1997-2018年考研數(shù)學(xué)1真題

1997年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3,則冪級數(shù)的收斂區(qū)間為_____________.(3)對數(shù)螺線在點(diǎn)處切線的直角坐標(biāo)方程為_____________.(4)設(shè)為三階非零矩陣,且則=_____________.(5)袋中有50個乒乓球,其中20個是黃球,30個是白球,今有兩人依次隨機(jī)地從袋中各取一球,取后不放回,則第二個人取得黃球的概率是_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)二元函數(shù),在點(diǎn)處(A)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在 (B)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(C)不連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)存在 (D)連續(xù),偏導(dǎo)數(shù)不存在(2)設(shè)在區(qū)間上令則(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)則(A)為正常數(shù) (B)為負(fù)常數(shù)(C)恒為零 (D)不為常數(shù)(4)設(shè)則三條直線(其中)交于一點(diǎn)的充要條件是(A)線性相關(guān) (B)線性無關(guān)(C)秩秩(D)線性相關(guān)線性無關(guān)(5)設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量的方差是(A)8 (B)16(C)28 (D)44三、(本題共3小題,每小題5分,滿分15分) (1)計算其中為平面曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面與平面所圍成的區(qū)域. (2)計算曲線積分其中是曲線從軸正向往軸負(fù)向看的方向是順時針的.(3)在某一人群中推廣新技術(shù)是通過其中掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的,設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為在時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為在任意時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為將視為連續(xù)可微變量),其變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比,比例常數(shù)求四、(本題共2小題,第(1)小題6分,第(2)小題7分,滿分13分) (1)設(shè)直線在平面上,而平面與曲面相切于點(diǎn)求之值. (2)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),而滿足方程求五、(本題滿分6分)設(shè)連續(xù)且為常數(shù)),求并討論在處的連續(xù)性.六、(本題滿分8分)設(shè)證明 (1)存在. (2)級數(shù)收斂.七、(本題共2小題,第(1)小題5分,第(2)小題6分,滿分11分) (1)設(shè)是秩為2的矩陣是齊次線性方程組的解向量,求的解空間的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基. (2)已知是矩陣的一個特征向量. 1)試確定參數(shù)及特征向量所對應(yīng)的特征值. 2)問能否相似于對角陣?說明理由.八、（本題滿分5分）設(shè)是階可逆方陣,將的第行和第行對換后得到的矩陣記為(1)證明可逆.(2)求九、（本題滿分7分）從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗,假設(shè)再各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,并且概率都是設(shè)為途中遇到紅燈的次數(shù),求隨機(jī)變量的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望.十、（本題滿分5分）設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)是來自總體的一個容量為的簡單隨機(jī)樣本,分別用矩估計法和極大似然估計法求的估計量.1998年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________. (2)設(shè)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),則=_____________.(3)設(shè)為橢圓其周長記為則=_____________.(4)設(shè)為階矩陣為的伴隨矩陣為階單位矩陣.若有特征值則必有特征值_____________.(5)設(shè)平面區(qū)域由曲線及直線所圍成,二維隨機(jī)變量在區(qū)域上服從均勻分布,則關(guān)于的邊緣概率密度在處的值為_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)連續(xù),則=(A) (B)(C) (D)(2)函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的個數(shù)是(A)3 (B)2(C)1 (D)0(3)已知函數(shù)在任意點(diǎn)處的增量且當(dāng)時是的高階無窮小,,則等于(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)矩陣是滿秩的,則直線與直線(A)相交于一點(diǎn) (B)重合(C)平行但不重合 (D)異面(5)設(shè)是兩個隨機(jī)事件,且則必有(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分5分)求直線在平面上的投影直線的方程,并求繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成曲面的方程. 四、(本題滿分6分)確定常數(shù)使在右半平面上的向量為某二元函數(shù)的梯度,并求五、(本題滿分6分)從船上向海中沉放某種探測儀器,按探測要求,需確定儀器的下沉深度從海平面算起)與下沉速度之間的函數(shù)關(guān)系.設(shè)儀器在重力作用下,從海平面由靜止開始鉛直下沉,在下沉過程中還受到阻力和浮力的作用.設(shè)儀器的質(zhì)量為體積為海水密度為儀器所受的阻力與下沉速度成正比,比例系數(shù)為試建立與所滿足的微分方程,并求出函數(shù)關(guān)系式六、(本題滿分7分)計算其中為下半平面的上側(cè)為大于零的常數(shù).七、(本題滿分6分)求八、（本題滿分5分）設(shè)正向數(shù)列單調(diào)減少,且發(fā)散,試問級數(shù)是否收斂?并說明理由.九、（本題滿分6分）設(shè)是區(qū)間上的任一非負(fù)連續(xù)函數(shù).(1)試證存在使得在區(qū)間上以為高的矩形面積,等于在區(qū)間上以為曲邊的曲邊梯形面積.(2)又設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且證明(1)中的是唯一的.十、（本題滿分6分）已知二次曲面方程可以經(jīng)過正交變換化為橢圓柱面方程求的值和正交矩陣十一、（本題滿分4分）設(shè)是階矩陣,若存在正整數(shù)使線性方程組有解向量且證明:向量組是線性無關(guān)的.十二、（本題滿分5分）已知方程組(Ⅰ)的一個基礎(chǔ)解析為試寫出線性方程組(Ⅱ)的通解,并說明理由.十三、（本題滿分6分）設(shè)兩個隨機(jī)變量相互獨(dú)立,且都服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,求隨機(jī)變量的方差.十四、（本題滿分4分）從正態(tài)總體中抽取容量為的樣本,如果要求其樣本均值位于區(qū)間內(nèi)的概率不小于0.95,問樣本容量至少應(yīng)取多大?附:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表1.281.6451.962.330.9000.9500.9750.990十五、（本題滿分4分）設(shè)某次考試的學(xué)生成績服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取36位考生地成績,算得平均成績?yōu)?6.5分,標(biāo)準(zhǔn)差為15分.問在顯著性水平0.05下,是否可以認(rèn)為這次考試全體考生的平均成績?yōu)?0分?并給出檢驗(yàn)過程.附:分布表0.950.975351.68962.0301361.68832.0281

1999年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)=_____________.(3)的通解為=_____________.(4)設(shè)階矩陣的元素全為1,則的個特征值是_____________.(5)設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件和滿足條件:且已知則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)是連續(xù)函數(shù)是的原函數(shù),則(A)當(dāng)是奇函數(shù)時必是偶函數(shù) (B)當(dāng)是偶函數(shù)時必是奇函數(shù)(C)當(dāng)是周期函數(shù)時必是周期函數(shù) (D)當(dāng)是單調(diào)增函數(shù)時必是單調(diào)增函數(shù)(2)設(shè),其中是有界函數(shù),則在處(A)極限不存在 (B)極限存在,但不連續(xù)(C)連續(xù),但不可導(dǎo) (D)可導(dǎo)(3)設(shè),其中,則等于(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)是矩陣,是矩陣,則(A)當(dāng)時,必有行列式 (B)當(dāng)時,必有行列式(C)當(dāng)時,必有行列式 (D)當(dāng)時,必有行列式(5)設(shè)兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量和分別服從正態(tài)分布和,則(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分6分)設(shè)是由方程和所確定的函數(shù),其中和分別具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)和一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求四、(本題滿分5分)求其中為正的常數(shù),為從點(diǎn)沿曲線到點(diǎn)的弧.五、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)二階可導(dǎo)且過曲線上任意一點(diǎn)作該曲線的切線及軸的垂線,上述兩直線與軸所圍成的三角形的面積記為,區(qū)間上以為曲線的曲邊梯形面積記為,并設(shè)恒為1,求曲線的方程.六、(本題滿分7分)論證:當(dāng)時,七、(本題滿分6分)為清除井底的淤泥,用纜繩將抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(見圖).已知井深30m,抓斗自重400N,纜繩每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,在提升過程中,污泥以20N/s的速率從抓斗縫隙中漏掉.現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升至井口,問克服重力需作多少焦耳的功? (說明:①1N1m=1Jm,N,s,J分別表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的纜繩長度忽略不計.)八、(本題滿分7分)設(shè)為橢球面的上半部分,點(diǎn)為在點(diǎn)處的切平面,為點(diǎn)到平面的距離,求九、(本題滿分7分)設(shè)(1)求的值.(2)試證:對任意的常數(shù)級數(shù)收斂.十、(本題滿分8分)設(shè)矩陣其行列式又的伴隨矩陣有一個特征值,屬于的一個特征向量為求和的值.十一、(本題滿分6分)設(shè)為階實(shí)對稱矩陣且正定,為實(shí)矩陣,為的轉(zhuǎn)置矩陣,試證為正定矩陣的充分必要條件是的秩十二、(本題滿分8分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,下表列出了二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布率及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布率中的部分?jǐn)?shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空白處.XY1十三、(本題滿分6分)設(shè)的概率密度為,是取自總體的簡單隨機(jī)樣本(1)求的矩估計量.(2)求的方差2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)曲面在點(diǎn)的法線方程為_____________.(3)微分方程的通解為_____________.(4)已知方程組無解,則=_____________.(5)設(shè)兩個相互獨(dú)立的事件和都不發(fā)生的概率為,發(fā)生不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)、是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且,則當(dāng)時,有(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)為在第一卦限中的部分,則有(A) (B)(C) (D)(3)設(shè)級數(shù)收斂,則必收斂的級數(shù)為(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)維列向量組線性無關(guān),則維列向量組線性無關(guān)的充分必要條件為(A)向量組可由向量組線性表示(B)向量組可由向量組線性表示(C)向量組與向量組等價(D)矩陣與矩陣等價(5)設(shè)二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布,則隨機(jī)變量與不相關(guān)的充分必要條件為(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分6分)求四、(本題滿分5分)設(shè),其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求五、(本題滿分6分)計算曲線積分,其中是以點(diǎn)為中心為半徑的圓周取逆時針方向.六、(本題滿分7分)設(shè)對于半空間內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面都有其中函數(shù)在內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且求.七、(本題滿分6分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間,并討論該區(qū)間端點(diǎn)處的收斂性.八、(本題滿分7分)設(shè)有一半徑為的球體是此球的表面上的一個定點(diǎn),球體上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到距離的平方成正比(比例常數(shù)),求球體的重心位置.九、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),且試證:在內(nèi)至少存在兩個不同的點(diǎn)使十、(本題滿分6分)設(shè)矩陣的伴隨矩陣且,其中為4階單位矩陣,求矩陣.十一、(本題滿分8分)某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計,然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實(shí)踐至年終考核有成為熟練工.設(shè)第年1月份統(tǒng)計的熟練工與非熟練工所占百分比分別為和記成向量(1)求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式:(2)驗(yàn)證是的兩個線性無關(guān)的特征向量,并求出相應(yīng)的特征值.(3)當(dāng)時,求十二、(本題滿分8分)某流水線上每個產(chǎn)品不合格的概率為,各產(chǎn)品合格與否相對獨(dú)立,當(dāng)出現(xiàn)1個不合格產(chǎn)品時即停機(jī)檢修.設(shè)開機(jī)后第1次停機(jī)時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.十三、(本題滿分6分)設(shè)某種元件的使用壽命的概率密度為,其中為未知參數(shù).又設(shè)是的一組樣本觀測值,求參數(shù)的最大似然估計值.2001年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)設(shè)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為_____________.(2),則=_____________.(3)交換二次積分的積分次序:＝_____________.(4)設(shè),則=_____________.(5),則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在定義域內(nèi)可導(dǎo),的圖形如右圖所示,則的圖形為(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)在點(diǎn)的附近有定義,且則(A)(B)曲面在處的法向量為(C)曲線在處的切向量為(D)曲線在處的切向量為(3)設(shè)則在=0處可導(dǎo)(A)存在 (B)存在(C)存在 (D)存在(4)設(shè),則與(A)合同且相似 (B)合同但不相似(C)不合同但相似 (D)不合同且不相似(5)將一枚硬幣重復(fù)擲次,以和分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則和相關(guān)系數(shù)為(A)-1 (B)0 (C) (D)1三、(本題滿分6分)求.四、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微,且,,求.五、(本題滿分8分)設(shè),將展開成的冪級數(shù),并求的和.六、(本題滿分7分)計算,其中是平面與柱面的交線,從軸正向看去為逆時針方向.七、(本題滿分7分)設(shè)在內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且.證明:(1)對于,存在惟一的,使=+成立.(2).八、(本題滿分8分)設(shè)有一高度為為時間)的雪堆在融化過程,其側(cè)面滿足方程(設(shè)長度單位為厘米,時間單位為小時),已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(系數(shù)為0.9),問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間?九、(本題滿分6分)設(shè)為線性方程組的一個基礎(chǔ)解系,,其中為實(shí)常數(shù),試問滿足什么條件時也為的一個基礎(chǔ)解系?十、(本題滿分8分)已知三階矩陣和三維向量,使得線性無關(guān),且滿足.(1)記求使.(2)計算行列式.十一、(本題滿分7分)設(shè)某班車起點(diǎn)站上客人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為且中途下車與否相互獨(dú)立.為中途下車的人數(shù),求:(1)在發(fā)車時有個乘客的條件下,中途有人下車的概率.(2)二維隨機(jī)變量的概率分布.十二、(本題滿分7分)設(shè)抽取簡單隨機(jī)樣本樣本均值,,求2002年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.把答案填在題中橫線上)(1)=_____________.(2)已知,則=_____________.(3)滿足初始條件的特解是_____________.(4)已知實(shí)二次型經(jīng)正交變換可化為標(biāo)準(zhǔn)型,則=_____________.(5)設(shè)隨機(jī)變量,且二次方程無實(shí)根的概率為0.5,則=_____________.二、選擇題(本題共5小題,每小題3分,滿分15分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)考慮二元函數(shù)的四條性質(zhì):①在點(diǎn)處連續(xù),②在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù),③在點(diǎn)處可微,④在點(diǎn)處的一階偏導(dǎo)數(shù)存在.則有:(A)②③① (B)③②①(C)③④① (D)③①④(2)設(shè),且,則級數(shù)為(A)發(fā)散 (B)絕對收斂(C)條件收斂 (D)收斂性不能判定.(3)設(shè)函數(shù)在上有界且可導(dǎo),則(A)當(dāng)時,必有 (B)當(dāng)存在時,必有(C)當(dāng)時,必有 (D)當(dāng)存在時,必有.(4)設(shè)有三張不同平面,其方程為()它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2,則這三張平面可能的位置關(guān)系為(5)設(shè)和是相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量,它們的密度函數(shù)分別為和,分布函數(shù)分別為和,則(A)＋必為密度函數(shù)(B)必為密度函數(shù)(C)＋必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)(D)必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、(本題滿分6分)設(shè)函數(shù)在的某鄰域具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),且,當(dāng)時,若,試求的值.四、(本題滿分7分)已知兩曲線與在點(diǎn)處的切線相同.求此切線的方程,并求極限.五、(本題滿分7分)計算二重積分,其中.六、(本題滿分8分)設(shè)函數(shù)在上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù),是上半平面(>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點(diǎn)為(),終點(diǎn)為().記,(1)證明曲線積分與路徑無關(guān).(2)當(dāng)時,求的值.七、(本題滿分7分)(1)驗(yàn)證函數(shù)()滿足微分方程.(2)求冪級數(shù)的和函數(shù).八、(本題滿分7分)設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為面,其底部所占的區(qū)域?yàn)?小山的高度函數(shù)為.(1)設(shè)為區(qū)域上一點(diǎn),問在該點(diǎn)沿平面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為,寫出的表達(dá)式.(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋找一山坡最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn).也就是說要在的邊界線上找出使(1)中達(dá)到最大值的點(diǎn).試確定攀登起點(diǎn)的位置.九、(本題滿分6分)已知四階方陣,均為四維列向量,其中線性無關(guān),.若,求線性方程組的通解.十、(本題滿分8分)設(shè)為同階方陣,(1)若相似,證明的特征多項(xiàng)式相等. (2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立. (3)當(dāng)為實(shí)對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.十一、(本題滿分7分)設(shè)維隨機(jī)變量的概率密度為對獨(dú)立地重復(fù)觀察4次,用表示觀察值大于的次數(shù),求的數(shù)學(xué)期望.十二、(本題滿分7分)設(shè)總體的概率分布為0123其中()是未知參數(shù),利用總體的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.求的矩估計和最大似然估計值.2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)=.(2)曲面與平面平行的切平面的方程是.(3)設(shè),則=.(4)從的基到基的過渡矩陣為.(5)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為,則.(6)已知一批零件的長度(單位:cm)服從正態(tài)分布,從中隨機(jī)地抽取16個零件,得到長度的平均值為40(cm),則的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值二、選擇題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖所示,則有(A)一個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)(B)兩個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)(C)兩個極小值點(diǎn)和兩個極大值點(diǎn)(D)三個極小值點(diǎn)和一個極大值點(diǎn)(2)設(shè)均為非負(fù)數(shù)列,且,,,則必有(A)對任意成立 (B)對任意成立(C)極限不存在 (D)極限不存在(3)已知函數(shù)在點(diǎn)的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且,則(A)點(diǎn)不是的極值點(diǎn)(B)點(diǎn)是的極大值點(diǎn)(C)點(diǎn)是的極小值點(diǎn)(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(diǎn)是否為的極值點(diǎn)(4)設(shè)向量組=1\*ROMANI:可由向量組=2\*ROMANII:線性表示,則(A)當(dāng)時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān) (B)當(dāng)時,向量組=2\*ROMANII必線性相關(guān)(C)當(dāng)時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān) (D)當(dāng)時,向量組=1\*ROMANI必線性相關(guān)(5)設(shè)有齊次線性方程組和,其中均為矩陣,現(xiàn)有4個命題:=1\*GB3①若的解均是的解,則秩秩=2\*GB3②若秩秩,則的解均是的解=3\*GB3③若與同解,則秩秩=4\*GB3④若秩秩,則與同解以上命題中正確的是(A)=1\*GB3①=2\*GB3② (B)=1\*GB3①=3\*GB3③(C)=2\*GB3②=4\*GB3④ (D)=3\*GB3③=4\*GB3④(6)設(shè)隨機(jī)變量,則(A) (B)(C) (D)三、(本題滿分10分)過坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線的切線,該切線與曲線及軸圍成平面圖形.(1)求的面積.(2)求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.四、(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求級數(shù)的和.五、(本題滿分10分)已知平面區(qū)域,為的正向邊界.試證:(1).(2)六、(本題滿分10分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為).汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下m.根據(jù)設(shè)計方案,要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù).問(1)汽錘擊打樁3次后,可將樁打進(jìn)地下多深?(2)若擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深?(注:m表示長度單位米.)七、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且是的反函數(shù).(1)試將所滿足的微分方程變換為滿足的微分方程.(2)求變換后的微分方程滿足初始條件的解.八、(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)連續(xù)且恒大于零,,,其中,(1)討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性.(2)證明當(dāng)時,九、(本題滿分10分)設(shè)矩陣,,,求的特征值與特征向量,其中為的伴隨矩陣,為3階單位矩陣.十、(本題滿分8分)已知平面上三條不同直線的方程分別為,,.試證這三條直線交于一點(diǎn)的充分必要條件為十一、(本題滿分10分)已知甲、乙兩箱中裝有同種產(chǎn)品,其中甲箱中裝有3件合格品和3件次品,乙箱中僅裝有3件合格品.從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)乙箱中次品件數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(2)從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率.十二、(本題滿分8分)設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù).從總體中抽取簡單隨機(jī)樣本,記(1)求總體的分布函數(shù).(2)求統(tǒng)計量的分布函數(shù).(3)如果用作為的估計量,討論它是否具有無偏性.2004年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線上與直線垂直的切線方程為__________.(2)已知,且,則=__________.(3)設(shè)為正向圓周在第一象限中的部分,則曲線積分的值為__________.(4)歐拉方程的通解為__________.(5)設(shè)矩陣,矩陣滿足,其中為的伴隨矩陣,是單位矩陣,則=__________.(6)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的指數(shù)分布,則=__________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)把時的無窮小量,使排在后面的是前一個的高階無窮小,則正確的排列次序是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)函數(shù)連續(xù),且則存在,使得(A)在(0,內(nèi)單調(diào)增加 (B)在內(nèi)單調(diào)減少(C)對任意的有 (D)對任意的有(9)設(shè)為正項(xiàng)級數(shù),下列結(jié)論中正確的是(A)若=0,則級數(shù)收斂(B)若存在非零常數(shù),使得,則級數(shù)發(fā)散(C)若級數(shù)收斂,則(D)若級數(shù)發(fā)散,則存在非零常數(shù),使得(10)設(shè)為連續(xù)函數(shù),,則等于(A) (B)(C) (D)0(11)設(shè)是3階方陣,將的第1列與第2列交換得,再把的第2列加到第3列得,則滿足的可逆矩陣為(A) (B)(C) (D)(12)設(shè)為滿足的任意兩個非零矩陣,則必有(A)的列向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(B)的列向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(C)的行向量組線性相關(guān)的行向量組線性相關(guān)(D)的行向量組線性相關(guān)的列向量組線性相關(guān)(13)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布對給定的,數(shù)滿足,若,則等于(A) (B)(C) (D)(14)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布,且其方差為令,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分12分)設(shè),證明.(16)(本題滿分11分)某種飛機(jī)在機(jī)場降落時,為了減少滑行距離,在觸地的瞬間,飛機(jī)尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機(jī)迅速減速并停下.現(xiàn)有一質(zhì)量為9000kg的飛機(jī),著陸時的水平速度為700km/h經(jīng)測試,減速傘打開后,飛機(jī)所受的總阻力與飛機(jī)的速度成正比(比例系數(shù)為問從著陸點(diǎn)算起,飛機(jī)滑行的最長距離是多少?(注:kg表示千克,km/h表示千米/小時)(17)(本題滿分12分)計算曲面積分其中是曲面的上側(cè).(18)(本題滿分11分)設(shè)有方程,其中為正整數(shù).證明此方程存在惟一正實(shí)根,并證明當(dāng)時,級數(shù)收斂.(19)(本題滿分12分)設(shè)是由確定的函數(shù),求的極值點(diǎn)和極值.(20)(本題滿分9分)設(shè)有齊次線性方程組試問取何值時,該方程組有非零解,并求出其通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)矩陣的特征方程有一個二重根,求的值,并討論是否可相似對角化.(22)(本題滿分9分)設(shè)為隨機(jī)事件,且,令求:(1)二維隨機(jī)變量的概率分布.(2)和的相關(guān)系數(shù)(23)(本題滿分9分)設(shè)總體的分布函數(shù)為其中未知參數(shù)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,求:(1)的矩估計量.(2)的最大似然估計量.2005年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1)曲線的斜漸近線方程為_____________.(2)微分方程滿足的解為____________.(3)設(shè)函數(shù),單位向量,則=.________.(4)設(shè)是由錐面與半球面圍成的空間區(qū)域,是的整個邊界的外側(cè),則____________.(5)設(shè)均為3維列向量,記矩陣,,如果,那么.(6)從數(shù)1,2,3,4中任取一個數(shù),記為,再從中任取一個數(shù),記為,則=____________.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設(shè)函數(shù),則在內(nèi)(A)處處可導(dǎo) (B)恰有一個不可導(dǎo)點(diǎn)(C)恰有兩個不可導(dǎo)點(diǎn) (D)至少有三個不可導(dǎo)點(diǎn)(8)設(shè)是連續(xù)函數(shù)的一個原函數(shù),表示的充分必要條件是則必有(A)是偶函數(shù)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù)是偶函數(shù)(C)是周期函數(shù)是周期函數(shù) (D)是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)(9)設(shè)函數(shù),其中函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),具有一階導(dǎo)數(shù),則必有(A) (B)(C) (D)(10)設(shè)有三元方程,根據(jù)隱函數(shù)存在定理,存在點(diǎn)的一個鄰域,在此鄰域內(nèi)該方程(A)只能確定一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)(B)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(C)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(D)可確定兩個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)和(11)設(shè)是矩陣的兩個不同的特征值,對應(yīng)的特征向量分別為,則,線性無關(guān)的充分必要條件是(A) (B)(C) (D)(12)設(shè)為階可逆矩陣,交換的第1行與第2行得矩陣分別為的伴隨矩陣,則(A)交換的第1列與第2列得 (B)交換的第1行與第2行得(C)交換的第1列與第2列得 (D)交換的第1行與第2行得(13)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率分布為XY0100.410.1已知隨機(jī)事件與相互獨(dú)立,則(A) (B)(C) (D)(14)設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,為樣本均值,為樣本方差,則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分11分)設(shè),表示不超過的最大整數(shù).計算二重積分(16)(本題滿分12分)求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).(17)(本題滿分11分)如圖,曲線的方程為,點(diǎn)是它的一個拐點(diǎn),直線與分別是曲線在點(diǎn)與處的切線,其交點(diǎn)為.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù),計算定積分(18)(本題滿分12分)已知函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且.證明:(=1\*ROMAN1)存在使得.(2)存在兩個不同的點(diǎn),使得(19)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù),在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線上,曲線積分的值恒為同一常數(shù).(=1\*ROMAN1)證明:對右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線有.(2)求函數(shù)的表達(dá)式.(20)(本題滿分9分)已知二次型的秩為2.(=1\*ROMAN1)求的值；(2)求正交變換,把化成標(biāo)準(zhǔn)形.(3)求方程=0的解.(21)(本題滿分9分)已知3階矩陣的第一行是不全為零,矩陣(為常數(shù)),且,求線性方程組的通解.(22)(本題滿分9分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求:(=1\*ROMAN1)的邊緣概率密度.(2)的概率密度(23)(本題滿分9分)設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,為樣本均值,記求:(=1\*ROMAN1)的方差.(2)與的協(xié)方差2006年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、填空題(本題共6小題,每小題4分,滿分24分.把答案填在題中橫線上)(1).(2)微分方程的通解是.(3)設(shè)是錐面()的下側(cè),則.(4)點(diǎn)到平面的距離=.(5)設(shè)矩陣,為2階單位矩陣,矩陣滿足,則=.(6)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且均服從區(qū)間上的均勻分布,則=.二、選擇題(本題共8小題,每小題4分,滿分32分.每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi))(7)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù),且,為自變量在處的增量,與分別為在點(diǎn)處對應(yīng)的增量與微分,若,則(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)為連續(xù)函數(shù),則等于(A) (B)(C) (C)(9)若級數(shù)收斂,則級數(shù)(A)收斂 (B)收斂(C)收斂 (D)收斂(10)設(shè)與均為可微函數(shù),且.已知是在約束條件下的一個極值點(diǎn),下列選項(xiàng)正確的是(A)若,則 (B)若,則(C)若,則 (D)若,則(11)設(shè)均為維列向量,是矩陣,下列選項(xiàng)正確的是 (A)若線性相關(guān),則線性相關(guān) (B)若線性相關(guān),則線性無關(guān) (C)若線性無關(guān),則線性相關(guān)(D)若線性無關(guān),則線性無關(guān).(12)設(shè)為3階矩陣,將的第2行加到第1行得,再將的第1列的-1倍加到第2列得,記,則(A) (B)(C) (D)(13)設(shè)為隨機(jī)事件,且,則必有 (A) (B)(C) (D)(14)設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布,服從正態(tài)分布,且則(A) (B)(C) (D)三、解答題(本題共9小題,滿分94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(15)(本題滿分10分)設(shè)區(qū)域D=,計算二重積分.(16)(本題滿分12分)設(shè)數(shù)列滿足.求:(1)證明存在,并求之.(2)計算.(17)(本題滿分12分)將函數(shù)展開成的冪級數(shù).(18)(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)滿足等式.(1)驗(yàn)證.(2)若求函數(shù)的表達(dá)式.(19)(本題滿分12分)設(shè)在上半平面內(nèi),數(shù)是有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且對任意的都有.證明:對內(nèi)的任意分段光滑的有向簡單閉曲線,都有.(20)(本題滿分9分)已知非齊次線性方程組有3個線性無關(guān)的解,(1)證明方程組系數(shù)矩陣的秩.(2)求的值及方程組的通解.(21)(本題滿分9分)設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個解.(1)求的特征值與特征向量.(2)求正交矩陣和對角矩陣,使得.(22)(本題滿分9分)隨機(jī)變量的概率密度為為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).(1)求的概率密度.(2).(23)(本題滿分9分)設(shè)總體的概率密度為,其中是未知參數(shù),為來自總體的簡單隨機(jī)樣本,記為樣本值中小于1的個數(shù),求的最大似然估計.2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(本題共10小題,每小題4分,滿分40分,在每小題給的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后括號內(nèi))(1)當(dāng)時,與等價的無窮小量是(A) (B)(C) (D)(2)曲線,漸近線的條數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(3)如圖,連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周,在區(qū)間的圖形分別是直徑為2的上、下半圓周,設(shè).則下列結(jié)論正確的是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)在處連續(xù),下列命題錯誤的是(A)若存在,則 (B)若存在,則(C)若存在,則 (D)若存在,則(5)設(shè)函數(shù)在(0,+)上具有二階導(dǎo)數(shù),且,令則下列結(jié)論正確的是(A)若,則{}必收斂 (B)若,則{}必發(fā)散(C)若,則{}必收斂 (D)若,則{}必發(fā)散(6)設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)),過第2象限內(nèi)的點(diǎn)和第Ⅳ象限內(nèi)的點(diǎn)為上從點(diǎn)到的一段弧,則下列小于零的是(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)向量組線性無關(guān),則下列向量組線形相關(guān)的是(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)矩陣,,則與(A)合同,且相似 (B)合同,但不相似(C)不合同,但相似 (D)既不合同,也不相似(9)某人向同一目標(biāo)獨(dú)立重復(fù)射擊,每次射擊命中目標(biāo)的概率為,則此人第4次射擊恰好第2次命中目標(biāo)的概率為(A) (B)(C) (D)(10)設(shè)隨即變量服從二維正態(tài)分布,且與不相關(guān),,分別表示的概率密度,則在的條件下,的條件概率密度為(A) (B)(C) (D)二、填空題(11－16小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上)(11)=_______.(12)設(shè)為二元可微函數(shù),,則=______.(13)二階常系數(shù)非齊次線性方程的通解為=____________.(14)設(shè)曲面,則=_____________.(15)設(shè)矩陣,則的秩為________.(16)在區(qū)間中隨機(jī)地取兩個數(shù),則這兩個數(shù)之差的絕對值小于的概率為________.三、解答題(17－24小題,共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)(17)(本題滿分11分)求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.(18)(本題滿分10分)計算曲面積分其中為曲面的上側(cè).(19)(本題滿分11分)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)且存在相等的最大值,,證明:存在,使得.(20)(本題滿分10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂,其和函數(shù)滿足(1)證明:(2)求的表達(dá)式.(21)(本題滿分11分)設(shè)線性方程組與方程有公共解,求的值及所有公共解.(22)(本題滿分11分)設(shè)3階實(shí)對稱矩陣的特征向量值是的屬于特征值的一個特征向量,記其中為3階單位矩陣.(1)驗(yàn)證是矩陣的特征向量,并求的全部特征值與特征向量.(2)求矩陣.(23)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為(1)求(2)求的概率密度.(24)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為是來自總體的簡單隨機(jī)樣本,是樣本均值(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)判斷是否為的無偏估計量,并說明理由.2008年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設(shè)函數(shù)則的零點(diǎn)個數(shù)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3(2)函數(shù)在點(diǎn)處的梯度等于(A) (B)-(C) (D)(3)在下列微分方程中,以(為任意常數(shù))為通解的是(A) (B)(C) (D)(4)設(shè)函數(shù)在內(nèi)單調(diào)有界,為數(shù)列,下列命題正確的是(A)若收斂,則收斂 (B)若單調(diào),則收斂(C)若收斂,則收斂 (D)若單調(diào),則收斂(5)設(shè)為階非零矩陣,為階單位矩陣.若,則 (A)不可逆,不可逆 (B)不可逆,可逆 (C)可逆,可逆 (D)可逆,不可逆(6)設(shè)為3階實(shí)對稱矩陣,如果二次曲面方程在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如圖,則的正特征值個數(shù)為(A)0 (B)1(C)2 (D)3(7)設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布且分布函數(shù)為,則分布函數(shù)為(A) (B)(C) (D)(8)設(shè)隨機(jī)變量,且相關(guān)系數(shù),則(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)微分方程滿足條件的解是.(10)曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(11)已知冪級數(shù)在處收斂,在處發(fā)散,則冪級數(shù)的收斂域?yàn)?(12)設(shè)曲面是的上側(cè),則.(13)設(shè)為2階矩陣,為線性無關(guān)的2維列向量,,則的非零特征值為.(14)設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為1的泊松分布,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求極限.(16)(本題滿分10分)計算曲線積分,其中是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段.(17)(本題滿分10分)已知曲線,求曲線距離面最遠(yuǎn)的點(diǎn)和最近的點(diǎn).(18)(本題滿分10分)設(shè)是連續(xù)函數(shù),(=1\*ROMAN1)利用定義證明函數(shù)可導(dǎo),且.(2)當(dāng)是以2為周期的周期函數(shù)時,證明函數(shù)也是以2為周期的周期函數(shù).(19)(本題滿分10分),用余弦級數(shù)展開,并求的和.(20)(本題滿分11分),為的轉(zhuǎn)置,為的轉(zhuǎn)置.證明:(=1\*ROMAN1).(2)若線性相關(guān),則.(21)(本題滿分11分)設(shè)矩陣,現(xiàn)矩陣滿足方程,其中,,(=1\*ROMAN1)求證.(2)為何值,方程組有唯一解,求.(3)為何值,方程組有無窮多解,求通解.(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,的概率分布為,的概率密度為,記,(=1\*ROMAN1)求.(2)求的概率密度.(本題滿分11分)設(shè)是總體為的簡單隨機(jī)樣本.記,,(=1\*ROMAN1)證明是的無偏估計量.(2)當(dāng)時,求.2009年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)當(dāng)時,與等價無窮小,則(A) (B)(C) (D)(2)如圖,正方形被其對角線劃分為四個區(qū)域,,則(A)(B)(C)(D)1-2023-1O1-2023-1O則函數(shù)的圖形為(A) 0230231-2-110231-2-11(C)0230231-110231-2-11(4)設(shè)有兩個數(shù)列,若,則(A)當(dāng)收斂時,收斂. (B)當(dāng)發(fā)散時,發(fā)散. (C)當(dāng)收斂時,收斂. (D)當(dāng)發(fā)散時,發(fā)散.(5)設(shè)是3維向量空間的一組基,則由基到基的過渡矩陣為(A) (B)(C) (D)(6)設(shè)均為2階矩陣,分別為的伴隨矩陣,若,則分塊矩陣的伴隨矩陣為(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為,其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),則(A)0 (B)0.3 (C)0.7 (D)1(8)設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立,且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,的概率分布為,記為隨機(jī)變量的分布函數(shù),則函數(shù)的間斷點(diǎn)個數(shù)為(A)0 (B)1 (C)2 (D)3二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),,則.(10)若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為,則非齊次方程滿足條件的解為.(11)已知曲線,則.(12)設(shè),則.(13)若3維列向量滿足,其中為的轉(zhuǎn)置,則矩陣的非零特征值為.(14)設(shè)為來自二項(xiàng)分布總體的簡單隨機(jī)樣本,和分別為樣本均值和樣本方差.若為的無偏估計量,則.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分9分)求二元函數(shù)的極值.(16)(本題滿分9分)設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積,記,求與的值.(17)(本題滿分11分)橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成,圓錐面是過點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成.(1)求及的方程.(2)求與之間的立體體積.(18)(本題滿分11分)(1)證明拉格朗日中值定理:若函數(shù)在上連續(xù),在可導(dǎo),則存在,使得.(2)證明:若函數(shù)在處連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則存在,且.(19)(本題滿分10分)計算曲面積分,其中是曲面的外側(cè).(20)(本題滿分11分)設(shè),(1)求滿足的.的所有向量,.(2)對(1)中的任意向量,證明無關(guān).(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型.(1)求二次型的矩陣的所有特征值;(2)若二次型的規(guī)范形為,求的值.(22)(本題滿分11分)袋中有1個紅色球,2個黑色球與3個白球,現(xiàn)有回放地從袋中取兩次,每次取一球,以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個數(shù).(1)求.(2)求二維隨機(jī)變量概率分布.(23)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率密度為,其中參數(shù)未知,,,…是來自總體的簡單隨機(jī)樣本.(1)求參數(shù)的矩估計量.(2)求參數(shù)的最大似然估計量.2010年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)極限=(A)1 (B)(C) (D)(2)設(shè)函數(shù)由方程確定,其中為可微函數(shù),且則=(A) (B)(C) (D) (3)設(shè)為正整數(shù),則反常積分的收斂性(A)僅與取值有關(guān) (B)僅與取值有關(guān)(C)與取值都有關(guān) (D)與取值都無關(guān)(4)=(A) (B) (C) (D)(5)設(shè)為型矩陣為型矩陣,若則(A)秩秩 (B)秩秩(C)秩秩 (D)秩秩(6)設(shè)為4階對稱矩陣,且若的秩為3,則相似于(A) (B)(C) (D)(7)設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)則=(A)0 (B)1 (C) (D)(8)設(shè)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度為上均勻分布的概率密度,為概率密度,則應(yīng)滿足(A) (B)(C) (D)二、填空題(9-14小題,每小題4分,共24分,請將答案寫在答題紙指定位置上.)(9)設(shè)求=.(10)=.(11)已知曲線的方程為起點(diǎn)是終點(diǎn)是則曲線積分=.(12)設(shè)則的形心的豎坐標(biāo)=.(13)設(shè)若由形成的向量空間的維數(shù)是2,則=.(14)設(shè)隨機(jī)變量概率分布為則=.三、解答題(15－23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)(15)(本題滿分10分)求微分方程的通解.(16)(本題滿分10分)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.(17)(本題滿分10分)(1)比較與的大小,說明理由.(2)記求極限(18)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).(19)(本題滿分10分)設(shè)為橢球面上的動點(diǎn),若在點(diǎn)的切平面與面垂直,求點(diǎn)的軌跡并計算曲面積分其中是橢球面位于曲線上方的部分.(20)(本題滿分11分)設(shè)已知線性方程組存在兩個不同的解.(1)求(2)求方程組的通解.(21)(本題滿分11分)設(shè)二次型在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為且的第三列為(1)求(2)證明為正定矩陣,其中為3階單位矩陣.(22)(本題滿分11分)設(shè)二維隨機(jī)變量的概率密度為求常數(shù)及條件概率密度(23)(本題滿分11分)設(shè)總體的概率分布為123其中未知,以來表示來自總體的簡單隨機(jī)樣本(樣本容量為)中等于的個數(shù)試求常數(shù)使為的無偏估計量,并求的方差.2011年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷一、選擇題(1-8小題,每小題4分,共32分,下列每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求,把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi).)曲線的拐點(diǎn)是（）A（1，0）B（2，0）C（3，0）D（4，0）2、設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，且。無界，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)椋ǎ〢BCD設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，且.。則函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的一個充分條件是（）ABCD4、設(shè)，則的大小關(guān)系是（）ABCD5、設(shè)A為3階矩陣，把A的第二列加到第一列得到矩陣B，再交換B的第二行與第3行得到單位陣E，記，，則A=（）ABCD6、設(shè)是4階矩陣，為A的伴隨矩陣。若是的一個基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系可為（）ABCD7、設(shè)為兩個分布函數(shù)，且連續(xù)函數(shù)為相應(yīng)的概率密度，則必為概率密度的是（）ABCD+8、設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都存在，記，則（）ABCD二、填空題：9—14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定的位置上。9、曲線的弧長為_____________10、微分方程滿足條件的解為________________11、設(shè)函數(shù)，則12、設(shè)是柱面方程與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時針方向，則曲線積分13、若二次曲面的方程，經(jīng)正交變換化為，則14、設(shè)二維隨機(jī)變量，則三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的位置上，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15、（本題滿分10分）求極限16、（本題滿分9分）設(shè)函數(shù)，其中具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)可導(dǎo)且在處取得極值.求17、（本題滿分10分）求方程的不同實(shí)根的個數(shù)，其中為參數(shù)。18、（本題滿分10分）=1\*GB3①證明：對任意的正整數(shù)，都有成立；=2\*GB3②設(shè)，證明數(shù)列收斂.19、（本題滿分11分）已知函數(shù)具有二階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且，其中計算二重積分20、（本題滿分11分）設(shè)向量組，，不能由向量組，，線性表示；求的值；將用線性表示；21、（本題滿分11分）A為3階實(shí)對稱矩陣，A的秩為2，且求（1）A的特征值與特征向量（2）矩陣A22、（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y的概率分布分別為X01Y-101且求（1）二維隨機(jī)變量（X，Y）的概率分布；（2）的概率分布（3）X與Y的相關(guān)系數(shù)23、（本題滿分11分）設(shè)是來自正態(tài)總體的簡單隨機(jī)樣本，其中已知，未知.為樣本均值和樣本方差.求（1）求參數(shù)的最大似然估計(2)計算E和D2012年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試卷一、選擇題：1～8小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.（1）曲線漸近線的條數(shù)為（）（A）0（B）1（C）2（D）3（2）設(shè)函數(shù)，其中為正整數(shù)，則（A）（B）（C）（D）（3）如果在處連續(xù)，那么下列命題正確的是（）（A）若極限存在，則在處可微（B）若極限存在，則在處可微（C）若在處可微，則極限存在（D）若在處可微，則極限存在（4）設(shè)sinxdx(k=1,2,3),則有D（A）I1<I2<I3. (B)I2<I2<I3.(C)I1<I3<I1, (D)I1<I2<I3.（5）設(shè)其中為任意常數(shù)，則下列向量組線性相關(guān)的是（）（A）（B）（C）（D）（6）設(shè)為3階矩陣，為3階可逆矩陣，且，，則（）（A）（B）（C）（D）（7）設(shè)隨機(jī)變量x與y相互獨(dú)立，且分別服從參數(shù)為1與參數(shù)為4的指數(shù)分布，則（）（8）將長度為1m的木棒隨機(jī)地截成兩段，則兩段長度的相關(guān)系數(shù)為（）二、填空題：914小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.（9）若函數(shù)滿足方程及，則=________。（10）________。（11）________。（12）設(shè)則________。（13）設(shè)X為三維單位向量，E為三階單位矩陣，則矩陣的秩為________。（14）設(shè)是隨機(jī)事件，互不相容，,,則________。三、解答題：15—23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）證明：（16）（本題滿分10分）求的極值。(17)(本題滿分10分)求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù)(18)(本題滿分10分)已知曲線，其中函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，。若曲線的切線與軸的交點(diǎn)到切點(diǎn)的距離恒為1，求函數(shù)的表達(dá)式，并求此曲線與軸與軸無邊界的區(qū)域的面積。(19)(本題滿分11分)已知是第一象限中從點(diǎn)沿圓周到點(diǎn)，再沿圓周到點(diǎn)的曲線段，計算曲線積分(20)(本題滿分10分)設(shè)，求已知線性方程組有無窮多解，求，并求的通解。（21）（本題滿分10分）三階矩陣，為矩陣的轉(zhuǎn)置，已知，且二次型。1）求2）求二次型對應(yīng)的二次型矩陣，并將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型，寫出正交變換過程。（22）（本題滿分10分）已知隨機(jī)變量以及的分布律如下表所示，X012P1/21/31/6Y012P1/31/31/3XY0124P7/121/301/12求：（1）；（2）與.（23）（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立且分別服從正態(tài)分布與，其中是未知參數(shù)且,設(shè),求的概率密度；設(shè)為來自總體的簡單隨機(jī)樣本，求的最大似然估計量；證明為的無偏估計量。2013碩士研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)一真題已知極限，其中k，c為常數(shù)，且，則（）2.曲面在點(diǎn)處的切平面方程為（）3.設(shè)，，令，則（）A.B.C.D.4.設(shè)，，，為四條逆時針方向的平面曲線，記，則A.B.C.D5.設(shè)A,B,C均為n階矩陣，若AB=C，且B可逆，則（）A.矩陣C的行向量組與矩陣A的行向量組等價B矩陣C的列向量組與矩陣A的列向量組等價C矩陣C的行向量組與矩陣B的行向量組等價D矩陣C的列向量組與矩陣B的列向量組等價6.矩陣與相似的充分必要條件為（）A.B.為任意常數(shù)C.D.為任意常數(shù)7.設(shè)是隨機(jī)變量，且，，，，則（）A.B.C.D8.設(shè)隨機(jī)變量,，給定，常數(shù)c滿足，則()（9）設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程y-x=ex(1-y)確定，則＝。(10)已知y1=e3x–xe2x，y2=ex–xe2x，y3=–xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3個解，則該方程的通解y=。（11）設(shè)。（12）。（13）設(shè)A=(aij)是3階非零矩陣，為A的行列式，Aij為aij的代數(shù)余子式.若aij+Aij=0(i，j=1,2,3），則｜A｜＝。（14）設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，a為常數(shù)且大于零，則P{Y≤a+1|Y＞a}=三．解答題：（15）（本題滿分10分）計算，其中f(x)＝(16)(本題10分)設(shè)數(shù)列｛an｝滿足條件：S（x）是冪級數(shù)（1）證明：（2）求（17）（本題滿分10分）求函數(shù).(18)(本題滿分10分)設(shè)奇函數(shù)f(x)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)=1，證明：（I）存在（Ⅱ）存在19.(本題滿分10分)設(shè)直線L過A（1,0,0），B（0,1,1）兩點(diǎn)將L繞z軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面，與平面所圍成的立體為。求曲面的方程；求的形心坐標(biāo)。20.（本題滿分11分）設(shè)，當(dāng)a,b為何值時，存在矩陣C使得AC-CA=B,并求所有矩陣C。21.（本題滿分11分）設(shè)二次型，記，。證明二次型f對應(yīng)的矩陣為；若正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為。22.（本題滿分11分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為令隨機(jī)變量求Y的分布函數(shù)；求概率.23.(本題滿分11分)設(shè)總體X的概率密度為其中為未知參數(shù)且大于零，為來自總體X的簡單隨機(jī)樣本。求的矩估計量；求的最大似然估計量。2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)下列曲線有漸近線的是()(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，，則在區(qū)間上()(A)當(dāng)時，(B)當(dāng)時，(C)當(dāng)時，(D)當(dāng)時，(3)設(shè)是連續(xù)函數(shù)，則()(A)(B)(C)(D)(4)若，則()(A)(B)(C)(D)(5)行列式()(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)均為三維向量，則對任意常數(shù),向量組,線性無關(guān)是向量組線性無關(guān)的()(A)必要非充分條件 (B)充分非必要條件(C)充分必要條件 (D)既非充分也非必要條件(7)設(shè)隨機(jī)事件與相互獨(dú)立，且，，則()(A)(B)(C)(D)(8)設(shè)連續(xù)性隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且方差均存在，與的概率密度分別為與，隨機(jī)變量的概率密度為，隨機(jī)變量，則()(A)，(B)，(C)，(D)，二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)曲面在點(diǎn)處的切平面方程為__________.(10)設(shè)是周期為的可導(dǎo)奇函數(shù)，且，則__________.(11)微分方程滿足條件的解為__________.(12)設(shè)是柱面與平面的交線，從軸正向往軸負(fù)向看去為逆時針方向，則曲線積分__________.(13)設(shè)二次型的負(fù)慣性指數(shù)是1，則的取值范圍_________.(14)設(shè)總體的概率密度為其中是未知參數(shù)，為來自總體的簡單樣本，若，則_________.三、解答題：15～23小題,共94分.請將解答寫在答題紙指定位置上.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(15)(本題滿分10分)求極限(16)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)由方程確定，求的極值.(17)(本題滿分10分)設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，滿足若，求的表達(dá)式.(18)(本題滿分10分)設(shè)為曲面的上側(cè)，計算曲面積分.(19)(本題滿分10分)設(shè)數(shù)列滿足，，，且級數(shù)收斂.(I)證明：.(II)證明：級數(shù)收斂.(20)(本題滿分11分)設(shè)矩陣，為三階單位矩陣.(I)求方程組的一個基礎(chǔ)解系；(II)求滿足的所有矩陣.(21)(本題滿分11分)證明階矩陣與相似.(22)(本題滿分11分)設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為在給定的條件下，隨機(jī)變量服從均勻分布.（I）求的分布函數(shù)；（II）求.(23)(本題滿分11分)設(shè)總體的分布函數(shù)為其中是未知參數(shù)且大于零.為來自總體的簡單隨機(jī)樣本.（I）求，；（II）求的最大似然估計量；（III）是否存在實(shí)數(shù)，使得對任何，都有？2015年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）試題一、選擇題:18小題,每小題4分,共32分.下列每題給出的四個選項(xiàng)中,只有一個選項(xiàng)符合題目要求的,請將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上.(1)設(shè)函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，其中二階導(dǎo)數(shù)的圖形如圖所示，則曲線的拐點(diǎn)的個數(shù)為()(A)(B)(C)(D)(2)設(shè)是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個特解，則()(A)(B)(C)(D)(3)若級數(shù)條件收斂，則與依次為冪級數(shù)的()(A)收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)(B)收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(C)發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)(D)發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)(4)設(shè)是第一象限由曲線，與直線，圍成的平面區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù)，則()(A)(B)(C)(D)(5)設(shè)矩陣，，若集合，則線性方程組有無窮多解的充分必要條件為()(A)(B)(C)(D)(6)設(shè)二次型在正交變換為下的標(biāo)準(zhǔn)形為，其中，若，則在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為()(A)(B)(C)(D)(7)若A,B為任意兩個隨機(jī)事件，則()(A)(B)(C)(D)(8)設(shè)隨機(jī)變量不相關(guān)，且，則()(A)(B)(C)(D)二、填空題：914小題,每小題4分,共24分.請將答案寫在答題紙指定位置上.(9)(10)(11)若函數(shù)由方程確定，則(12)設(shè)是由平面與三個坐標(biāo)平面平面所圍成的空間區(qū)域，則(13)階行列式(14)設(shè)二維隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則三、解答題：15～23小題