專題8：橢圓中的定值問題

第第頁(yè)參考答案1．（1）；（2）存在；．【分析】（1）由橢圓的定義及△PF1F2的周長(zhǎng)為6，得①，橢圓的離心率，所以②，解得進(jìn)而可得橢圓的方程．（2）設(shè)，設(shè)直線，聯(lián)立橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，代入化簡(jiǎn)，即可得出答案．【解析】解：（1）由題意知；，解得，∵，∴，所以橢圓C的方程為．（2）假設(shè)存在，則，設(shè)，設(shè)直線，，化簡(jiǎn)得，∴，，，要使為定值，則有，所以，所以．【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：（1）解答直線與橢圓的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去（或）建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系.（2）涉及到直線方程的設(shè)法時(shí)，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形.2．（1）；（2）為定值，證明見解析【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最短，可得，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)（或下頂點(diǎn)）時(shí)，的面積最大，此時(shí)為等邊三角形，可得，從而可求出，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得到關(guān)于的一元二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可求得的中點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到線段的垂直平分線的方程，令，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可得到的表達(dá)式，然后根據(jù)弦長(zhǎng)公式，可求出的表達(dá)式，從而可求得為定值，經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，為相同的定值.【解析】（1）由題意，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的左頂點(diǎn)時(shí)，到的距離最短，則，當(dāng)點(diǎn)在橢圓的上頂點(diǎn)（或下頂點(diǎn)）時(shí)，的面積最大，此時(shí)為等邊三角形，則，聯(lián)立，解得，故橢圓的方程為.（2）為定值.證明：由題意可知，動(dòng)直線的斜率存在，設(shè)其方程為，聯(lián)立，得.設(shè)，，則，，設(shè)的中點(diǎn)為，則，.當(dāng)時(shí)，線段的垂直平分線的方程為，令，得，即，所以..所以.當(dāng)時(shí)，的方程為，此時(shí)，，，.綜上，為定值.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題，常見的方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.3．（1）；（2）是定值，理由見解析.【分析】（1）由直線過左焦點(diǎn)寫出左焦點(diǎn)坐標(biāo)，得參數(shù)c、右焦點(diǎn)坐標(biāo)，又由三角形面積，求M坐標(biāo)，即可確定△為直角三角形，進(jìn)而求，根據(jù)橢圓定義求參數(shù)a，寫出橢圓方程即可.（2）討論直線的斜率：當(dāng)不存在時(shí)，設(shè)直線：，，，由重心坐標(biāo)的性質(zhì)求A坐標(biāo)，由A在橢圓上求，求；當(dāng)存在時(shí)，設(shè)直線：，，，聯(lián)立直線與拋物線方程結(jié)合韋達(dá)定理求，，即得，由重心坐標(biāo)的性質(zhì)確定A的坐標(biāo)，由A在橢圓上得，結(jié)弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線距離公式求、A到直線的距離d，求，即可判斷是否為定值.【解析】（1）直線過左焦點(diǎn)F，則有，所以且右焦點(diǎn)，又，得，代入直線方程有，所以.∴△為直角三角形且，由橢圓定義，知：，即，∴橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，若，則，∵O為的重心，可知，代入橢圓方程，得，即有，A到BC的距離為，∴，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，由，得，顯然，∴，，則，∵O為的重心，可知，由A在橢圓上，得，化簡(jiǎn)得，∴，由重心的性質(zhì)知：A到直線的距離d等于O到直線距離的3倍，即，∴，綜上得，的面積為定值．【點(diǎn)評(píng)】第二問，若三角形頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則其重心坐標(biāo)為求A點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)A在橢圓上，求相關(guān)參數(shù)值或確定參數(shù)關(guān)系.4．（1）；（2）證明見解析．【分析】（1）由可得答案；（2）設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達(dá)定理可得點(diǎn)坐標(biāo)，及直線的方程然后令得、，由可得答案.【解析】（1）由已知解得所以橢圓：．（2）證明：由已知斜率存在以下給出證明：由題意，設(shè)直線的方程為，，，則，由得，所以，，，，所以，即，直線的方程為，令得所以，令由得所以，所以=.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的方程、直線和橢圓的位置關(guān)系，關(guān)鍵點(diǎn)是利用韋達(dá)定理表示出點(diǎn)坐標(biāo)，考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力及計(jì)算能力.5．（1）；（2）是，定值為.【分析】（1）根據(jù)，列出關(guān)于，的方程，再結(jié)合，即可求出，的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先設(shè)出，，，直線，聯(lián)立方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及，，三點(diǎn)共線和，，三點(diǎn)共線找出，，之間的關(guān)系，解出，然后設(shè)，同理可得，由，，三點(diǎn)共線，可求出，最后可求得，從而得到，為定值.【解析】（1）當(dāng)軸時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)，由題意知，，，又當(dāng)軸時(shí)，，，得，且，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）為定值，且定值為，理由如下：由（1）得，，，設(shè)，，，直線的方程為，聯(lián)立方程可得整理得，則，，由，，三點(diǎn)共線可得，①，，，②由①②得③由，，三點(diǎn)共線可得④由③④可得，分別將，代入，得，將，代入并整理，可得，，設(shè)，同理可得，由，，三點(diǎn)共線可得，⑤由③⑤得，，為定值.【點(diǎn)評(píng)】利用參數(shù)法求定值是指利用已知條件建立目標(biāo)代數(shù)式，通過代數(shù)式的化簡(jiǎn)、變形得到定值.利用參數(shù)法破解定值問題的關(guān)鍵如下：（1）確定參數(shù)，根據(jù)題目恰當(dāng)?shù)剡x取參數(shù)，常見的參數(shù)有斜率、截距、角度等；（2）條件坐標(biāo)化，將已知條件坐標(biāo)化；（3）目標(biāo)坐標(biāo)化，通過點(diǎn)的坐標(biāo)以及根與系數(shù)的關(guān)系表示出所求為定值的目標(biāo)代數(shù)式；（4）化簡(jiǎn)變形，將目標(biāo)代數(shù)式結(jié)合題目中的條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，得到定值.6．（1）；（2）.【分析】（1）由點(diǎn)A在短軸端點(diǎn)時(shí)，面積取得最大值，得到，再根據(jù)橢圓的離心率為求解.（2）設(shè)直線PM的方程為與聯(lián)立，根據(jù)PM是橢圓的切線，由，得到，設(shè)，用導(dǎo)數(shù)法求得，然后根據(jù)，由求解.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，所以，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，面積取得最大值，所以，又，解得，所以橢圓的方程是.（2）設(shè)直線PM：與聯(lián)立得：，因?yàn)镻M是橢圓的切線，所以，即，由，得，所以，則，設(shè)，則①，因?yàn)?，所以②，將①②代入，得，因?yàn)橥?hào)，所以，因?yàn)镸在直線上，所以，所以，所以,.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．7．（1）；（2）是定值，.【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)橢圓的定義求得，由此求得，進(jìn)而求得橢圓的方程.（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，由求得的關(guān)系式，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求得平行四邊形的面積為定值.【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.由題意：橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以另一個(gè)焦點(diǎn)是，.根據(jù)橢圓的定義有所以，所以所以橢圓.（2）設(shè)，，，，②代入①整理得，，，，，因?yàn)槭瞧叫兴倪呅嗡?，，所以，，因?yàn)樵跈E圓上，代入得，整理得：，到距離為，所以，，所以平行四邊形的面積為定值.【點(diǎn)評(píng)】求解橢圓方程時(shí)，可以結(jié)合橢圓的定義來求得.有關(guān)面積問題，往往結(jié)合弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式來求解.8．（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用橢圓C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的倍，且經(jīng)過點(diǎn)，列方程求出的值，從而可得答案；（2）討論弦垂直與不垂直于x軸兩種情況，不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，利用點(diǎn)到直線距離公式、勾股定理求出弦的長(zhǎng)，利用韋達(dá)定理，結(jié)合化簡(jiǎn)即可得答案.【解析】（1）由題意解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為橢圓C的“準(zhǔn)圓”方程為（2）證明：①當(dāng)弦軸時(shí)，交點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，又，則，可設(shè)得此時(shí)原點(diǎn)O到弦的距離，則，因此②當(dāng)弦不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，且與橢圓C的交點(diǎn)，聯(lián)列方程組，代入消元得：，由可得，由得，即，所以此時(shí)成立，則原點(diǎn)O到弦的距離，則，綜上得，因此弦的長(zhǎng)為定值.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.9．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率為，且過點(diǎn)，由求解.（2）設(shè)，根據(jù)為線段的中點(diǎn)和B，M，N三點(diǎn)共線，由，表示點(diǎn)N的坐標(biāo)，再根據(jù)A，B，N在橢圓上，結(jié)合直線，的斜率之積為，求得，從而得到與的比值，然后由求解.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的離心率為，且過點(diǎn)，所以，又，解得，所以橢圓的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)為線段的中點(diǎn)，所以，因?yàn)锽，M，N三點(diǎn)共線，所以，所以，又因?yàn)锳，B點(diǎn)在橢圓上，所以，又因?yàn)橹本€，的斜率之積為，所以，因?yàn)辄c(diǎn)N在橢圓上，所以，即，所以，解得，所以,則，所以為定值.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．10．（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析，.【分析】（Ⅰ）利用已知，，求出，進(jìn)而求解橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)直線，，，聯(lián)立方程組根據(jù)韋達(dá)定理及，化簡(jiǎn)得：，進(jìn)而計(jì)算可得為定值.【解析】（Ⅰ）依題意，所以.由，，得，，于是，所以，所以，因此橢圓的方程為.（Ⅱ）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線，，，由消去得，由題意，，則因?yàn)?，所以，即，整理?而，設(shè)為原點(diǎn)到直線的距離，則，所以，而，所以.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，則有，不妨設(shè)，則，代入橢圓方程得，所以，所以.綜上.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：對(duì)于解析幾何中直線與圓錐曲線相交的問題，常利用設(shè)而不求法解決，即設(shè)出交點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，然后韋達(dá)定理可得出兩坐標(biāo)的橫縱坐標(biāo)之和、之積，進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算.11．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出橢圓的方程；（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，由，可得出、的表達(dá)式，結(jié)合韋達(dá)定理可計(jì)算得出為定值.【解析】（1）因?yàn)闄E圓的焦距為，所以，又橢圓過點(diǎn)，，且滿足，可得，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；（2）設(shè)點(diǎn)、，，由題意可知，直線的斜率存在，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，可得，由于點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部，直線與橢圓必有兩個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理可得，，，，，得，，，，.【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．12．（1）離心率為；（2）證明見解析.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程代入橢圓的方程，列出韋達(dá)定理求出的坐標(biāo)，利用與共線，可得出關(guān)于、、的齊次等式，進(jìn)而可解得橢圓的離心率；（2）設(shè)，由可得出，由點(diǎn)在橢圓上可得出，利用韋達(dá)定理可計(jì)算得出，再由可計(jì)算得出，即可證得結(jié)論成立.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)點(diǎn)、，由韋達(dá)定理可得，，由，，由與共線，得，又，，，，即，可得，所以，，所以，橢圓的離心率為；（2）證明：由（1）知，所以橢圓方程可化為．設(shè)，由得，.在橢圓上，，．（※）由（1），知，，，．．又，，代入（※）式，得．故為定值，定值為．【點(diǎn)評(píng)】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.13．（1）；（2）存在，實(shí)數(shù).【分析】（1）利用橢圓的定義，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)，求出，設(shè)出橢圓方程，代入點(diǎn)的坐標(biāo)求解即可得到橢圓的方程；（2）求出，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，設(shè)，，利用韋達(dá)定理，不妨設(shè)，，求出，化簡(jiǎn)整理即可求得結(jié)果【解析】解：（1）根據(jù)橢圓的定義，可得，，∴的周長(zhǎng)為，∴，，∴橢圓的方程為，將代入得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）可知，得，依題意可知直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，由消去，整理得，設(shè)，，則，，不妨設(shè)，，，同理，所以即，所以存在實(shí)數(shù)，使得成立【點(diǎn)評(píng)】此題考查橢圓方程的求法，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是將直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理將表示出來，然后代入中可求出的值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于較難題14．（1）；（2）是，.【分析】（1）根據(jù)離心率和為橢圓上一點(diǎn)，列式即可得解；（2）依題意知直線的