huán)。第13講整數(shù)的分拆例1分析：已知小兵兩發(fā)子彈打中6環(huán)，101第13講

整數(shù)的分拆例2某個(gè)外星人來到地球上，隨身帶有本星球上的硬幣1分、2分、4分、8分各一枚，如果他想買7分錢的一件商品，他應(yīng)如何付款？買9分、10分、13分、14分和15分的商品呢？他又將如何付款？分析：這道題目的實(shí)質(zhì)是要求把7、9、10、13、14、15各數(shù)按1、2、4、8進(jìn)行分拆。

7=1+2+4

9=1+8

10=2+8

13=1+4+8

14=2+4+8

15=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。第13講整數(shù)的分拆例2分析：這道題目的實(shí)質(zhì)是要求把7、102第13講

整數(shù)的分拆例3電視臺(tái)要播放一部30集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？

分析：由于希望播出的天數(shù)盡可能地多，所以，在每天播出的集數(shù)互不相等的條件下，每天播放的集數(shù)應(yīng)盡可能地少。

我們知道，1+2+3+4+5+6+7=28。如果各天播出的集數(shù)分別為1，2，3，4，5，6，7時(shí)，那么七天共可播出28集，還剩2集未播出。由于已有過一天播出2集的情形，因此，這余下的2集不能再單獨(dú)于一天播出，而只好把它們分到以前的日子，通過改動(dòng)某一天或某二天播出的集數(shù)，來解決這個(gè)問題。例如，各天播出的集數(shù)安排為1，2，3，4，5，7，8或1，2，3，4，5，6，9都可以。

所以最多可以播7天。

第13講整數(shù)的分拆例3分析：由于希望播出的天數(shù)盡可能地103第13講

整數(shù)的分拆例3電視臺(tái)要播放一部30集電視連續(xù)劇，若要求每天安排播出的集數(shù)互不相等，則該電視連續(xù)劇最多可以播幾天？

說明：本題實(shí)際上是問，把正整數(shù)30分拆成互不相等的正整數(shù)之和時(shí)，最多能寫成幾項(xiàng)之和？也可以問，把一個(gè)正整數(shù)拆成若干個(gè)整數(shù)之和時(shí)，有多少種分拆的辦法？例如：

5=1+1+1+1+1=1+1+1+2，

=1+2+2

=1+1+3

=2+3

=1+4，共有6種分拆法（不計(jì)分成的整數(shù)相加的順序）。

第13講整數(shù)的分拆例3說明：本題實(shí)際上是問，把正整數(shù)3104第13講

整數(shù)的分拆例4有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：有多少種不同的支付方法？

分析與解：要付2角3分錢，最多只能使用4枚5分幣。因?yàn)槿?分和2分幣都用上時(shí)，共值12分，所以最少要用3枚5分幣。當(dāng)使用3枚5分幣時(shí)，5×3=15，23-15=8，所以使用2分幣最多4枚，最少2枚，可有

23=15+（2+2+2+2），

23=15+（2+2+2+1+1），23=15+（2+2+1+1+1+1），共3種支付方法。第13講整數(shù)的分拆例4分析與解：要付2角3分錢，最多只105第13講

整數(shù)的分拆例4有面值為1分、2分、5分的硬幣各4枚，用它們?nèi)ブЦ?角3分。問：有多少種不同的支付方法？

分析與解：當(dāng)使用4枚5分幣時(shí)，5×4=20，23-20=3，所以最多使用1枚2分幣，或不使用，從而可有23=20+（2+1），23=20+（1+1+1），共2種支付方法?？偣灿?種不同的支付方法。說明：本題是組合學(xué)中有限條件的整數(shù)分拆問題的一個(gè)特例。第13講整數(shù)的分拆例4分析與解：當(dāng)使用4枚5分幣時(shí)，5106第13講

整數(shù)的分拆例5把37拆成若干個(gè)不同的質(zhì)數(shù)之和，有多少種不同的拆法？將每一種拆法中所拆出的那些質(zhì)數(shù)相乘，得到的乘積中，哪個(gè)最小？

分析與解：37=3+5+29

=2+5+7+23=3+11+23，

=2+3+13+19=5+13+19

=7+11+19=2+5+11+19

=7+13+17=2+5+13+17

=2+7+11+17，共10種不同拆法，其中3×5×29=435最小。說明：本題屬于迄今尚無普遍處理辦法的問題，只是硬湊。比37小的最大質(zhì)數(shù)是31，但37-31=6，6不能分拆為不同的質(zhì)數(shù)之和，故不??；再下去比37小的質(zhì)數(shù)是29，37-29=8，而8=3+5。其余的分拆考慮與此類似。第13講整數(shù)的分拆例5分析與解：37=3+5+29107第13講

整數(shù)的分拆例6求滿足下列條件的最小自然數(shù)：它既可以表示為9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，又可以表示為10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和，還可以表示為11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和。分析與解：9個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個(gè)數(shù)的9倍，10個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第5個(gè)數(shù)和第6個(gè)數(shù)之和的5倍，11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和是其中第6個(gè)數(shù)的11倍。這樣，可以表示為9個(gè)、10個(gè)、11個(gè)連續(xù)自然數(shù)之和的數(shù)必是5，9和11的倍數(shù)，故最小的這樣的數(shù)是［5，9，11］=495。對(duì)495進(jìn)行分拆可利用平均數(shù)，采取“以平均數(shù)為中心，向兩邊推進(jìn)的方法”。例如，495÷10=49.5，則10個(gè)連續(xù)的自然數(shù)為45，46，47，48，49，（49.5），50，51，52，53，54。于是495=45+46+…+54。同理可得495=51+52+…+59=40+41+…+50。第13講整數(shù)的分拆例6分析與解：108第13講

整數(shù)的分拆例7:把12分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解：把12分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)，有1+11，2+10，3+9，4+8，5+7，6+6六種方法。它們的乘積分別是1×11=11，2×10=20，3×9=27，4×8=32，5×7=35，6×6=36。顯然，把12分拆成6+6時(shí)，有最大的積6×6=36。第13講整數(shù)的分拆例7:把12分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再109第13講

整數(shù)的分拆例8:把11分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再求出這兩個(gè)自然數(shù)的積，要使這個(gè)積最大，應(yīng)該如何分拆？分析與解：把11分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，當(dāng)不考慮加數(shù)的順序時(shí)，有1+10，2+9，3+8，4+7，5+6五種方法。它們的乘積分別是1×10=10，2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30。顯然，把11分拆成5+6時(shí)，有最大的積5×6=30。說明：由上面的兩個(gè)例子可以看出，在自然數(shù)n的所有二項(xiàng)分拆中，當(dāng)n是偶數(shù)2m時(shí)，以分成m+m時(shí)乘積最大；當(dāng)n是奇數(shù)2m+1時(shí)，以分成m+（m+1）時(shí)乘積最大。換句話說，把自然數(shù)S（S＞1）分拆為兩個(gè)自然數(shù)m與n的和，使其積mn最大的條件是：m=n，或m=n+1。第13講整數(shù)的分拆例8:把11分拆成兩個(gè)自然數(shù)的和，再110第13講

整數(shù)的分拆例9:試把1999分拆為8個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積最大。分析與解：反復(fù)使用上述結(jié)論，可知要使分拆成的8個(gè)自然數(shù)的乘積最大，必須使這8個(gè)數(shù)中的任意兩數(shù)相等或差數(shù)為1。因?yàn)?999=8×249+7，由上述分析，拆法應(yīng)是1個(gè)249，7個(gè)250，其乘積249×2507為最大。說明：一般地，把自然數(shù)S=pq+r（0≤r＜p，p與q是自然數(shù)）分拆為p個(gè)自然數(shù)的和，使其乘積M為最大，則M為qp-r×（q+1）r。第13講整數(shù)的分拆例9:試把1999分拆為8個(gè)自然數(shù)的111第13講

整數(shù)的分拆例10:若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？分析與解：設(shè)原來小球數(shù)最少的盒子里裝有a只小球，現(xiàn)在增加到了b只，由于小明沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子，這說明現(xiàn)在又有了一只裝有a個(gè)小球的盒子，這只盒子里原來裝有（a+1）個(gè)小球。同理，現(xiàn)在另有一個(gè)盒子里裝有（a+1）個(gè)小球，這只盒子里原來裝有（a+2）個(gè)小球。依此類推，原來還有一只盒子裝有（a+3）個(gè)小球，（a+4）個(gè)小球等等，故原來那些盒子中裝有的小球數(shù)是一些連續(xù)整數(shù)。第13講整數(shù)的分拆例10:若干只同樣的盒子排成一列，小112第13講

整數(shù)的分拆例10:若干只同樣的盒子排成一列，小聰把42個(gè)同樣的小球放在這些盒子里然后外出，小明從每只盒子里取出一個(gè)小球，然后把這些小球再放到小球數(shù)最少的盒子里去，再把盒子重排了一下。小聰回來，仔細(xì)查看，沒有發(fā)現(xiàn)有人動(dòng)過小球和盒子。問：一共有多少只盒子？分析與解：現(xiàn)在這個(gè)問題就變成了：將42分拆成若干個(gè)連續(xù)整數(shù)的和，一共有多少種分法，每一種分法有多少個(gè)加數(shù)？因?yàn)?2=6×7，故可將42看成7個(gè)6的和，又（7+5）+（8+4）+（9+3）是6個(gè)6，從而42=3+4+5+6+7+8+9，一共有7個(gè)加數(shù)。又因42=14×3，故可將42寫成13+14+15，一共有3個(gè)加數(shù)。又因42=21×2，故可將42寫成9+10+11+12，一共有4個(gè)加數(shù)。于是原題有三個(gè)解：一共有7只盒子、4只盒子或3只盒子。第13講整數(shù)的分拆例10:若干只同樣的盒子排成一列，小113第13講

整數(shù)的分拆例11:機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色（比如23可表示為兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少？請(qǐng)說明理由。分析與解：顯然1要染黃色，2=1+1也要染黃色，3=1+2，4=1+3=2+2，5=1+4=2+3，6=1+5=2+4=3+3，7=1+6=2+5=3+4，8=1+7=2+6=3+5=4+4，9=1+8=2+7=3+6=4+5，11=1+10=2+9=3+8=4+7=5+6?？梢?，1，2，3，4，5，6，7，8，9，11均應(yīng)染黃色。第13講整數(shù)的分拆例11:機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大114第13講

整數(shù)的分拆例11:機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大按如下規(guī)則進(jìn)行染色：凡能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不符合上述要求的自然數(shù)染成黃色（比如23可表示為兩個(gè)不同合數(shù)15和8之和，23要染紅色；1不能表示為兩個(gè)不同合數(shù)之和，1染黃色）。問：被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，第2000個(gè)數(shù)是多少？請(qǐng)說明理由。分析與解：下面說明其它自然數(shù)n都要染紅色。（1）當(dāng)n為大于等于10的偶數(shù)時(shí)，n=2k=4+2（k-2）。由于n≥10，所以k≥5，k-2≥3，2（k-2）與4均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于10的偶數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。（1）當(dāng)n為大于等于13的奇數(shù)時(shí)，n=2k+1=9+2（k-4）。由于n≥13，所以k≥6，k-4≥2，2（k-4）與9均為合數(shù)，且不相等。也就是說，大于等于13的奇數(shù)均能表示為兩個(gè)不同的合數(shù)之和，應(yīng)染紅色。綜上所述，除了1，2，3，4，5，6，7，8，9，11這10個(gè)數(shù)染黃色外，其余自然數(shù)均染紅色，第k個(gè)染為紅色的數(shù)是第（k+10）個(gè)自然數(shù)（k≥2）。所以第2000個(gè)染為紅色的數(shù)是2000+10=2010。第13講整數(shù)的分拆例11:機(jī)器人從自然數(shù)1開始由小到大115第14講

找規(guī)律法觀察、搜集已知事實(shí)，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律性的線索，用以探索未知事件的奧秘，是人類智力活動(dòng)的主要內(nèi)容.數(shù)學(xué)上有很多材料可用以來模擬這種活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生這方面的能力.第14講找規(guī)律法觀察、搜集已知事實(shí)，從中發(fā)現(xiàn)具有規(guī)律116第14講

找規(guī)律法例1觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng)，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第10項(xiàng)來？

12345，23451，34512，45123，…分析：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項(xiàng)出來，并給以編號(hào)：

仔細(xì)觀察，可發(fā)現(xiàn)該數(shù)列的第6項(xiàng)同第1項(xiàng)，第7項(xiàng)同第2項(xiàng)，第8項(xiàng)同第3項(xiàng)，…也就是說該數(shù)列各項(xiàng)的出現(xiàn)具有周期性，它們是循環(huán)出現(xiàn)的，5項(xiàng)一個(gè)循環(huán)。

10÷5=2.可見第10項(xiàng)與第5項(xiàng)一樣（項(xiàng)數(shù)都能被5整除），即第10項(xiàng)是51234.第14講找規(guī)律法例1分析：為了尋找規(guī)律，再多寫出幾項(xiàng)117第14講

找規(guī)律法隨堂練習(xí)：觀察數(shù)列的前面幾項(xiàng)，找出規(guī)律，寫出該數(shù)列的第10項(xiàng)來？

1234，2341，3412，4123，…第14講找規(guī)律法隨堂練習(xí)：118第14講

找規(guī)律法例2:把寫上1到100這100個(gè)號(hào)碼的牌子，像下面那樣依次分發(fā)給四個(gè)人，你知道第73號(hào)牌子會(huì)落到誰的手里？分析：仔細(xì)觀察，你會(huì)發(fā)現(xiàn)：分給小明的牌子號(hào)碼是1，5，9，13，…，號(hào)碼除以4余1；分給小英的牌子號(hào)碼是2，6，10，14，…，號(hào)碼除以4余2；分給小方的牌子號(hào)碼是3，7，11，…，號(hào)碼除以4余3；分給小軍的牌子號(hào)碼是4，8，12，…，號(hào)碼除以4余0（整除）.因此，試用73除以4看看余幾？

73÷4=18…余1可見73號(hào)牌會(huì)落到小明的手里.這就是運(yùn)用了如下的規(guī)律：第14講找規(guī)律法例2:把寫上1到100這100個(gè)號(hào)119第14講

找規(guī)律法隨堂練習(xí)：如果自然數(shù)如下圖所示排成四列，問43在哪個(gè)字母下面？第14講找規(guī)律法隨堂練習(xí)：120第14講

找規(guī)律法拓展訓(xùn)練1、先計(jì)算下面的前幾個(gè)算式，找出規(guī)律，再繼續(xù)往下寫出一些算式：①1×9+2=②9×9+7=

12×9+3=98×9+6=

123×9+4=987×9+5=

1234×9+5＝9876×9+4=

……

……第14講找規(guī)律法拓展訓(xùn)練121第14講

找規(guī)律法拓展訓(xùn)練2、先計(jì)算下面的奇妙算式，找出規(guī)律，再繼續(xù)寫出一些算式：

19+9×9=

118+98×9=

1117+987×9=

11116+9876×9=

111115+98765×9=第14講找規(guī)律法拓展訓(xùn)練122第14講

找規(guī)律法拓展訓(xùn)練3、有一列數(shù)是2、9、8、2、…，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都是它前面的兩個(gè)數(shù)相乘積的個(gè)位數(shù)字（比如第三個(gè)數(shù)8就是2×9=18的個(gè)位數(shù)字）.問這一列數(shù)的第100個(gè)數(shù)是幾？第14講找規(guī)律法拓展訓(xùn)練123第14講

找規(guī)律法拓展訓(xùn)練4、如果全體數(shù)按下表進(jìn)行排列，那么數(shù)41應(yīng)在哪個(gè)字母下面？第14講找規(guī)律法拓展訓(xùn)練124第14講

找規(guī)律法拓展訓(xùn)練5、如果自然數(shù)如下圖所示排成四列，問58在哪個(gè)字母下面？第14講找規(guī)律法拓展訓(xùn)練125第15講

巧填等式填等式是一種數(shù)學(xué)游戲，即給出一些數(shù)字，要求我們認(rèn)真分析思考后，填入只有運(yùn)算符號(hào)的一個(gè)或幾個(gè)等式中（有時(shí)是以連等式形式出現(xiàn)的），使等式成立。這種數(shù)學(xué)游戲，不但富有趣味性，而且能啟迪我們的思維，提高我們的分析和解題能力。第15講巧填等式填等式是一種數(shù)學(xué)游戲，即給出一些數(shù)字，126第15講

巧填等式例1在合適的地方填寫“+”或“-”，使等式成立.

123456=1.分析：把六個(gè)數(shù)分組，試加會(huì)發(fā)現(xiàn)1+2+3+5=11，4+6=10，這樣在4，6前面填上“-”，其他地方填上“+”，等式成立.解：1+2+3-4+5-6=1.第15講巧填等式例1分析：把六個(gè)數(shù)分組，試加會(huì)發(fā)現(xiàn)