專題35 立體幾何中的探索性問題求解策略-學(xué)會解題之高三數(shù)學(xué)萬能解題模板【2022版】（解析版）

專題35立體幾何中的探索性問題求解策略【高考地位】立體幾何中的探索性問題是高考幾何的一個難點(diǎn)，尤常見于新高考的多選題中，其題目特點(diǎn)是靈活性較強(qiáng)，需要相對豐富的空間想象能力及計(jì)算能力，對所研究幾何體進(jìn)行深入的剖析與推理，其常見類型有兩種：一、空間中位置關(guān)系的探索；二、空間角的探索.類型一空間中位置關(guān)系的探索方法一幾何法萬能模板內(nèi)容使用場景不規(guī)則幾何體或不好建立坐標(biāo)系的幾何體解題模板第一步確認(rèn)幾何體類型；第二步通過補(bǔ)形、延展、分割等將所求問題平面化；第三步利用所探索的點(diǎn)線面相關(guān)的條件，結(jié)合判定定理及性質(zhì)定理進(jìn)行推理與計(jì)算.例1已知正四棱錐的所有棱長均為，，分別是，的中點(diǎn)，為棱上異于，的一動點(diǎn)，現(xiàn)有以下結(jié)論：①線段的長度是；②周長的最小值為；③存在點(diǎn)使得平面；④始終是鈍角.其中不正確的結(jié)論共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【來源】河北省滄州市2021屆高三三模數(shù)學(xué)試題【答案】C【分析】在中計(jì)算，，利用勾股定理計(jì)算，可判斷①；將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，由三點(diǎn)共線最短，可得周長的最小值，判斷②；根據(jù)反證法思想判斷③；利用極限思想判斷當(dāng)點(diǎn)在線段上無限靠近點(diǎn)時，趨向于以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，為銳角，判斷④.【詳解】如圖1，設(shè)正方形的中心為，連接，，則平面，.設(shè)的中點(diǎn)為，連接，，則，所以.中，，，，所以由余弦定理可得，所以，故①不正確.將正和沿翻折到一個平面內(nèi)，如圖2，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時，取得最小值，此時，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，所以周長的最小值為，故②正確.若平面，則，此時點(diǎn)為上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，而此時，與顯然不垂直，故③不正確.當(dāng)點(diǎn)在線段上無限靠近點(diǎn)時，的長度無限趨向于，趨向于以點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰三角形，此時為一個銳角，故④不正確.故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)于空間幾何體邊長的計(jì)算一般放在三角形中利用勾股定理或者余弦定理求解，涉及邊長和的最小值的問題，可將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，即三點(diǎn)共線時取最小值計(jì)算.【變式演練1】（多選）在直角三角形ABC中，∠B＝，AC＝2BC＝4，D為線段AC的中點(diǎn)，如圖，將△ABD沿BD翻折，得到三棱錐P﹣BCD（點(diǎn)P為點(diǎn)A翻折到的位置），在翻折過程中，下列說法正確的是（）A．△PBD的外接圓半徑為2B．存在某一位置，使得PD⊥BDC．存在某一位置，使得PB⊥CDD．若PD⊥DC，則此時三棱錐P﹣BCD的外接球的體積為【來源】山東省百師聯(lián)盟2021屆高三二輪聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（二）【答案】AD【分析】對于A，通過正弦定理來判斷；對于B，由于∠ADB≠90°可以判斷；對于C通過線面垂直來判斷；對于D求出外接球的半徑即可判斷.【詳解】∵∠B＝，AC＝2BC＝4，D為線段AC的中點(diǎn)，∴∠A＝30°，BD＝2，在ABD中，由正弦定理得：2R＝，解得R＝2，∴PBD的外接圓半徑為2，A正確；由題意可知，∠ADB≠90°，∴∠PDB≠90°，即PD與BD不垂直，B錯誤；若PB⊥CD，取CD的中點(diǎn)M，連接BM，PM，因?yàn)锽DC為等邊三角形，則，則可得平面，從而，又為中點(diǎn)，且，所以PDC為等邊三角形，所以可得，而，這與矛盾，C錯誤；若,在中，,有,所以,取的中點(diǎn)，可得,在中，,有,所以,而,所以平面，從而可知外接球的球心在上，則有，解得R＝2，所以V＝，D正確．故選：AD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是通過線面垂直來證明線線垂直，二是在求三棱錐外接球時建立直角三角形解方程是求外接球的關(guān)鍵.方法二向量法萬能模板內(nèi)容使用場景求參數(shù)（或范圍）方便或可以建立坐標(biāo)系解題模板第一步觀察幾何體特征，確定坐標(biāo)系；第二步分別求出組成的幾何體的體積；第三步根據(jù)公式求解結(jié)果.例2、3．已知長方體中，，點(diǎn)在線段上，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)、，現(xiàn)有如下說法：（1），使得；（2）若，則平面截長方體所得截面為平行四邊形；（3）若，，則平面截長方體所得截面的面積為以上說法正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．【來源】全國一卷2021屆高中畢業(yè)班考前熱身聯(lián)合考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題【答案】D【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由得出求出的值，可判斷（1）的正誤；確定截面與各棱的交點(diǎn)位置，結(jié)合平行四邊形的判斷方法可判斷（2）的正誤；計(jì)算出截面面積可判斷（3）的正誤.【詳解】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、，，，若，則，解得，（1）正確；對于（2），在棱找點(diǎn)，由面面平行的性質(zhì)可知，設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)?，可設(shè)，則，則，則，當(dāng)時，，此時點(diǎn)在棱上，且有，故四邊形為平行四邊形，（2）正確；對于（3），設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，，由圖可知，，則，故，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則、、、，可求得，，，，取的中點(diǎn)，連接，則，且，，，故，故，所以，截面面積為，（3）正確.故選：D.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：確定截面形狀，一般要結(jié)合線面平行、面面平行的性質(zhì)以及空間向量法確定各交點(diǎn)的位置，也可采用補(bǔ)形法等手段擴(kuò)展截面，進(jìn)而確定截面的形狀.例3、（多選）在棱長固定的正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別滿足，，則（）A．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值B．當(dāng)時，存在使得平面C．當(dāng)時，點(diǎn)A，B到平面的距離相等D．當(dāng)時，總有【來源】江蘇省蘇州市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期期初調(diào)研數(shù)學(xué)試題【答案】ACD【分析】利用正方體的性質(zhì)可以直接計(jì)算時，三棱錐的體積判斷A，當(dāng)時，若平面，可推出與的矛盾，可判斷B，時，E是AB中點(diǎn)顯然正確，當(dāng)時，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出所需各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算可判斷D正確.【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為1，如圖，對于對于B：要使平面，則必須，又，所以需要，所以E在中點(diǎn)，因?yàn)?，所以與不垂直，所以不存在，錯誤；對于C：因?yàn)?，所以正確；對于D：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，所以，，因?yàn)?，所以，故D正確.故選：ACD【變式演練2】（多選）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)E為線段上一動點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），則下列說法正確的有（）A．平面B．的最小值為C．存在點(diǎn)E使得D．點(diǎn)D到平面的距離為【來源】全國新高考2021屆高三數(shù)學(xué)方向卷試題（A）【答案】AD【分析】A選項(xiàng)通過證明來證得平面；通過展開平面，結(jié)合余弦定理求得最小值；利用向量法判斷C選項(xiàng)的正確性；根據(jù)正方體的性質(zhì)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于，∴平面，A正確.展開平面如下圖所示，由圖可知的最小值為圖中，下圖中，，，由余弦定理得，所以B錯誤.以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，設(shè)，∴，，,,.若，則，即，此時C與E重合，與已知矛盾，C錯誤.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知平面，∴D到平面的距離，D正確.故選:AD【變式演練3】如圖所示，在四棱錐中，平面，，，，為的中點(diǎn)．（1）求證平面；（2）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請確定的位置；若不存在，請說明理由．【來源】湖北省恩施州2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）存在；．【分析】（1）先證明平面，進(jìn)而得到面，得出，再根據(jù)條件證明，最后根據(jù)線面垂直的判定定理得到結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出兩個平面的法向量，進(jìn)而根據(jù)面面垂直求出k.【詳解】（1）因?yàn)槠矫妫?，又，，所以平面，又，所以面，面，．又，為的中點(diǎn)，所以，而，所以平面．（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，，，．所以，設(shè)（），所以，則，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，，即，令，則，由（1）可知為平面的一個法向量，若平面平面，則，即，解得．即時平面平面.類型二空間角的探索方法一幾何法萬能模板內(nèi)容使用場景不規(guī)則幾何體或不好建立坐標(biāo)系的幾何體解題模板第一步確認(rèn)幾何體類型；第二步通過垂線法、垂面法等作出角；第三步利用所探索的點(diǎn)線面相關(guān)的條件，結(jié)合判定定理及性質(zhì)定理進(jìn)行推理與計(jì)算.例3．如圖，矩形中，已知為的中點(diǎn)．將沿著向上翻折至得到四棱錐．平面與平面所成銳二面角為，直線與平面所成角為，則下列說法錯誤的是（）A．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面平面B．若為中點(diǎn)，則無論翻折到哪個位置都有平面C．D．存在某一翻折位置，使【來源】湖北省武漢市華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)2021屆高三下學(xué)期5月高考押題卷文科數(shù)學(xué)試題【答案】C【分析】對于A：根據(jù)線面垂直的判定和面面垂直的判定可判斷；對于B：取中點(diǎn)，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可證得四邊形PECQ是平行四邊形，再由線面平行的判定可判斷；對于C：過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為或其補(bǔ)角，根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷；對于D：根據(jù)面面角和線面角的定義可判斷．【詳解】若為中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則面，又面，所以平面平面，故A正確；取中點(diǎn)，則，，又，所以四邊形PECQ是平行四邊形，又平面，平面，所以平面，故B正確；過作平面，則在上，所以平面與平面所成銳二面角為（或其補(bǔ)角），，故C錯誤；若，又，則，故D正確，故選：C．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間直線、平面平行或垂直等位置關(guān)系命題的真假判斷，除了利用定理、公理、推理判斷外，還常采用畫圖（尤其是畫長方體）、現(xiàn)實(shí)實(shí)物判斷法（如墻角、桌面等）、排除篩選法等；另外，若原命題不太容易判斷真假，可以考慮它的逆否命題，判斷它的逆否命題真假，原命題與逆否命題等價.【變式演練4】（多選）在棱長為1的正方體中，點(diǎn)滿足，，，則以下說法正確的是（）A．當(dāng)時，平面B．當(dāng)時，存在唯一點(diǎn)使得與直線的夾角為C．當(dāng)時，長度的最小值為D．當(dāng)時，與平面所成的角不可能為【來源】湖北省恩施州2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試題【答案】ACD【分析】對于A，可知點(diǎn)在線段上，易證平面平面，利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；對于B，可證得點(diǎn)為中點(diǎn)，此時可判斷；對于C，可知三點(diǎn)共線，線段在中，利可求得距離最小值；對于D，設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為Q在線段上，則為所求角，求，可判斷結(jié)果.【詳解】對于A，當(dāng)時，，即點(diǎn)在線段上，利用正方體的性質(zhì)，易證平面平面，平面，平面，故A正確；對于B，當(dāng)時，，設(shè)的中點(diǎn)為H，則，即，即點(diǎn)為中點(diǎn)，此時，故B錯誤；對于C，當(dāng)時，可知三點(diǎn)共線，線段在中，當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，最小，此時，，故長度的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)時，可知三點(diǎn)共線，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為Q在線段上，則為與平面所成的角，，又，所以，而，所以與平面所成的角不可能為，故D正確；故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，①作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定垂足的位置是關(guān)鍵；②證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；③求，利用解三角形的知識求角；（2）向量法，（其中為平面的斜線，為平面的法向量，為斜線與平面所成的角）.方法二向量法萬能模板內(nèi)容使用場景求不確定點(diǎn)或面的問題解題模板第一步確定空間直角坐標(biāo)系；第二步通過條件進(jìn)行推理，引入變量表示所需點(diǎn)的坐標(biāo)；第三步利用所探索的點(diǎn)線面相關(guān)的條件，結(jié)合向量計(jì)算確認(rèn)參數(shù)的值或范圍.例4．如圖1，菱形中，動點(diǎn)，在邊，上(不含端點(diǎn))，且存在實(shí)數(shù)使，沿將向上折起得到，使得平面平面，如圖2所示.（1）若，設(shè)三棱錐和四棱錐的體積分別為，，求；（2）試討論，當(dāng)點(diǎn)的位置變化時，二面角是否為定值，若是，求出該二面角的余弦值，若不是，說明理由.【來源】重慶市南開中學(xué)2021屆高三下學(xué)期第六次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）;【分析】根據(jù)題目信息建立空間直角坐標(biāo)系，（1）將直線的方向向量表示出來，根據(jù)數(shù)量積等于0求解題目中的取值，進(jìn)而可以求得，最后獲得體積之比；（2）分別將兩個平面的法向量求解出來，根據(jù)面面角的公式求解平面角的余弦值，最后根據(jù)角是鈍角得出結(jié)果即可.【詳解】(1)取的中點(diǎn)為，因?yàn)榧?，所?所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，連接,由題意可知,以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,,，所以，，因?yàn)?，所以，解得：或者（舍）；因?yàn)槿忮F和四棱錐的體積分別為，，所以.(2)二面角是定值,證明如下：由（1）知，面的法向量，由，，設(shè)面的法向量為，所以，取，則，，即，設(shè)二面角的平面角為，所以，由圖可知二面角的平面角為鈍角，所以二面角的平面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】用向量方法解決立體幾何問題，樹立“基底”意識，利用基向量進(jìn)行線性運(yùn)算，要理解空間向量概念、性質(zhì)、運(yùn)算，注意和平面向量類比.【變式演練5】如圖，在半徑為的半球O中，平行四邊形是圓O的內(nèi)接四邊形，，點(diǎn)P是半球面上的動點(diǎn)，且四棱錐的體積為．（1）求動點(diǎn)P的軌跡T圍成的面積；（2）是否存在點(diǎn)P使得二面角的大小為？請說明理由．【來源】山西省臨汾市2021屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)（理）試題【答案】（1）；（2）存在，理由見解析.【分析】（1）根據(jù)條件得為矩形，可得底面積，由體積可得高，進(jìn)而得點(diǎn)在底面的距離為的平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡為半徑為的圓，從而得解；（2）以底面圓的圓心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，易知，再分別求兩個面的法向量，通過法向量表示二面角的余弦列方程求解即可.【詳解】（1）由已知條件可知，平行四邊形為矩形，因?yàn)?，，所以，四邊形的面積為，設(shè)點(diǎn)到底面的距離為，則，解得，所以點(diǎn)在底面的距離為的平面內(nèi)，又因?yàn)辄c(diǎn)是半球面的動點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡為半徑為的圓，所以T圍成的面積，（2）存在點(diǎn)P使得二面角的大小為，理由如下：以底面圓的圓心為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，由（1）可知，設(shè)，易知，設(shè)平面的法向量為，，，，取，由題意可取平面的法向量為，若要滿足題目條件，則，解得，所以存在點(diǎn)P使得二面角的大小為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對應(yīng)的兩個半平面中對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.【高考再現(xiàn)】1．（2018年全國卷Ⅲ文數(shù)高考試題）如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于，的點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，理由見解析【詳解】：（1）由題設(shè)知，平面CMD⊥平面ABCD，交線為CD．因?yàn)锽C⊥CD，BC平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．因?yàn)镸為上異于C，D的點(diǎn)，且DC為直徑，所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）當(dāng)P為AM的中點(diǎn)時，MC∥平面PBD．證明如下：連結(jié)AC交BD于O．因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為AC中點(diǎn)．連結(jié)OP，因?yàn)镻為AM中點(diǎn)，所以MC∥OP．MC平面PBD，OP平面PBD，所以MC∥平面PBD．【反饋練習(xí)】1．（多選）已知梯形，，，，是線段上的動點(diǎn)；將沿著所在的直線翻折成四面體，翻折的過程中下列選項(xiàng)中正確的是（）A．不論何時，與都不可能垂直B．存在某個位置，使得平面C．直線與平面所成角存在最大值D．四面體的外接球的表面積的最小值為【來源】廣東省佛山市五校聯(lián)盟2021屆高三5月數(shù)學(xué)模擬考試試題【答案】AD【分析】利用反證法可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分別取、的中點(diǎn)、，連接、，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷C選項(xiàng)的正誤；設(shè)四面體的外接球心為，求出四面體外接球半徑的最小值，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，在梯形中，，，，，且，則，因?yàn)?，由余弦定理可得，，，若，且，平面，平面，，事?shí)上，矛盾，故不論何時，與都不可能垂直，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，若平面，平面，則，所以，，而，，即，則、、無法構(gòu)成三角形，不合乎題意，B選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接、，則，，，則，，為的中點(diǎn)，則，，故平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，，設(shè)三棱錐的球心為，由可得，解得，設(shè)三棱錐的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，四面體的外接球的表面積的最小值為，D選項(xiàng)正確.對于C選項(xiàng)，設(shè)，，易知平面的一個法向量為，，而，即當(dāng)時，無最大值，進(jìn)而可知直線與平面所成角無最大值，C選項(xiàng)錯誤.故選：AD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.2．（多選）已知某正方體的平面展開圖如圖所示，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱（不包含端點(diǎn)）上的動點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．四面體的體積為定值B．存在點(diǎn)使得平面C．存在點(diǎn)使得平面D．當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，平面截正方體所得上、下兩個幾何體的體積之比為【來源】2021新高考高考最后一卷數(shù)學(xué)第三模擬【答案】ACD【分析】還原成立體圖形，由于平面，則A可判斷；由在底面上的射影與不垂直，則B可判斷；當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，有，則C可判斷；分別求得兩部分的體積即可判斷D．【詳解】如圖，A選項(xiàng)，因?yàn)?，所以平面，又點(diǎn)到平面的距離為定值，所以四面體的體積為定值，A正確；B選項(xiàng)，連接，若平面，則，但在底面上的射影與不垂直，因此與不可能垂直，故B錯誤；C選項(xiàng)，連接，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，易知，，，四點(diǎn)共面，且，所以平面，C正確；D選項(xiàng)，連接，當(dāng)為棱的中點(diǎn)時，平面截正方體所得下部分的幾何體為三棱臺，不妨設(shè)正方體的棱長為2，則三棱臺的體積，平面截正方體所得上部分的幾何體的體積，故上、下兩個幾何體的體積之比為，D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵在于還原立體圖，掌握線面位置關(guān)系的判定定理．3．（多選）在棱長為1的正方體中，已知E為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足，，其中，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)λ=時，三棱錐P-EFD的體積為定值B．當(dāng)μ=時，四棱錐P-ABCD的外接球的表面積是C．的最小值為D．存在唯一的實(shí)數(shù)對，使得EP⊥平面PDF【來源】廣東省2022屆高三上學(xué)期新高考普通高中聯(lián)合質(zhì)量測評摸底數(shù)學(xué)試題【答案】ACD【分析】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，，只需要證明點(diǎn)到平面的距離恒定，就能說明三棱錐的體積為定值；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，點(diǎn)為正方體的中心，只需求出四棱錐的外接球的半徑即可算出表面積；對于C選項(xiàng)，把問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)使得最小即可求解；對于D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法來證明即可.【詳解】對于A選項(xiàng)，當(dāng)時，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，又為線段的中點(diǎn)，故為三角形的中位線，，點(diǎn)在線段運(yùn)動時，點(diǎn)到平面的距離恒定，故三棱錐的體積為定值；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時，點(diǎn)為正方體的中心，設(shè)四棱錐的外接球的半徑為，由，解得，故四棱錐的外接球的表面積為對于C選項(xiàng)，把問題轉(zhuǎn)化為在平面內(nèi)求點(diǎn)使得最小，如圖，作點(diǎn)關(guān)于線段的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為和，則，設(shè)，則，故，故對于D選項(xiàng)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易求得，，故，若平面，則解得（舍）或故存在唯一的實(shí)數(shù)對，使得平面.故選：.4．如圖，矩形所在平面與正方形所在平面互相垂直，，點(diǎn)在線段上.給出下列命題：①直線直線；②直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是；③存在點(diǎn)，使得直線平面；④存在點(diǎn)，使得直線平面.其中所有真命題的序號是______.【來源】四川省大數(shù)據(jù)精準(zhǔn)聯(lián)盟2021屆高三第三次統(tǒng)一監(jiān)測文科數(shù)學(xué)試題【答案】①②④【分析】證明平面，可判斷①的正誤；利用線面角的定義可判斷②的正誤；利用反證法可判斷③的正誤；利用線面平行的判定可判斷④的正誤.【詳解】對于①，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危瑒t，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面，平面，平面，則，①正確；對于②，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，，所以，平面，所以，直線與平面所成的角為，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最小值，此時，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，取得最大值，此時.綜上所述，直線與平面所成角的正弦值的取值范圍是，②正確；對于③，設(shè)與相交于點(diǎn)，若平面，且平面，則，連接，則，同理可得，，，由勾股定理可得，當(dāng)在線段上運(yùn)動時，在題設(shè)條件下與不平行，則不成立，③錯誤；對于④，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，則且，、分別為、的中點(diǎn)，則且，所以，四邊形為平行四邊形，，平面，平面，因此，平面，④正確.故答案為：①②④.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長），進(jìn)而可求得線面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.5．七面體玩具是一種常見的兒童玩具．在幾何學(xué)中，七面體是指由七個面組成的多面體，常見的七面體有六角錐?五角柱?正三角錐柱?Szilassi多面體等．在拓?fù)鋵W(xué)中，共有34種拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)明顯差異的凸七面體，它們可以看作是由一個長方體經(jīng)過簡單切割而得到的．在如圖所示的七面體中，平面（1）在該七面體中，探究以下兩個結(jié)論是否正確．若正確，給出證明；若不正確，請說明理由：①平面；②平面；（2）求該七面體的體積．【來源】廣東省珠海市第二中學(xué)2021屆考前模擬數(shù)學(xué)試題【答案】（1）結(jié)論①正確；證明見解析；結(jié)論②錯誤；答案見解析；（2）．【分析】（1）①由平行四邊形得線線平行，再得線面平行；②假設(shè)平面，平面，得平面，得，但，所以，與矛盾，故②錯誤.（2）將七面體進(jìn)行分解，七面體的體積等于，轉(zhuǎn)化為容易求體積的幾何體來計(jì)算；也可補(bǔ)形為長方體,通過來求解；以及利用空間直角坐標(biāo)系也行.【詳解】（1）結(jié)論①正確，結(jié)論②錯誤，理由如下：對于結(jié)論①，因?yàn)榍遥B接，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)槠矫?，平面，平面結(jié)論①正確對于結(jié)論②，若，則，因?yàn)槠矫?，，所以平面，所以，又因?yàn)?，所以平面，所以，而在梯形中，，，所以，與矛盾所以結(jié)論②錯誤．（2）方法一：連接，交于點(diǎn)，連接，則在平面中，與EG相交，設(shè)交點(diǎn)為，則由可得，又，該七面體的體積等于方法二：將該七面體補(bǔ)成如圖所示的長方體；方法三：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求點(diǎn)到平面的距離后求三棱錐的體積．(參照給分【點(diǎn)睛】充分利用題目信息，特別是幾何體的幾何特征，并會假設(shè)結(jié)論成立，推導(dǎo)，若得出矛盾，則假設(shè)錯誤，否則假設(shè)成立.復(fù)雜的不規(guī)則的幾何體體積求解,需要轉(zhuǎn)化為常見幾何體的體積來解.6．如圖，為正三角形，半圓以線段為直徑，是圓弧上的動點(diǎn)（不包括，點(diǎn)）平面平面．（1）是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的位置，若不存在，請說明理由；（2），求直線與平面所成角的正弦值．【來源】百強(qiáng)名校2021屆高三5月模擬聯(lián)考（A卷）理科數(shù)學(xué)試題【答案】（1）不存在點(diǎn)，使得，答案見解析；（2）．【分析】（1）假設(shè)存在點(diǎn)，使得．過點(diǎn)作，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，可得平面，，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得平面，即，與已知矛盾，假設(shè)不成立，故不存在點(diǎn)D.（2）如圖建系，設(shè)，根據(jù)條件，可得各點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得，，坐標(biāo)，求得平面的法向量，利用線面角的向量求法，即可求得答案.【詳解】（1）不存在點(diǎn)，使得，證明如下：∵是圓弧上的動點(diǎn)（不包括，點(diǎn)），假設(shè)存在點(diǎn)，使得．過點(diǎn)作，∵平面平面，平面平面．∴平面，平面，∴，又，∴平面，即，而，得出矛盾．假設(shè)不正確．因此不存在點(diǎn)，使得．（2）設(shè)圓心為點(diǎn)，連接OA，作垂直于BC，分別以，，OA，為x，y，z軸正方向建系，如圖所示．設(shè)，則，，，，．∴，，，設(shè)平面的法向量為：，則，∴，，取，∴直線與平面所成角的正弦值∴直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是熟練掌握線面垂直的判定、性質(zhì)定理，面面垂直的性質(zhì)定理，并靈活應(yīng)用，在利用向量法求線面角時，直線方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值，即為線面角的正弦值，考查計(jì)算求解的能力.7．在濱海文化中心有天津?yàn)I海科技館，其建筑有鮮明的后工業(yè)風(fēng)格，如圖所示，截取其中一部分抽象出長方體和圓臺組合，如圖所示，長方體中，，圓臺下底圓心為的中點(diǎn)，直徑為2，圓與直線交于，圓臺上底的圓心在上，直徑為1.（1）求與平面所成角的正弦值；（2）求二面角的余弦值；（3）圓臺上底圓周上是否存在一點(diǎn)使得，若存在，求點(diǎn)到直線的距離，若不存在則說明理由.【來源】天津市河?xùn)|區(qū)2021屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題【答案】（1）；（2）；（3）存在點(diǎn)，此時點(diǎn)到直線的距離為．【分析】（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)的坐標(biāo)和向量的坐標(biāo)，求出直線的方向向量和平面的法向量，由線面角的計(jì)算公式求解即可；（2）利用待定系數(shù)法求出兩個平面的法向量，然后由向量的夾角公式求解即可；（3）假設(shè)存在點(diǎn)，，，利用點(diǎn)在底面圓上以及垂直關(guān)系，列出關(guān)于，的方程，求解即可．【詳解】（1）由題意可知，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，0，，，4，，，1，，，0，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，所以，故與平面所成角的正弦值為；（2）由（1）可知，，3，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，即，令，則，，故，所以，故二面角的余弦值為；（3）由（1）可知，，0，，，4，，所以，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，設(shè)，，，由題意可知，所以，因?yàn)椋瑒t有，所以，又，所以，解得（舍，，所以當(dāng)時，，此時點(diǎn)到直線的距離為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：涉及線面角與二面角角的求解以及點(diǎn)到線的距離的求解的時候，一般會建立合適的空間直角坐標(biāo)系，將空間角問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題進(jìn)行研究，屬于中檔題．8．如圖，已知矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，且，，，且（1）設(shè)點(diǎn)M為棱中點(diǎn)，求證平面；（2）線段上是否存在一點(diǎn)N，使得直線與平面所成角的正弦值等？若存在，試求出線段的長度；若不存在，請說明理由．【來源】湖北省新高考聯(lián)考協(xié)作體2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期新起點(diǎn)考試數(shù)學(xué)試題【答案】（1）證明見解析；（2）存在；或．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明直線，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分