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文檔簡介
平面的法向量學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平面的法向量的概念,會求平面的法向量.2.會用平面的法向量證明平面與平面平行、垂直.重點(diǎn)難點(diǎn)平面的法向量的求法.知識鏈接1.平面的法向量:已知平面α,如果________________________,則向量n叫做平面α的法向量或說向量n與平面α正交.2.設(shè)n1,n2分別是平面α、β的法向量,則α∥β或α與β重合?________________.α⊥β?________?__________.學(xué)習(xí)過程一、課內(nèi)探究探究點(diǎn)一平面的法向量問題1平面的法向量有何作用?是否唯一.探究點(diǎn)二根據(jù)下列條件,判斷相應(yīng)的直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系.(1)直線l的方向向量、平面α的法向量分別是a=(3,2,1),n=(-1,2,-1);(2)平面α、β的法向量分別是n1=(1,3,0),n2=(-3,-9,0);(3)平面α、β的法向量分別是n1=(1,-3,-1),n2=(8,2,2).二、典例剖析例1已知A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面ABC的一個法向量.跟蹤訓(xùn)練1已知平面α經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),試求平面α的一個法向量.例2.在四面體ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E、F分別是AC、AD的中點(diǎn),求證:平面BEF⊥平面ABC.跟蹤訓(xùn)練2已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為2,E、F分別是BB1、DD1的中點(diǎn),求證:(1)FC1∥平面ADE;(2)平面ADE∥平面B1三、小結(jié)反思在證明過程中,體會向量法與幾何法證明的不同之處.從不同的角度闡明數(shù)學(xué)證明的原理,培養(yǎng)我們善于探索、獨(dú)立思考、集體交流的好習(xí)慣.四、當(dāng)堂檢測1.若平面α、β的法向量分別為u=(2,-3,5),v=(-3,1,-4),則()A.α∥β B.α⊥βC.α、β相交但不垂直 D.以上均不正確2.若直線l的一個方向向量為a=(2,5,7),平面α的一個法向量為u=(1,1,-1),則()A.l∥α B.l⊥αC.l?α D.A、C都有可能3.已知平面α內(nèi)有一個點(diǎn)A(2,-1,2),α的一個法向量為n=(3,1,2),則下列點(diǎn)P中,在平面α內(nèi)的是()A.(1,-1,1) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,3,\f(3,2)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-3,\f(3,2))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-1,3,-\f(3,2)))4.若n1,n2分別是平面α,β的法向量,且α⊥β,n1=(1,2,x),n2=(x,x+1,x),則x的值為 ()A.1或2 B.-1或-2C.-1 D.-25.設(shè)平面α的法向量為(1,2,-2),平面β的法向量為(-2,-4,k),若α∥β,則k等于()A.2B.-4C.4D.-26.已知A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1),則平面ABC的一個單位法向量是()\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))) \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3),-\f(\r(3),3)))7.已知平面α和平面β的法向量分別為a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥β,則x=________.五、課后鞏固1.下列命題中:①若u,v分別是平面α,β的法向量,則α⊥β?u·v=0;②若u是平面α的法向量且向量a與α共面,則u·a=0;③若兩個平面的法向量不垂直,則這兩個平面一定不垂直.正確的命題序號是________.2.已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在的平面外一點(diǎn),如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1).對于結(jié)論:①AP⊥AB;②AP⊥AD;③是平面ABCD的法向量;其中正確的是________.(填序號)3.在正方體ABCD—A1B1C1D1中,E,F(xiàn)分別是棱AB,BC的中點(diǎn),試在棱BB1上找一點(diǎn)M,使得D1M⊥平面EFB4.如圖所示,△ABC是一個正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD,M是EA的中點(diǎn).求證:平面DEA⊥平面ECA.5.如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,AD=eq\f(2\r(3),3)AB,E是PC的中點(diǎn).證明:PD⊥平面ABE.
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