必修四平面向量數(shù)量積教案

必修四平面向量的數(shù)量積授課方案必修四平面向量的數(shù)量積授課方案13/13必修四平面向量的數(shù)量積授課方案平面向量的數(shù)量積授課方案A第1課時(shí)授課目的一、知識(shí)與技術(shù)1．掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義；2．掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；3．認(rèn)識(shí)用平面向量的數(shù)量積能夠辦理相關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題；二、過(guò)程與方法本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是啟示學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義此后即可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，爾后經(jīng)過(guò)看法辨析題加深學(xué)生關(guān)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)．三、感情、態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)過(guò)問(wèn)題的解決，培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、解析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)質(zhì)操作能力；培養(yǎng)學(xué)生的交流意識(shí)、合作精神；培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)表達(dá)自己解題思路和研究問(wèn)題的能力．授課重點(diǎn)、難點(diǎn)授課重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義．授課難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用授課重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義的理解．授課方法

.本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是啟示學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義此后即可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，爾后經(jīng)過(guò)看法辨析題加深學(xué)生關(guān)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)．學(xué)習(xí)方法經(jīng)過(guò)類比物理中功的定義，來(lái)推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算．授課準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備:多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備:練習(xí)本、尺規(guī).授課過(guò)程一、創(chuàng)立情境，導(dǎo)入新課在物理課中，我們學(xué)過(guò)功的看法，即若是一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W可由下式計(jì)算：W=|F||s|cosθ，其中θ是F與s的夾角．我們知道力和位移都是向量，而功是一個(gè)標(biāo)量（數(shù)量）．故從力所做的功出發(fā)，我們就自但是然地引入向量數(shù)量積的看法．二、主題研究，合作交流提出問(wèn)題a·b的運(yùn)算結(jié)果是向量還是數(shù)量？它的名稱是什么？②由所學(xué)知識(shí)能夠知道，任何一種運(yùn)算都有其相應(yīng)的運(yùn)算律，數(shù)量積是一種向量的乘法運(yùn)算，它是否滿足實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算律？師生活動(dòng):已知兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作即

a·b，a·b=|

a||

b|cosθ（0≤θ≤π）．其中θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量

a在

b方向上（

b在

a方向上）的投影．在教師與學(xué)生一起研究的活動(dòng)中，應(yīng)特別點(diǎn)撥引導(dǎo)學(xué)生注意（1）兩個(gè)非零向量的數(shù)量積是個(gè)數(shù)量，而不是向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積；2）零向量與任向來(lái)量的數(shù)量積為0，即a·0=0；3）符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能夠省略，也不能夠用“×”代替；（4）當(dāng)0≤θ<時(shí)cosθ>0，從而a·b>0；當(dāng)<θ≤π時(shí)，cosθ<0，從而a·b<0．與學(xué)生共同22研究并證明數(shù)量積的運(yùn)算律．已知a、b、c和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足以下運(yùn)算律:①a·b=b·a（交換律）；②（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）；③（a+b）·c=a·c+b·c（分配律）．特別是:（1）當(dāng)a≠0時(shí)，由a·b=0不能夠推出b必然是零向量．這是因?yàn)槿我慌ca垂直的非零向量b，都有a·b=0．注意：已知實(shí)數(shù)a、b、c（b≠0），則ab=bca=c．但對(duì)向量的數(shù)量積，該推理不正確，即a·b=b·c不能夠推出a=c．由上圖很簡(jiǎn)單看出，誠(chéng)然a·b=b·c，但a≠c．關(guān)于實(shí)數(shù)、、c有（a·）=（·）；但關(guān)于向量、、，（·）=（·）不成立．這是abbcabcabcabcabc因?yàn)椋╝·b）c表示一個(gè)與c共線的向量，而a（b·c）表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不用然共線，因此（a·b）c=a（b·c）不成立．提出問(wèn)題①怎樣理解向量的投影與數(shù)量積？它們與向量之間有什么關(guān)系？②能用“投影”來(lái)講解數(shù)量積的幾何意義嗎？師生活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生來(lái)總結(jié)投影的看法，能夠結(jié)合“研究”，讓學(xué)生用平面向量的數(shù)量積的定義，從數(shù)與形兩個(gè)角度進(jìn)行研究研究．教師給出圖形并作結(jié)論性的總結(jié)，提出注意點(diǎn)“投影”的看法，以以下列圖．定義：|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影．并引導(dǎo)學(xué)生思慮.A.投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；.當(dāng)θ為銳角時(shí)投影為正當(dāng)；當(dāng)θ為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時(shí)投影為0；當(dāng)θ=0°時(shí)投B影為|b|；當(dāng)θ=180°時(shí)投影為-|b|．教師結(jié)合學(xué)生對(duì)“投影”的理解，讓學(xué)生總結(jié)出向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積．讓學(xué)生思慮:這個(gè)投影值可正、可負(fù)，也可為零，因此我們說(shuō)向量的數(shù)量積的結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)．教師和學(xué)生共同總結(jié)兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì):a、b為兩個(gè)非零向量，θ為兩向量的夾角，e是與b同向的單位向量．·a=a·e=|a|cosθ．⊥ba·b=0．C.當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b=-|a||b|．特別地a·a=|a|2或|a|=a?a．θ=a?b．|a||b|E.|a·b|≤|a||b|．上述性質(zhì)要修業(yè)生結(jié)合數(shù)量積的定義自己試一試推證，教師恩賜必要的補(bǔ)充和提示，在推導(dǎo)過(guò)程中理解并記憶這些性質(zhì)．談?wù)摻Y(jié)果:①略．②向量的數(shù)量積的幾何意義為數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cosθ的乘積．三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高例1已知|a|=5，|b|=4，a與b的夾角為120°，求a·b活動(dòng):教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積并結(jié)合兩向量的夾角來(lái)求解．:a·b=|a||b|cosθ=5×4×cos120°=5×4×（1）2=-10．談?wù)?確定兩個(gè)向量的夾角，利用數(shù)量積的定義求解．例2我們知道，對(duì)任意22222a、b，a，b∈R，恒有（a+b）=a+2ab+b，（a+b）（a-b）=a-b．對(duì)任意向量可否也有下面近似的結(jié)論？1）（a+b）2=a2+2a·b+b2；2）（a+b）·（a-b）=a2-b2．解：（1）（a+b）2=（a+b）·（a+b）=a·b+a·b+b·a+b·b=a2+2a·b+b2；2）（a+b）·（a-b）=a·a-a·b+b·a-b·b=a2-b2．例3已知|a|=6，|b|=4，a與b的夾角為60°，求（a+2b）·（a-3b）．:（a+2b）·（a-3b）=a·a-a·b-6b·b=|a|2-a·b-6|b|2=|a|2-|a|||cosθ-6|b|2b22=6-6×4×cos60°-6×4=-72．例4已知|a|=3，|b|=4，且a與b不共線，當(dāng)k為何值時(shí)，向量a+kb與a-kb互相垂直？解:a+kb與a-kb互相垂直的條件是（a+kb）·（a-kb）=0，a2-k2b2=0．a(chǎn)2=32=9，b2=42=16，∴9-16k2=0．∴k=±3．4也就是說(shuō)，當(dāng)k=±3時(shí)，+與-kb互相垂直．4akba談?wù)?本題主要觀察向量的數(shù)量積性質(zhì)中垂直的充要條件．四、小結(jié)1．先由學(xué)生回顧本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)量積的定義、幾何意義，數(shù)量積的重要性質(zhì)，數(shù)量積的運(yùn)算律．2．教師與學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)方法，概括類比、定義法、數(shù)形結(jié)合等．在領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的同時(shí)，激勵(lì)學(xué)生多角度、發(fā)散性地思慮問(wèn)題，并激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行一題多解．課堂作業(yè)1．已知a，b，c是非零向量，則以下四個(gè)命題中正確的個(gè)數(shù)為（）①|(zhì)·|=||||a∥②a與b反向a·=-|a||b|ababbb③a⊥b|a+b|=|a-b|④|a|=|b||a·c|=|b·c|A．1B．2C．3D．42．有以下四個(gè)命題:①在△ABC中，若AB·BC>0，則△ABC是銳角三角形；②在△中，若AB·BC>0，則△為鈍角三角形；ABCABCABCAB·BC=0；③△為直角三角形的充要條件是④△ABC為斜三角形的充要條件是AB·BC≠0．其中為真命題的是（）A．①B．②C．③D．④3．設(shè)|a|=8，e為單位向量，a與e的夾角為60°，則a在e方向上的投影為（）3A．43B．4C．42D．8+24．設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量，且它們互相不共線，有以下四個(gè)命題:①（a·b）c-（c·a）b=0；②|a|-|b|<|a-b|；③（b·c）a-（c·a）b不與c垂直；④（3a+2b）·（3a-2b）=9|a|2-4|b|2．其中正確的選項(xiàng)是（）A．①②B．②③C．③④D．②④5．在△ABC中，設(shè)AB=b，AC=c，則(|b|c|)2(b?c)2等于（）A．0B．1S△ABCC．S△ABCD．2S△ABC2x軸、y軸方向上的單位向量，且6．設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系中a=（m+1）i-3j，b=i+（m-1）j，若是（a+b）⊥（a-b），則實(shí)數(shù)m=_____________．7．若向量a、b、c滿足a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，則a·b+b·c+c·a=_________．參照答案:1．C2．B3．B4．D5．D6．-27．-13第2課時(shí)授課目的一、知識(shí)與技術(shù)1．掌握平面向量數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律.2．能利用數(shù)量積的性質(zhì)及數(shù)量積運(yùn)算規(guī)律解決相關(guān)問(wèn)題.3．掌握兩個(gè)向量共線、垂直的幾何判斷，會(huì)證明兩向量垂直，以及能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題．二、過(guò)程與方法教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．經(jīng)過(guò)例題解析、課堂訓(xùn)練，讓學(xué)生總結(jié)概括出關(guān)于向量的坐標(biāo)、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個(gè)因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本題型的求解方法．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示是在學(xué)生學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)進(jìn)步一步學(xué)習(xí)的，這都為數(shù)量積的坐標(biāo)表示確定了知識(shí)和方法基礎(chǔ)．三、感情、態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)過(guò)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算速度，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)．授課重點(diǎn)、難點(diǎn)授課重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．授課難點(diǎn)：向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用．授課重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解．授課打破方法：教師應(yīng)在坐標(biāo)基底向量的數(shù)量積的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示．并經(jīng)過(guò)練習(xí)，使學(xué)生掌握數(shù)量積的應(yīng)用．教法與學(xué)法導(dǎo)航授課方法：?jiǎn)⑹疽T，講練結(jié)合.學(xué)習(xí)方法：主動(dòng)研究，練習(xí)牢固．授課準(zhǔn)備教師準(zhǔn)備：多媒體、尺規(guī).學(xué)生準(zhǔn)備：練習(xí)本、尺規(guī).授課過(guò)程一、創(chuàng)立情境，導(dǎo)入新課前面我們學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面向量的數(shù)量積，那么，可否用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積呢？若能，怎樣表示呢？由此又能產(chǎn)生什么結(jié)論呢？本節(jié)課我們就來(lái)研究這個(gè)問(wèn)題．（板書課題）二、主題研究，合作交流提出問(wèn)題：①已知兩個(gè)非零向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），怎樣用a與b的坐標(biāo)表示a·b呢？②怎樣用向量的坐標(biāo)表示兩個(gè)平面向量垂直的條件？③你可否依照所學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出向量的長(zhǎng)度、距離和夾角公式？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用前面所學(xué)知識(shí)對(duì)問(wèn)題進(jìn)行推導(dǎo)和研究．提示學(xué)生在向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行推導(dǎo)數(shù)量積的坐標(biāo)表示．教師能夠組織學(xué)生到黑板上板書推導(dǎo)過(guò)程，教師恩賜必要的提示和補(bǔ)充．推導(dǎo)過(guò)程以下：a=x1ｉ+y1j，b=x2ｉ+y2j，∴a·b=（x1ｉ+y1j）·（x2ｉ+y2j）=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2．又∵ｉ·ｉ=1，j·j=1，ｉ·j=j·ｉ=0，a·b=x1x2+y1y2．教師給出結(jié)論性的總結(jié)，由此可概括以下：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2．向量模的坐標(biāo)表示若a=（x，y），則|a|2=x2+y2，或|a|=x2y2．若是表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），那么a=（2-x1，2-y1），|a|=(x2x1)2(y2y1)2.xy兩向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a⊥bx1x2+y1y2=0．兩向量夾角的坐標(biāo)表示a、b都是非零向量，a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ是a與b的夾角，依照向量數(shù)量積的定義及坐標(biāo)表示，可得cosθ=agbx1x2y1y2|a||b|x12y12gx22y22三、拓展創(chuàng)新，應(yīng)用提高1已知A（1，2），B（2，3），C（-2，5），試判斷△ABC的形狀，并給出證明．活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)解決平面圖形的形狀問(wèn)題．判斷平面圖形的形狀，特別是三角形的形狀時(shí)主要看邊長(zhǎng)可否相等，角可否為直角．可先作出草圖，進(jìn)行直觀判斷，再去證明．在證明中若平面圖形中有兩個(gè)邊所在的向量共線也許模相等，則此平面圖形與平行四邊形相關(guān);若三角形的兩條邊所在的向量模相等也許由兩邊所在向量的數(shù)量積為零，則此三角形為等腰三角形也許為直角三角形．教師能夠讓學(xué)生多總結(jié)幾種判斷平面圖形形狀的方法．解：在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出A（1，2），B（2，3），C（-2，5）三點(diǎn)，我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形．下面給出證明．AB=（2-1，3-2）=（1，1），AC=（-2-1，5-2）=（-3，3），AB·AC=1×（-3）+1×3=0．AB⊥AC．∴△ABC是直角三角形．談?wù)摚罕绢}觀察的是向量數(shù)量積的應(yīng)用，利用向量垂直的條件和模長(zhǎng)公式來(lái)判斷三角形的形狀．當(dāng)給出要判斷的三角形的極點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，第一要作出草圖，獲得直觀判斷，爾后對(duì)你的結(jié)論給出充分的證明．2設(shè)a=（5，-7），b=（-6，-4），求a·b及a、b間的夾角θ（精確到1°）．解：a·b=5×（-6）+（-7）×（-4）=-30+28=-2．|a|=52(7)274，|b|=(6)2(4)252，由計(jì)算器得cosθ=2≈-0．03．7452利用計(jì)算器得θ≈1．6rad=92°．四、小結(jié)1．在知識(shí)層面上，先引導(dǎo)學(xué)生概括平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，向量的模，兩向量的夾角，向量垂直的條件．其次引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算規(guī)律，夾角和距離公式、兩向量垂直的坐標(biāo)表示．2．在思想方法上，教師與學(xué)生一起回顧研究過(guò)程中用到的思想方法和數(shù)學(xué)思想方法，定義法，待定系數(shù)法等．課堂作業(yè)1．若a=（2，-3），b=（x，2x），且a·b=4，則x等于（）3A．3B．1C．1D．-3332．設(shè)a=（1，2），b=（1，m），若a與b的夾角為鈍角，則m的取值范圍是（）A．m>1B．m<1C．m>1D．m<122223．若a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ），則（）A．a(chǎn)⊥bB．a(chǎn)∥bC．（a+b）⊥（a-b）D．（a+b）∥（a-b）4．與a=（u，v）垂直的單位向量是（）v,uA．（）u2v2u2v2B．（v,u）u2u2v2v2C．（v,u）u2u2v2v2D．（vuvuu2,22）或（u2,u2）v2uvv2v25．已知向量a=（cos23°，cos67°），b=（cos68°，cos22°），u=a+tb（t∈R），求u的模的最小值．6．已知a，b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角．7．已知△ABC的三個(gè)極點(diǎn)為A（1，1），B（3，1），C（4，5），求△ABC的面積．參照答案：1．C2．D3．C4．D5．|a|=cos223cos267cos223sin223=1，同理有|b|=1．a(chǎn)·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos45°=2，2∴2（ab）2a2a·b+t2b222t+1=（t+2）21≥1．|u|=+t=+2t=t+2+22當(dāng)t=2時(shí)，|u|min=2．226．由已知（a+3b）⊥（7a-5b）（a+3b）·（7a-5b）=07a2+16a·b-15b2=0．①又（a-4b）⊥（7a-2b）（a-4b）·（7a-2b）=07a2-30a·b+8b2=0．②①-②得46·2·b2|b|2ab=23，即=.③22將③代入①，可得7|a|2+8|b|2-15|b|2=0，即|a|2=|b|2，有|a|=|b|，b|b|21．∴若記a與b的夾角為?2θ，則cosθ=a|a|g|b||b|g|b|2又θ∈[0°，180°]，∴θ=60°，即a與b的夾角為60°．S1AB||AC|sinBACABAC|易求，要求sin∠BAC7．解析：=|∠|，|△ABC2BAC．解：∵AB=（2，0），AC=（3，4），|AB|=2，|AC|=5，uuuruuur230434ABgAC．∴cos∠BAC=uuuuuruuur25．∴sin∠BAC=5|AB||AC|5∴△=1|AB||AC|sin∠=1×2×5×4=4．ABC225授課方案B第一課時(shí)授課目的一、知識(shí)與技術(shù)認(rèn)識(shí)平面向量數(shù)量積的物理背景，理解數(shù)量積的含義及其物理意義；領(lǐng)悟平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系，理解掌握數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能運(yùn)用性質(zhì)和運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算．二、過(guò)程與方法領(lǐng)悟類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力．三、感情、態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)過(guò)自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)參加、積極研究，學(xué)生能感覺數(shù)學(xué)問(wèn)題研究的樂(lè)趣和成功的歡樂(lè)，增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，并養(yǎng)成優(yōu)異的思想習(xí)慣．授課重點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義，用平面向量的數(shù)量積表示向量的模、夾角．授課難點(diǎn)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解，平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．教具多媒體、實(shí)物投影儀．內(nèi)容解析本節(jié)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)是啟示學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義此后即可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，爾后經(jīng)過(guò)看法辨析題加深學(xué)生關(guān)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)．主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的3個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律．授課流程看法引入→看法獲得→簡(jiǎn)單運(yùn)用→運(yùn)算律研究→理解掌握→反思提高授課設(shè)想：一、情境設(shè)置：?jiǎn)栴}1：回憶一下物理中“功”的計(jì)算，功的大小與哪些量相關(guān)？結(jié)合向量的學(xué)習(xí)你有什么想法？Wurur??ururF|?|S|cosF與S的夾角．（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)功這個(gè)物理量所涉及力做的功：=|，是的物理量，從“向量相乘”的角度進(jìn)行解析）二、新課講解1．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫a與b的數(shù)量積，記a?b，即有a?b=|a||b|cos?，（０≤θ≤π）．并規(guī)定：0與任何向量的數(shù)量積為0．問(wèn)題2：定義中涉及哪些量？它們有怎樣的關(guān)系？運(yùn)算結(jié)果還是向量嗎？（引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)清向量數(shù)量積運(yùn)算定義中既涉及向量模的大小，又涉及向量的交角，運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量）注意：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大差異．（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos?的符號(hào)所決定．2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱為內(nèi)積，寫成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書寫時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分．符號(hào)“·”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能夠省略，也不能夠用“×”代替．（3）在實(shí)數(shù)中，若a?0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a?0，且a?b=0，不能夠推出b=0．因?yàn)槠渲衏os?有可能為0．4）已知實(shí)數(shù)a、b、c（b?0），則ab=bc?a=c．但是在向量的數(shù)量積中，a?b=b?c推導(dǎo)不出a=c.以以下列圖：ababbOA，?=||||cos?=||||bcbc|cos?=|bOAabbc，但ac.?=||||||??=??5）在實(shí)數(shù)中，有（a?b）c=a（b?c），但是在向量中，（a?b）c?a（b?c）顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線的向量，而右端是與a共線的向量，而一般a與c不共線．（“投影”的看法）：作圖2．定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影．投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正當(dāng)；當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時(shí)投影為0；當(dāng)?=0?時(shí)投影為|b|；當(dāng)?=180?時(shí)投影為?|b|．3．向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積．例1已知平面上三點(diǎn)A、B、C滿足|AB|=2，|BC|=1，|CA|=3，求AB·BC+BC·CA+CA．AB的值.解:由已知,|BC|2+|CA|2=|AB|2，因此△ABC是直角三角形.而且∠ACB=90°,從而sin∠ABC=3，sin∠BAC=1.22∴∠ABC=60°，∠BAC=30°.AB與BC的夾角為120°，BC與CA的夾角為90°，CA與AB的夾角為150°.故AB·BC+BC·CA+CA·AB=2×1×cos120°+1×

3cos90°+

3×2cos150°=-4.談?wù)?確定兩個(gè)向量的夾角

,應(yīng)先平移向量

,使它們的起點(diǎn)相同

,再觀察其角的大小

,而不是簡(jiǎn)單地看作兩條線段的夾角

,如例題中

AB

與BC

的夾角是

120°,而不是

60°.研究

1：非零向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，那么它何時(shí)為正，何時(shí)為當(dāng)0°≤θ＜90°時(shí)a·b為正；

0，何時(shí)為負(fù)？當(dāng)θ=90°時(shí)a·b為零；90°＜θ≤180°時(shí)a·b為負(fù).研究2：兩個(gè)向量的夾角決定了它們數(shù)量積的符號(hào)，那么它們共線或垂直時(shí)，數(shù)量積有什么特別性呢？4．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量．1）a?b?a?b=0．2）當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b=|a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b=?|a||b|．特其他a?a=|a|2或|a|aa．3）|a?b|≤|a||b|．公式變形：cos?=ab|a||b|研究3：對(duì)一種運(yùn)算自然會(huì)涉及運(yùn)算律，回憶過(guò)去研究過(guò)的運(yùn)算律，向量的數(shù)量積應(yīng)有怎樣的運(yùn)算律？（引導(dǎo)學(xué)生類比得出運(yùn)算律，老師作補(bǔ)充說(shuō)明）向量a、b、c和實(shí)數(shù)λ，有1）a?b=b?a2）（λa）?b=λ（a?b）=a?（λb）3）（a+b）?c=a·c+b?c（進(jìn)一步）你能證明向量數(shù)量積的運(yùn)算律嗎？（引導(dǎo)學(xué)生證明（1）、（2））例2判斷正誤：uuur①a·0＝0；②0·a＝０；③0-AB＝BA；④｜a·ｂ｜＝｜a｜｜ｂ｜；⑤若a≠0，則對(duì)任一非零ｂ有a·ｂ≠０；⑥a·ｂ＝０，則a與ｂ中最少有一個(gè)為0；⑦對(duì)任意向量a，ｂ，с都有（a·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧a與ｂ是兩個(gè)單位向量，則a２＝ｂ２．上述8個(gè)命題中只有②③⑧正確；例3已知｜｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①∥ｂ，②⊥ｂ，③a與ｂ的夾角是60°時(shí)，分別求a·ｂ．a(chǎn)aa解：①當(dāng)a∥ｂ時(shí)，若a與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴a·ｂ＝｜a｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18；若a與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，a·ｂ＝｜a｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝-18；②當(dāng)a⊥ｂ時(shí)，它們的夾角θ＝90°，a·ｂ＝０；③當(dāng)a與ｂ的夾角是60°時(shí)，有a·ｂ＝｜a｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×1＝9．2談?wù)摚簝蓚€(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角相關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)a∥ｂ時(shí)，有0°180°兩種可能．談?wù)摚哼@一種類題，要修業(yè)生確實(shí)掌握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律．三、課堂練習(xí)1．已知||=1，||=2，且（-）與a垂直，則a與b的夾角是（）ababA．60°B．30°C．135°D．４５°2．已知|a|=2，|b|=1，a與b之間的夾角為π，那么向量m=a-4b的模為（）3A．2B．23C．6D．123．已知a、b是非零向量，若|a|=|b|則（a+b）與（4．已知向量、的夾角為，||=2，||=1，則|abab

a-b）.a+b|·|a-b|=．35．已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐標(biāo)系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那a·b=．6．已知|a|=1，|b|=2，（1）若∥，求·；（2）若、的夾角為45°，求|+|；（3）若-bababababaa垂直，求a與b的夾角．參照答案:1．D2．B3．垂直4．215．-376.解：（1）若a、b方向相同，則a·b=2；若a、b方向相反，則a·b=2；（2）|ab5．+|=3）45°．四、知識(shí)小結(jié)1）經(jīng)過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你學(xué)到了哪些知識(shí)？2）關(guān)于向量的數(shù)量積，你還有什么問(wèn)題？五、課后作業(yè)教材第108頁(yè)習(xí)題2．4A組1、2、3、6、7授課后記數(shù)學(xué)課堂授課應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程和方法的授課，數(shù)學(xué)活動(dòng)是以學(xué)生為主體的活動(dòng)，沒有學(xué)生積極參加的課堂授課是失敗的．本節(jié)課授課方案依照“問(wèn)題——談?wù)摗鉀Q”的模式進(jìn)行，并以學(xué)生為主體，教師以課堂授課的引導(dǎo)者、談?wù)撜?、組織者和參加者同學(xué)生一起研究平面向量數(shù)量積定義、性質(zhì)和運(yùn)算律的形成與發(fā)展過(guò)程．向來(lái)做到以“學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)、思想為主攻、訓(xùn)練為主線”．第2課時(shí)授課目的一、知識(shí)與技術(shù)掌握平面向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算及應(yīng)用．二、過(guò)程與方法1.經(jīng)過(guò)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，領(lǐng)悟向量的代數(shù)性和幾何性.從詳盡應(yīng)用領(lǐng)悟向量數(shù)量積的作用．三、感情、態(tài)度與價(jià)值觀學(xué)會(huì)對(duì)待不相同問(wèn)題用不相同的方法解析的態(tài)度.授課重點(diǎn)、難點(diǎn)授課重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示.授課難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的綜合運(yùn)用.教具多媒體、實(shí)物投影儀.授課設(shè)想一、復(fù)習(xí)引入向量的坐標(biāo)表示，為我們解決相關(guān)向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算帶來(lái)了極大的方便．上一節(jié)，我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)量積，那么向量的坐標(biāo)表示，對(duì)平面向量的數(shù)量積的表示方式又會(huì)帶來(lái)哪些變化呢？由此直接進(jìn)入主題．二、研究新知：⒈平面兩向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示已知兩個(gè)非零向量a(x1,y1)，b(x2,y2)，試用a和b的坐標(biāo)表示ab．設(shè)i是x軸上的單位向量