數(shù)學物理方法課件講義02

數(shù)學物理方法ppt2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇1數(shù)學物理方法ppt2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇2復變函數(shù)論復數(shù)復變函數(shù)導數(shù)解析函數(shù)本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇2復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇3復數(shù)數(shù)的擴張（完善化）自然數(shù)減法不封閉→整數(shù)除法不封閉→有理數(shù)不完備→實數(shù)方程可解性→復數(shù)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇3復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇4復數(shù)復數(shù)的表示代數(shù)表示z=x+iyx=Real(z),y=Imagine(z)三角表示z=r(cosφ+isinφ)r=|z|,φ=Arg(z)指數(shù)表示z=rexp(iφ)exp(iφ)=cosφ+isinφ2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇4復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇5復數(shù)幾何表示關系x=rcosφy=rsinφr=√(x2+y2)φ=Arctan(y/x)特點無序性復數(shù)無大小矢量性復數(shù)有方向2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇5復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇6復數(shù)運算加減法(x1+iy1)±(x2+iy2)=(x1±x2)+i(y1±y2)乘除法r1exp(iφ1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(φ1+φ2)]冪和開方[rexp(iφ)]n=rnexp(inφ)[rexp(iφ)]1/n=r1/nexp(iφ/n)復共軛z=x+iy→

z*=x–iyz=rexp(iφ)→

z*=rexp(-iφ)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇6復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇7復變函數(shù)概念定義函數(shù)：從一個數(shù)域(定義域）到另一個數(shù)域（值域）的映射實變函數(shù)：f:x→y復變函數(shù)：f:z→w舉例f(n)=fn=(1+i)n,n∈Nf(z)=znf(z)=exp(z)f(z)=ln(z)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇7復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇8復變函數(shù)更多的例子w=az2w=az2+bz+cw=1/(az+b)w=√(az+b)w=Ln(az+b)w=sinzw=Arccoszw=∑

anznw=∑

ansin(nωz)w=∏(1-z2/n22)w=∫exp(-z2)dz2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇8復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇9復變函數(shù)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇9復2022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇10復變函數(shù)分析與比較定義域和值域相同點：都是數(shù)集不同點：實數(shù)集是一維的，可以在(直)線上表示；復數(shù)集是二維的，必須在(平)面上表示。典型例子：|x|<2是連通的，1<|x|是不連通的；|z|<2是單連通的，1<|z|是復連通的。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇11復變函數(shù)映射相同點在形式上：y=f(x),w=f(z)不同點在變量上：z=x+iy,w=u+iv在描述上：實變函數(shù)可以用兩個數(shù)軸組成的平面上的曲線表示；復變函數(shù)不能用一個圖形完全表示。聯(lián)系u=u(x,y),v=v(x,y)可以用兩個曲面分別表示復變函數(shù)的實部與虛部。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇12復變函數(shù)結構相同點：復雜函數(shù)都可以分解為簡單的基本函數(shù)組成。不同點：基本實變函數(shù)xn,x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x)基本復變函數(shù)zn,z1/n,exp(z),ln(z)原因cos(z)=(eiz+e-iz)/2,sin(z)=(eiz-e-iz)/2i2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇13復變函數(shù)基本函數(shù)二次函數(shù)定義w=z2分析u+iv=(x+iy)2=x2+2ixy-y2u=x2-y2,v=2xy性質對稱性無周期性無界性單值性2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇14復變函數(shù)三次函數(shù)定義w=z3分析u+iv=(x+iy)3=x3+3ix2y-3xy2-iy3u=x3–3xy2,v=3x2y-y3

性質對稱性無周期性無界性單值性2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇142022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇15復變函數(shù)指數(shù)函數(shù)定義w=exp(z)分析u+iv=exp(x+iy)

=exp(x)[cosy+isiny]u=exp(x)cosy,v=exp(x)siny性質不對稱性周期性exp(z+2i)=exp(z)無界性單值性2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇152022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇16復變函數(shù)對數(shù)函數(shù)定義w=Ln(z)分析u+iv=Ln[r×

exp(iφ)]

=lnr+iφ

u=lnr,v=φ性質對稱性非周期性無界性多值性：|φ|2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇162022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇17復變函數(shù)三角函數(shù)定義w=sin(z)分析u+iv=sin(x+iy)

=sin(x)ch(y)+icos(x)sh(y)u=sin(x)ch(y),v=cos(x)sh(y)性質對稱性周期性無界性單值性2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇172022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇18復變函數(shù)的導數(shù)基本概念實變函數(shù)復變函數(shù)極限連續(xù)導數(shù)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇182022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇19復變函數(shù)的導數(shù)可導條件分析C-R條件ux=vy

vx=-uy充要條件偏導數(shù)ux，vy

，vx，uy連續(xù)滿足C-R條件意義可導函數(shù)的虛部與實部不是獨立的，而是相互緊密聯(lián)系的。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇192022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇20復變函數(shù)的導數(shù)典型情況初等函數(shù)在定義域內都可導；函數(shù)Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可導。導數(shù)的計算法則：復變函數(shù)的求導法則與實變函數(shù)完全相同；例子：

(sin2z)’=2sinzcosz[exp(z2)]’=2zexp(z2)(z3)”=6z2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇202022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇21復變函數(shù)的導數(shù)導數(shù)的意義微商表示f’(z)=dw/dz模：|f’(z)|=|dw|/|dz|幅角：Arg[f’(z)]=Arg(dw)-Arg(dz)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇212022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇22解析函數(shù)定義點解析函數(shù)f(z)在點z0及其鄰域上處處可導區(qū)域解析函數(shù)f(z)在區(qū)域B上每一點都解析性質調和性解析函數(shù)的實部與虛部都是調和函數(shù)，即△u=uxx+uyy=0,△v=vxx+vyy=0正交性解析函數(shù)的實部與虛部梯度正交，即uv=（uxi+uyj)（vxi+vyj)=uxvx+uyvy=0或曲線u(x,y)=C1,v(x,y)=C2

相互垂直。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇222022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇23解析函數(shù)應用例1：已知平面電場的電勢為u=x2-y2，求電力線方程。分析：等勢面與電力線相互正交，對應的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設電力線為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：電力線方程的一般形式為f(2xy)=C2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇232022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇24解析函數(shù)例2：已知平面電場的等勢線為x2+y2=C，求電勢u(x,y)。分析：等勢線方程的左邊不一定恰好是電勢表達式，電勢必須有調和性，可看成某個解析函數(shù)的實部。解：設電勢為u=f(x2+y2)ux=2xf’,uxx=2f’+4x2f”uy=2yf’,uyy=2f’+4y2f”uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0令t=x2+y2,g=f’(t)g+tg’=0g=-lnt+Cf=2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇242022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇25解析函數(shù)例3：已知平面溫度場的溫度分布為u=x2-y2，求熱流量函數(shù)。分析：熱流的方向與等溫線相互正交，對應的函數(shù)組成一個解析函數(shù)的實部與虛部，滿足C-R條件。解：設熱流量函數(shù)為v(x,y)=C,由C-R條件得vx=-uy=2y,vy=ux=2xdv=vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy)v=2xy注意：熱流線方程的一般形式為f(2xy)=C2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇252022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇26本章小結復變函數(shù)定義：兩個復數(shù)集合之間的映射；特點：定義域和值域為2維；定義域出現(xiàn)復連通現(xiàn)象；不能用一個圖形完全描述；極限存在的要求提高；分析：可以分解成2個二元實函數(shù)；解析函數(shù)滿足CR條件；實部和虛部都是調和函數(shù)，相互正交。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇262022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇27數(shù)學物理方法復變函數(shù)的積分2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇272022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇28復變函數(shù)的積分路積分柯西定理不定積分柯西公式本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇282022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇29路積分路積分的概念和性質實變函數(shù)復變函數(shù)定義性質2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇292022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇30路積分路積分的計算思路化復為實公式I∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(dx+idy)=∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)公式II∫Cf(z)dz=∫C(u+iv)(eiφdr+ireiφdφ)=∫Ceiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇302022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇31路積分例題1沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù)∫Czdz從O到B的定積分。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇312022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇32路積分例題2沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù)∫Cz2dz從O到B的定積分。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇322022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇33路積分例題3沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù)∫CRe(z)

dz從O到B的定積分。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇332022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇34路積分例題4沿圖所示的三條曲線分別計算復變函數(shù)∫z-1dz從O到B的定積分。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇342022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇35柯西定理積分規(guī)律的探究歸納如果函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域內解析，則路積分與路徑無關，完全由起點和終點決定。猜想如果函數(shù)f(z)在閉單連通區(qū)域B上解析，則沿B上任一分段光滑閉合曲線l的路積分有：

證明（見教材）2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇352022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇36柯西定理推廣規(guī)律閉復連通區(qū)域上的解析函數(shù)沿外邊界線逆時針積分等于沿所有內邊界線逆時針積分之和。公式統(tǒng)一表述解析函數(shù)沿所有邊界線正向積分為零；起點和終點固定時，積分路徑在解析區(qū)域中連續(xù)變形不改變路積分的值。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇362022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇37柯西定理例題計算積分解：如a不在L內，I=0當a在L內時，如n≥0，I=0；如n<0，可以用柯西定理的推廣2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇372022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇38不定積分不定積分原函數(shù)概念上限為變量的路積分稱為不定積分分析如被積函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域B上解析，則不定積分單值。如被積函數(shù)f(z)在復連通區(qū)域B上解析，則不定積分多值；原函數(shù)概念如f(z)在單連通區(qū)域B上解析，則不定積分在B上定義了一個單值解析函數(shù)，稱為f(z)的原函數(shù)，2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇382022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇39不定積分性質設F(z)是f(z)的原函數(shù)，則F’(z)=f(z)如果允許相差一個任意常數(shù)，則不定積分可以寫成

F(z)=∫f(z)dz求原函數(shù)在原函數(shù)存在的情況下，復積分與實積分只是變量不同，形式上沒有任何區(qū)別，其原函數(shù)的計算方法和結果與實數(shù)情況完全類似。例如:∫zndz=zn+1/(n+1)∫cos(z)dz=sin(z)∫sin(z)dz=-cos(z)∫exp(z)dz=exp(z)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇392022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇40柯西公式柯西公式公式如f(z)在單連通閉區(qū)域B上解析，L為B的邊界線，a為B內的任意一點，則證明：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇402022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇41柯西公式變形推廣：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇412022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇42柯西公式意義解析函數(shù)的整體性：邊界值完全決定內部值；解析函數(shù)的可導性：一次可導=>無限次可導。應用理論上模數(shù)原理：f(z)在閉區(qū)域解析，|f(z)|在邊界上取最大值；劉維定理：全平面上有界的解析函數(shù)必為常數(shù)。計算上簡化路積分的計算。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇422022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇43柯西公式應用舉例例1問題：計算回路積分

分析：與柯西公式比較，可知f(z)=cosh(z),a=-1解：由柯西公式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇432022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇44柯西公式例2問題：計算回路積分

分析：與推廣的柯西公式比較，可知f(z)=sinh(z)，a=0，n=1

解：由推廣的柯西公式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇442022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇45柯西公式例3問題：計算回路積分

分析：與柯西公式比較，可知f(z)=，a=例4問題：計算回路積分

分析：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇452022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇46本章小結路積分復變函數(shù)的路積分可分解為2個線積分；一般情況下，路積分與積分路徑有關；柯西定理在單連通區(qū)域內解析，則路積分與路徑無關，完全由起點和終點決定；在復連通區(qū)域內解析，則回路積分等于沿回路里所有內邊界線積分之和。柯西公式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇462022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇47數(shù)學物理方法冪級數(shù)展開2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇472022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇48冪級數(shù)展開復級數(shù)冪級數(shù)和泰勒展開雙邊冪級數(shù)和羅朗展開孤立奇點本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇482022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇49復級數(shù)復數(shù)項級數(shù)形式：i=1ui

通項：ui

為復數(shù)部分和：sn=nui

和：s=limsn

余項：rn=s-sn=un+1+un+2+…

收斂：s存在>0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn|<

絕對收斂定義：s

=i=1|ui|收斂性質：絕對收斂=>收斂2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇492022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇50復級數(shù)收斂性判別法級數(shù)∑i=1ui比值法=limk|uk+1/uk|<1，絕對收斂；=1，不確定；>1，發(fā)散。根值法=limk|uk|1/k<1，絕對收斂；=1，不確定；>1，發(fā)散。例：判斷幾何級數(shù)的斂散性∑n=0a0qn解：1.比值法=|q||q|<1，絕對收斂；|q|=1，不確定；|q|>1，發(fā)散。2.根值法=|q|limk|a0|1/k=|q||q|<1，絕對收斂；|q|=1，不確定；|q|>1，發(fā)散。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇502022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇51復級數(shù)復函項級數(shù)形式：∑i=1ui(z)通項：ui(z)部分和函數(shù)：sn(z)

=∑i=1nui(z)

和函數(shù)：s(z)=limsn(z)

收斂域：{z|s(z)存在}定義：>0,N(,z),s.t.n>N(,z)|s(z)-sn(z)|<

一致收斂性：定義：>0,N(),,s.t.n>N()|s(z)-sn(z)|<性質：各項連續(xù)和連續(xù)，和的積分=各項積分之和；各項可導和可導，和的導數(shù)=各項導數(shù)之和2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇512022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇52冪級數(shù)和泰勒展開冪級數(shù)形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)k收斂域：R=limk|ak/ak+1|=limk|ak+1(z-b)k+1/ak(z-b)k|=|z-b|/R|z-b|<R<1，絕對收斂；|z-b|=R=1，不確定；|z-b|>R>1，發(fā)散。一致收斂性：s(z)dz=k=0

ak(z-b)kdzs’(z)=k=0[ak(z-b)k]’2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇522022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇53冪級數(shù)和泰勒展開泰勒展開問題：一個冪級數(shù)是其收斂圓內的解析函數(shù)，反之如何？泰勒定理：一個在圓|z-b|=R內解析的函數(shù)f(z)可以展開為冪級數(shù)

f(z)=∑k=0ak(z-b)k該冪級數(shù)在圓|z-b|=R內收斂；以b為中心的展開式是唯一的；系數(shù)ak=f(n)(b)/n!應用柯西積分公式，系數(shù)也可以表示為2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇532022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇54冪級數(shù)和泰勒展開展開方法基本方法（用定理）f(z)=∑k=0ak(z-b)k，an=f(n)(b)

/n!例1：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=exp(z)展開。解答：f(z)=exp(z)f(n)(z)=exp(z)f(n)(0)=1an=1/n!f(z)=∑k=0zk/k!該冪級數(shù)在圓|z|<內收斂；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇542022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇55冪級數(shù)和泰勒展開例2：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=1/(1-z)展開。解答：f(z)=1/(1-z)f’(z)=1/(1-z)2f”(z)=2/(1-z)3f(n)(z)=n!/(1-z)n+1f(n)(0)=n!an=1f(z)=∑k=0zk該冪級數(shù)在圓|z|<1內收斂；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇552022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇56冪級數(shù)和泰勒展開發(fā)散方法（用性質）線性組合的展開=展開之線性組合。和函數(shù)的積分=各項積分之和；和函數(shù)的導數(shù)=各項導數(shù)之和；例3：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=cosh(z)展開。解答：cosh(z)=[exp(z)+exp(-x)]/2exp(z)=∑k=0zk/k!exp(-z)=∑k=0(-z)k/k!cosh(z)=∑k=0[zk/k!+(-z)k/k!]/2=∑k=0z2k/(2k)!該冪級數(shù)在圓|z|<內收斂；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇562022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇57冪級數(shù)和泰勒展開例4：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=ln(1-z)展開。解答：ln(1-z)=-∫(1-z)-1dz(1-z)-1=∑k=0zkln(1-z)=-∫∑k=0zkdz=-∑k=0zk+1/(k+1)例5：題目：在b=0的鄰域上把f(z)=(1-z)-2

展開。解答：(1-z)-2=[(1-z)-1]’(1-z)-1=∑k=0zk(1-z)-2=[∑k=0zk]’=∑k=0kzk-12022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇572022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇58雙邊冪級數(shù)和羅朗展開負冪級數(shù)形式：s(z)=∑k=0ak(z-b)-k收斂域：t=1/|z-b||t|=1/|z-b|<R|z-b|>R’=1/R雙邊冪級數(shù)形式：s(z)=∑k=-

ak(z-b)k分析雙邊冪級數(shù)=正冪級數(shù)+負冪級數(shù)收斂域：R’<|z-b|<R2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇582022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇59雙邊冪級數(shù)和羅朗展開羅朗展開問題：一個雙邊冪級數(shù)是其收斂環(huán)內的解析函數(shù)，反之如何？羅朗定理：一個在環(huán)R1<|z-b|<R2內解析的函數(shù)f(z)可以展開為雙邊冪級數(shù)

f(z)=k=

ak(z-b)k該冪級數(shù)在環(huán)R1<|z-b|<R2內收斂；同一環(huán)域中的羅朗展開式是唯一的；羅朗系數(shù)為2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇592022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇60雙邊冪級數(shù)和羅朗展開羅朗展開舉例例1：題目：在|z|>0的區(qū)域上把f(z)=cosh(z)/z展開。解答：cosh(z)=∑k=0z2k/(2k)!cosh(z)/z=∑k=0z2k-1/(2k)!例2：題目：在|z|>0的區(qū)域上把f(z)=exp(1/z)展開。解答：exp(t)=∑k=0tk/k!exp(1/z)=∑k=0z-k/k!2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇602022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇61雙邊冪級數(shù)和羅朗展開例3：題目：以b=0為中心把f(z)=1/[z(z-1)]展開。分析因為f(z)有兩個單極點z=0和z=1,所以它以b=0為中心的解析環(huán)有兩個0<|z|<1和1<|z|<∞，需要分別展開解答：在環(huán)域0<|z|<1中

f(z)=1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]=-1/z∑k=0zk=-∑k=0zk-1在環(huán)域1<|z|<∞中

f(z)=1/[z(z-1)]=1/[z2(1-z-1)]=1/z2∑k=0z-k

=∑k=0z-k-22022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇612022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇62孤立奇點概念奇點：定義：函數(shù)的非解析點；舉例：csc(z)在z=n,csc(1/z)在z=0，1/n

；判斷：初等函數(shù)在其定義域內解析；孤立奇點：定義：存在解析鄰域的奇點；舉例：csc(z)在z=n為孤立奇點,csc(1/z)在z=0為非孤立奇點；特點：本身無定義，對周圍有影響；判斷：只有有限個奇點的函數(shù)不存在非孤立奇點；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇622022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇63孤立奇點分類原則：根據(jù)函數(shù)趨向于孤立奇點時的極限行為的不同來分類；分類：極限為有限值，稱為可去奇點，例如sinz/z；極限為(n階)無窮大，稱為(n階)極點，例如1/zn；極限不存在，稱為本性奇點，例如exp(1/z)；性質奇點鄰域羅朗展開式可去奇點：無負冪項；(n階)極點：有限個負冪項，(最高為n次)；本性奇點：無限多個負冪項；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇632022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇64本章小結雙邊冪級數(shù)形式：s(z)=k=-

ak(z-b)k性質：在環(huán)域內一致收斂羅朗展開條件：在環(huán)R1<|z-b|<R2內解析的函數(shù)f(z)定理：可以展開為雙邊冪級數(shù)

f(z)=k=

ak(z-b)k孤立奇點可去奇點：極限有限，鄰域展開式無負冪項；(n階)極點：極限無窮，鄰域展開式有有限個負冪項；本性奇點：極限不存在，鄰域展開式有無限多個負冪項。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇642022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇65數(shù)學物理方法留數(shù)定理2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇652022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇66留數(shù)定理留數(shù)定理留數(shù)定理的應用本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇662022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇67留數(shù)定理留數(shù)引入問題：如何高效地計算解析函數(shù)的圍道積分？方法：由復連通域柯西定理，解析函數(shù)的圍道積分等于沿圍道內奇點鄰域積分之和。定性定義復函數(shù)f(z)在z=z0的鄰域圍道積分的結果；當z0為f(z)的解析點時，結果為零，什么都沒留下；當z0為f(z)的孤立奇點時，結果通常為一個非零值；定量定義2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇672022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇68留數(shù)定理留數(shù)的計算一般情況孤立奇點的留數(shù)等于在該點鄰域羅朗展開的負一次項的系數(shù)；Resf(z0)=a-1證明2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇682022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇69留數(shù)定理極點情況m階極點的留數(shù)由下面的公式確定證明2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇692022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇70留數(shù)定理單極點情況單極點的留數(shù)由下面的公式確定如果f(z)為分式，即f(z)=P(z)/Q(z),P(z0)≠0，則有2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇702022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇71留數(shù)定理例1問題：計算函數(shù)f(z)=z2exp(1/z)的留數(shù)。解：f(z)有一個孤立奇點z=0,是本性奇點，在該點羅朗展開例2問題：計算函數(shù)f(z)=sin(z)/(z-1)2

的留數(shù)。解：f(z)有一個孤立奇點z=1,是2階極點，應用公式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇712022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇72留數(shù)定理例3問題：計算函數(shù)f(z)=exp(z)/[z(z-1)]的留數(shù)。解：f(z)有兩個孤立奇點z=0,1,都是1階極點，應用公式又解：也可以用單極點的簡化公式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇722022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇73留數(shù)定理留數(shù)定理定理設函數(shù)f(z)在回路L所圍區(qū)域B內除有限個孤立奇點z1,z2,,zn外解析，在對應的閉區(qū)域上除z1,z2,,zn外連續(xù)，則應用步驟確定回路L內的孤立奇點；判斷留數(shù)定理的條件是否滿足；計算各孤立奇點的留數(shù)；代入定理。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇732022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇74留數(shù)定理的應用基本應用例題1：計算下列回路積分解：奇點為2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇742022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇75留數(shù)定理的應用實變函數(shù)的定積分基本思想變形法：變線段為封閉曲線；輔助線法：加輔助線使線段封閉。類型一被積函數(shù)是三角函數(shù)的有理式2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇752022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇76留數(shù)定理的應用解：作變量變換例題2：計算下列定積分2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇762022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇77留數(shù)定理的應用類型二被積函數(shù)是有理分式的廣義積分其中：分母在實軸上沒有零點；分母比分子高兩次或以上。則：證明：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇772022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇78留數(shù)定理的應用解：被積函數(shù)是有理式，分母比分子高4次，在實軸無零點，滿足定理的條件。上半平面內有單極點z=i和z=2i，對應的留數(shù)分別為：例題3：計算下列定積分2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇782022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇79留數(shù)定理的應用類型二的推廣I被積函數(shù)是有理分式的廣義積分其中：分母在實軸上有一階零點；分母比分子高兩次或以上。則：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇792022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇80留數(shù)定理的應用解：被積函數(shù)是有理式，分母比分子高3次，在實軸有一階零點，滿足定理的推廣條件。上半平面有單極點z=2i，實軸有單極點z=1，對應留數(shù)：例題4：計算下列定積分2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇802022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇81留數(shù)定理的應用類型二的推廣II被積函數(shù)是廣義積分其中：f(x)為有理式分母在實軸上沒有零點；分母比分子高一次或以上。則：證明：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇812022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇82留數(shù)定理的應用解：上面的積分可以化為標準形式例題5：計算下列定積分被積函數(shù)滿足定理的條件，上半平面內有單極點z=5i，對應的留數(shù)為：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇822022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇83留數(shù)定理的應用類型二的推廣III被積函數(shù)是廣義積分其中：f(x)為有理式分母在實軸上有一階零點；分母比分子高一次或以上。則：例題6：計算下列定積分2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇832022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇84本章小結概念留數(shù)：回路積分留下的數(shù)；計算單極點：一般極點：一般孤立奇點：應用直接應用計算回路積分；間接應用計算三角有理式的積分；計算有理式的廣義積分及其推廣。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇842022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇85數(shù)學物理方法傅立葉變換2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇852022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇86傅立葉變換傅立葉級數(shù)傅立葉變換狄拉克函數(shù)本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇862022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇87傅立葉級數(shù)三角級數(shù)定義由周期為2π的正弦和余弦函數(shù)的線性組合而成的無窮級數(shù)基本函數(shù)族組成：1，cos(nx)，sin(nx)性質：任意兩個在一個周期上的積分等于0，稱為正交性；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇872022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇88傅立葉級數(shù)傅立葉展開傅立葉展開定理：周期為2π的函數(shù)f(x)

可以展開為三角級數(shù)，展開式系數(shù)為狄利克雷收斂定理

收斂條件在一個周期內連續(xù)或只有有限個第一類間斷點；

在一個周期內至多只有有限個極值點。

收斂結果當x是連續(xù)點時，級數(shù)收斂于該點的函數(shù)值；

當x是間斷點時，級數(shù)收斂于該點左右極限的平均值。

2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇882022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇89傅立葉級數(shù)展開舉例對稱函數(shù)對奇函數(shù)：

對偶函數(shù)：函數(shù)展開式sgn(x)(4/π)(sinx+sin3x/3+sin5x/5+)x2(sinxsin2x/2+sin3x/3sin4x/4+sin5x/5+)|x|

π/2(4/π)(cosx+cos3x/32+cos5x/52+)

典型周期函數(shù)(周期為2π)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇892022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇90傅立葉級數(shù)傅立葉展開的意義：理論意義：把復雜的周期函數(shù)用簡單的三角級數(shù)表示；應用意義：用三角函數(shù)之和近似表示復雜的周期函數(shù)。例如：對稱方波的傅立葉展開2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇902022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇912022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇912022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇922022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇922022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇93傅立葉級數(shù)重要推廣推廣1：問題：把周期為T=2L的函數(shù)f(t)的展開：

方法：對基本公式作變換x→πt/L，2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇932022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇94傅立葉級數(shù)推廣2問題：把定義在

[-L,L]上的函數(shù)

f(t)展開；方法：先把它延拓為周期函數(shù)(即把它當成是一個周期為2L的函數(shù)的一部分)，再按推廣1展開；注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(t)一致。延拓前

延拓后2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇942022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇95傅立葉級數(shù)推廣3問題：把定義在

[0,L]上的函數(shù)

f(x)展開；方法：先把它延拓為[-L,L]上的奇函數(shù)或偶函數(shù)，再按推廣2把它延拓為周期函數(shù)，最后按推廣1展開；注意：所得到的級數(shù)僅在原定義范圍中與f(x)一致。公式：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇952022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇96傅立葉級數(shù)展開的復數(shù)形式展開公式：基本函數(shù)族：正交性：展開系數(shù)：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇962022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇97傅里葉生平1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可用正弦函數(shù)的級數(shù)表示”1822年發(fā)表“熱的分析理論”，首次提出“任何非周期信號都可用正弦函數(shù)的積分表示”2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇972022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇98傅立葉變換非周期函數(shù)的傅立葉展開問題：把定義在（－∞，∞）中的非周期函數(shù)f(x)展開；思路：把該函數(shù)定義在（－L，L）中的部分展開，再令L→∞；實施：展開公式展開系數(shù)：困難展開系數(shù)cn為無窮??；冪指數(shù)nx/L不確定。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇982022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇99傅立葉變換解決方法：把nπ/L

作為新變量，即定義ωn=nπ/L；把cnL/π作為新的展開系數(shù)，即定義F(ωn)=cnL/π.公式的新形式：展開公式：展開系數(shù)：取極限：傅立葉變換：傅立葉積分：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇992022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇100傅立葉變換例題1矩形函數(shù)的定義為求矩形脈沖x(t)=rect(t/2T1)的傅立葉變換。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇101傅立葉變換例題2將矩形脈沖f(t)=hrect(t/2T)展開為傅立葉積分。解：先求出f(t)的傅立葉變換代入傅立葉積分公式，得2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102例題3求對稱指數(shù)函數(shù)f(t)的傅立葉變換傅立葉變換2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇103傅立葉變換傅立葉變換的意義數(shù)學意義從一個函數(shù)空間(集合)到另一個函數(shù)空間(集合)的映射；f(x)稱為變換的原函數(shù)(相當于自變量)，F(xiàn)(ω)稱為象函數(shù)。應用意義把任意函數(shù)分解為簡單周期函數(shù)之和，F(xiàn)(ω)的自變量為頻率，函數(shù)值為對應的振幅。物理意義把一般運動分解為簡諧運動的疊加；把一般電磁波(光)分解為單色電磁波(光)的疊加。物理實現(xiàn)分解方法：棱鏡光譜儀、光柵光譜儀；記錄方式：(用照相底版)攝譜儀、(用光電探測器)光度計。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇104傅立葉變換傅立葉變換的性質一般假定f(x)→F(ω)，g(x)→G(ω)奇偶虛實性f(x)為偶函數(shù)，F(xiàn)(ω)=∫f(x)cos(ωx)dx/(2π)為實函數(shù)；f(x)為奇函數(shù)，F(xiàn)(ω)=-i∫f(x)sin(ωx)dx/(2π)為虛函數(shù)線性性質kf(x)→kF(ω)；f(x)+g(x)→F(ω)+G(ω)分析性質f’(x)→iωF(ω)；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇105傅立葉變換位移性質f(x-a)→exp(-iωa)F(ω)；exp(iφx)f(x)→F(ω-φ)相似性質f(ax)→F(ω/a)/a；f(x/b)/b→F(bω)。卷積性質f(x)*g(x)≡∫f(ξ)g(x-ξ)dξ→2πF(ω)G(ω)；f(x)g(x)→F(ω)*G(ω)≡∫F(φ)G(ω-φ)dφ對稱性質正變換與逆變換具有某種對稱性；適當調整定義中的系數(shù)后，可以使對稱性更加明顯。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇106傅立葉變換應用舉例2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇107傅立葉變換驗證2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇108傅立葉變換推廣推廣1問題：把定義在

[0,∞)上的函數(shù)

f(t)展開；方法：先把它延拓為(-∞,∞)上的奇函數(shù)或偶函數(shù)，再按公式進行傅立葉變換；注意：偶函數(shù)滿足條件f’(0)=0，形式為f(|t|)；奇函數(shù)滿足條件f(0)=0，形式為sgn(t)f(|t|).結果：所得到的傅立葉積分僅在原定義范圍中與f(t)一致。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇109傅立葉變換推廣2問題：多元函數(shù)的傅立葉變換公式：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇102022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇110傅立葉變換推廣3傅立葉變換的收斂條件:|F(ω)|≤∫|f(x)|dx<∞問題：最簡單的函數(shù)如多項式不滿足傅立葉變換的條件；方法：對傅立葉變換中的參數(shù)ω進行延拓，定義p=σ+iω，其實部為正數(shù)；同時把變換的區(qū)域改成右半軸。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇111狄拉克函數(shù)概念問題質點的密度函數(shù)如何表示？思路質點是物體在尺度趨于零時的理想模型；一個位于原點的單位質點，可以看成一個線密度為hrect(hx)的物體在寬度d=1/h趨向零時的極限；極限密度為δ(x)=limh→∞

hrect(hx)一般定義2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112狄拉克函數(shù)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇113狄拉克函數(shù)性質奇偶性質δ(-x)=δ(x)，δ’(-x)=δ’(x)分析性質選擇性質∫f(x)δ(x-a)dx=f(a)，∫f’(x)δ(x-a)dx=-f’(a)變換性質2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇114狄拉克函數(shù)狄拉克函數(shù)的應用描述功能位于x=a處質量為m的質點，質量線密度為mδ(x-a)；位于x=a處電量為q的點電荷，電荷線密度為qδ(x-a)；位于t=a時刻強度為I的脈沖信號，信號函數(shù)為Iδ(t-a)；分解功能質量密度為ρ(x)的物體，可分解為質點的空間疊加

ρ(x)=∫ρ(a)δ(a-x)da電荷密度為ρ(x)的帶電體，可分解為點電荷的空間疊加

ρ(x)=∫ρ(a)δ(a-x)da信號函數(shù)為ρ(t)的信號，可分解為脈沖信號的時間疊加

ρ(t)=∫ρ(a)δ(a-t)da2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇115狄拉克函數(shù)計算功能計算函數(shù)在間斷點的導數(shù)；計算特別函數(shù)的傅立葉變換。例題1計算f(x)=sgn(x)的導函數(shù)。解：sgn(x)=2H(x)-1sgn’(x)=2H’(x)=2δ(x)例題2計算f(x)=|x|的傅立葉變換。解：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇116狄拉克函數(shù)狄拉克函數(shù)的推廣問題：三維空間中的質點的密度、點電荷的電荷密度。三維狄拉克函數(shù)：δ(r)=δ(x,y,z)=δ(x)δ(y)δ(z)應用位于r=a處質量為m的質點，質量體密度為mδ(r-a)；位于r=a處電量為q的點電荷，電荷體密度為qδ(r-a)；2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇117本章小結傅立葉級數(shù)周期函數(shù)的三角展開公式；基本三角函數(shù)的性質。傅立葉變換非周期函數(shù)的三角展開公式；傅立葉變換的性質。狄拉克函數(shù)狄拉克函數(shù)概念；狄拉克函數(shù)性質；狄拉克函數(shù)功能。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇118

常微分方程復習2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇119常微分方程微分方程的一般概念線性常微分方程的性質一階線性常微分方程二階線性常系數(shù)微分方程二階線性變系數(shù)微分方程2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇112022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇120微分方程的一般概念例子定義聯(lián)系自變量和未知函數(shù)及其導數(shù)的等式。分類按自變量的個數(shù)，分為常微分方程和偏微分方程；按未知函數(shù)及其導數(shù)的次數(shù)，分為線性微分方程和非線性微分方程；按方程中未知函數(shù)導數(shù)的最高階數(shù)，分為一階、二階和高階微分方程。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇121線性常微分方程一般形式a0y(n)+a1y(n-1)+‥‥+an-1y’+any=f(x)其中未知函數(shù)的系數(shù)可以是常數(shù)，也可以是x的函數(shù)。分類按自由項f(x)是否為零，分為齊次和非齊次。疊加原理齊次方程任意兩個解的線性組合也是解；非齊次方程的任一個解和對應的齊次方程的解之和也是解。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122一階線性常微分方程一般形式a0y’+a1y=F(x)或y’+py=f(x)齊次方程的通解y(x)=Cexp[-∫pdx]非齊次方程的特解yp(x)=C(x)exp[-∫pdx]其中C(x)=∫[f(x)exp(∫pdx)]dx非齊次方程的通解

y(x)=y(x)+yp(x)例題2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇123二階線性常系數(shù)微分方程

二階線性常系數(shù)微分方程的一般形式為a0y”+a1y’+a2y=F(x)或y”+py’+qy=f(x)特征方程：r2+pr+q=0齊次方程的通解特征根：r1

和r2

通解r1≠r2

時y(x)=Aexp(r1x)+Bexp(r2x)r1=r2

時y(x)=Aexp(rx)+Bxexp(rx)例題非齊次方程的特解r1≠r2

時y(x)=A(x)exp(r1x)+B(x)exp(r2x)r1=r2

時y(x)=A(x)exp(rx)+B(x)xexp(rx)2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇124二階線性變系數(shù)微分方程最常見的二階線性變系數(shù)微分方程有歐拉方程等歐拉方程的一般形式為x2y”+pxy’+qy=f(x)特征方程：s(s-1)+ps+q=0齊次方程的通解特征根：s1和s2通解s1≠s2時y(x)=Axs1+Bxs2s1=s2時y(x)=Axs+Blnxxs例題2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇125微分方程的一般概念2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇126一階線性常微分方程2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇127二階線性常系數(shù)微分方程2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇128二階線性變系數(shù)微分方程2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇129數(shù)學物理方法第七章數(shù)學物理定解問題2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇122022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇130數(shù)學物理定解問題數(shù)學物理方程的導出數(shù)學物理方程的分類定解條件達朗貝爾公式本章小結2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇131數(shù)學物理方程的導出輸運方程一維熱傳導方程推廣波動方程均勻弦的微小橫振動方程推廣穩(wěn)定場方程2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132輸運方程一維熱傳導問題：一根長為L的均勻導熱細桿，側面絕熱，內部無熱源。其熱傳導系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內溫度變化的規(guī)律。分析：設桿長方向為x軸，考慮桿上從x到x+dx的一段(代表)，其質量為dm=ρdx，熱容量為cdm。設桿中的熱流沿x軸正向，強度為q(x,t)，溫度分布為u(x,t)，則由能量守恒定律

cdmdu=dQ=[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt=-qx(x,t)dxdt于是有cρut=-qx由熱傳導定律q(x,t)=-kux(x,t)代入前面的式子，得到cρut=kuxxut=a2uxx2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇133輸運方程推廣1情況：內部有熱源(或側面不絕熱)分析：設熱源強度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt方程：cρut=kuxx+Fut=a2uxx+f，f=F/(cρ)推廣2情況：細桿不均勻分析：熱傳導系數(shù)k，比熱c或線密度ρ為x的函數(shù)方程：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇134輸運方程推廣3情況：擴散問題分析：濃度→溫度u，擴散系數(shù)D→熱傳導系數(shù)k，質量守恒→能量守恒，擴散定律→熱傳導定律方程：ut=Duxx+Fut=a2uxx+F推廣4情況：三維情況分析：溫度u成為空間變量x,y,z和時間t的函數(shù)方程：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇135波動方程均勻弦的微小橫振動問題：一根長為L的均勻彈性弦，不計重力，不受外力。其張力為T，線密度為ρ。求弦的微小橫振動的規(guī)律。分析：設弦平衡時沿x軸，考慮弦上從x到x+dx的一段(代表)，其質量為dm=ρdx。設弦的橫振動位移為u(x,t)，則由牛頓第二定律

dmutt=T2sinα2-T1sinα10=T2cosα2-T1cosα1微振動條件cosα1=cosα2=1sinα1=tanα1=ux(x,t)sinα2=tanα2=ux(x+dx,t)于是有T2=T1=Tdmutt=T[ux(x+dx,t)-ux(x,t)]化簡后得到

ρutt=Tuxxutt=a2uxx2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇136波動方程推廣1情況：考慮重力或外力分析：設單位長度所受到的橫向外力F(x,t)，代表段的受力為Fdx方程：ρutt=Tuxx+Futt=a2uxx+f，f=F/ρ推廣2情況：弦的密度不均勻或受到縱向與x有關的力分析：線密度ρ或張力T為x的函數(shù)方程：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇137波動方程推廣3情況：均勻桿的縱振動問題分析：張力T變成楊氏模量Y方程：ρutt=Yuxx+Futt=a2uxx+f推廣4情況：三維情況分析：位移u成為空間變量x,y,z和時間t的函數(shù)方程：2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇138穩(wěn)定場方程概念產(chǎn)生：在演化問題中，有時會到達一個不隨時間變化的穩(wěn)定狀態(tài)，對應的方程稱為穩(wěn)定場方程。形式：在對應的演化方程中取消時間變量t，對t的導數(shù)為零。分類無外界作用情況拉普拉斯方程：Δu=utt+uyy+uzz=0有外界作用情況泊松方程：Δu=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型應用靜電場方程：Δu=-ρ/ε穩(wěn)定溫度分布：Δu=-F/k2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇139數(shù)學物理方程的分類科學分類方法泛定方程的一般分類2元二階線性微分方程的分類疊加原理2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇132022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇140科學分類方法定義：根據(jù)研究對象的共同點和差異點將其分成相互有關的不同類別作用：使大量繁雜的材料系統(tǒng)化和條理化，以便揭示對象間的相互關系，探索內在規(guī)律，便于理解、應用和記憶。方法：比較是分類的前提和基礎，分類是比較的深化和結果步驟：進行比較，建立標準，分門別類，逐步細化。2022/11/30徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇142022/12/1徐州工程學院數(shù)理方法教案滕紹勇141數(shù)學物理方程的一般分類方程示例：Δu=-ρ/εutt+uyy+uzz=-u2xutt+yuyy=uutt+uut=0uttx+uyy+uz=axutt+uyy=sinuutt=4uyyuy3+u=xt5utt+4uxy