習(xí)題1：數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法自主練習(xí)夯基達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1.設(shè)f(n)=(n∈N+),那么f(n+1)-f(n)等于（）A.B.C.+思路解析：因?yàn)閒(n)=+…+,所以f(n+1)=.所以f(n+1)-f(n)=答案：D2.設(shè)f(n)=1+++…+(n∈N+),則f(n+1)-f(n)等于（）A.B.C.D.思路解析：因?yàn)閒(n)=1+++…+.所以f(n+1)=1+++…++.所以f(n+1)-f(n)=.答案：D3.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（n+1）(n+2)…（n+n）=2n×1×3…(2n-1)時(shí)，從“k到k+1”左邊需增乘的代數(shù)式是（）+1B.(2k+1)D.思路解析：當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+1+1)(k+1+2)…(k+1+k+1)=(k+1)·(k+2)·(k+3)…(k+k)·=(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)·2(2k+1).答案：C4.用數(shù)學(xué)歸納法證明：“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N+)”在驗(yàn)證n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（）+a+a+a2+a+a2+a3思路解析：觀(guān)察等式左邊，當(dāng)n=1時(shí)，最末項(xiàng)為a2,故1+a+a2是正確的.答案：C5.用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xn+yn能被x+y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫(xiě)成（）A.假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)，xk+yk能被x+y整除B.假設(shè)當(dāng)n=2k(k∈N+)時(shí)，xk+yk能被x+y整除C.假設(shè)當(dāng)n=2k+1(k∈N+)時(shí)，xk+yk能被x+y整除D.假設(shè)當(dāng)n=2k-1(k∈N+)時(shí)，xk+yk能被x+y整除思路解析：第k個(gè)奇數(shù)應(yīng)是n=2k-1，所以第k+1個(gè)奇數(shù)應(yīng)是n=2k+1，且n=1時(shí)，命題成立.答案：D6.在用數(shù)學(xué)歸納法證明多邊形內(nèi)角和定理時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證（）=1成立=2成立=3成立=4成立思路解析：多邊形至少是3邊.答案：C7.如果命題P（n）對(duì)n=k時(shí)成立，則它對(duì)n=k+2也成立，又若P（n）對(duì)n=2成立，則下列結(jié)論正確的是…（）（n）對(duì)所有正整數(shù)n成立（n）對(duì)所有正偶數(shù)n成立（n）對(duì)所有正奇數(shù)n成立（n）對(duì)所有大于1的正整數(shù)n成立思路解析：由n=2成立，推出n=4成立，再推出n=6成立…….答案：B8.等式12+22+32+…+n2=(5n2-7n+4)()為任何正整數(shù)時(shí)都成立B.僅當(dāng)n=1,2,3時(shí)成立C.當(dāng)n=4時(shí)成立，n=5時(shí)不成立D.僅當(dāng)n=4時(shí)不成立思路解析：分別用n=1，2，3，4，5驗(yàn)證即可.答案：B9.某學(xué)生在證明等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，證法如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，S1=a1顯然成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)，公式成立，即Sk=ka1+，當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=a1+a2+…+ak+ak+1=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+a1+(k-1)d+a1+kd=(k+1)a1+(d+2d+…+kd)=(k+1)a1+d=(k+1)a1+d.∴n=k+1時(shí)公式成立.∴由（1）（2）可知對(duì)n∈N+,公式成立.以上證明錯(cuò)誤的是（）A.當(dāng)n取第一個(gè)值1時(shí)，證明不對(duì)B.歸納假設(shè)寫(xiě)法不對(duì)C.從n=k到n=k+1的推理中未用歸納假設(shè)D.從n=k到n=k+1的推理有錯(cuò)誤思路解析：在第（2）步證明中，歸納假設(shè)未用到.答案：C綜合提升10.某個(gè)命題與正整數(shù)有關(guān)，若當(dāng)n=k(k∈N+)時(shí)該命題成立，那么可推得當(dāng)n=k+1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（）A.當(dāng)n=6時(shí)，該命題不成立B.當(dāng)n=6時(shí)，該命題成立C.當(dāng)n=4時(shí)，該命題成立D.當(dāng)n=4時(shí)，該命題不成立思路解析：利用等價(jià)命題，原命題的真假等價(jià)于逆否命題的真假，若n=k+1時(shí)命題不成立，則n=k時(shí)命題不成立，所以n=4時(shí)命題不成立.答案：D11.上一個(gè)n層的臺(tái)階，若每次可上一層或兩層，設(shè)所有不同上法的總數(shù)為f(n)，則下列猜想正確的是（）(n)=n(n)=f(n)+f(n-2)(n)=f(n)·f(n-2)(n)=n(n=1,2)，f(n-1)+f(n-2)(n≥3).思路解析：分別取n=1,2,3，4驗(yàn)證.答案：D12.用數(shù)學(xué)歸納法證明：32n+2-8n-9(n∈N+)能被64整除.思路解析：(1)當(dāng)n=1時(shí)，34-8×1-9=64,能被64整除，命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即32k+2-8k-9能被64整除.則當(dāng)n=k+1時(shí),32(k+1)+2-8(k+1)-9=9(32k+2-8k-9)+64k+64.因?yàn)?2k+2-8k-9能被64整除，所以32(k+1)+2-8(k+1)-9能被64整除.即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題也成立.由（1）（2）可知，對(duì)任何n∈N+,命題都成立.13.用數(shù)學(xué)歸納法證明：tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(n-1)α·tannα=-n(n≥2,n∈N+).思路解析：(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=tanα×，右邊=,等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（k≥2,k∈N+）等式成立，即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα=-k,則當(dāng)n=k+1時(shí)，tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-k+tankα·tan(k+1)α.(*)因tanα=tan［(k+1)α-kα］=,得tankαtan(k+1)α=.代入（*）式，得右邊=-(k+1),即tanα·tan2α+tan2α·tan3α+…+tan(k-1)α·tankα+tankα·tan(k+1)α=-(k+1).這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立.根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)任意n≥2,n∈N+,等式成立.14.用數(shù)學(xué)歸納法證明，若f(n)=1+++…+,則n+f(1)+f(2)+…+f(n-1)=n·f(n)(n≥2,且n∈N+).思路解析：(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=2+f(1)=2+1=3,右邊=2·f(2)=2×(1+)=3,左邊=右邊，等式成立.（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)=kf(k).由已知條件可得f(k+1)=f(k)+,右邊=(k+1)·f(k+1)（先寫(xiě)出右邊，便于左邊對(duì)照變形）.當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊=(k+1)+f(1)+f(2)+…+f(k-1)+f(k)=［k+f(1)+f(2)+…+f(k-1)］+1+f(k)(湊成歸納假設(shè))=kf(k)+1+f(k)(利用假設(shè))=（k+1）·f(k)+1=(k+1)·［f(k+1)-］+1=(k+1)·f(k+1)=右邊.∴當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立.由（1）（2）可知，對(duì)一切n≥2的正整數(shù)等式都成立.15.（2022廣東廣州高中綜合測(cè)試，20）n2（n≥4,且n∈N+)個(gè)正數(shù)排成一個(gè)n列的數(shù)陣：第1列第2列第3列…第n列第1行a11a12a13…a1n第2行a21a22a23…a2n第3行a31a32a33…a3n………………第n行an1an2an3…ann其中aik(1≤i≤n,1≤k≤n，且i,k∈N+)表示該數(shù)陣中位于第i行第k列的數(shù)，已知該數(shù)陣每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成公比為2的等比數(shù)列，且a23=8,a34=20.(1)求a11和aik;(2)設(shè)An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1,證明：當(dāng)n為3的倍數(shù)時(shí)，(An+n)能被21整除.(1)解：設(shè)第一行公差為d,則aik=［a11+(k-1)d］×2i-1.∵a23=8,a34=20.∴解得a11=2,d=1.∴a11=2,aik=(k+1)×2i-1(1≤i≤n,1≤k≤n，且n≥4,i,k,n∈N+).(2)證明：∵An=a1n+a2(n-1)+a3(n-2)+…+an1=(n+1)+n×2+(n-1)×22+…+2×2n-1,①∴2An=(n+1)×2+n×22+(n-1)×23+…+3×2n-1+2×2n,②②-①,得An=2+22+23+…+2n-1+2×2n-(n+1)=2n-2+2×2n-(n+1)=3×(2n-1)-n.∴An+n=3×(2n-1).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n為3的倍數(shù)時(shí)，（An+n）能被21整除.設(shè)n=3m(m∈N+,且m≥2),則A3m+3m=3×(23m-1).（1）當(dāng)m=2時(shí)，