材料力學講義1128T36

Additionalremarksforbending第十二章彎曲的幾個補充問題§12–1非對稱彎曲

(Unsymmetricalbending）

§12–2

開口薄壁桿件的切應力彎曲中心

(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexural

center)第十二章彎曲的幾個補充問題

(Additionalremarksforbending）BA§12-1非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)一、非對稱彎曲(Unsymmetricalbending)

橫向力雖然通過截面的彎曲中心，但與形心主慣性平面存在一定夾角。在這種情況下，梁彎曲后的軸線不在力的作用平面內(nèi)，這種彎曲變形稱為斜彎曲.yzxFyFzF二、斜彎曲的分析方法

(Analysismethodforunsymmetricalbending)2.疊加(Superposition)對兩個平面彎曲進行研究，然后將計算結果疊加起來FzFyyzFjBAyzxFyFzF1.分解(Resolution)

將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲梁在垂直縱向對稱面xy面內(nèi)發(fā)生平面彎曲。z軸為中性軸yxz撓曲線梁的軸線對稱軸垂直縱向對稱面xyz梁的軸線對稱軸水平縱向對稱面梁在水平縱向對稱面xz平面內(nèi)彎曲，y軸為中性軸。撓曲線

三、梁內(nèi)任意橫截面上的內(nèi)力分析

(Analysisofinternalforceonanycrosssection)BAFyFzyzxxMy

=Fz

x=Fxsin(使梁在xz平面內(nèi)彎曲，y為中性軸)Mz

=Fy

x=Fxcos(使梁在xy平面內(nèi)彎曲，z為中性軸)mmmmzyMyxMz

四、橫截面上的應力分析（Stressanalysisofcrosssections)

mmzyMyxMz1.與My

相應的正應力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMy)2.與Mz

相應的正應力為(ThebendingnormalstresscorrespondingtoMz)C點處的正應力(ThenormalstressatpointC)C(y,z)五、橫截面上中性軸的位置(Locationofneutralaxisoncrosssection)中性軸上的正應力為零假設點e(z0

,y0

)為中性軸上任意一點zyxMzOe(z0,y0)中性軸方程為中性軸是一條通過橫截面形心的直線(theneutralaxisisalinewhichcrossthecentroidofanarea)

中性軸My中性軸的位置由它與y軸的夾角確定

zyx中性軸

公式中角度

是橫截面上合成彎矩

M的矢量與y軸的夾角。

橫截面上合成彎矩M為y0yzO公式中角度度y是橫截面上合合成彎矩M的矢量與y軸的夾角.M中性軸MzMyyxyM中性軸

z

yO討論：（1）一一般情情況下，，截面的的IzIy,故中性軸軸與合成成彎矩M所在平面不垂垂直，此此為斜彎彎曲的受受力特征征。所以以撓曲線線與外力力（合成成彎矩）所所在面不不共面,此為斜彎彎曲的變變形特征征。z（2）對對于圓圓形、正正方形等等Iy=Iz的截面，，有=y，梁發(fā)生生平面彎曲曲(planebending)，正應力可可用合成成彎矩M按正應力力計算公式計計算。梁梁的撓曲曲線一般般仍是一一條空間間曲線，，故梁的的撓曲線方程仍仍應分別別按兩垂垂直面內(nèi)內(nèi)的彎曲曲來計算算，不能能直接用用合成彎矩進行行計算。。中性軸

z

yOMyzy中性軸六、最大大正應力力分析（Analysisofmaximumnormalstress)作平行于于中性軸軸的兩直直線分別別與橫截面周周邊相切切于D1、D2兩點，D1、D2兩點分別別為橫截截面上最大拉應應力點和和最大壓壓應力點點。D2D1OD1D2zyzyO中性軸中性軸對于矩形形、工字字形等有有兩個相相互垂直直的對稱稱軸的截截面，梁橫截面面的最大大正應力力發(fā)生在在截面的的棱角處處?？筛鶕?jù)梁梁的變形形情況，直直接確定定截面上上最大拉拉、壓應應力點的的位置，，無需定定出中性軸。D2D1O七、強度度條件(Strengthcondition)斜彎曲的危險險點處于單向向應力狀態(tài)，，所以強度條條件為強度條件的應用設計截面強度校核確定許可載荷八、斜彎曲的的撓度(Deflectionofunsymmetricalbending)分別求出Fy引起的撓度wy和Fz引起的撓度wz方法：疊加原原理wzwywy總撓度為w總撓度與軸的的夾角為yxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m4080zyOadbc例題1矩形截面的懸懸臂梁承受荷荷載如圖所示示.試確定危險截截面上危險點點所在的位置置，計算梁內(nèi)內(nèi)最大正應力力的值.解:（1）外力力分析梁在F2的作用下將在在xOz平面內(nèi)發(fā)生平平面彎曲(y為中性軸）故此梁的變形形為兩個相互互垂直平面彎彎曲的組合----斜彎曲梁在F1的作用下將在在xOy平面內(nèi)發(fā)生平平面彎曲（z為中性軸）xABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m（2）繪制彎矩矩圖繪出Mz(x)圖繪出My(x)圖A截面為梁的危危險截面Mz=1kN·mMy=1kN·mxABCzyF2=2kNF1=1kN0.5m0.5m1kN·mxMz(x)圖1kN·mxMy(x)圖Mz使A截面上部受拉拉，下部受壓壓My使A截面前部受拉拉，后部受壓壓zyxMyzyxMzzyx（3）應力分析析D1是最大拉應力力點D2是最大壓應力力點兩點正應力的的絕對值相等等拉壓拉壓D2D18040zyzyxMyzyxMz拉壓拉壓（4）中性軸的位位置8040zy中性軸（5）繪制總應力力分布圖8040zy中性軸D1D2+-D1=7.02D2=-7.02拉壓例題220a號工字形懸臂臂梁受集度為為q的均布荷載和和集中力F=qa/2作用,力F作用在yOz平面內(nèi).已知鋼的許用用應力[]=160MPa，a=1m。試求此梁的許許可荷載集度度[q].40°FqaaACByz解：將力F向y軸和z軸分解Fy與均布荷載q使梁在xy平面內(nèi)產(chǎn)生彎彎曲(z為中性軸)Fz使梁在xz平面內(nèi)產(chǎn)生彎彎曲(y為中性軸)z40°FqaaACByFyFzFzACBxz面qFyACBxy面DD0.617abcda0.456qa20.266qa20.383qa2Mz圖adcb0.321qa20.642qa20.444qa2My圖（1）畫彎矩圖圖A、D兩截面可能是是危險截面MzA=0.266qa2MzD=0.456qa2MyA=0.642qa2MyD=0.444qa2A截面D截面（2）計算算應力力查工字字鋼表表20a號A截面D截面梁的危危險點點在A截面棱棱角處處§12––2開口薄薄壁桿桿件的的切應應力彎彎曲曲中心心(Shearstressofopenthin-wallmembers.Flexuralcenter)一、非非對稱稱截面面梁平平面彎彎曲的的條件件(Conditionsofplanebendingforunsymmetricalbeams)前面討討論的的平面面彎曲曲,僅限于于梁至至少有有一個個縱向向對稱稱面,外力均均作用用在該該對稱稱面內(nèi)內(nèi)且垂垂直于于軸線線.對于非非對稱稱截面面梁.橫截面面上有有一對對形心心主慣慣性軸軸y,z,形心心主主慣慣性性軸軸y,z與軸軸線線x組成成兩兩個個形形心心主主慣慣性性平平面面xOy,xOz形心主慣性平面y,z軸為形心主慣性軸zxy1.實體體梁梁（Bodybeams)當橫橫向向外外力力作作用用在在形形心心主主慣慣性性平平面面的的平平面面內(nèi)內(nèi),梁發(fā)發(fā)生生平平面面彎彎曲曲.否則則將將會會伴伴隨隨著著扭扭轉轉變變形形.但由由于于實實體體構構件件抗抗扭扭剛剛度度很很大大.扭轉轉變變形形很很小小,其帶帶來來的的影影響響可可以以忽忽略略不不計計.2.開口口薄薄壁壁截截面面梁梁(Openthin-wallsections)對于于開開口口薄薄壁壁截截面面梁梁,即使使橫橫向向力力作作用用于于形形心心主主慣慣性性平平面面內(nèi)內(nèi)(非對對稱稱平平面面),則梁梁除除發(fā)發(fā)生生彎彎曲曲變變形形外外,還將將發(fā)發(fā)生生扭扭轉轉變變形形.只有有當當橫橫向向力力的的作作用用線線平平行行于于形形心心主主慣慣性性平平面面并并通通過過某某個個特特定定點點時時,梁才只發(fā)發(fā)生平面面彎曲,而無扭轉轉變形.這個特定定點稱為為橫截面面的彎曲中心心(Shearcenterorflexuralcenter),用A表示.3.彎曲中心的的確定（Determinationoftheshearcenter)（1）彎曲中心(Shearcenterorflexuralcenter)切應力合力力的作用點點就是截面面彎曲中心心(使桿不發(fā)生生扭轉的橫橫向向力作用點點).（2）彎曲中心的的位置(Locationoftheshearcenter)（b）具有一個個對稱軸的的截面,其彎曲中心心一定在這這個對稱稱軸上.（c）若截面的的中線是由由若干相交交于一點的的直線段所所組成，則則此交點點就是截面面的彎曲中中心.AAA（a）具有兩個個對稱軸或或反對稱軸軸的截面,其彎曲中心心與形心重重合.例3試畫出下列列各薄壁截截面彎曲中中心的大致致位置;若剪力FS的方向垂直直向下,試畫出切應應力流的方方向.AAAAAAAAAA例題4一槽鋼制成的的梁受方向平平行于其腹板板的橫向荷載載作用.鋼槽截面簡化化后的尺寸見見圖.（2）確定橫截面面上剪力作用用線的位置（1）分析橫截面面上腹板,翼緣兩部分切應力t和t1的變化規(guī)律q(x)F1F2tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ解：（1）分析腹板上切應力的變化規(guī)律腹板上切應力力沿高度按二二次拋物線規(guī)規(guī)律變化.tyOmtyzdhbh1h′b′dy1y1δδ（2）橫橫截截面面翼翼緣緣上上的的切切應應力力q(x)F1F2mmnnxdxFSMFSM+dMnmmndxxs1nmnmdxs11沿翼翼緣緣厚厚度度用用縱縱向向截截面面AC截出出一一體體積積元元素素C-m在C-m的兩兩個個截截面面D-m,C-n上分分別別有有由由法法向向內(nèi)內(nèi)力力元元素素在C-m的兩兩個個截截面面D-m,C-n上分分別別有有由由法法向向內(nèi)內(nèi)力力元元素素組組成成的的拉拉力力FN1*,FN11*.mnOzydxmDCAξdAAξDmCdxδB由于翼緣緣很薄,故可認為為1,11,沿翼緣厚厚度保持持不變,且其值與與翼緣中中線上的的正應力力相同.δ為翼緣厚度ξ為從翼緣外端到所取縱截面AC間的長度mnOzydxmDCAξAξDmCdxδBdAA*所以在AC截面上一一定存在在著切向向內(nèi)力元元素dFS’，因為翼緣緣橫截面面也是狹狹長矩形形,故可采用用切應力力沿壁厚厚不變及及其方向向平行于于翼緣長長度的假假設.由于根據(jù)剪應應力互等等定理,橫截面上上的切應力和和AC上的切應應力如圖圖所示.AξDmCdxδB平衡方程程Fx=0經(jīng)過整理,即得AξDmCdxδB由切應力互等定理可知得橫截面上的切應力mnOzydxmDCAξ式中FS—為橫截面面上的剪剪力Iz—為整個橫橫截面對對其中性性軸的慣慣性矩h’—為截面兩兩翼緣中中線間的的距離ξ—為從翼緣緣外端到到要求切切應力點點之間的長度1沿翼