習(xí)題：不等關(guān)系與不等式

不等關(guān)系第1課時一、選擇題1．設(shè)M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關(guān)系是()A．M>N B．M＝NC．M<N D．與x有關(guān)[答案]A[解析]M－N＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)>0，∴M>N.2．若a<b<0，則下列不等式不能成立的是()A．eq\f(1,a)>eq\f(1,b) B．2a>2bC．|a|>|b| D．(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b[答案]B[解析]∵a<b，y＝2x單調(diào)遞增，∴2a<2b，故選B．3．已知a<0，－1<b<0，則下列各式正確的是()A．a(chǎn)>ab>ab2 B．a(chǎn)b>a>ab2C．a(chǎn)b2>ab>a D．a(chǎn)b>ab2>a[答案]D[解析]∵－1<b<0，∴1>b2>0>b>－1，即b<b2<1，兩邊同乘以a得，∴ab>ab2>a.故選D．4．如果a、b、c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項中不一定成立的是()A．a(chǎn)b>ac B．bc>acC．cb2<ab2 D．a(chǎn)c(a－c)<0[答案]C[解析]∵c<b<a，且ac<0，∴a>0，c<0.∴ab－ac＝a(b－c)>0，bc－ac＝(b－a)c>0，ac(a－c)<0，∴A、B、D均正確．∵b可能等于0，也可能不等于0.∴cb2<ab2不一定成立．5．設(shè)a＝lge，b＝(lge)2，c＝lgeq\r(e)，則()A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a>b D．c>b>a[答案]B[解析]∵0<lge<1，∴b＝(lge)2＝a2<a，c＝lgeq\r(e)＝eq\f(1,2)lge＝eq\f(1,2)a<a.又∵b＝(lge)2<lgeq\r(10)·lge＝eq\f(1,2)lge＝c，∴b<c<a.6．下列各式中，對任何實數(shù)x都成立的一個式子是()A．lg(x2＋1)≥lg2x B．x2＋1>2xC．eq\f(1,x2＋1)≤1 D．x＋eq\f(1,x)≥2[答案]C[解析]A中x>0；B中x＝1時，x2＋1＝2x；C中任意x，x2＋1≥1，故eq\f(1,x2＋1)≤1；D中當x<0時，x＋eq\f(1,x)≤0.二、填空題7．若a＞b，則a3與b3的大小關(guān)系是________．[答案]a3＞b38．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，則x與y的大小關(guān)系是________．[答案]x＜y[解析]x－y＝(a＋3)(a－5)－(a＋2)(a－4)＝(a2－2a－15)－(a2－2a－8)＝－7＜0，∴x＜y.三、解答題9．有糧食和石油兩種物質(zhì)，可用輪船與飛機兩種方式運輸，每天每艘輪船和每架飛機的運輸效果如下表：方式效果種類輪船運輸量(t)飛機運輸量(t)糧食300150石油250100現(xiàn)在要在一天內(nèi)運輸2000t糧食和1500t石油．寫出安排輪船艘數(shù)和飛機架數(shù)所滿足的所有不等關(guān)系的不等式．[解析]設(shè)需安排x艘輪船和y架飛機，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(300x＋150y≥2000,250x＋100y≥1500,x≥0,y≥0))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6x＋3y≥40,5x＋2y≥30,x≥0,y≥0)).10．設(shè)a>0，b>0且a≠b，試比較aabb與abba的大小．[解析]根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則．eq\f(aabb,abba)＝aa－b·bb－a＝(eq\f(a,b))a－b，當a>b>0時，eq\f(a,b)>1，a－b>0，則(eq\f(a,b))a－b>1，于是aabb>abba.當b>a>0時，0<eq\f(a,b)<1，a－b<0，則(eq\f(a,b))a－b>1，于是aabb>abba.綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabb>abba.一、選擇題1．下列命題正確的是()A．若ac>bc，則a>b B．若a2>b2，則a>bC．若eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a<b D．若eq\r(a)<eq\r(b)，則a<b[答案]D[解析]對于A，若c<0，其不成立；對于B，若a、b均小于0或a<0，其不成立；對于C，若a>0，b<0，其不成立；對于D，其中a≥0，b>0，平方后顯然有a<b.2．若a>b>0，c<d<0，則一定有()A．eq\f(a,c)>eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)<eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)[答案]D[解析]本題考查不等式的性質(zhì)，eq\f(a,c)－eq\f(b,d)＝eq\f(ad－bc,cd)，cd>0，而ad－bc的符號不能確定，所以選項A、B不一定成立.eq\f(a,d)－eq\f(b,c)＝eq\f(ac－bd,dc)，dc>0，由不等式的性質(zhì)可知ac<bd，所以選項D成立．本題也可以對實數(shù)a、b、c、d進行適當?shù)馁x值逐一排查．3．設(shè)a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，則下列各式正確的是()A．a(chǎn)<eq\f(a2＋b2,2)<b B．a(chǎn)<b<eq\f(a2＋b2,2)C．b<a<eq\f(a2＋b2,2) D．b<eq\f(a2＋b2,2)<a[答案]B[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a<b，排除C、D兩項．又∵a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)>ab＝eq\r(2)sin60°×eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°>eq\r(2)sin61°＝b，故a<b<eq\f(a2＋b2,2)成立．4．已知－1<a<0，A＝1＋a2，B＝1－a2，C＝eq\f(1,1＋a)，比較A、B、C的大小結(jié)果為()A．A<B<C B．B<A<CC．A<C<B D．B<C<A[答案]B[解析]不妨設(shè)a＝－eq\f(1,2)，則A＝eq\f(5,4)，B＝eq\f(3,4)，C＝2，由此得B<A<C，排除A、C、D，選B．具體比較過程如下：由－1<a<0得1＋a>0，A－B＝(1＋a2)－(1－a2)＝2a2>0得A>B，C－A＝eq\f(1,1＋a)－(1＋a2)＝－eq\f(aa2＋a＋1,1＋a)＝－eq\f(a\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)))2＋\f(3,4))),1＋a)>0，得C>A，∴B<A<C．二、填空題5．給出四個條件：①b＞0＞a，②0＞a＞b，③a＞0＞b，④a＞b＞0，能推得eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)成立的是________．[答案]①、②、④[解析]eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)?eq\f(b－a,ab)＜0，∴①②④能使它成立．6．a(chǎn)≠2、b≠－1、M＝a2＋b2、N＝4a－2b－5，比較M與N大小的結(jié)果為________．[答案]M＞N[解析]∵a≠2，b≠－1，∴M－N＝a2＋b2－4a＋2b＋5＝(a－2)2＋(b＋1)2＞0，∴M>N.三、解答題7．某礦山車隊有4輛載重為10t的甲型卡車和7輛載重為6t的乙型卡車，有9名駕駛員．此車隊每天至少要運360t礦石至冶煉廠．已知甲型卡車每輛每天可往返6次，乙型卡車每輛每天可往返8次，寫出滿足上述所有不等關(guān)系的不等式[解析]設(shè)每天派出甲型卡車x輛，乙型卡車y輛．根據(jù)題意，應(yīng)有如下的不等關(guān)系：(1)甲型卡車和乙型卡車的總和不能超過駕駛員人數(shù)．(2)車隊每天至少要運360t礦石．(3)甲型車不能超過4輛，乙型車不能超過7輛．要同時滿足上述三個不等關(guān)系，可以用下面的不等式組來表示：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,10×6x＋6×8y≥360,0≤x≤4,0≤y≤7))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤9,5x＋4y≥30,0≤x≤4,0≤y≤7)).8．已知a、b均為正實數(shù)，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．[解析]∵2a＋8b－ab＝0，∴eq\f(8,a)＋eq\f(2,b)＝1，又a>0，b>0，∴a＋b＝(a＋b)(eq\f(8,a)＋eq\f(2,b))＝10＋eq\f(8b,a)＋eq\f(2a,b)≥1