新高考數(shù)學(xué)專題37 數(shù)列求和中的不等式問題（教師版）

專題37數(shù)列求和中的不等式問題一、題型選講題型一、數(shù)列中與不等式有關(guān)的證明問題例1、【2020年高考浙江】已知數(shù)列{an}，{bn}，{cn}滿足．（Ⅰ）若{bn}為等比數(shù)列，公比，且，求q的值及數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若{bn}為等差數(shù)列，公差，證明：．【解析】（Ⅰ）由得，解得．由得．由得．（Ⅱ）由得，所以，由，得，因此．例2、（河北省衡水中學(xué)2021屆上學(xué)期高三年級(jí)二調(diào)考試）甲、乙兩名同學(xué)在復(fù)習(xí)時(shí)發(fā)現(xiàn)他們?cè)?jīng)做過的一道數(shù)列題目因紙張被破壞，導(dǎo)致一個(gè)條件看不清，具體如下：等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，(1)判斷的關(guān)系并給出證明．(2)若，設(shè),的前項(xiàng)和為，證明：甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比的值，并且他倆都記得第(1)問的答案是成等差數(shù)列．如果甲、乙兩名同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)通過推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題．【解析】：補(bǔ)充的條件為，的關(guān)系為成等差數(shù)列．證明如下：由題意可得，，，可得，因此成等差數(shù)列．（5分）(2)證明：由，可得,解得（6分），（7分）則,,上面兩式相減，可得（9分）整理可得,(11分)因?yàn)?，所以(12分)例3、（2020·浙江溫州中學(xué)3月高考模擬）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（，且）（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：當(dāng)時(shí)，【解析】（1）由，得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，所以，即，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，也滿足上式，所以；（2）當(dāng)時(shí)，，所以題型二、數(shù)列中與不等式有關(guān)的參數(shù)問題例4、【2018年高考江蘇卷】已知集合，．將的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，則使得成立的n的最小值為___________．【答案】27【解析】所有的正奇數(shù)和按照從小到大的順序排列構(gòu)成，在數(shù)列|中，25前面有16個(gè)正奇數(shù)，即.當(dāng)n=1時(shí)，，不符合題意；當(dāng)n=2時(shí)，，不符合題意；當(dāng)n=3時(shí)，，不符合題意；當(dāng)n=4時(shí)，，不符合題意；……；當(dāng)n=26時(shí)，，不符合題意；當(dāng)n=27時(shí)，,符合題意.故使得成立的n的最小值為27.例5、【2020屆江蘇省南通市如皋市高三下學(xué)期二?！恳阎缺葦?shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則滿足不等式的的最小值為__________.【答案】12【解析】因?yàn)?，，成等差?shù)列。所以等比數(shù)列的公比.由題得因?yàn)?，所以因?yàn)闀r(shí)，，時(shí)，.所以的最小值為12.故答案為：12例6、（2020屆山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上期中）設(shè)正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，若對(duì)任意都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【解析】（1）證明:∵，且，當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，有即，即．于是，即．∵，∴為常數(shù)∴數(shù)列是為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，∴．（2）由（1）可得：，∴，即對(duì)任意都成立，①當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，恒成立，令，，在上為增函數(shù)，②當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，恒成立，又，在為增函數(shù)，∴由①②可知：綜上所述的取值范圍為:例7、（2020屆浙江省之江教育評(píng)價(jià)聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）已知數(shù)列滿足，，正項(xiàng)數(shù)列滿足，且是公比為3的等比數(shù)列.（1）求及的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為的前項(xiàng)和，若恒成立，求正整數(shù)的最小值.【解析】（1）正項(xiàng)數(shù)列滿足，且是公比為3的等比數(shù)列，可得，則，，可得，當(dāng)時(shí)，又，相除可得，即數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)、偶數(shù)項(xiàng)均為公比為3的等比數(shù)列，可得.（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，由，解得，當(dāng)為奇數(shù)，，由，解得，綜上可得.二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2020·浙江省溫州市新力量聯(lián)盟高三上期末）已知數(shù)列滿足：，，若對(duì)任意的正整數(shù)，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，又在區(qū)間上單調(diào)遞增，，實(shí)數(shù)的取值范圍，故選：．2、（2020屆浙江省溫麗聯(lián)盟高三第一次聯(lián)考）數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則__________；若時(shí)，的最大值為__________.【答案】26807【解析】∵，，∴，，，，，……∴；由可知，，故時(shí)，的最大值為807；故答案為：26；807．3、【2020屆河北省衡水中學(xué)全國(guó)高三期末大聯(lián)考】已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，且，則滿足不等式成立的最小正整數(shù)n為________.【答案】【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，得，所以或，又因?yàn)?，所以，從而，所?令，又因?yàn)?，所?故答案為:64、（2021屆江蘇基地學(xué)校高三第一次大聯(lián)考）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．【解析】（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即．……1分當(dāng)時(shí)，有，所以，即，即（），所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，……4分所以．所以．……6分（2）．……8分所以，……10分可知為遞增數(shù)列，所以．又，所以，所以．……12分5、【遼寧省渤大附中、育明高中2020屆高三第五次模擬】已知數(shù)列an滿足1（1）求數(shù)列an（2）設(shè)數(shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為【答案】（1）an=3n+52【解析】（1）令Sn=n當(dāng)n≥2時(shí)，bn當(dāng)n=1時(shí)，b1=13，則（2）∵1∴=46、【江蘇省如皋市2019-2020學(xué)年度高三年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研（三)】已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，是數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)任意的，不等式都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）記，是否存在互不相等的正整數(shù)，，，使，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列？如果存在，求出所有符合條件的，，；如果不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和滿足，所以當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即，又時(shí)，，解得：，所以數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，從而.（2）由（1）知：，所以，，對(duì)任意