專題28：拋物線的定值問題

第第頁參考答案1．D【分析】設(shè)出的坐標，求得直線的方程，由此求得兩點的坐標，由此求得.【解析】依題意，設(shè)，所以的方程是，設(shè)，則，與拋物線方程聯(lián)立可得，所以，，所以，即，同理可得，由于，所以，所以.故選：D【點評】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，考查運算求解能力，屬于中檔題.2．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）分析可知，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，進而可求得曲線的方程；（2）設(shè)的坐標為，設(shè)過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，分析可知切線、的斜率、為關(guān)于的二次方程的兩根，可得出，設(shè)四點、、、的縱坐標分別為、、、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得出的表達式，進一步可得出的表達式，由此可計算得出結(jié)果.【解析】（1）由題設(shè)知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，故曲線的方程為；（2）當點在直線上運動時，的坐標為，又，則過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為，即，于是，整理得，①設(shè)過所作的兩條切線、的斜率分別為、，則、是關(guān)于的方程的兩個實根，故②，由，得③，設(shè)四點、、、的縱坐標分別為、、、，則、是方程③的兩個實根，所以④，同理可得⑤，于是由②④⑤三式得．所以當在直線上運動時，四點、、、的縱坐標之積為定值．【點評】求定值問題常見的方法有兩種：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．3．（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得弦長，得到取最小值時參數(shù)的值，得到拋物線方程；（2）直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，，.將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)垂直，得到坐標之間的關(guān)系，求得參數(shù)的值，進而求得結(jié)果，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到定值，證得結(jié)果.【解析】（1）顯然直線的斜率不為0，故可設(shè)置的方程為，，所以，.所以.，所以當時，最小，所以，故所求拋物線的方程為.（2）直線的斜率不為0，故可設(shè)直線的方程為，，.，所以，..因為，所以，所以，即解得或.若，則直線過點，不符合題意.則有，此時直線的方程為，所以直線過定點.又，所以，所以點在以為直徑的圓上，所以.此時.【點評】該題考查的是有關(guān)直線與拋物線的綜合題，解題方法如下：（1）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，與拋物線的方程聯(lián)立，求弦長，得到取最小值時參數(shù)的值，得到拋物線的方程；也可以利用拋物線的焦點弦長最短是通徑，得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，根據(jù)垂直關(guān)系，得到坐標之間的關(guān)系，從而求得參數(shù)的值，再根據(jù)直角三角形的外心為斜邊中點，得到結(jié)果.4．（1）；（2）是定值，定值為.【分析】（1）設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與拋物線，結(jié)合韋達定理，再由，可得的值；（2）設(shè)過點的切線的方程為：，代入由得所以的方程為：，進而確定點，，，，再由，可得.【解析】解：（1）設(shè)由得則因為所以從而所以直線的方程為；（2）設(shè)過點的切線的方程為：，代入由得所以的方程為：.設(shè)直線與軸交點為令得，,,,.【點評】(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過焦點，則必須用一般弦長公式．5．（1）；（2）；（3），證明見解析．【分析】（1）利用拋物線的定義可知軌跡為拋物線，確定該拋物線的焦點和準線方程，即可得出軌跡的方程；（2）設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出的值，即可得出直線所過定點的坐標；（3）設(shè)點、，根據(jù)可得出，再利用直線的斜率公式可證得結(jié)論成立.【解析】（1）由題意可知，圓心到點的距離等于圓心到直線的距離，所以，點的軌跡是以點為焦點，以直線為準線的拋物線，因此，軌跡的方程為；（2）若直線垂直于軸，則直線與拋物線只有一個交點，不合乎題意.設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去可得，由韋達定理可得，，解得，所以，直線的方程為，因此，直線過定點；（3）設(shè)點、，則，同理可得，，由于直線、的傾斜角互補，則，可得，所以，，因此，直線的斜率為（定值）.【點評】求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.6．（1）；（2）證明見解析；（3）4.【分析】（1）由橢圓的方程可得右焦點的坐標，由題意可得拋物線的焦點坐標，進而可得拋物線的方程；（2）可設(shè)的坐標，設(shè)過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：，利用判別式等于零可得結(jié)論；（3）設(shè)，的坐標，由（2）可得參數(shù)，的關(guān)系，代入過的切線方程與拋物線的方程中，可得，用參數(shù)，表示的坐標，代入弦長公式中求的表達式，由參數(shù)的范圍求出的最小值．【解析】（1）由橢圓方程得，橢圓的右焦點為拋物線的焦點為，，所以拋物線的標準方程：．（2）拋物線的準線方程為．設(shè)，設(shè)過點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消去得：．其判別式△，令△，得：．由韋達定理知，，故（定值）．（3）設(shè)，，，，由，得，故，所以，代入拋物線方程得，所以，，，，因為，，所以，當且僅當時取等號．當且僅時取等號．故的最小值為4．【點評】求曲線弦長的方法：（1）利用弦長公式；（2）利用；（3）如果交點坐標可以求出，利用兩點間距離公式求解即可.7．（1）證明見解析，（2）【分析】（1）先把點的坐標代入拋物線中求出的值，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，結(jié)合已知可得，，然后利用斜公式化簡可得結(jié)果；（2）設(shè)直線的方程為，和拋物線方程聯(lián)立方程組，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，則，然后令，構(gòu)造函數(shù)可求出面積的最大值【解析】（1）證明：因為是拋物線上一點，所以，得，所以拋物線方程為，設(shè)直線的方程為，由，得，所以，所以，因為直線，的斜率互為相反數(shù)，所以直線的方程為，同理可得，所以，所以直線的斜率為定值，（2）解：由（1）設(shè)直線的方程為，由，得，因為直線與拋物線有兩個交點，所以，得，，所以，點到直線的距離為，所以的面積為，令，則，所以，令，則，令，得或（舍去），當時，，當時，，所以在遞增，在上遞減，所以當時，取最大值，即，所以的面積的最大值為，此時直線為【點評】此題考查了直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用，考查點到直線的距離公式，弦長公式，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.8．（1）；（2）．【分析】（1）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立方程組，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求得，結(jié)合拋物線的方程，求得分別以點為切點的切線方程，聯(lián)立方程組，求得交點坐標，即可求解；（2）設(shè)直線l的方程為與拋物線的方程，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關(guān)系，分別求得，得到，根據(jù)為定值，列出方程組，即可求解.【解析】（1）設(shè)點，，直線l的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則，，由拋物線方程，可得，則，所以以點A為切點的切線方程是，即，同理，以點B為切點的切線方程是．聯(lián)立方程組，解得，∴點P的坐標為，即，∴點P的軌跡方程是．（2）設(shè)直線l的方程為代入，化簡得，又設(shè)，，則，，所以，同理可得：，所以，因為為定值，令（C為常數(shù)），則，可得，解得．【點評】本題主要考查拋物線方程、及直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用,解答此類題目，通常聯(lián)立直線與拋物線方程，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系進行求解，此類問題易錯點是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯解，能較好的考查考生的邏輯思維能力、運算求解能力、分析問題解決問題的能力等．9．（1）；（2）1.【分析】（1）設(shè)AB所在直線方程為，，由，得，然后根據(jù)，利用，求得斜率k，得到直線AB的中垂線方程，進而得到點P坐標，求得點P到直線AB的距離d，由求解.（2）由（1）方法：得到，由，得，求導(dǎo)，得到直線的方程；直線的方程，聯(lián)立求得，進而得到點Q到直線AB的距離為：，得到，再代入求解.【解析】（1）設(shè)AB所在直線方程為，，由，得，由韋達定理得：，因為，所以，解得，因為，所以，則，所以，則直線AB的中垂線方程為：，令得，所以點，所以點P到直線AB的距離為：，所以.（2）由（1）知：，則直線AB的中垂線方程為：，令得，所以點，所以點P到直線AB的距離為：，所以.由，得，所以，則直線的方程為：，即；直線的方程為，即；由，解得，由，得：，解得，，所以，所以，所以，所以點Q到直線AB的距離為：，所以.為定值，【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，弦長公式，點到直線的距離以及定值問題，還考查了運算求解的能力，屬于難題.10．（1）；（2）存在，.【分析】（1）本題可根據(jù)題意得出焦點坐標以及準線方程，然后根據(jù)焦點到準線的距離為2即可求出，最后根據(jù)即可求出拋物線方程；（2）本題首先可設(shè)出、、，然后聯(lián)立方程并通過韋達定理得出，再然后對進行化簡并根據(jù)為與無關(guān)的常數(shù)得出，最后通過計算即可得出結(jié)果.【解析】（1）由題意得，準線方程：，所以，拋物線方程為.（2）假設(shè)存在定點滿足題意，設(shè)，，，聯(lián)立方程，消去得，由韋達定理得，因為直線、的斜率為、，所以.要使為與無關(guān)的常數(shù)，只能，解得，，此時為常數(shù)，綜上所述，存在定點，使得直線、的斜率之和恒為定值0.【點評】本題考查拋物線的方程的求法以及拋物線中的定值問題，考查直線與拋物線相交的相關(guān)問題，考查韋達定理的靈活應(yīng)用，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查計算能力，是難題.11．（1）證明見解析（2）【分析】(1)設(shè)直線,聯(lián)立直線與拋物線:,根據(jù)韋達定理求得,再根據(jù)直線的方程求出的縱坐標,然后相乘可證;(2)利用面積公式求得面積的表達式,再用基本不等式求得最值即可.【解析】（1）證明:設(shè)直線，設(shè)，由消去并整理得：∴，∵直線分別與直線分別交于兩點，∴，∴，直線，令，同理：，∴,所以兩點的縱坐標之積為定值-8.（2）設(shè)直線與軸交于點，∵，∴，當且僅當時取等號，∴的面積的最小值為.【點評】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系,直線方程,斜率公式,面積公式,基本不等式,字母運算求解能力,本題屬于中檔題.12．（1）（2）是，定值1【分析】（1），得為焦點，所以，再由直線與拋物線聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系代入求解；（2）設(shè)，，，，直線，，分別聯(lián)立拋物線方程可得，，，.設(shè)，，由，，三點共線，通過計算可得，即，關(guān)于軸對稱，從而使問題得到解決.【解析】（1）設(shè)，，將直線與拋物線聯(lián)立，得，所以.由，得即為焦點，所以，即，所以拋物線的方程為.（2）由題意可知，，斜率存在且不為0.設(shè)，，，設(shè)直線，，與拋物線聯(lián)立得，，，所以，，，.設(shè)，，由，，三點共線，又，，得.同理，.所以.即，關(guān)于軸對稱.所以，為定值.【點評】本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，做此類題時，一般要由直線與拋物線方程聯(lián)立并利用根與系數(shù)的關(guān)系解題.考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算求解能力，是一道有一定難度的題.13．（1）（2）證明見解析【分析】（1）設(shè)，，將向量分別用坐標表示出來，再進行向量數(shù)量積的坐標運算，即可得答案；（2）求出兩切線交點的坐標為，再代入進行坐標運算，即可得到定值【解析】（1）設(shè)，，∵焦點，∴，，∵，∴消得，化簡整理得，∵，∴，∴.∴（定值）.（2）拋物線方程為，∴，∴過拋物線、兩點的切線方程分別為和，即和，聯(lián)立解出兩切線交點的坐標為，∴（定值）.【點評】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系中的定值問題，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意坐標法思想的應(yīng)用.14．（1）（2）求證見解析【分析】（1）先求出拋物線方程，設(shè)出直線的方程，由直線與拋物線有兩個交點得斜率的范圍，還要考慮直線與軸相交可得，最終可得所求范圍；（2）設(shè)，由韋達定理得，寫出直線方程，求出點橫坐標，表示出，同理得，然后計算可得．【解析】（1）由已知，，∴拋物線的方程為，設(shè)直線的方程為，代入拋物線方程得，即.由于有兩個交點，則，即或；又由于直線與軸有交點，所以直線不過點和點，所以.綜上，斜率的取值范圍為.（2）設(shè)點，根據(jù)韋達定理知，，直線的方程為，令，知，則，同理:.那么.【點評】本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線相交中的定值問題，解析幾何中求解定值問題常用的方法(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．15．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）由兩直線平行的條件：斜率相等，運用直線的斜率公式，結(jié)合點在拋物線上，化簡可得結(jié)論（2）因為直線過點，所以，求得直線，的方程，設(shè)點坐標為，又因為直線，交于點，化簡整理可得，的方程，分解因式即可得到定值．【解析】證明：（1）因為MQ∥OP，所以kMQ＝kOP，所以，所以y0＝y(tǒng)1﹣y2；（2）因為直線PM過點F，可得，所以y1y0＝﹣4，由（1）得