同步精練 單位圓的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式 同步練習(xí)1

單位圓的對(duì)稱性與誘導(dǎo)公式同步練習(xí)基礎(chǔ)鞏固一、選擇題1．sineq\f(17π,6)的值是()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]sineq\f(17π,6)＝sin(3π－eq\f(π,6))＝sin(π－eq\f(π,6))＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2).2．已知f(cosx)＝cos2x，則f(sin30°)的值等于()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．0 D．1[答案]B[解析]∵f(cosx)＝cos2x，∴f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°＝－eq\f(1,2).應(yīng)選B.3．若sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則sin(4π－α)的值是()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2) D．eq\f(\r(3),2)[答案]B[解析]∵sin(π＋α)＝－eq\f(1,2)，∴sinα＝eq\f(1,2).∴sin(4π－α)＝sin(－α)＝－sinα＝－eq\f(1,2).4．cos2010°＝()A．eq\f(1,2) B．－eq\f(1,2)C．eq\f(\r(3),2) D．－eq\f(\r(3),2)[答案]D[解析]cos2010°＝cos(5×360°＋210°)＝cos210°＝cos(180°＋30°)＝－cos30°＝－eq\f(\r(3),2).5．已知sin(α－eq\f(π,4))＝eq\f(1,3)，則cos(eq\f(π,4)＋α)的值等于()A．eq\f(2\r(3),3) B．－eq\f(2\r(3),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]cos(eq\f(π,4)＋α)＝sin[eq\f(π,2)－(eq\f(π,4)＋α)]＝sin(eq\f(π,4)－α)＝－sin(α－eq\f(π,4))＝－eq\f(1,3).6．已知sin10°＝k，則cos620°的值等于()A．k B．－kC．±k D．不能確定[答案]B[解析]cos620°＝cos(360°＋260°)＝cos260°＝cos(180°＋80°)＝－cos80°＝－sin10°＝－k.二、填空題7．sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＝________.[答案]1[解析]原式＝－sin1200°cos1290°－cos1020°·sin1050°＝－sin(－60°＋7×180°)·cos(30°＋7×180°)－cos(－60°＋3×360°)·sin(－30°＋3×360°)＝sin(－60°)(－cos30°)－cos(－60°)sin(－30°)＝－eq\f(\r(3),2)×(－eq\f(\r(3),2))－eq\f(1,2)×(－eq\f(1,2))＝1.8．已知eq\f(1－3cosπ－θ,cos2π－θ)＝eq\f(2,9)，則cos(3π－θ)＝________.[答案]eq\f(9,25)[解析]∵eq\f(1－3cosπ－θ,cos2π－θ)＝eq\f(1＋3cosθ,cosθ)＝eq\f(2,9)，∴cosθ＝－eq\f(9,25).∴cos(3π－θ)＝cos(π－θ)＝－cosθ＝eq\f(9,25).三、解答題9．已知cos(75°＋α)＝eq\f(1,3)，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)的值．[解析]∵(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(α＋75°)＝90°，∴cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－eq\f(1,3)，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝eq\f(1,3).∴cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＝0.能力提升一、選擇題1．已知函數(shù)f(x)＝coseq\f(x,2)，則下列等式成立的是()A．f(2π－x)＝f(x) B．f(2π＋x)＝f(x)C．f(－x)＝－f(x) D．f(－x)＝f(x)[答案]D[解析]∵f(x)＝coseq\f(x,2)，∴f(－x)＝cos(－eq\f(x,2))＝coseq\f(x,2)，∴C不對(duì)；又f(2π－x)＝coseq\f(2π－x,2)＝cos(π－eq\f(x,2))＝－coseq\f(x,2)＝－f(x)．∴A不對(duì)．∵f(2π＋x)＝coseq\f(2π＋x,2)＝cos(π＋eq\f(x,2))＝－coseq\f(x,2)≠f(x)，B不對(duì)，故選D.2．若sin(π＋α)＋cos(eq\f(π,2)＋α)＝－m，則cos(eq\f(3π,2)－α)＋2sin(6π－α)的值為()A．－eq\f(2,3)m B．－eq\f(3,2)mC．eq\f(2,3)m D．eq\f(3,2)m[答案]B[解析]∵sin(π＋α)＋cos(eq\f(π,2)＋α)＝－m，∴－sinα－sinα＝－2sinα＝－m，∴sinα＝eq\f(m,2).∴cos(eq\f(3π,2)－α)＋2sin(6π－α)＝－sinα－2sinα＝－3sinα＝－eq\f(3,2)m.二、填空題3．若|cosα|＝cos(π＋α)，則角α的集合為________．[答案]eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)≤α≤2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z))))[解析]因?yàn)閨cosα|＝cos(π＋α)＝－cosα，所以|cosα|＝－cosα，所以cosα≤0，所以角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)≤α≤2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).4．若P(－4，3)是角α終邊上一點(diǎn)，則eq\f(cosα－3π·sin－α,sin2π－α)的值為________．[答案]－eq\f(4,3)[解析]∵P(－4，3)在角α的終邊上，∴|OP|＝5，∴sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5).∴原式＝eq\f(－cosα·－sinα,sin2α)＝eq\f(cosα,sinα)＝－eq\f(4,3).三、解答題5．化簡(jiǎn)：eq\f(cos3π＋αcos\f(3π,2)＋αsin－α,sin－π＋αsin3π－αcos－π－α).[解析]原式＝eq\f(cosπ＋αcosπ＋\f(π,2)＋α－sinα,[－sinπ－α]sinπ－αcos[－π＋α])＝eq\f(－cosα[－cos\f(π,2)＋α]－sinα,－sinαsinα－cosα)＝eq\f(－cosα[－－sinα]－sinα,－sinαsinα－cosα)＝1.6．求證：對(duì)任意的整數(shù)k，eq\f(sin\f(2k＋1,2)π－α·cos\f(2k＋1,2)π＋α,sin\f(2k＋3,2)π＋α·cos\f(2k－1,2)π－α)＝－1.[證明]左邊＝eq\f(sinkπ＋\f(π,2)－αcoskπ＋\f(π,2)＋α,sinkπ＋\f(3π,2)＋αcoskπ－\f(π,2)－α)(1)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n(n∈Z)，∴左邊＝eq\f(sin\f(π,2)－αcos\f(π,2)＋α,sin\f(3π,2)＋αcos－\f(π,2)－α)＝eq\f(cosα－sinα,－sin\f(π,2)＋αcos\f(π,2)＋α)＝eq\f(cosα－sinα,－cosα－sinα)＝－1.(2)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，設(shè)k＝2n＋1(n∈Z)，同理可得左邊＝－1，綜上原等式成立．7．已知函數(shù)f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a，b，α，β都是非零實(shí)數(shù)，又知f(2022)＝－1，求f(2022)的值．[解析]f(2