羅爾中值定理課件

高等數(shù)學(xué)一、羅爾(Rolle)中值定理機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理

微分中值定理的核心是拉格朗日(Lagrange)中值定理,費(fèi)馬定理是它的預(yù)備定理,羅爾定理是它的特例,柯西定理是它的推廣。中值定理且存在證:

設(shè)則費(fèi)馬目錄上頁下頁返回結(jié)束一.預(yù)備定理——費(fèi)馬(Fermat)定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)f(a)=f(b)使在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束xO

yaABby=f(x)幾何解釋:

如果連續(xù)光滑的曲線y=f(x)在端點(diǎn)A、B處的縱坐標(biāo)相等。那么，在曲線弧上至少有一點(diǎn)C(x,f(x))，曲線在C點(diǎn)的切線平行于x軸。二.羅爾(Rolle)定理C機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束證明：f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),必有最大值M和最小值m(2)上述函數(shù)中，求滿足羅爾定理?xiàng)l件的機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例1:(1)下面函數(shù)中，在[-1,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件的是注意:1)定理?xiàng)l件不全具備,結(jié)論不一定成立.例如：機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2)定理?xiàng)l件非必要，只是充分的.(a)閉區(qū)間內(nèi)連續(xù).(b)開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo).(c)端點(diǎn)處函數(shù)值相等.8例2:不求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)的導(dǎo)數(shù)有幾個(gè)零點(diǎn)，以及其所在范圍。解：

因?yàn)閒(1)=f(2)=f(3)=0,f(x)在[1,2],[2,3]上滿足羅爾定理的三個(gè)條件，所以在(1,2)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x1,使f

(x1)=0,x1是

f(x)的一個(gè)零點(diǎn)。同理，在(2,3)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x2,使f

(x2)=0,x2也是f

(x)的一個(gè)零點(diǎn)。

f

(x)

是二次多項(xiàng)式,只能有兩個(gè)零點(diǎn),分別在區(qū)間(1,2)及(2,3)內(nèi)。可導(dǎo)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)之間必有其導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)。機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束1.填空題設(shè)有個(gè)根,它們分別在區(qū)間機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束上.方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束2.驗(yàn)證羅爾定理對(duì)函數(shù)在區(qū)間上的正確性。有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由零點(diǎn)定理知存在使即方程有小于1的正根設(shè)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束且在內(nèi)可導(dǎo),