第四屆華杯賽決賽二試試題及答案

1.互反序的兩個自然數(shù)的積是92565，求這兩個互為反序的自然數(shù)(例如102和201；35和53，和11，?互為序的數(shù)，但120和21不是為反序的數(shù)2．某工廠的一個生產(chǎn)小組，生一批零件，當(dāng)每個工人在自己原崗位工作時9小時完成這項生產(chǎn)任務(wù)如果交換工作AB的工作崗位其工人生產(chǎn)效率不變時可提前一小時完成這項生產(chǎn)任務(wù)如果交換人和D工作崗位其工人生產(chǎn)效率不變時也可以提前一小時完成這項生產(chǎn)任務(wù)。問：如果同時交換A與，的作崗位，其他工人生產(chǎn)效率不變，可以提前幾分鐘完成這項生產(chǎn)任務(wù)？3．某校學(xué)生中，沒有一個學(xué)生過學(xué)校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內(nèi)任何兩本書至少被一個同學(xué)都讀過，問：能不能找到兩個學(xué)生甲、乙和三本ABC，甲讀過AB，沒讀過C，乙讀過、，讀過A說明判斷過程。4．有6個長分別是3cm，4cm5cm相同的長方體，把它們的某些面染上紅色，使得有的長方體只有一個面是紅色的的長方體恰有兩個面是紅色的的方體恰有三個面是紅色的，有的長方體恰四面是紅色的，有的長方體恰有五個面是紅色的，還有一個長方體六個面都是紅色的色把所有的長方體分割成棱長為1cm的小正方體割完畢后，恰有一面是紅色的小正方體最多有幾個？5．小華玩某種游戲，每局可隨玩若干次，每次得分（自然數(shù)這個數(shù)中的一個局各次得分的總和叫做這局的總積分華曾得到過這樣的總積分105，106，107，108，，110，知道他不可能得到“83分這個總積分。問a是少？6．在正方體的8個點處分別標(biāo)上，35678，然后再把每條棱兩端所標(biāo)的兩個數(shù)之和寫在這條棱的中點棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有五種不同數(shù)值？各棱中點所寫的數(shù)是否可能恰有四種不同數(shù)值？如果可能，對照圖圖b的中填上正確的數(shù)字；如果不可能，說明理由。參考答案1.這個數(shù)是165和5612.可前108分鐘3.可以找到滿足要求的兩個學(xué)生4.最多可得到177個一為紅色的小立方體5.A=136.各棱中點處所寫的數(shù)恰有五種不同數(shù)值是可能的，填法不惟一，但不可能少于五種不同數(shù)值解＝3×3×5×11×11×17.互為反序的兩個自然數(shù)中中之一為3的數(shù)或11的倍數(shù)，一個也必為3的(或11的)又因乘積是五位數(shù)，所以這兩個數(shù)是三位數(shù)，我們有

92565＝(3×5×11)×(3×17×11)＝165×561于是,這兩個數(shù)為165和5612.【】把總?cè)蝿?wù)分成72份，來每小時完成＝份，份要＝7.5分鐘A與B交后每小時完成＝9份比原來多干了1，由于其他人工效不變，所以這一份就是A、B二多干的。同理，與D交后，他們二人每小時也要多干1份任務(wù)。同時更換,A與B、C與D每時都多干一份任務(wù)全工每小時干了＋＋＝10(任務(wù)份任務(wù)只要＝6(分鐘)就能干完每干1份務(wù)7.56＝1.5(鐘份務(wù)一共提前72×1.5＝108(分鐘)。3.【】首先從讀書數(shù)最多的學(xué)中找一人甲，由題設(shè)，甲至少有一本書C未過。設(shè)B是讀過的書中的一本，根據(jù)題設(shè)，可找到學(xué)生乙，乙讀過B、C。由于甲是讀書數(shù)最多的學(xué)生之一讀書數(shù)不能超過甲的讀書數(shù)而乙讀過C書甲未讀過C書，以甲一定讀過一本書A乙沒讀過書，否則乙就比甲至少多讀過一本書，這樣一來，甲讀過A、，讀過C；讀過B、C耒讀A。因此可以找到滿足要求的兩個學(xué)生?！尽恳幻嫒炯t的長方體，顯應(yīng)4×5長方形染紅，這時產(chǎn)生20個一紅的小正方體，個數(shù)最多二面染紅的長方體，顯然應(yīng)將兩個4×5的長方形染紅，這時產(chǎn)生40個面紅的小正方體，個數(shù)最多三面染紅的長方體，應(yīng)將4×5，4×5的染紅，產(chǎn)生4×(5＋5＋－＝36個一面紅的小正方體它方得出的一面紅的正方體均少于36個面紅的長方體，應(yīng)將4×5，4×5的面染紅，產(chǎn)生4×(553＋－2×4)＝個面紅的小正方體，其它方法得到的一面紅的小正方體均沒有這么多五面染缸的長方體，應(yīng)只留一個3×5的不染，這時產(chǎn)生(3－2)(52)＋(4－1)(5＋5＋＋－2×4)＝27個面紅的小正方體，其它染法得到的一面紅的小正方體均少于27六面紅的長方體，產(chǎn)生2[(3－2)(5－＋－－＋－2)(32)]＝22個面紅的小正方體。于是最多得到22＋27＋32＋＋＋＝177個面紅的小正方體【＋8×3＝107以得到總積分時8分局?jǐn)?shù)必定小于3(否則83＝－3×8可得)，即得8分局?jǐn)?shù)為01，從而107，－1×899，107－2×8＝91這三個數(shù)中必有一個是a的數(shù)。如果107是a的數(shù)，那么a＝或107但＝1時，可以得到總積分；＝時，法得到總積分，以這種情況不可能發(fā)生。如果是的數(shù)，那么a＝，，，1133，99因為83＝9×3＋8×7＝＋8×9所以a不能是13，，11(否則83可以得到。因為103＝＋＝＋＝2×3337，以＝99或33時無法得到總分103。因此這種情況也不可能發(fā)生。如果是的數(shù)，那么a＝，，13，，因為83＝7×5，所以a≠7.1103＝＋，以a≠91。因此a＝13，不難驗證a＝符要求。6.【】各棱中點處所寫的數(shù)恰五種不同數(shù)值是可能的，如在A、、?依次填1,5、

3、、、、、，中點處恰有五個不同數(shù)值、8、、1012。不可能少于五種不同數(shù)值，理由如下：以1所頂點為端點的棱有三條，不妨設(shè)這三條棱的另一端點所填寫的數(shù)是a、、，滿足a＜＜，這三條棱的中點處的數(shù)為1a，＋b和＋，滿足1＋＜＋＜＋。以8所頂點為端點的棱也有三條，不妨設(shè)這三條棱另一端點所填寫的數(shù)為x、、，滿足