有限元試題總結(jié)

本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！一、簡(jiǎn)答題（40分，每小題5分）1、分別寫出板彎類單元和平面應(yīng)力膜單元上一個(gè)有限元節(jié)點(diǎn)的位移自由度及其相對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)力列陣？(1)薄板彎曲問題單元每節(jié)點(diǎn)三自由度， 即每個(gè)結(jié)點(diǎn)有三個(gè)位移分量：撓度w,繞x、y軸轉(zhuǎn)角撓度www繞x軸轉(zhuǎn)角x，即結(jié)點(diǎn)i的位移iwydixii1,4繞y軸轉(zhuǎn)角yyiwxi同理,相應(yīng)的結(jié)點(diǎn)力(2)平面應(yīng)力膜單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)兩自由度，ui,viT,對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)力Tfxi,fyib2、欲求解在aybycxR約束下的泛函IF(x;y,y)dx極值，新泛函應(yīng)a如何構(gòu)造？b答：I*{F(x;y,y)(aybycxR)}dxa、欲求解在約束下的泛函b)極R?Px,ydxQx,ydy(;,3IFxyydxa值，新泛函應(yīng)如何構(gòu)造？答：I*b{F(x;y,y)[Px,yQx,yy'R]}dxab、滿足條件下的泛函I(;,)dx極值求解應(yīng)如何構(gòu)4?fggfdsLFxyya造新泛函？b答：I*{F(x;y,y)[(f'gg'f)1(y')2]}dxa5、寫出直梁彎曲問題的勢(shì)能原理表達(dá)式，并說(shuō)明真解的充分必要條件？答：一變剖面梁，一端x0固支，另一端xl簡(jiǎn)支。承受軸向拉力N，分布橫向載荷qx以及端點(diǎn)彎矩Ml的作用。(3)系統(tǒng)總勢(shì)能：充要條件：在所有變形可能的撓度中使系統(tǒng)的總勢(shì)能取最小值的擾度為真解。6、寫出用一維Hermit型基函數(shù)（形狀函數(shù)）構(gòu)造未知位移場(chǎng)函數(shù)的表達(dá)式，本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！并說(shuō)明用其分段插值的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)？答：wwiH01iH11wjH02jH12NTUeH01()13223，H11()223H02()3223，H12()23在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高（單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)） ，而在單元間的節(jié)點(diǎn)上，要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在） 。P397、Hermit型分段插值基函數(shù)（形狀函數(shù)）的基本性質(zhì)有哪些？并說(shuō)明用該基函數(shù)插值獲得的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性性質(zhì)如何？答：四個(gè)形狀函數(shù)為三次函數(shù)；其中，H01()，H02()一節(jié)導(dǎo)函數(shù)值在兩端點(diǎn)都為0；H1()函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為，右節(jié)點(diǎn)為；H2()相反；所以這兩個(gè)形0100狀函數(shù)對(duì)w的節(jié)點(diǎn)值有影響，而不影響w一階導(dǎo)在端點(diǎn)的值；H11()，H12()在兩節(jié)點(diǎn)的值均為0；H11()一階導(dǎo)函數(shù)值在左節(jié)點(diǎn)為1，在右節(jié)點(diǎn)為0，H12()相反；說(shuō)明這兩個(gè)形狀函數(shù)對(duì)w的節(jié)點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值有影響，而不影響w在端點(diǎn)的值。在單元內(nèi)的場(chǎng)函數(shù)連續(xù)性要高 （單元內(nèi)二階導(dǎo)連續(xù)），而在單元間的節(jié)點(diǎn)上， 要低一階（一階導(dǎo)連續(xù)，二階導(dǎo)存在） 。8、敘述一個(gè)平衡彈性結(jié)構(gòu)體的勢(shì)（位）能駐值原理？最小勢(shì)能原理與駐值原理有什么關(guān)系？答：在彈性體系的所有幾何可能位移狀態(tài)中，其真實(shí)的位移狀態(tài)使總勢(shì)能為駐值（可能極大、極小或者始終保持不變）。由此得到的駐值條件等價(jià)于平衡條件。但是，其平衡狀態(tài)有穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和隨遇平衡三種，要判別平衡狀態(tài)究竟屬于哪一種，還必須進(jìn)一步考察總勢(shì)能的二階變分情況。最小勢(shì)能原理是勢(shì)能駐值原理在線彈性范圍里的特殊情況。9、通過(guò)勢(shì)能泛函近似得到的有限元數(shù)值解是什么性質(zhì)？常規(guī)協(xié)調(diào)單元的收斂性規(guī)律如何（可用曲線描述）？答：按照最小勢(shì)能原理求解時(shí)，必須首先假定單元位移函數(shù)，這些位移函數(shù)是連續(xù)的，但卻是近似的。從物體中取出一個(gè)單元，作為連續(xù)介質(zhì)的一部分，本來(lái)具有無(wú)限個(gè)自由度，在采用位移函數(shù)之后，只有以節(jié)點(diǎn)位移表示的有限個(gè)自由度，這相當(dāng)于位移函數(shù)對(duì)單元變形能力有所限制，使得單元?jiǎng)偠仍黾?，物體的整體剛度也增加了，因而計(jì)算的位移近似解小于精確解。當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。10、由最小位能原理獲得的有限元解收斂性具有什么特征（可用曲線說(shuō)明）？答：當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密時(shí)，有限元解答的序列收斂到精確解；或者當(dāng)單元尺寸固定時(shí)，每個(gè)單元的自由度數(shù)越多，有限元的解答就越趨近于精確解。以一平板任意方向變形為例，如圖所示：計(jì)算解精確解位移精確解可能是一復(fù)雜的非顯式曲線，有限元離散后，單元內(nèi)的變形是節(jié)點(diǎn)位移的線性插值函數(shù)，這樣得到的計(jì)算解曲線以折線逼近精確解。如果采用二次曲線逼近，則計(jì)算精度與計(jì)算效率可大大提高，二次曲線即有限元中的高次單元。同樣，當(dāng)有限元網(wǎng)格無(wú)限密化時(shí)，計(jì)算解將無(wú)限逼近精確解?？紤]計(jì)算過(guò)程中的數(shù)值計(jì)算誤差（例如：截?cái)嗾`差），限制了有限元網(wǎng)格的過(guò)分密化。11、寫出一般線彈性體的基本控制方程？邊值條件有哪些？答：平衡方程： ij,j fi 0 （在彈性體 內(nèi)）幾何方程：物理方程：

1ij(ui,juj,i)2ijDijklkl（在彈性體內(nèi)）邊界條件：a.位移邊界條件ui ui（在位移邊界 u上）；b.應(yīng)力邊界條件 ijnj Ti 0（在應(yīng)力邊界 上）；c.混合邊界條件12、等參元的數(shù)值積分最高精度 2n-1，指的是什么？若積分點(diǎn)偏少可能發(fā)生什么情況？答：指的是n個(gè)積分點(diǎn)的高斯積分可達(dá) 2n-1階的精度；高斯積分計(jì)算剛度矩g陣時(shí)： Ke hiBTDBJi 1當(dāng)高斯積分階數(shù)等于被積函數(shù)所有項(xiàng)次精確積分所需要的階次時(shí)，稱為完全本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！積分；低于時(shí)，稱為減縮積分。對(duì)等參元的數(shù)值積分，積分點(diǎn)減少可能對(duì)積分的精度和結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣的奇異性造成影響。1）在最小位能原理基礎(chǔ)上建立的位移有限元，其整體剛度偏大，選取積分點(diǎn)偏少的減縮積分方案將使有限元計(jì)算模型的剛度有所降低，因此可能有助于提高計(jì)算精度。（2）求解系統(tǒng)方程Ka=P時(shí)，要求引入強(qiáng)迫邊界條件后K必須非奇異。但當(dāng)采用較少的積分點(diǎn)數(shù)目，可能造成K最大志小于獨(dú)立自由度數(shù)，也即剛度矩陣K奇異，則平衡方程組無(wú)唯一解。13、有限元結(jié)構(gòu)總剛矩陣有哪些性質(zhì)？采用一維變帶寬存貯方法的方程組求解方案的可行性原因何在？答：總綱特征：對(duì)稱性；稀疏性；帶狀性；奇異性（置入邊界條件后是正定的）有限元總體剛度矩陣是稀疏矩陣，絕大多數(shù)矩陣值都為 0，如果在內(nèi)存與外存中按照矩陣格式保存，則會(huì)浪費(fèi)大量資源。一維變帶寬存儲(chǔ)是建立一個(gè)一維數(shù)組，把總剛矩陣中每行第一個(gè)非零元素以及后面直到對(duì)角線元素按行順序存放，同時(shí)建立另外一個(gè)一維數(shù)組（稱為定位數(shù)組），記錄總剛矩陣每行對(duì)角線元素在一維剛度數(shù)組中的位置，這樣，通過(guò)兩個(gè)較小的一維數(shù)組就實(shí)現(xiàn)了較大規(guī)模的總體剛度矩陣的存儲(chǔ)、定位與獲取。14、任意四邊形平面應(yīng)力單元的某一節(jié)點(diǎn)自由度需用與結(jié)構(gòu)總體坐標(biāo)系不同的局部坐標(biāo)系表達(dá)，寫出該單元?jiǎng)偠葎傟嚨姆?hào)表達(dá)式？e11TDBJdd答：K11B,,15、寫出受壓桿穩(wěn)定性問題的泛函表達(dá)式，解釋臨界失穩(wěn)載荷的力學(xué)含義？ld22EJdxdx2w答：Pcrmin0ldw2dx0dx當(dāng)P<PP>PP=Pcr時(shí)，系統(tǒng)永遠(yuǎn)是正定的（穩(wěn)定的）；當(dāng)cr時(shí)，系統(tǒng)是不定的；cr點(diǎn)，系統(tǒng)從正定到不定的過(guò)渡狀態(tài)，即系統(tǒng)處在隨遇平衡狀態(tài)。16、對(duì)僅受分布橫向載荷 q(x)的懸臂梁，寫出具體勢(shì)能泛函表達(dá)式？變分的結(jié)果有哪些，什么性質(zhì)？本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！l1d2w2EJqwdx答：2dx20l(4)EJw''(w')|0lEJw(3)|l0，可得：EJwqwdx0對(duì)于微分方程EJw(4)q0基本邊界條件： x=0，w=0,dw/dx=0;自然邊界條件： x=l，w’’=0,w’’’=0;17、你所理解的有限元素法基本概念有哪些 ?答：依據(jù)求解問題的路徑不同，有限元方法大致可分為：位移法：以位移為基本未知量；力法：應(yīng)力為基本未知量；混合法：部分以位移；部分以應(yīng)力為基本未知量。將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片的表示求解域上待求的未知場(chǎng)函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場(chǎng)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來(lái)表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無(wú)限自由度問題變成離散的有限自由度問題。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成,對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡(jiǎn)單的)近似解,然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件),從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解,而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡(jiǎn)單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高,而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀,因而成為行之有效的工程分析手段。有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。有限元法是 Rayleigh-Ritz法的一種局部化情況。不同于求解(往往是困難的)滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的 Rayleigh-Ritz法,有限元法將函數(shù)定義在簡(jiǎn)單幾何形狀(如二維問題中的三角形或任意四邊形)的單元域上(分片函數(shù)),且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件,這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。18、經(jīng)典Ritz方法與現(xiàn)代有限元方法有何異同 ？答：有限元法=RayleighRitz法＋分片函數(shù)”，即有限元法是RayleighRitz法的一種局部化情況。兩種方法都需要尋找坐標(biāo)基函數(shù)；本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！但兩者差別在于 Ritz法需要滿足全域的連續(xù)函數(shù)作為坐標(biāo)函數(shù)，這將引起解的代數(shù)方程組可能滿陣，造成較大計(jì)算工作量；有限元方法是尋找分片連續(xù)函數(shù)來(lái)逼近， 基函數(shù)是在單元中選取的． 由于各個(gè)單元具有規(guī)則的幾何形狀，而且可以不必考慮邊界條件的影響， 因此在單元中選取基函數(shù)可遵循一定的法則。使解得計(jì)算量減小和有效性增大。二、分析題（30分）1、（10分）已知一等截面懸臂桿（截面積為A，彈性模量為E）承受沿軸向均勻分布載荷q及端部軸向應(yīng)力（如下圖），寫出勢(shì)能泛函(用軸向位移表達(dá))？qxL解：勢(shì)能泛函包括三個(gè)部分，一個(gè)部分是由于桿的變形桿中存儲(chǔ)的勢(shì)能 1，第二部分是分布力的勢(shì)能 2，第三部分是端部軸向應(yīng)力的勢(shì)能 3。2、（8分）構(gòu)造下圖一維桿單元三個(gè)節(jié)點(diǎn)的 Lagrange標(biāo)準(zhǔn)插值基函數(shù)？123xLq用有1、（8分）已知一懸臂梁（如下圖，等截面）承受軸向均勻分布載荷,限元方法求解端點(diǎn)A的位移？A解：qd2uq0微分方程描述EAdx2u00僅求解A點(diǎn)位移，可將整根梁看做一個(gè)單元：則A點(diǎn)的線性位形函數(shù)可寫為：本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！則u ua AL

2梁的能量泛函為：0

EAdu2dx

qudx則EAua2qLua由此可得uaqL22L22EA或者法二：分布軸力q的等效：EA110R1解得：uaqL2L11uaqL/22EA2、（8分）構(gòu)造下圖8節(jié)點(diǎn)單元中角節(jié)點(diǎn)1的Lagrange標(biāo)準(zhǔn)二次插值基函數(shù)？4+173-18+16-1答152再改造原四節(jié)點(diǎn)情況下的角節(jié)點(diǎn)基函數(shù)，)11,2,3,4Ni(1i)(1i),i4)1(1)(1)時(shí)，在節(jié)點(diǎn)5、8處不為零而為1，故處理為：對(duì)角點(diǎn)1分析：選N1422、（8分）構(gòu)造下圖正方形上關(guān)于原點(diǎn)的 Lagrange標(biāo)準(zhǔn)雙二次插值基函數(shù)？[-1，1]4738o6[-1，1]1523Xnspan{1,,2}span{k,i1,2,3}k1ikk i解：3Yn span{1,, 2} span{ k,i 1,2,3}k1 i kk i將1,0,1代入上述基得到：1,0,1因此對(duì)于中點(diǎn)的基函數(shù)為本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！3、（12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達(dá)式為：22yabIx4dxdy-aby2bx式中，為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上x,y02a求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2：取的近似解形式為：x2a2y2b2，為未知參數(shù)，求使泛函I取極值 的具體近似解。解：2 2（1）令：Fxy4則微分方程為：FFF0xyyx22即：y22=0x2ab22（2）將x2a2y2b2代入Ix4dxdy中：00y得到：5可得當(dāng) 時(shí)I() 取極小值2 24(a b)因此近似解為4、（12分）已知一矩形等截面彈性體扭轉(zhuǎn)問題的泛函表達(dá)式為：y式中， 為應(yīng)力函數(shù)，且在邊界上 x,y 0求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。b求2：取的近似解形式為：sinxsiny，I取極值ab的具體近似解。解：22微分方程：x2y220，代近似解到泛函，得

x為未知參數(shù)，求使泛函a本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！ax)dxa2(x)dxa?。篶os2(sin0a0a2x2a2y2b2ab22（2）將代入Ix4dxdy中：00y得到：計(jì)算得到：可得當(dāng)32a2b2時(shí)I()取極小值4(a2b2)因此近似解為5、（12分）已知一物理問題的泛函為：其中，未知函數(shù)y(x)的邊界條件為：y(0)=0,y(1)=1求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2：取y的解形式為yxa1x3a2x2a3xa4，其中多項(xiàng)式系數(shù)為未知參數(shù)，求使泛函取極值y的具體解。1解：p2y''-2xydx2y'y|010微分方程：y''-x0，解為y1x3BxC，代入邊界條件，得y1x35x666近似解的形式跟真解的形式相同，因此，泛函的極值必然等于真解。6、（12分）已知一物理問題的泛函為：式中，u(x),0x1，為未知函數(shù)，且u0u10求1：與泛函等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2：取u的近似解形式為xa1x21、2為未知參數(shù)，求使泛函取a2x，aa極值u的具體解。解：由邊界條件，得a1+2所以將xax(1x)代入泛函，求極值，得1a=0,1a=5/187、（12分）已知一物理問題的泛函為：式中，為未知函數(shù)，且00求1：與問題等價(jià)的控制微分方程（Euler方程）。求2：取的近似解形式為xa1x21、2為未知參數(shù)，求使泛函取a2x，aa本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！極值 的具體解。求3：解釋你的直接泛函駐值解說(shuō)明了什么問題？解：對(duì)泛函作變分：邊界值中， (L)任意，所以必須有 '(L) 0所以a12a2L，xa2(x22Lx)代入泛函，求極值得a225該駐值解等于精確解。三、計(jì)算題（30分）1、（15分）一四節(jié)點(diǎn)平面等參元的形狀函數(shù)如下式所示，已知該單元的節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系為：u1=-u2=u3=-u4，v1=v2=v3=v4=0（圖中的虛線狀態(tài)）。試給出該單元剪切應(yīng)變能表達(dá)式；當(dāng)Gauss積分點(diǎn)僅取坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，該剪切應(yīng)變能等于多少？已知：Ni11i1i,1,1，i,i為節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)。443解：12雅克比矩陣為雅克比矩陣中每項(xiàng)的值如下假設(shè)母單元長(zhǎng)寬分別為 L和H則計(jì)算得下面寫出應(yīng)變矩陣的表達(dá)式因?yàn)閮H計(jì)算剪切應(yīng)變能，因此僅取Bi的最后一行計(jì)算：而剛度D轉(zhuǎn)化為數(shù)值應(yīng)變能計(jì)算如下：根據(jù)條件式中：代、B、D、J到U中，得對(duì)上式采用高斯積分，取取積分點(diǎn)110，則相應(yīng)權(quán)系數(shù)為H12得最后計(jì)算得到U0。2、（15分）已知一對(duì)稱等截面桿件結(jié)構(gòu)，如圖所示，桿彈性模量E=104kg/mm2,截面面積A=10mm2,作用載荷p=104N。用有限元方法計(jì)算結(jié)構(gòu)各點(diǎn)位移。要求作出求解過(guò)程的簡(jiǎn)化圖。解：（1）節(jié)點(diǎn)編號(hào)和單元編號(hào)如下：本文檔如對(duì)你有幫助，請(qǐng)幫忙下載支持！單元節(jié)點(diǎn)號(hào)單元長(zhǎng)度方向112L/202232L/2135334L/20424L/290（2） 各單元在總體系下的剛度矩陣：各桿在總體坐標(biāo)系下的剛度矩陣計(jì)算公式：代入各桿對(duì)應(yīng)數(shù)值：（3）單元拼裝，計(jì)算總剛度矩陣1010000000000000101aaaa002EA00a1aaa011K00aa1aa10其中aL2200aaaa000000101000010001節(jié)點(diǎn)力：P[Rx1Ry10Ry2Rx3P/200]T邊界條件的處理及剛度方程求解邊界條件為：u1v1v2u30解得：2、（15分）已知一四邊固支的各向同性彈性正方形薄板（邊長(zhǎng)為4,如下圖示），有一P載荷作用于中心點(diǎn)處，產(chǎn)生的位移撓度等于1，應(yīng)用四節(jié)點(diǎn)12參數(shù)板彎單元計(jì)算所需載荷P的大?。浚ㄒ阎獜椥阅Ａ繛镋，板厚為t，泊桑比μ=0.3，邊長(zhǎng)為2的方板元素剛陣為：k11k12k13k14k21k22k23k24,DEt3KeDk32k33k34