習(xí)題1：計(jì)數(shù)原理全章綜合測(cè)試題

第一章綜合測(cè)試題一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．每小題中只有一項(xiàng)符合題目要求)1．設(shè)東、西、南、北四面通往山頂?shù)穆犯饔?、3、3、4條路，只從一面上山，而從任意一面下山的走法最多，應(yīng)()A．從東邊上山 B．從西邊上山C．從南邊上山 D．從北邊上山答案D2．若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但其定義域不同，則稱這些函數(shù)為“同族函數(shù)”，那么函數(shù)解析式為y＝x2，值域?yàn)閧1,4}的“同族函數(shù)”共有()A．7個(gè)B．8個(gè)C．9個(gè)D．10個(gè)答案C解析由題意，問題的關(guān)鍵在于確定函數(shù)定義域的個(gè)數(shù)：第一步，先確定函數(shù)值1的原象：因?yàn)閥＝x2，當(dāng)y＝1時(shí)，x＝1或x＝－1，為此有三種情況：即{1}，{－1}，{1，－1}；第二步，確定函數(shù)值4的原象，因?yàn)閥＝4時(shí)，x＝2或x＝－2，為此也有三種情況：{2}，{－2}，{2，－2}．由分步計(jì)數(shù)原理，得到：3×3＝9個(gè)．選C.3．5名學(xué)生相約第二天去春游，本著自愿的原則，規(guī)定任何人可以“去”或“不去”，則第二天可能出現(xiàn)的不同情況的種數(shù)為()A．Ceq\o\al(2,5) B．25C．52 D．Aeq\o\al(2,5)答案B4．6個(gè)人分乘兩輛不同的汽車，每輛車最多坐4人，則不同的乘車方法數(shù)為()A．40B．50C．60D．70答案B5．在航天員進(jìn)行的一項(xiàng)太空實(shí)驗(yàn)中，先后要實(shí)施6個(gè)程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C實(shí)施時(shí)必須相鄰，請(qǐng)問實(shí)驗(yàn)順序的編排方法共有()A．24種B．48種C．96種D．144種答案C解析當(dāng)A出現(xiàn)在第一步時(shí)，再排A，B，C以外的三個(gè)程序，有Aeq\o\al(3,3)種，A與A，B，C以外的三個(gè)程序生成4個(gè)可以排列程序B、C的空檔，此時(shí)共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)種排法；當(dāng)A出現(xiàn)在最后一步時(shí)的排法與此相同，故共有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,2)＝96種編排方法．6．有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙、丙各需1人承擔(dān)，從10人中選派4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法有()A．2520B．2025C．1260D．5040答案A解析先從10人中選出2人承擔(dān)甲任務(wù)有Ceq\o\al(2,10)種選法，再從剩下的8人中選出2人分別承擔(dān)乙、丙任務(wù)，有Aeq\o\al(2,8)種選法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理共有Ceq\o\al(2,10)Aeq\o\al(2,8)＝2520種不同的選法．故選A.7．有5列火車停在某車站并行的5條軌道上，若快車A不能停在第3道上，貨車B不能停在第1道上，則5列火車的停車方法共有()A．78種 B．72種C．120種 D．96種答案A解析不考慮不能?？康能嚨?，5輛車共有5！＝120種停法．A停在3道上的停法：4?。?4(種)；B種停在1道上的停法：4?。?4(種)；A、B分別停在3道、1道上的停法：3?。?(種)．故符合題意的停法：120－24－24＋6＝78(種)．故選A.8．已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若a0＋a1＋a2＋…＋an＝16，則自然數(shù)n等于()A．6 B．5C．4 D．3答案C解析令x＝1，得2n＝16，則n＝4.故選C.9．6個(gè)人排隊(duì)，其中甲、乙、丙3人兩兩不相鄰的排法有()A．30種 B．144種C．5種 D．4種答案B解析分兩步完成：第一步，其余3人排列有Aeq\o\al(3,3)種排法；第二步，從4個(gè)可插空檔中任選3個(gè)給甲、乙、丙3人站有Aeq\o\al(3,4)種插法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,4)＝144種．10．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8展開式中常數(shù)項(xiàng)為1120，其中實(shí)數(shù)a是常數(shù)，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和是()A．28 B．38C．1或38 D．1或28答案C解析Tr＋1＝(－a)rCeq\o\al(r,8)x8－2r，令8－2r＝0?r＝4.∴T5＝Ceq\o\al(4,8)(－a)4＝1120，∴a＝±2.當(dāng)a＝2時(shí)，和為1；當(dāng)a＝－2時(shí)，和為38.11．有A、B、C、D、E、F共6個(gè)集裝箱，準(zhǔn)備用甲、乙、丙三輛卡車運(yùn)送，每臺(tái)卡車一次運(yùn)兩個(gè)，若卡車甲不能運(yùn)A箱，卡車乙不能運(yùn)B箱，此外無其他任何限制；要把這6個(gè)集裝箱分配給這3臺(tái)卡車運(yùn)送，則不同的分配方案的種數(shù)為()A．168 B．84C．56D．42答案D解析分兩類：①甲運(yùn)B箱，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)種；②甲不運(yùn)B箱，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2).∴不同的分配方案共有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(2,2)＝42種．故選D.12．從2名女教師和5名男教師中選出三位教師參加2022年高考某考場(chǎng)的監(jiān)考工作．要求一女教師在室內(nèi)流動(dòng)監(jiān)考，另外兩位教師固定在室內(nèi)監(jiān)考，問不同的安排方案種數(shù)為()A．30 B．180C．630 D．1080答案A解析分兩類進(jìn)行：第一類，在兩名女教師中選出一名，從5名男教師中選出兩名，且該女教師只能在室內(nèi)流動(dòng)監(jiān)考，有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,5)種選法；第二類，選兩名女教師和一名男教師有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)種選法，且再從選中的兩名女教師中選一名作為室內(nèi)流動(dòng)監(jiān)考人員，即有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,2)共10種選法，∴共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,2)＝30種，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13．已知(x＋2)n的展開式中共有5項(xiàng)，則n＝________，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為________．(用數(shù)字作答)答案416解析∵展開式共有5項(xiàng)，∴n＝4，常數(shù)項(xiàng)為Ceq\o\al(4,4)24＝16.14．5個(gè)人排成一排，要求甲、乙兩人之間至少有一人，則不同的排法有________種．答案72解析甲、乙兩人之間至少有一人，就是甲、乙兩人不相鄰，則有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(2,4)＝72(種)．15．已知(x＋1)6(ax－1)2的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)是20，則a的值等于________．答案0或516．用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)．(用數(shù)字作答)答案14解析因?yàn)樗奈粩?shù)的每個(gè)數(shù)位上都有兩種可能性，其中四個(gè)數(shù)字全是2或3的情況不合題意，所以適合題意的四位數(shù)有24－2＝14個(gè)．三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)某書店有11種雜志，2元1本的8種，1元1本的3種，小張用10元錢買雜志(每種至多買一本，10元錢剛好用完)，求不同的買法有多少種(用數(shù)字作答)．解析分兩類：第一類，買5本2元的有C58種；第二類，買4本2元的和2本1元的有C48×C23種．故共有C58＋C48×C23＝266種不同的買法種數(shù)．18．(12分)4個(gè)相同的紅球和6個(gè)相同的白球放入袋中，現(xiàn)從袋中取出4個(gè)球；若取出的紅球個(gè)數(shù)不少于白球個(gè)數(shù)，則有多少種不同的取法？解析依題意知，取出有4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球，可分三類：①取出的全是紅球有Ceq\o\al(4,4)種方法；②取出的4個(gè)球中有3個(gè)紅球的取法有Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,6)；③取出的4個(gè)球中有2個(gè)紅球的取法有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,6)種，由分類計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(2,6)＝115(種)．19．(12分)從1到6的六個(gè)數(shù)字中取兩個(gè)偶數(shù)和兩個(gè)奇數(shù)組成沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)．試問：(1)能組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？(2)四位數(shù)中，兩個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？(3)兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有幾個(gè)？(所有結(jié)果均用數(shù)值表示)解析(1)四位數(shù)共有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(4,4)＝216個(gè)．(2)上述四位數(shù)中，偶數(shù)排在一起的有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,2)＝108個(gè)．(3)兩個(gè)偶數(shù)不相鄰的四位數(shù)有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝108個(gè)．20．(12分)已知(1＋2eq\r(x))n的展開式中，某一項(xiàng)的系數(shù)恰好是它的前一項(xiàng)系數(shù)的2倍，而且是它的后一項(xiàng)系數(shù)的eq\f(5,6)，試求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．解析由題意知展開式中第k＋1項(xiàng)系數(shù)是第k項(xiàng)系數(shù)的2倍，是第k＋2項(xiàng)系數(shù)的eq\f(5,6)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(C\o\al(k,n)2k＝2C\o\al(k－1,n)·2k－1，,C\o\al(k,n)2k＝\f(5,6)C\o\al(k＋1,n)·2k＋1，))解得n＝7.∴展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大兩項(xiàng)是：T4＝Ceq\o\al(3,7)(2eq\r(x))3＝280xeq\f(3,2)與T5＝Ceq\o\al(4,7)(2eq\r(x))4＝560x2.21．(12分)某單位有三個(gè)科室，為實(shí)現(xiàn)減負(fù)增效，每科室抽調(diào)2人，去參加再就業(yè)培訓(xùn)，培訓(xùn)后這6人中有2人返回原單位，但不回到原科室工作，且每科室至多安排1人，問共有多少種不同的安排方法？解析6人中有2人返回原單位，可分兩類：(1)2人來自同科室：Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝6種；(2)2人來自不同科室：Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)，然后2人分別回到科室，但不回原科室有3種方法，故有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2)·3＝36種．由分類計(jì)數(shù)原理共有6＋36＝42種方法．22．(12分)10件不同廠生產(chǎn)的同類產(chǎn)品：(1)在商品評(píng)選會(huì)上，有2件商品不能參加評(píng)選，要選出4件商品，并排定選出的4件商品的名次，有多少種不同的選法？(2)若要選6件商品放在不同的位置上陳列，且必須將獲金質(zhì)獎(jiǎng)?wù)碌膬杉唐贩派希卸嗌俜N不同的布置方法？解析(1)10件商品，除去不能參加評(píng)選的2件商品，剩