江蘇省淮安市2020屆高中三年級(jí)期中聯(lián)考數(shù)學(xué)(理科)試題(解析版)

.第=page1414頁,共=sectionpages1414頁.2019-2020學(xué)年XX省XX市高三〔上期中數(shù)學(xué)試卷〔理科一、填空題〔本大題共14小題全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},B={3,5},則?U(A∩B)=______．已知向量a=(2,m),b=(1,-2),且a⊥b,則實(shí)數(shù)m的值是函數(shù)y=ln(x+1)+22-x的定義域?yàn)橐阎獑挝幌蛄縜,b的夾角為120°,則|a-2b已知等比數(shù)列{an}滿足a2+2a1=4,"a>b"是"2a>2b"的______條件(設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖所示,則φ的值為______．在△ABC中,如果sinA：sinB：sinC=2：3：4,那么tanC=______．已知函數(shù)f(x)=x|x-4|,則不等式f(2x)≤f(2)的解集為______．已知函數(shù)f(x)是定義在上的偶函數(shù),且對(duì)于任意的都有f(x+4)=f(x)+f(2),f(1)=4,則f(3)+f(10)的值為______．如圖,在梯形ABCD中,AB//CD,CD=2,∠BAD=π4,若AB?AC=2AB在△ABC中,BC=3AC,tanA=3tanB,則tan(B+C已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S9=S3已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=-x2+(a+12)x+2a,若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù),則實(shí)數(shù)a二、解答題〔本大題共10小題已知a,b,c分別是△ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且滿足(b-c)(1)求角A的大小；(2)若a=3,sinC=2sinB,求△ABC的面積．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(-1,0),|OC|=1,且∠AOC=x,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)若x=3π4,設(shè)點(diǎn)D為線段OA上的動(dòng)點(diǎn),求|OC+OD|的最小值；

(2)若x∈(0,π2),向量一個(gè)玩具盤由一個(gè)直徑為2米的半圓O和一個(gè)矩形ABCD構(gòu)成,AB=1米,如圖所示．小球從A點(diǎn)出發(fā)以5v的速度沿半圓O軌道滾到某點(diǎn)E處后,經(jīng)彈射器以6v的速度沿與點(diǎn)E切線垂直的方向彈射到落袋區(qū)BC內(nèi),落點(diǎn)記為F.設(shè)∠AOE=θ弧度,小球從A到F所需時(shí)間為T．

(1)試將T表示為θ的函數(shù)T(θ),并寫出定義域；

(2)當(dāng)θ滿足什么條件時(shí),時(shí)間T最短．已知集合M是滿足下列性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2)．

(1)判斷f(x)=3x+2是否屬于集合M,并說明理由；

(2)若f(x)=lgax2+2屬于集合M,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)若f(x)=2x已知函數(shù)f(x)=x3+3|x-a|,a∈R(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在x=2處的切線方程；

(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值；

(3)已知a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2給定數(shù)列{an},若滿足a1=a(a>0且a≠1),對(duì)于任意的n,m∈N*,都有an+m=an?am,則稱數(shù)列{an}為"指數(shù)型數(shù)列"．

(Ⅰ)已知數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式分別為an=5×3n-1,bn=已知矩陣A=0123,B=已知矩陣A=12-14,向量a=[已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形,AB//DC,∠DAB=90°,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=DC=12AB=1,M是PB的中點(diǎn)．

(1)求直線AC與PB所成角的余弦值；

(2)求面AMC與面PMC直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,BD=λDC．

(1)若λ=1,求直線DB1答案和解析1.[答案]{1,2,4,5}[解析]解：∵A={1,3,4},B={3,5},

∴A∩B={3},

則?U(A∩B)={1,2,4,5},

故答案為：{1,2,4,5}根據(jù)集合交集,并集定義進(jìn)行求解即可．

本題主要考查集合的基本運(yùn)算,結(jié)合交集補(bǔ)集的定義是解決本題的關(guān)鍵．

2.[解析]解：∵a⊥b；

∴a?b=2-2m=0；

∴m=1．

故答案為：1．

根據(jù)a⊥[解析]解：依題意,x+1>02-x≠02-x≥0,解得-1<x<2,

所以y=ln(x+1)+22-x的定義域?yàn)?-1,2)[解析]解：?jiǎn)挝幌蛄縜,b的夾角為120°,

則|a-2b|=[解析]解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,

∵a2+2a1=4,a32=a5,

∴a1(q+2)=4[解析]解：由a>b,利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得2a>2b,

反之,由2a>2b,可得a>b．

∴[解析]解：根據(jù)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),且A>0,ω>0,0<φ<π)的部分圖象,

可得34?2πω=7π12+π6,∴ω=2．

再根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得2×(-π6)+φ=0,∴φ=π3,

故答案為：[解析]解：∵sinA：sinB：sinC=2：3：4,

∴由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4,

∴不妨設(shè)a=2t,b=3t,c=4t,則cosC=a2+b2-c22ab=4t2+9t2-16t22×2t×3t=-14,

∵C∈(0,π)

∴tanC=-1cos2[解析]解：∵f(x)=x|x-4|,

∴由f(2x)≤f(2)得,2x|2x-4|≤4,

∴x|x-2|≤1,

∴x2-2x≤1x≥2或2x-x2≤1x<2,解得x≤2+1,

∴f(2x)≤f(2)的解集為{x|x≤2+1}．

故答案為：{x|x≤[解析][分析]

本題考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用問題,也考查了函數(shù)的奇偶性與周期性應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題．

由題意令x=-2求得f(2)=0,且f(x)的周期為4,再計(jì)算f(3)+f(10)的值．

[解答]

解：由f(x+4)=f(x)+f(2),

令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2)；

又f(x)為偶函數(shù),∴f(-2)=f(2),

∴f(2)=0；

∴f(x+4)=f(x),

∴f(x)的周期為4；

又f(1)=4,f10=f2+2×4=f2=0,

f3=f[解析]解：因?yàn)锳B?AC=2AB?AD,所以AB?AC-AB?AD=AB?DC=AB?AD,

因?yàn)锳B//CD,CD=2[解析]解：由BC=3AC,利用正弦定理可得sinA=3sinB,①由tanA=3tanB,可得sinAcosA=3sinBcosB,②由②÷①可得cosA=33cosB,③,

由①,③兩式平方相加可得sinB=12,

所以B=π6或5π6,

由tanA=3tanB,知B=5π6應(yīng)舍去,

所以B=π6,代入③式可得A=π3,

由三角形內(nèi)角和定理可得C=π-A-B=π2,可得C[解析]解：依題意,因?yàn)镾9=S3+2S6,所以q≠1,所以a1(1-q9)1-q=a1(1-q3)1-q+2a1(1-q6)1-q,

即(q3-2)(q3-1)(q3+1)=0,因?yàn)閿?shù)列{an}為正項(xiàng)數(shù)列,所以q3[解析][分析]

推導(dǎo)出f'(x)=lnx+1,f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減,(1e,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=1,f(x)的函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸為x=6+a2,利用數(shù)形結(jié)合法求出不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)是2,3,列出不等式組,能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、等價(jià)轉(zhuǎn)化方法、方程與不等式的解法,考查換元法的應(yīng)用,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題．

[解答]

解：f'(x)=lnx+1,故當(dāng)x∈(0,1e)時(shí),f'(x)<0,當(dāng)x∈(1e,+∞)時(shí),f'(x)>0,

∴f(x)在(0,1e)上單調(diào)遞減,(1e,+∞)上單調(diào)遞增,且f(1)=1又g(x)的函數(shù)圖象開口向下,對(duì)稱軸為x=6+a2,

要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù),其圖象如下：

不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)是1,2,

∴f(1)?g(1)f(2)≤g(2)f(3)>g(3),無解,

不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)是2,3,

∴,解得ln2-102≤a<2ln4-163．

∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是[ln2-102,2ln4-163).故答案為：[ln2-102,2ln[解析](1)由已知等式可得b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得cosA=12,結(jié)合范圍A∈(0,π),即可求得A的值．

(2)由sinC=2sinB及正弦定理可得c=2b,又a=3,A=π3,由余弦定理可解得b,c的值,利用三角形面積公式即可得解．

本題主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題．

16.[答案]解：(1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),由題易知C(-22,22),

所以O(shè)C+OD=(-22+t,22)所以|OC+OD|2=12-2t+t2+12=t2-2[解析](1)設(shè)D(t,0)(0≤t≤1),利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的最小值．

(2)由題意得m?n=1-2sin(2x+π4),再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求出它的最小值．

本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值,兩個(gè)向量的數(shù)量積的公式,正弦函數(shù)的定義域和值域,屬于中檔題．

17.[答案]解：(1)連接CO并延長(zhǎng)交半圓于M,則∠AOM=∠COD=π4,故θ≥π4,

同理可得θ≤3π4,∴θ∈[π4,3π4].過O作OG⊥BC于G,則OG=1,∠GOF=|π2-θ|,

∴OF=1cos|π2-θ|=1sinθ,又AE=θ,

∴T(θ)=θ5v[解析](1)求出小球的運(yùn)動(dòng)路程,得出T(θ)的解析式；

(2)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值對(duì)應(yīng)的cosθ的值即可．

本題考查了函數(shù)解析式,函數(shù)單調(diào)性與最值的計(jì)算,屬于中檔題．

18.[答案]解：(1)當(dāng)f(x)=3x+2時(shí),方程f(t+2)=f(t)+f(2)?3t+8=3t+10…(2分)此方程無解,所以不存在實(shí)數(shù)t,使得f(t+2)=f(t)+f(2),

故f(x)=3x+2不屬于集合M.…(4分)(2)由f(x)=lgax2+2屬于集合M,可得

方程lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有實(shí)解?a[(x+2)2+2]=6(x2+2)有實(shí)解?(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實(shí)解,…(7分)若a=6時(shí),上述方程有實(shí)解；

若a≠6時(shí),有△=16a2-24(a-6)(a-2)≥0,解得12-63≤a≤12+63,

故所求a的取值范圍是[12-63,12+63].…(10分)(3)當(dāng)f(x)=2x+bx2時(shí),方程f(x+2)=f(x)+f(2)?2[解析](1)利用f(x)=3x+2,通過f(t+2)=f(t)+f(2)推出方程無解,說明f(x)=3x+2不屬于集合M.?(2)由f(x)=lgax2+2屬于集合M,推出lga(x+2)2+2=lgax2+2+lga6有實(shí)解,即(a-6)x2+4ax+6(a-2)=0有實(shí)解,若a=6時(shí),若a≠6時(shí),利用判斷式求解即可．

(3)當(dāng)f(x)=2x+bx2時(shí),方程f(x+2)=f(x)+f(2)?3×2x+4bx-4=0,令g(x)=3×2x+4bx-4,則g(x)在R上的圖象是連續(xù)的,當(dāng)b≥0時(shí),當(dāng)b<0時(shí),判斷函數(shù)是否有零點(diǎn),證明對(duì)任意實(shí)數(shù)b,都有f(x)∈M．

本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,函數(shù)的零點(diǎn)以及方程根的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．

19.[答案]解：(1)當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x3+3x-3,f(2)=11.由,得．

所以y=f(x)在x=2處的切線方程為y=15(x-2)+11即15x-y-19=0．

(2)①當(dāng)a≤-1時(shí),得f(x)=x3+3x-3a,因?yàn)?'/>,

所以f(x)在[-1,1]單調(diào)遞增,所以f(x)min=f(-1)=-4-3a．

②當(dāng)a≥1時(shí),得f(x)=x3-3x+3a,因?yàn)?

所以f(x)在[-1,1]單調(diào)遞減,所以f(x)min=f(1)=-2+3a．

③當(dāng)-1<a<1時(shí),f(x)=x3+3x-3a,a<x<1x3-3x+3a,-1<x≤a由①②知：函數(shù)f(x)在(-1,a)單調(diào)遞減,(a,1)單調(diào)遞增,

所以f(x)min=f(a)=a3．

綜上,當(dāng)a≤-1,f(x)min=-4-3a；

當(dāng)-1<a<1時(shí),f(x)min=a3；

當(dāng)a≥1時(shí),f(x)min=-2+3a．

(3)當(dāng)a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,

即對(duì)任意x≥1有(x+a)3+3x-15a[解析](1)當(dāng)x>1時(shí),f(x)=x3+3x-3,f(2)=11.由,得由此利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義能求出y=f(x)在x=2處的切線方程．

(2)當(dāng)a≤-1時(shí),得f(x)=x3+3x-3a,由0'/>,得到f(x)min=f(-1)=-4-3a.當(dāng)a≥1時(shí),得f(x)=x3-3x+3a,由,得到f(x)min=f(1)=-2+3a.當(dāng)-1<a<1時(shí),f(x)=x3+3x-3a,a<x<1x3-3x+3a,-1<x≤a,由此能求出函數(shù)f(x)的最小值．

(3)當(dāng)a>0,且任意x≥1有f(x+a)-f(1+a)≥15a2lnx,即對(duì)任意x≥1有(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3≥0.設(shè)g(x)=(x+a)3+3x-15a2lnx-(a+1)3-3,則g(1)=0,設(shè),則0'/>,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出結(jié)果．

本題考查切線方程、函數(shù)的最小值、實(shí)數(shù)的取值范圍的求法,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、函數(shù)最值、函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題．

20.[答案](Ⅰ)解：對(duì)于數(shù)列{an},an+m=an?am=53×(5×3n+m-1)≠an,所以{an}不是指數(shù)型數(shù)列．

對(duì)于數(shù)列{bn},對(duì)任意n,m∈N*,因?yàn)閎n+m=4n+m=4n?4m=bn?b[解析](Ⅰ)利用指數(shù)數(shù)列的定義,判斷即可；

(Ⅱ)利用a1=12,an=2anan+1+3an+1(n∈N*),說明數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列,然后證明數(shù)列{1an[解析]根據(jù)矩陣乘法法則計(jì)算．

本題考查了矩陣乘法計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題．

22.[答案]解：∵f(λ)=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6,

由f(λ)=0,解得λ=2或3．

當(dāng)λ=2時(shí),對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為α1=1[解析]令f(λ)=λ-1-21λ-4=λ2-5λ+6=0,解得λ=2或3.分別對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量為12；11.設(shè)35=m12+n11.解得m,n,即可得出．

本題考查了矩陣與變換、特征向量,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．

23.[答案]解：因?yàn)镻A⊥PD,PA⊥AB,AD⊥