高中數(shù)學(xué)最新-高二數(shù)學(xué)最小二乘法精品

1.9最小二乘法一、教學(xué)目標(biāo)：經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關(guān)的過程。知道最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程。二、教學(xué)重難點(diǎn)：重點(diǎn)：了解最小二乘法的思想并利用此思想借助電子表格求出回歸方程。教學(xué)內(nèi)容的難點(diǎn)：對最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解教學(xué)實(shí)施過程中的難點(diǎn)：根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。三、教學(xué)方法：動手操作，合作交流。四、教學(xué)過程：（一）、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式。回顧上節(jié)課：師：我們現(xiàn)在來求距離和。怎么求？生：利用點(diǎn)到直線的距離公式師生共同：只要求出使距離和最小的a、匕即可。但是，我們知道點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算復(fù)雜。怎么辦呢？以樣本數(shù)據(jù)點(diǎn)A為例，可以看出：在RTAABC中，（教師動畫演示）按照一對一的關(guān)系，直角邊AC越小，斜邊48越小,當(dāng)AC無限小時(shí)，AB跟AC可近似看作相等。求|AC|麻煩，不妨求|AB性：|AB|師：它表示自變量X取值一定時(shí)，縱坐標(biāo)的偏差。假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：（x1,y1）（x2,y2） （、咒）。當(dāng)自變量X取Xi（i=1，2，，n）時(shí)，可以得到丫bxa（i=1，2，，

in），它與實(shí)際收集到的\之間的偏差是,,n)yyy (bxa)(i=1,2,,n)iiii這樣用9個偏差的和來刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的?？偟钠顬閚(yyin(yyii1）,偏差有正有負(fù)，易抵消，所以采用絕對值n|y.y」，由于帶絕對值計(jì)算不方便所以換成平方，Qn2(yy)(ybxa)方便所以換成平方，Qn2(yy)(ybxa)2(ybxa)2(ybxa)2(ybxa)2現(xiàn)在的問題就歸結(jié)為：當(dāng)a,b取什么值時(shí)Q最小。將上式展開、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時(shí)(ybx)n(x.i1x)2b(x.n2x)(y.(ybx)n(x.i1x)2b(x.n2x)(y.y)n 2(x.x)(y.y)TT (x.x)2(x.x)2n(y.y)2i1(x.nx)(y._i1

ybxnx.y.nxy n 2x2nx2i1一1(其中x-nx?，ii11ny）推導(dǎo)過程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和”nii1最小的方法叫“最小二乘法”。設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，最小二乘法的思想是本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)，先讓學(xué)生動手操作畫回歸直線，教師動畫演示，進(jìn)一步演繹推理來分解難點(diǎn)、突破難點(diǎn)（二）、直線回歸方程的應(yīng)用（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報(bào)因子（即自變量乂）代入回歸方程對預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)行估計(jì)，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如已經(jīng)得到了空氣中no2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)：（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；（3）回歸直線不要外延。（四）、實(shí)例分析：解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：Y某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來科研費(fèi)用支出（X1與公司所獲得利潤（丫1解：設(shè)線性回歸模型直線方程為：Y年份科研費(fèi)用支出利潤1998531199911402000430200153420023252003220合計(jì)30180科研費(fèi)用支出01與利潤（丫1統(tǒng)計(jì)表單位：萬元要求估計(jì)利潤（丫1對科研費(fèi)用支出（1）的線性回歸模型。305i0 1%因?yàn)椋簄6 5年份XiYiXY.X,XiXy.y(XiX)2(XiX)YiY)根據(jù)資料列表計(jì)算如下表:YYi18030n6

1998531155250100199911404401216103660200043012016-101020015341702504002002325759-2-54102003220404-3-10930合計(jì)3018010002000050100現(xiàn)利用公式（I）、（II)、(III)求解參數(shù)0、1的估計(jì)值：nXYXY1nX2 (X)2TOC\o"1-5"\h\zi i61000301806200302600054001200900 _600 0Y1300 30252 20YX013025YX01302520YX013025200 1XY nXY kj X2n(X)2i10006530200652100而YX0 1(XX)YY) i i 1(XX)2i100502所以：利潤（YJ對科研費(fèi)用支出（X1的線性回歸模型直線方程為：Y202X.求直線回歸方程，相關(guān)系數(shù)和作圖,這些EXCEL可以方便地做到。仍以上題的數(shù)據(jù)為例。于EXCEL表中的空白區(qū)，選用〃插入〃菜單命令中的〃圖表〃，選中XY散點(diǎn)圖類型，在彈出的圖表向?qū)е邪聪驅(qū)У囊笠徊揭徊降夭僮?，如有錯誤可以返回去重來或在以后修改。適當(dāng)修飾圖的大小、縱橫比例、字體大小、和圖符的大小等，使圖美觀，最后得到圖1，圖中有直線稱為趨勢線，還有直線方程和相關(guān)系數(shù)。圖中的每一個部份如坐標(biāo)、標(biāo)題、圖例等都可以分別修飾，這里主要介紹趨勢線和直線方程。圖1散點(diǎn)圖鼠標(biāo)右鍵點(diǎn)擊圖中的數(shù)據(jù)點(diǎn)，出現(xiàn)一個對話框，選〃添加趨勢線〃，圖中自動畫上一條直線，再以鼠標(biāo)右擊此線，出現(xiàn)趨勢線格式對話框，選擇線條的粗細(xì)和顏色，在選項(xiàng)中選取顯示公式和顯示區(qū)平方值，確定后即在圖中顯示回歸方程和相