2022-2023學(xué)年上海初二下學(xué)期同步講義第19講四邊形的存在性(含詳解)

第19講四邊形的存在性本節(jié)包含兩部分，平行四邊形的存在性及梯形的存在性,常見題型是存在菱形和正方形,根據(jù)題目中的條件及特殊的平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；常見的梯形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線.考察學(xué)生的分類討論思想及邏輯思維能力.知識精講平行四邊形的問題是近幾年來考試的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的分類討論的思想.常見的題型是在平面直角坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)和第四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求第四點(diǎn)；或者已知兩點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在某函數(shù)圖像上，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；利用兩點(diǎn)間的距離公式和平移的思想，結(jié)合題目中的條件構(gòu)造等量關(guān)系.例題解析例1.如圖所示，在梯形4及笫中，AD//BC,N比90°,4>24cm,%=26cm,動點(diǎn)/從點(diǎn)/出發(fā)沿力〃方向向點(diǎn)〃以IcWs的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿著C8方向向點(diǎn)B以3cMs的速度運(yùn)動.點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)1和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.(1)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形尸是平行四邊形；(2)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形A倒是矩形.4, >? 例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)1的坐標(biāo)為/(3,0),點(diǎn)6的坐標(biāo)為1(0,4).(1)求直線的解析式；(2)點(diǎn)C是線段48上一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)〃在第二象限，且四邊形比、川為菱形，求點(diǎn)〃坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)￡在入軸上，點(diǎn)〃在直線四上，且以8、D、E、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請寫出所有滿足條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo).1例3.直線y=-=x+6與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)力、B兩點(diǎn)、，點(diǎn)、P、。同時(shí)從。點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)4點(diǎn),運(yùn)動停止.點(diǎn)0沿線段的運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)/沿OfBf4運(yùn)動.(1)直接寫出/、6兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)0的運(yùn)動時(shí)間為f秒，△0?的面積為5,求出S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)5=史時(shí)，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)0、P、0為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四5個(gè)頂點(diǎn)"的坐標(biāo).例4.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)片(x為自變量)的圖像與雙曲線y=-2交于點(diǎn)4,且點(diǎn)l的橫坐標(biāo)為-應(yīng).X(1)求4的值；(2)將直線尸M(x為自變量)向上平移4個(gè)單位得到直線6C,直線6c分別交x軸、y軸于6、C,如點(diǎn)〃在直線芯上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)只使以0、B、D、。為頂點(diǎn)的四例5.在直角優(yōu)中，N俏90°,N/=30°,A54,將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)?放在46邊上滑動，保持30°角的一邊平行于6G且交邊4c于點(diǎn)區(qū)30°的另一邊交射線比'于點(diǎn)〃，連ED.(1)如圖，當(dāng)四邊形陽陽為等腰梯形時(shí)，求長；(2)四邊形如陽有可能為平行四邊形嗎.若可能，求出題'為平行四邊形時(shí)，4a的長,若不可能，說明理由；(3)若點(diǎn)〃在回邊上(不與8、C重合)，試寫出線段的取值范圍.例6.(2018?上海八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系X”中，直線4經(jīng)過點(diǎn)A(-5,-6)3且與直線，2：y=--x+6平行，直線，2與X軸、y軸分別交于點(diǎn)b、c.(1)求直線L的表達(dá)式及其與X軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn)，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F,使得四邊形CBEF是正方形，求點(diǎn)E的坐標(biāo)，請直接寫出答案.例7.(2018?上海八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線y=H+〃經(jīng)過點(diǎn)A(2,0)、0(0,1),點(diǎn)5是第一象限的點(diǎn)且過點(diǎn)8作8C_Ly軸，垂足為(1)求直線y=+b的解析式和點(diǎn)3的坐標(biāo)；(2)試說明：AD1BO；(3)若點(diǎn)M是直線AO上的一個(gè)動點(diǎn)，在x軸上存在另一個(gè)點(diǎn)N,且以。、B、M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).例8.(2019?上海八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系大力中，已知一次函數(shù)y=-2x+4的圖像與x軸相交于點(diǎn)A，與N軸相交于點(diǎn)8.y(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)和點(diǎn)5坐標(biāo)；(2)點(diǎn)C是線段上一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在第二象限，且四邊形BCOD為菱形，求點(diǎn)O坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，以B、D、A、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的尸點(diǎn)坐標(biāo).模塊二：梯形的存在性知識精講梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形的運(yùn)動有關(guān)，需要學(xué)生有一定的想象力、分析力和運(yùn)算力.梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類.常見題型為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知三點(diǎn)求第四點(diǎn)，抓住梯形兩底平行的特征，對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式的4相等而b不相等.若是等腰梯形，常需添設(shè)輔助線,過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形.若是直角梯形，則需連接對角線或過上底的一頂點(diǎn)作下底的高構(gòu)造直角三角形.例題解析例1.在梯形月犯9中，AD//BC,AD=\2cm,DO8cm,且N俏60°,動點(diǎn)、P以lcm/s的速度從點(diǎn)4出發(fā)，沿力〃方向向點(diǎn)〃移動，同時(shí)，動點(diǎn)0以2cw/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿醫(yī)方向向點(diǎn)6移動，連接收，(1)得四邊形4優(yōu)葉和四邊形做笫.若設(shè)移動的時(shí)間為f秒(0<?<7),四邊形切切的面積為明蘇，求y與t的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形尸笛是等腰梯形.說明理由；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形m是直角梯形.A P- D例2.如圖，已知A(-l,m)與8(2,m+36)是反比例函數(shù)y=V圖像上的兩個(gè)點(diǎn).X(1)求％的值；(2)若點(diǎn)C(-1,O),則在反比例函數(shù)y=2圖像上是否存在點(diǎn)〃，使得以4B、C、〃為頂X點(diǎn)的四邊形是梯形.若存在，請直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.例3。如圖，一次函數(shù)y= +b的圖像與X軸相交于點(diǎn)力(5月，0)、與y軸相交于點(diǎn)B.(1)求點(diǎn)8的坐標(biāo)及N4的度數(shù)；(2)如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,3),四邊形力凡力是直角梯形，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)例4.(2019?上海八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOx中，已知點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)3C(5,0),點(diǎn)5在第一象限內(nèi)，軸，且=(1)求直線的表達(dá)式；(2)如果四邊形ABC。是等腰梯形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).隨堂檢測.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+12的圖像分別交x軸、y軸于/、8兩點(diǎn).過點(diǎn)4的直線交y軸正半軸于點(diǎn)G且點(diǎn)C為線段值的中點(diǎn).(1)求直線4C的表達(dá)式；(2)如果四邊形4。叨是平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).【拓展】如果以4、C、P、6為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)〃的坐標(biāo).

.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-』x+6與y軸交于點(diǎn)4與直線y='x相交于點(diǎn)2 2反點(diǎn)C是線段加上的點(diǎn)，且△4比1的面積為12.(1)求直線4C的表達(dá)式；(2)設(shè)點(diǎn)一為直線上的一點(diǎn)，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使四邊形以用為菱形，若存在，求點(diǎn)。的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由..如圖，已知在梯形力融力中，AD//BC,N8=9Q：AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點(diǎn)P從4點(diǎn)開始沿｛〃邊以IcWs的速度向〃運(yùn)動，動點(diǎn)。從C點(diǎn)開始沿紡邊以3cz?/s的速度向方運(yùn)動，P、0分別從4C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，線段收=第20講四邊形的存在性本節(jié)包含兩部分,平行四邊形的存在性及梯形的存在性,常見題型是存在菱形和正方形,根據(jù)題目中的條件及特殊的平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；常見的梯形的問題中，經(jīng)常需要添加輔助線.考察學(xué)生的分類討論思想及邏輯思維能力.知識精講平行四邊形的問題是近幾年來考試的熱點(diǎn)，考察學(xué)生的分類討論的思想.常見的題型是在平面直角坐標(biāo)系中已知三點(diǎn)和第四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，求第四點(diǎn)；或者已知兩點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在某函數(shù)圖像上，四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形；利用兩點(diǎn)間的距離公式和平移的思想，結(jié)合題目中的條件構(gòu)造等量關(guān)系.例題解析例1.如圖所示，在梯形4?切中，AD//BC,N廬90°,/824cm,小26cm,動點(diǎn)一從點(diǎn)力出發(fā)沿力。方向向點(diǎn)〃以la?/s的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿著8方向向點(diǎn)B以3cs的速度運(yùn)動.點(diǎn)只。分別從點(diǎn)｛和點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動.(1)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形戶曾是平行四邊形；(2)經(jīng)過多長時(shí)間，四邊形&物是矩形.【難度】★★【解析】(1)設(shè)經(jīng)出秒后，四邊形PQ8為平行四邊形,PD=CQ,：.24-x=3x,x=6,經(jīng)過6秒后四邊形尸QCD是平行四邊形.（2）設(shè)經(jīng)過y秒后，四邊形PQ8A為矩形，??.AP=BQ,:.y=26-3y,13y=—,，2/.設(shè)經(jīng)過］秒后，四邊形PQB4為矩形.【總結(jié)】本題主要考查了平行四邊形和矩形的判定.例2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為4（3,0）,點(diǎn)6的坐標(biāo)為4（0,4）.（1）求直線48的解析式；（2）點(diǎn)C是線段四上一點(diǎn)，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)〃在第二象限，且四邊形8aM為菱形，求點(diǎn)〃坐標(biāo)：（3）在（2）的條件下，點(diǎn)￡在入軸上，點(diǎn)〃在直線45上，且以8、D、E、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請寫出所有滿足條件的點(diǎn)戶的坐標(biāo).【難度】★★【解析】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=丘+反j3k+b=Q5=4[b=44直線A6的解析式為y=--x+4.（2）?.?四邊形是菱形,OB±CD,且08與C￡)互相平分，???0加勺中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),.?.點(diǎn)。的縱坐標(biāo)是2,4 3把y=2代入y=—x+4,得x=—,.?.C點(diǎn)坐標(biāo)為(12),2。點(diǎn)坐標(biāo)為(-二,2).3 3 9(3)/＞點(diǎn)的坐標(biāo)為(-16)或(2,2)或(一,-2).2 2 2【總結(jié)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，菱形的性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì).例3.直線y=-?x+6與坐標(biāo)軸分別交與點(diǎn)1、6兩點(diǎn)，點(diǎn)只。同時(shí)從0點(diǎn)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)44點(diǎn),運(yùn)動停止.點(diǎn)。沿線段。1運(yùn)動，速度為每秒1個(gè)單位長度，點(diǎn)〃沿OfB—A運(yùn)動.(1)直接寫出/、6兩點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)0的運(yùn)動時(shí)間為/秒，△袖。的面積為S,求出S與f之間的函數(shù)關(guān)系式.(3)當(dāng)5=竺時(shí)，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，并直接寫出以點(diǎn)0、P、0為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四5個(gè)頂點(diǎn)”的坐標(biāo).【難度】★★★【解析】(1)A(8,0),B(0,6);(2)?.Q=8,QB=6,???AB=10,點(diǎn)。由。到A的時(shí)間是:=8（秒），點(diǎn)、P的速度是等^=2（單位長度/秒），當(dāng)P在線段。8上運(yùn)動（即04f43）時(shí),OQ=r,OP=2r,S=/，當(dāng)P在線段8A上運(yùn)動（即3CT8）時(shí),OQ=f,AP=6+10-2f=16-2f,如圖，過點(diǎn)P作PC1。4于點(diǎn)D-x8xPD=lx爭吵嘰?.四-x8xPD=lx爭吵嘰?.四十:.S=-OQPD=--t2+—t.2 5 548—>53.248—>53.2，x3x6,.?.點(diǎn)尸在上,224 48r=4,:.PD=486x4=竺”=16-2x4=8,AO=A-（當(dāng)2=25 5 V5 5.?.OD=8-y=1,.-.P點(diǎn)坐標(biāo)為g,y）,M點(diǎn)坐標(biāo)為（弓,-g）.【總結(jié)】本題主耍考查了一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)及平行四邊形的判定和性質(zhì).例4.如圖所示，平面直角坐標(biāo)系中，0是坐標(biāo)原點(diǎn)，正比例函數(shù)尸Ax（x為自變量）的圖像與雙曲線y=-2交于點(diǎn)且點(diǎn)｛的橫坐標(biāo)為X（1）求A的值;（2）將直線尸（x為自變量）向上平移4個(gè)單位得到直線8C,直線比'分別交”軸、y軸于反C,如點(diǎn)〃在直線比'上，在平面直角坐標(biāo)系中求一點(diǎn)只使以0、B、D、。為頂點(diǎn)的四【難度】★★★【解析】(1)?.?點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-四，由題意得：y=-囁，:.y=>/2,??.A(-丘赤,：.y/2=-y/2k,(2)?.?直線5C的解析式：y=-x+4,OB=OC=4,??N08C=45。，??四邊形O8OP是菱形，.?.OB=BD=DP=PO,：.BD、=4,由勾股定理可以求出R(4-2&,2a),.16(-2&,2逐)，同理可得：￡>式4+2&),鳥(2&,-2a),4(0,4),6(4,4),2(2,2),舄(2,-2),綜上所述尸點(diǎn)坐標(biāo)為(-20,2上)或(2&,-20)或(4,4)或(2,-2).【總結(jié)】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)等關(guān)系及菱形的判定和性質(zhì).例5.在直角△46C中，Z(=90°,N/=30°,/住4,將一個(gè)30°角的頂點(diǎn)。放在48邊上滑動，保持30°角的一邊平行于6C,且交邊/C于點(diǎn)￡,30°的另一邊交射線附于點(diǎn)〃，連口.(1)如圖，當(dāng)四邊形外班'為等腰梯形時(shí)，求/〃長；(2)四邊形處班■有可能為平行四邊形嗎.若可能，求出胭右為平行四邊形時(shí)，的長,若不可能，說明理由；(3)若點(diǎn)〃在比'邊上(不與反C重合)，試寫出線段4尸的取值范圍.P/【難度】★★★【解析】(1)vZC=90o,ZA=30°,??ZB=60°,若P8DE是等腰梯形，?.ED=PB,NBDE=NB=60°,??PE//BC,?.NBDP=NDPE=3。。,?.Z.EDP=60°-30°=30°=NDPE,PE=ED=PB,.?ZA=30°,?.AP=2PE=2PB,8：.AP=-AB=-.3(2)當(dāng)。點(diǎn)位于線段6c上時(shí)，P8DE有可能為平行四邊形，這時(shí)NPOE=/DPB=180°-60°-30°=90°,??.AP=2PE=2BD=4PB,._4,_16AP=—A3=—.5(3)當(dāng)。與。重合時(shí)，AB=2BC=4P8,AP=-AB=3,當(dāng)O點(diǎn)趨于5點(diǎn)時(shí),AP趨于4,/.3VA尸<4.【總結(jié)】本題主要考查了等腰梯形和平行四邊形的判定和性質(zhì).例6.(2018?上海八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系入沖中，直線人經(jīng)過點(diǎn)4(-5,-6)且與直線4：y=~x+6平行，直線4與x軸、y軸分別交于點(diǎn)b、c.(1)求直線L的表達(dá)式及其與X軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結(jié)論；(3)若點(diǎn)E是直線AB上一點(diǎn)，平面內(nèi)存在一點(diǎn)F,使得四邊形CBEF是正方形，求點(diǎn)E的

坐標(biāo)，請直接寫出答案.4)(2)四邊形/仇》是矩形：(3)(-2,-4),(10,坐標(biāo)，請直接寫出答案.4)【解析】(1)根據(jù)，直線4與直線4平行，設(shè)出4的函數(shù)關(guān)系式，再利用待定系數(shù)法即可求出4的函數(shù)關(guān)系式，再令y=o,即可求出點(diǎn)〃坐標(biāo)；(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出與比'的長相等，再根據(jù)8。及做即可求出結(jié)論；(3)根據(jù)正方形的判定，作出圖形，即可得出點(diǎn)￡的坐標(biāo).3詳解：(1)?.?直線4與直線5y=--x+6平行，5 3 ,?I?乂y= x+,當(dāng)y=0時(shí),.?直線乙經(jīng)過點(diǎn)A(—5,-6)當(dāng)y=0時(shí),解得x=—9，(2)四邊形1時(shí)是矩形.5,-6),0(-9,0),??AD=J(-9+5)2+6:=2x/13，??8(4,0),C(0,6),<-BC=\/62+42=2713，AD=BC,又YAD//BC,：.四邊形40是平行四邊形，SD=4-(-9)=13,AC=a/52+122=13-：.BD^AC,.??平行四邊形4成力是矩形.(3)如圖所示，點(diǎn)V坐標(biāo)為：目(—2,1),七(10,4).點(diǎn)睛：本題是一次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)間的距離、矩形的判定、正方形的判定等知識.熟練應(yīng)用一次函數(shù)、矩形的判定、正方形的判定是解題的關(guān)鍵.例7.(2018?上海八年級期中)如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線丫=h+。經(jīng)過點(diǎn)4(2,0)、0(0,1),點(diǎn)B是第一象限的點(diǎn)且=過點(diǎn)B作軸，垂足為C,CB=\.(1)求直線y=h+b的解析式和點(diǎn)3的坐標(biāo)；(2)試說明：ADLBO-,(3)若點(diǎn)M是直線上的一個(gè)動點(diǎn)，在x軸上存在另一個(gè)點(diǎn)N,且以。、B、M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo).【答案】(1)y=-^x+l,3(1,2)；(2)詳見解析：(3)N43,0),7V2(-3,O),M。,。)【分析】(1)將A、B坐標(biāo)代入可得直線解析式，設(shè)B(1,m),由=得l+m、5,解之可得答案；(2)利用邊角邊證明AAOD與△OCB全等，從而得到NOAD=NCOB,根據(jù)NC0B+NA0B=90°可得N0AD+NA0B=90°,從而得到NAE0=90°,得證;(3)根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得BM〃AN且BM=AN,令y=2求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，從而得到BM的長度，再分點(diǎn)N在點(diǎn)0的左邊與右邊、點(diǎn)N關(guān)于A的對稱點(diǎn)三種情況討論求出點(diǎn)N的坐標(biāo).【詳解】解:⑴把A(2,0),。(0,1)代入廣質(zhì)+人2k+b2k+b=OvBC=\,8。_1_丁軸設(shè)6(1,加)<AB=逐，A(2,0)+ =5.m=+2（負(fù)值舍去）:.8(1,2)；(2)VAO=2,DO=1,BC=l,OC=2：.OA=OC,BC=ODVZBCO=ZAOD=90°：.MOD^^OCB(SAS):.NCOB=NOAD'：ZCOB+ZBOA=9Q°：.ZOAD+ZBOA=90°.?.ZAEO=90°,AOLBO.(3)；點(diǎn)N在x軸上，0、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，；.BM〃x軸,且BM=0N,根據(jù)(1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2),:. x+l=2>2解得x=-2,.,.點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-2,2),(-2)=1+2=3,①點(diǎn)N在點(diǎn)0的左邊時(shí)，0\；=BM=3,...點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,0),②點(diǎn)N在點(diǎn)。的右邊時(shí)，0N=BM=3,.,.點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),③作N(-3,0)關(guān)于A對稱的點(diǎn)N',則N'也符合，點(diǎn)N'的坐標(biāo)是(7,0),綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-3,0)或(3,0)或(7,0).【點(diǎn)睛】本題是對一次函數(shù)的綜合考查，主要有坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)分析題目，理清數(shù)量關(guān)系.例8.(2019?上海八年級期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一次函數(shù)y=-2x+4的圖像與x軸相交于點(diǎn)a，與V軸相交于點(diǎn)8.(1)求點(diǎn)A坐標(biāo)和點(diǎn)8坐標(biāo)：(2)點(diǎn)C是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)。在第二象限，且四邊形BCOO為菱形，求點(diǎn)。坐標(biāo)；(3)在(2)的條件下，點(diǎn)P為平面直角坐標(biāo)系中一點(diǎn)，以3、D、A>P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請直接寫出所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).【答案】⑴A(2,0),B(0,4)；(2)D(-l,2)；(3)[(1,一2)：6(3,2)；《(一3,6)【分析】(1)分別令x與y為0,求出對應(yīng)y與x的值，即可確定出A與B的坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(。,-2。+4),根據(jù)題意知8C=CO，根據(jù)兩點(diǎn)之間的距離公式即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)，利用軸對稱的性質(zhì)即可求得點(diǎn)。的坐標(biāo)；(3)過A作BD的平行線乙，過D作AB的平行線6，過B作AD的平行線匕，分別相交于6、尸2、6，利用待定系數(shù)法分別求得直線人乙、4的解析式，再求直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求解.【詳解】(1)當(dāng)x=0時(shí)，得y=-2x()+4,解得：y=4...點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,4),當(dāng)丁=0時(shí)，得-2x+4=0,解得：x=2...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)；(2)?.?點(diǎn)C是線段AB上，設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為(。,一2。+4),

則J(a-0)~+(-2,解得點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,2)。關(guān)于x軸對稱則J(a-0)~+(-2,解得點(diǎn)C坐標(biāo)為(1,2)。關(guān)于x軸對稱點(diǎn)。坐標(biāo)為(-1,2)如圖I)的坐標(biāo)分別為(2設(shè)BD的解析式為y=kx+4把點(diǎn)D的坐標(biāo)設(shè)直線4的解析式為y=2x+b過A作BD的平行線4,過D作AB的平行線/2,過B作AD的平行線/3，分別相交于宜線4的解析式為y=2x—4同理可求得直線i2、4的解析式分別為y把點(diǎn)A的坐標(biāo)(2,0)代入得：0=2x2+b,???點(diǎn)々的坐標(biāo)為(1,-2)；y=2x-4聯(lián)立4、聯(lián)立4、4得：，2 ，解得<y=——x+4

3y=-2x點(diǎn)巴的坐標(biāo)為y=-2xx=-3聯(lián)立，2、4得：〈 2 ,，解得〈 ,，y=——x+4 [y=6.?.點(diǎn)八的坐標(biāo)為(-3,6)；綜上，所有滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1,-2),(3,2),(-3,6)；【點(diǎn)睛】本題屬于一次函數(shù)綜合題，兩點(diǎn)之間的距離公式，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，平行四邊形的性質(zhì)，二元一次方程的解法等知識，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵模塊二：梯形的存在性知識精講梯形的分類討論題多見于各類壓軸題中，由于這類題目都與圖形的運(yùn)動有關(guān)，需要學(xué)生有一定的想象力、分析力和運(yùn)算力.梯形的主要特征是兩底平行，特殊梯形又可分為等腰梯形和直角梯形兩大類.常見題型為在直角坐標(biāo)平面內(nèi)已知三點(diǎn)求第四點(diǎn)，抓住梯形兩底平行的特征，對應(yīng)的一次函數(shù)的解析式的4相等而6不相等.若是等腰梯形，常需添設(shè)輔助線,過上底的兩個(gè)頂點(diǎn)作下底的垂線，構(gòu)造兩個(gè)全等的直角三角形.若是直角梯形，則需連接對角線或過上底的一頂點(diǎn)作下底的高構(gòu)造直角三角形.例題解析例1.在梯形/靦中，AD//BC,AD=\2cm,DC=8cm,且NG60°,動息P以lcm/s的速度從點(diǎn)力出發(fā)，沿力〃方向向點(diǎn)〃移動，同時(shí)，動點(diǎn)0以2cw/s的速度從點(diǎn)C出發(fā)，沿應(yīng)方向向點(diǎn)6移動，連接圖，(1)得四邊形/即和四邊形做力.若設(shè)移動的時(shí)間為t秒(0<t<7),四邊形RO的面積為yc病,求y與f的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形圖切是等腰梯形.說明理由；(3)當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形尸照?是直角梯形.

力p力p【難度】★★【解析】(1)過點(diǎn)麗DE±BbtBC于點(diǎn)、E,?/DC=8,ZC=60°,.DE=4>/3,EC=4,時(shí)間為f時(shí)，AP=t,CQ=2t,PD=12—/,Spqcd=—(12—，+2f)?4\/3= +24>/3.(2)當(dāng)四邊形PQC。為等腰梯形時(shí)，CQ=2CE+PQ,2t=8+12—r,/.f=-^~.(3)當(dāng)四邊形PQC蝠直角梯形吐CQ=CE+P￡>c/… 162r=4+12-r,...r=—.3【總結(jié)】本題主要考查了等腰梯形和直角梯形的性質(zhì)和判定.例2.如圖，已知A(-l,6)與8(2,機(jī)+3百)是反比例函數(shù)y=幺圖像上的兩個(gè)點(diǎn).X(1)求女的值；。為頂(2)若點(diǎn)C(-LO),則在反比例函數(shù)、=與圖像上是否存在點(diǎn)〃，使得以從B、Cx。為頂點(diǎn)的四邊形是梯形.若存在，請直接寫出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【難度】★★【解析】(1)?.?A8在反比例函數(shù)上,m=-km+3G=—2zn=-2\/3k=2G（2）。點(diǎn)坐標(biāo)為（6,芋或（1,2揚(yáng)或（?2,.島【總結(jié)】本題主要考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)與四邊形性質(zhì)的結(jié)合運(yùn)用.例3。如圖，一次函數(shù)y=3x+》的圖像與x軸相交于點(diǎn)加56,0）、與y軸相交于點(diǎn)（1）求點(diǎn)夕的坐標(biāo)及/力力的度數(shù)；（2）如果點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,3）,四邊形力反笫是直角梯形，求點(diǎn)〃的坐標(biāo)【難度】★★【解析】⑴將點(diǎn)45分,0)帶入丫=迫》+。,得。=-5,,73?y=x-5,?,?點(diǎn)3坐標(biāo)為(0,?5),.?.OB=5MB=10,/.ZABO=60°.（2）?.?四邊形ABCD是直角梯形,。是直角頂點(diǎn)，:.CD1AD,當(dāng)AB為底邊時(shí)，設(shè)過點(diǎn)A且與A8垂直的直線解析式為y=-6x+c,0——15+c,c=15,/.y=-x/3x+15,過C與AB平行的直線解析式為y=且、+3,小生+3 3[y=-Gx+15「x=3也y=6。點(diǎn)坐標(biāo)為(3j5,6),當(dāng)BC為底邊時(shí)，AD//BC,：.。點(diǎn)坐標(biāo)為(56,3),綜上所述。點(diǎn)坐標(biāo)為(36,6)或(5石,3).【總結(jié)】本題主要考查「用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式及直角梯形的性質(zhì)的判定.例4.(2019?上海八年級期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知點(diǎn)A(0,4),點(diǎn)C(5,0),點(diǎn)8在第一象限內(nèi)，軸，且=V(1)求直線的表達(dá)式；(2)如果四邊形ABCD是等腰梯形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).【答案】(1)y=4x-20；(2)(1,0)或(一指,引【分析】⑴由A5=]QA4(0,4)得出BA=6,即可得B的坐標(biāo)，再設(shè)直線BC的表達(dá)式，即可解得.(2)分兩種情況，情況一：當(dāng)CD//AB時(shí)，后0在x軸上;情況二：當(dāng)A￡>〃BC時(shí).分別求出兩種情況I)的坐標(biāo)即可.3【詳解】(1)'：AB=-OA,A(0,4),..BA=6?.?84_1,丁軸；.3(6,4)6k+b=4設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=H+力化。0),由題意可得，3K?L)—U解得直線8c的表達(dá)式為y=4x-20(2)1)當(dāng)C0//AB時(shí)，點(diǎn)。在x軸上，設(shè)￡>(加,0),方法一：過點(diǎn)3作軸，垂足為E,EC=OE-OC=5-4=1???四邊形ABCD是等腰梯形，,AD=BC,ZADC=NBCDNADO=180-ZADC,ZBCE=180-/BCDZADO=NBCE,;ZAOD=/BEC-90,：.MODWABECOD=EC=1,.-.D,(1,0)方法二：AD=BC,AD=>/w2+42=^(6-5)2+(4-0)2.解得加=±1經(jīng)檢驗(yàn)m=±l是原方程的根，但當(dāng)機(jī)=一1時(shí)，四邊形A5CD是平行四邊形，不合題意，舍去.?."(I,。)2)當(dāng)AO〃BC時(shí)，則直線AO的函數(shù)解析式為y=4x+4設(shè)￡>(〃,4〃+4),AB=CD=6,..CD=5/(n-5)2+(4n+4)2=6解得勺=~—,n2=-l,經(jīng)檢驗(yàn)〃]= ,n,=-1是原方程的根〃2=-1時(shí)，四邊形ABCD是平行四邊形，不合題意，舍去綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,0)或(七噂【點(diǎn)睛】此題考查一次函數(shù)、一元二次方程，平面坐標(biāo)，解題關(guān)鍵在于結(jié)合題意分兩種情況討論D的坐標(biāo).隨堂檢測.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=2x+12的圖像分別交a?軸、y軸于4、6兩點(diǎn).過點(diǎn)力的直線交y軸正半軸于點(diǎn)G且點(diǎn)C為線段必的中點(diǎn).(1)求直線4c的表達(dá)式；(2)如果四邊形40%是平行四邊形，求點(diǎn)。的坐標(biāo).【拓展】如果以4C、P、8為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)戶的坐標(biāo).【難度】★★【解析】(1)?.?函數(shù)的解析式為y=2x+12,.-.A(-6,0),B(0,12),?.?點(diǎn)C為線段。式向中點(diǎn)，.-.C(0,6),設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+b,J6=b“[o=-6Z+6;.k=T、b=6,，直線AM的解析式為：y=x+6;“、???四邊形ACP8是平行四邊形，PC=AB^.PC//AB,PB=AC且PB〃AC,如圖，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為。，可證APQB