浙江省衢州市普通高中2022-2023學年高三上學期素養(yǎng)測評數(shù)學試題（解析版）

第25頁/共NUMPAGES25衢州市普通高中2023屆高三數(shù)學素養(yǎng)測評試卷一?單選題（本題共4小題，每小題5分，共計20分，每小題列出的四個選項中只有一項符合題目要求）1.已知集合所有非空真子集的元素之和等于12，則（）A.3 B.4 C.6 D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得集合的所有非空真子集，再求和即可.【詳解】解：因為集合的所有非空真子集：，所以，，即.故選：B2.如圖，已知點是橢圓的左頂點，過點作直線與橢圓交于點分別交直線于點，則（）A.為定值 B.為定值C.可能等于 D.可能等于2【答案】B【解析】【分析】直曲聯(lián)立根據(jù)韋達定理即可進行判斷.【詳解】設直線方程為：，，，，，，，直線方程為：，令，得故，同理可得，所以，故B正確，D錯誤.，當且僅當取等，故C錯誤，A錯誤.故選：B3.實數(shù)分別滿足，則的大小關系為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知即，構造函數(shù)，確定其在上單調遞減，可得，又設，其在上單調遞增，所以得，即可判斷的大??；再構造函數(shù)，可得恒成立，可判斷，最值可得結果.【詳解】解：由已知得，①設，當時，，所以在上單調遞減，因此，即，所以，又設，，當時，，所以在上單調遞增，因此，所以則，所以；②設，當時，，在上，單調遞減，當時，恒成立；取時，；綜上得故選：C.4.衢州市某中學開展做數(shù)學題猜密碼益智活動.已知數(shù)列的通項，，數(shù)列的通項，現(xiàn)將數(shù)列和中所有的項混在一起，按照從小到大的順序排成數(shù)列，若滿足成立的的最小值為，若該中學密碼為計算結果小數(shù)點的后6位，則該中學的WiFi的密碼為（）A.461538 B.255815 C.037036 D.255813【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意帶入驗證即可.【詳解】由題意，數(shù)列的通項，可得數(shù)列由數(shù)字，數(shù)列的通項，可得數(shù)列由數(shù)字，當時，，此時數(shù)列為，此時；當時，，此時數(shù)列為，此時；當時，，此時數(shù)列前38項中有的前32項和數(shù)列的前6項構成，此時，此時，經驗證：，此時，不符合題意，當，此時首次滿足，即，又由，所以該中學的的密碼為255813.故選：D.二?多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共計20分.每小題列出的四個選項中有多項符合題目要求，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，不選?有選錯的得0分）5.設函數(shù)，存在最小值時，實數(shù)的值可能是（）A. B. C.0 D.1【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，分、、三種情況討論，當時根據(jù)二次函數(shù)的性質只需函數(shù)在斷點處左側的函數(shù)值不小于右側的函數(shù)值即可；【詳解】解：因為，若，當時在上單調遞增，當時，此時函數(shù)不存在最小值；若，則，此時，符合題意；若，當時在上單調遞減，當時，二次函數(shù)對稱軸為，開口向上，此時在上單調遞增，要使函數(shù)存在最小值，只需，解得，綜上可得.故選：ABC6.當下新能源汽車備受關注，某校“綠源”社團對“學生性別和喜歡新能源汽車是否有關”做了一次調查，其中被調查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡新能源汽車的人數(shù)占男生人數(shù)的，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的，若有的把握認為是否喜歡新能源汽車和性別有關，則調查人數(shù)中男生有可能的人數(shù)為（）附：A.68 B. C.70 D.71【答案】CD【解析】【分析】設男女生總人數(shù)為，根據(jù)題目得到列聯(lián)表，計算，得到答案.【詳解】設男女生總人數(shù)為，則男生喜歡新能源汽車的人數(shù)，女生喜歡新能源汽車的人數(shù)占女生人數(shù)的.則列出聯(lián)表如下：類別喜歡新能源汽車不喜歡新能源汽車小計男生女生小計...所以，即，所以，故選：CD7.已知，圓，則（）A.存在2個不同的，使得圓與軸或軸相切B.存在唯一的，使得圓在軸和軸上截得的線段長相等C.存在4個不同的，使得圓過坐標原點D.存在唯一的，使得圓的面積被直線平分【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)圓心所在的直線或曲線上，利用數(shù)形結合或導數(shù)與單調性的關系討論求解.【詳解】由條件可知，圓的半徑為1，圓心坐標為，即圓心在曲線上運動.對于，當時，圓與軸相切，當，即或時，圓與軸相切，所以滿足要求的有3個，錯誤；對于，若圓在軸和軸上截得的線段長相等，則圓心到軸和軸的距離相等，故圓心在上，又圓心上，設,令,解得,令,解得,所以在單調遞減,單調遞增,所以,所以無解，即與無交點，設在恒成立，所以在單調遞增,且，由零點的存在性定理得有唯一零點，即有一個解，所以與有一個交點，所以滿足要求的僅有一個，B正確；對于，若圓過坐標原點，則，由圖可知，與有兩個交點，所以滿足要求的有2個，故錯誤；對于，若圓的面積被直線平分，則直線經過圓心，即證有唯一解，令，令，解得，令，解得，所以在單調遞增，單調遞減，所以，所以有唯一解，故D正確.故選：BD.8.在一個圓錐中，為圓錐的頂點，為圓錐底面圓的圓心，為線段的中點，為底面圓的直徑，是底面圓的內接正三角形，，則下列說法正確的是（）A.平面B.三棱錐的外接球直徑C.在圓錐側面上，點到的中點的最短距離必大于D.記直線與過點的平面所成的角為，當時，平面與圓錐側面的交線為雙曲線.【答案】BC【解析】【分析】對A：根據(jù)線面平行的性質定理分析判斷；對B：根據(jù)題意分析可得：三棱錐是頂角為直角的正三棱錐，利用轉化法求外接圓直徑；對C：根據(jù)題意：點到中點的直線距離為，結合圓錐側面分析判斷；對D：根據(jù)題意可得，結合圓錐的截面分析判斷.【詳解】對于：若平面，平面ABC，平面平面，則，因為為直徑，為圓錐底面圓的圓心，是底面圓的內接正三角形所以，所以，故A錯誤；對于：因為，則，故，則，同理，且三棱錐是正三棱錐，設其外接球半徑為，則三棱錐的外接球可以轉化為邊長為的正方體的外接球，∴，故B正確；對于C：由于是邊長為等邊三角形，故點到中點的距離為，故在圓錐側面上，點到的中點的最短距離大于，故C正確；對于D：∵與母線的夾角的余弦值為，則，即，所以平面與圓錐側面的交線為橢圓，故D錯誤；故選：BC.二?填空題（本題共4小題，每題5分，共20分，請把答案寫在相應的位置上）9.已知，則在上的投影向量為___________.【答案】【解析】【分析】首先求出，，再根據(jù)在上的投影向量為計算可得.【詳解】解：因為，，所以，，所以在上的投影向量為.故答案為：10.已知定義在上的函數(shù)，對于任意，當時，都有，又滿足，則___________.（為自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】1【解析】【分析】令，代入求得，令，代入、求得，令，根據(jù)都有，得到，根據(jù)求出可得答案．【詳解】，而，又，令，由于當時，都有，故，即當時，，而，故.故答案為：1.11.已知正數(shù)滿足，則的最小值為___________.【答案】【解析】【分析】解法1：首先求的最小值，再構造，變形求的最小值；解法2：利用基本不等式的推廣，變形求的最小值.【詳解】解析1：由已知條件可得：，當且僅當，即時等號成立，因為，當且僅當時等號成立，所以，即，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值是.解析2：，即，當且僅當，即時等號成立，于是，即，當且僅當，即時等號成立.所以的最小值是.故答案為：12.已知一個質子在隨機外力作用下，從原點出發(fā)在數(shù)軸上運動，每隔一秒等可能地向數(shù)軸正方向或向負方向移動一個單位.若移動n次，則當n＝6時，質子位于原點的概率為___________；當n＝___________時，質子位于5對應點處的概率最大.【答案】①.##0.3125②.23或25【解析】【分析】根據(jù)獨立重復試驗的概率公式求n＝6時質子位于原點的概率，再求質子位于5對應點處的概率表達式并求其最值.【詳解】設第n次移動時向左移動的概率為，事件n＝6時質子位于原點等價于事件前6次移動中有且只有3次向左移動，所以事件n＝6時質子位于原點的概率為,事件第次移動后質子位于5對應點處等價于事件質子在次移動中向右移了次，所以第次移動后質子位于5對應點處的概率，設，則，令可得，化簡可得，所以，，所以令可得，，所以，又，所以m=9或m=10，即或時，質子位于5對應點處的概率最大.故答案為：；23或25.三?解答題（本題共6小題，每小題15份，共90分）13.已知數(shù)列的前項和為，且滿足，當時，.（1）證明為等差數(shù)列，并求數(shù)列通項公式；（2）設，求數(shù)列的前2022項和.【答案】（1）證明見解析，;（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)遞推關系式及等差數(shù)列的定義可得為等差數(shù)列，求出其通項后由與的關系求即可；（2）由兩角差的正切公式變形，利用裂項相消法求和.【小問1詳解】令，得，又，所以；令，得，又，；因為當時，，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，首項為，公差為，所以，所以，于是，當時，，當時，，滿足上式，故；【小問2詳解】因為，則，于是，.14.記的內角的對邊分別為，已知.（1）若，求邊上的中線長度的最大值；（2）若，點分別在等邊的邊上（不含端點）.若面積的最大值為，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理，三角恒等變換公式以及余弦定理再結合平面向量的數(shù)量積運算即可求解；(2)利用正弦定理，三角恒等變換將表示為關于的函數(shù)關系式，利用三角函數(shù)性質討論最值即可求解.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理得，因為，所以，即,所以，因為，所以，所以，因為，所以，由余弦定理得：.（當時取到等號），且，又因為所以即，所以，所以.故的最大值為【小問2詳解】由（1）可知，由于面積的最大值為，則，得，所以的最大值為，因為，所以，因為，所以，設，則，在中，由正弦定理得所以，得，在中，由正弦定理得，所以，得，所以，其中，所以當時，取得最大值，所以，所以，所以，即，所以，解得或（舍去）15.品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優(yōu)劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評級.現(xiàn)設，分別以表示第一次排序時被排為的四種酒在第二次排序時的序號，并令，則是對兩次排序的偏離程度的一種描述.（1）假設等可能地為的各種排列，寫出的可能值集合，并求的分布列；（2）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有.①試按（1）中的結果，計算出現(xiàn)這種現(xiàn)象的概率（假定各輪測試相互獨立）；②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由.【答案】（1）答案見解析（2）①；②該品酒師有良好的酒味鑒別功能，不是靠隨機猜測，理由見解析.【解析】【分析】（1）列舉出所有可能的排列，并計算得到對應的X值，由古典概型概率公式可得對應概率和分布列；（2）①由中數(shù)據(jù)結合獨立事件概率的乘法公式運算求解；②結合極小概率事件的分析.【小問1詳解】可用列表列出，為的全排列，共24種，計算每種排列下的值，X123401243213242134241423414324213422143423144234162413624316312443142632144324163421834128412364132642136423164312843218則的可能取值集合為，在等可能的假定下可得：,的分布列為：02468【小問2詳解】①首先，將三輪測試都有的概率.②由于是一個很小的概率，這表明如果僅憑隨機猜測得到三輪測試都有的結果可能性很小，所以我們認為該品酒師有良好的酒味鑒別功能，不是靠隨機猜測.16.在棱長均為的正三棱柱中，為的中點．過的截面與棱，分別交于點，．（1）若為的中點，求三棱柱被截面分成上下兩部分的體積比；（2）若四棱雉的體積為，求截面與底面所成二面角的正弦值；（3）設截面的面積為，面積為，面積為，當點在棱上變動時，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）連結，并延長分別交，于點，，連結交于點，連結，，利用比例關系確定為靠近的三等分點，然后先求出棱柱的體積，連結，，由和進行求解，即可得到答案；（2）求出點到平面的距離，得到點為靠近的四等分點，通過面面垂直的性質定理可得即為截面與底面所成的二面角，在三角形中利用邊角關系求解即可；（3）設，則，，先求出的關系以及取值范圍，然后將轉化為，表示，求解取值范圍即可．【詳解】解：（1）連接，并延長分別交，延長線于點，，連接交于點，連接，．易得．故為靠近的三等分點．，．下面求三棱柱被截面分成兩部分的體積比．三棱柱的體積．連接，．由平面知，為定值．．．．故．（2）由及得，．又，所以．即點到的距離為，為靠近的四等分點．因為平面平面，所以截面與平面所成角即為截面與平面所成角，在中，，，故．又因為平面平面，且平面平面，所以平面．則即為截面與底面所成的二面角．在中，，，．故．因此，截面與平面所成二面角的正弦值為．（3）設，則，．設的面積為，所以．又因為，所以．且．令則故．令則，所以在上單調遞減，所以，，所以，所以17.已知雙曲線的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點兩點.（1）若雙曲線的右支上的三個不同的點關于軸的對稱點分別為雙曲線的左右焦點，試求的值；（2）設過點的直線交曲線于兩點，過作軸的垂線與線段交于點，點滿足，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的對稱性及雙曲線的定義即可求解；（2）設直線，由條件可得點是線段的中點，寫出直線的方程，證明直線過點，轉化為求證，再由韋達定理代入化簡即可得證.【小問1詳解】設雙曲線方程：，顯然，將代入得：，解得，即雙曲線；設雙曲線的右焦點為，由雙曲線的對稱性可知，，則.【小問2詳解】設直線，易得.所以由，即點是線段的中點.所以，于是的方程：，下證直線過定點.即證，即證.即證.而.故即證：（1）由.，，代入（1）式：成立，即證.故直線過定點.【點睛】關鍵點點睛：根據(jù)直線方程猜測直線恒過點，利用分析法轉化為求證即可，再由直線與雙曲線方程聯(lián)立，得出根與系數(shù)的關系，代入上式即可求證出結果.18.已知函數(shù).（1）若曲線與不存在相互平行或重合