大一微積分下冊經(jīng)典題目解析

大一微積分下冊經(jīng)典題目及分析大一微積分下冊經(jīng)典題目及分析36/36大一微積分下冊經(jīng)典題目及分析微積分練習(xí)冊[第八章]多元函數(shù)微分學(xué)習(xí)題8-1多元函數(shù)的根本觀點1.填空題：〔1〕假定f(x,y)x2y2xytanx，那么f(tx,ty)___________y〔2〕假定f(x,y)x2y2y2xy，那么f(2,3)________,f(1,)________x〔3〕假定f(y)x2y2(y0)，那么f(x)__________xy〔4〕假定f(xy,y)x2y2，那么f(x,y)____________x〔5〕函數(shù)z4xy2的定義域是_______________ln(1x22)y〔6〕函數(shù)zxy的定義域是_______________(7)函數(shù)zarcsiny的定義域是________________x〔8〕函數(shù)zy22x的中斷點是_______________y22x2.求以下極限：2xy4〔1〕limxyx0y0sinxylimx0xy0(3)lim1cos(x2y2)2222x0(xy)xyy03.證明limxyx20(x,y)(0,0)y24.證明：極限limx2y0不存在x4y2(x,y)(0,0)xsin12,(x,y)(0,0)x2y5.函數(shù)f(x,y)在點〔0，0〕處能否連續(xù)？為何0,(x,y)(0,0)習(xí)題8-2偏導(dǎo)數(shù)及其在經(jīng)濟(jì)剖析中的應(yīng)用1.填空題〔1〕設(shè)zlntanx，那么z________,z__________;yxy〔2〕設(shè)zexy(xy)，那么z________,z__________;xy〔3〕設(shè)uxy，那么u________,u__________,u________;zxyz〔4〕設(shè)zaxctany，那么2z_________,2z_________,2z________xx2y2xy〔5〕設(shè)u(x)z，那么2u________;yxyf(ax,b)f(ax,b)_________〔6〕設(shè)f(x,y)在點(a,b)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，那么limxx02.求以下函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)(1)z(1xy)y(2)uarcsin(xy)z3.設(shè)zyx，求函數(shù)在〔1，1〕點的二階偏導(dǎo)數(shù)4.設(shè)zxln(xy)，求3z3zy和x2xy2(11)zy2z5.zexy，試化簡x2xy3xy,(x,y)(0,0)f(x,y)x2y2在點〔0，0〕處的偏導(dǎo)數(shù)存在，但不連續(xù).6.試證函數(shù)(x,y)0,(0,0)習(xí)題8-3全微分及其應(yīng)用1.X企業(yè)和Y企業(yè)是機床行業(yè)的兩個競爭者，這兩家企業(yè)的主要產(chǎn)品的需求曲線分別為：Px10005Qx;PY16004QY企業(yè)X、Y此刻的銷售量分別是100個單位和250個單位。〔1〕X和Y目前的價錢彈性是多少？〔2〕假定Y降價后，使QY增添到300個單位，同時致使X的銷量Qx降落到75個單位，試問X企業(yè)產(chǎn)品的交錯價錢彈性是多少？(利用弧交錯彈性公式：ErxQx2Qx1/Py2Py1)Qx2Qx1Py2Py12.假定市場由A、B兩個人構(gòu)成，他們對商品X的需求函數(shù)分別為：DA(PrKAIA)/Px;DBKBIB/Px〔1〕商品X的市場需求函數(shù)；〔2〕計算對商品X的市場需求價錢彈性；假定Y是此外一種商品，Pr是其價錢，求商品X對Y的需求交錯彈性3.求以下函數(shù)的全微分st〔1〕ust12〕設(shè)f(x,y,z)(x)z，求df(1,1,1)y〔3〕zln(1x2y2)，求當(dāng)x1,y2,x0.1,y0.2的全增量z和全微分dz4.計算(1.02)3(1.97)3的近似值習(xí)題8-4多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法那么1.填空題〔1〕設(shè)zu2lnv而ux,v3x2y，那么z_________,z___________yxy〔2〕設(shè)zarsin(xy)而x3t，那么dz_________dt〔3〕設(shè)ueax(yz)asinx,zcosx，那么du________a2,而ydx1〔4〕設(shè)zarctan(xy),而yex，那么dz________dx〔5〕設(shè)uf(x2y2,exy)，那么u________,u___________xy〔6〕uf(x,xy,xyz)，那么u________x〔1〕2nn1n2.設(shè)z1f(xy)yf(xy),f擁有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求2zxxy3.設(shè)zx2zf(x,),f擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求x2y4.設(shè)zxf(2x,y2),f，擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2z.xxy5.設(shè)zf(sinx,cosy,exy),f，擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求2zx27.設(shè)f與g有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且zf(xat)g(xat)，證明：2za22zt2x2習(xí)題8-5隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1.填空題：〔1〕設(shè)lnx2y2arctany，那么dy________xdx〔2〕設(shè)x2yz2xyz0，那么z________,z______xy〔3〕設(shè)xlnz，那么z________,z___________zyxy〔4〕設(shè)zxyz，那么z________,z_________xyzxyz，求2z2.設(shè)exy3.設(shè)z33xyza3，求2zxy4.設(shè)2sin(x2y3z)x2y3z，求zzxyzx2y2，求dy,dz5.設(shè)2y23z2x220dxdx6.yf(x,t)，而t是由方程F(x,y,t)0所確立的x,y的函數(shù)，求dy設(shè)dx7.設(shè)由方程F(xz,yz)0確立zz(x,y)，F(xiàn)擁有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，證明：yxxzyzzxyxy8.設(shè)xx(y,z),yy(z,x),z(x,y)，都是由方程F(x,y,z)0所確立的有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，證明：xyz1yzx習(xí)題8-6多元函數(shù)的極值及其應(yīng)用1.填空題：〔1〕zx2y22xy4xgyz駐點為_____________2〕3〕

f(x,y)4(xy)x2y2的極_____值為_______________f(x,y)2x(xy22y)的極______值為_________________e〔4〕zxy在合適附帶條件xy1下的極大值為____________________〔5〕uf(x,y)xx2y2在Dx,yx2y21上的最大值為______________，最小值為______________2.從斜邊長為L的全部直角三角形中，求有最大周長的直角三角形.班級：姓名：學(xué)號：3.旋轉(zhuǎn)拋物面zx2y2被平面xyz1截成一橢圓，求原點到該橢圓的最長與最短距離微積分練習(xí)冊[第八章]多元函數(shù)微分學(xué)4.某養(yǎng)殖場飼養(yǎng)兩種魚，假定甲種魚放養(yǎng)

x〔萬尾〕，乙種魚放養(yǎng)

y〔萬尾〕，收獲時兩種魚的收獲量分別為

(3

x

y)x,(4

x2y)y,(

0)

，求使產(chǎn)魚總量最大的放養(yǎng)數(shù)班級：姓名：學(xué)號：5.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要投入兩種因素，和分別為兩因素的投入量，

Q為產(chǎn)出量：假定生產(chǎn)函數(shù)為

Q

2x1

x2

，此中

,

為正常數(shù)，且

1，假定兩種因素的價錢分別為

p1和p2，試問：當(dāng)產(chǎn)出量為12時，兩因素各投入多少能夠使得投入總花費最??？微積分練習(xí)冊[第九章]二重積分習(xí)題9-1二重積分的觀點與性質(zhì)1.填空題〔1〕當(dāng)函數(shù)f(x,y)在閉地區(qū)D上_________時，那么其在D上的二重積分必然存在〔2〕二重積分

f(x,y)d

的幾何意義是

_____________________________________D〔3〕假定

f(x,y)

在有界閉地區(qū)

D

上可積，

且D

D1

D2

，當(dāng)

f(x,y)

0

時，那么f(x,y)d_____________f(x,y)d；D1D2當(dāng)f(x,y)0時，那么f(x,y)d_____________f(x,y)dD1D2〔4〕sin(x2y2)d______________，此中是圓域x2y242的面積，D〔注：填比較大小符號〕2.比較以下積分的大?。?1)I1(xy)2d與I2(xy)3d此中積分地區(qū)D是由x軸，y軸與直線DDxy1所圍成(2)I1ln(xy)d與I2ln(xy)2d，此中DDD(x,y)3x5,0y13.預(yù)計以下積分的值〔1〕(1)，此中D(x,y)0x1,0y2IxyxydD〔2〕I229)d，此中D(,)x2y24(x4yxyD4．求二重積分1x2y2dx2y215.利用二重積分定義證明kf(x,y)dkf(x,y)d〔此中為k常數(shù)〕DD習(xí)題9-2利用直角坐標(biāo)計算二重積分1.填空題〔1〕(x33x2yy3)d______________此中D：0x1,0y1D(2)xcos(xy)d___________此中D：極點分別為〔(0,0),(,0),(,)的三角形閉D地區(qū)(3)將二重積分f(x,y)d，此中D是由x軸及上半圓周x2y2r2(y0)所圍成的閉D地區(qū)，化為先y后x的積分，應(yīng)為__________________________________〔4〕將二重積分f(,)d，此中D是由直線yx,x2及雙曲線y1(x0)所圍xyxD成的閉地區(qū)，化為先x后y的積分，應(yīng)為_________________________________22xx2fxydy更換積分序次，應(yīng)為〔5〕將二次積分12x(,)______________________sinx〔6〕將二次積分0dxxf(x,y)dy更換積分序次，應(yīng)用______________________-sin212dy2122f(x,y)dx更換積分序次，應(yīng)為〔7〕將二次積分e-lnyf(x,y)dxdy(y1)21______________________12yfx33yxydx〔8〕將二次積分dyydxdyf，更換積分序次，應(yīng)為0001_____________________2.計算以下二重積分：(1)xyex2y2d,此中D(x,y)axb,cydD(2)(x2y2)d,此中D是由直線y2,yx，及y2x所圍成的閉地區(qū).D(3)yx2dxdy,此中D：1x1,0y2D1y13.計算二次積分dyexdx0yayax)em(ax)f(x)dx4.互換積分序次，證明：dyem(a-x)f(x)dx(a0005.求由曲面zx22y2及z62x2y2所圍成的立體的體積.習(xí)題9-3利用極坐標(biāo)計算二重積分1.填空題〔1〕把以下二重積分表示為極坐標(biāo)形式的二次積分①22yf(xy,arctan)dxdy_________________x;x2y22x②D(x,y)1x2y24,yx,ex2y2dxdy____________D〔2〕化以下二次積分為極坐標(biāo)系下的二次積分2adx2axx2f(x2y2)dy____________,(a0)①0011f(x2y2)dy________________;②dx002dx3x________________;③xf(arctany)dy0x1dxx2f(x,y)dy________________.④002.計算以下二重積分(1)ln(1x2y2)d,此中D是由圓周x2y21及坐標(biāo)軸所圍成的在第一象限內(nèi)的閉D地區(qū).(2)x21y2dxdy,此中D是由曲線yx2與直線yx所圍成的閉地區(qū).D(3)R2x2y2d,此中D是由圓周x2y2Rx所圍成的閉地區(qū)D(4)(2)x2y22d,此中(2)D:x2y23.D2，此中D由不等式222,0確立〔注3.計算二重積分(yx)dyRxxyRy,D意采用合適的坐標(biāo)〕4.計算以xoy面上的圓周x2y2ax(a0)圍成的地區(qū)為底，而以曲面zx2y2為頂?shù)那斨w的體積微積分練習(xí)冊[第十章]微分方程與差分方程習(xí)題10-1微分方程的根本觀點1.填空題〔1〕方程x2(y)43yylnx0稱為__________階微分方程〔2〕設(shè)yy(x,c1,c2,cn)是方程yxy2y的通解，那么隨意常數(shù)的個數(shù)n=____________〔3〕設(shè)曲線yy(x)上任一點(x,y)的切線垂直于此點與原點的連線，那么曲線所知足的微分方程____________〔4〕設(shè)曲線yy(x)上任一點(x,y)的切線在座標(biāo)軸間的線段長度等于常數(shù)a，那么曲線所知足的微分方程________________〔5〕某人以本金p0元進(jìn)行一項投資，投資的年利率為，假定以連續(xù)復(fù)利計，t年后資金的總數(shù)為p(t)___________〔6〕方程yxxydx可化為形如_______________微分方程02.Qcekt知足微分方程dQ0.03Q，問C和K的取值應(yīng)怎樣？dtf(x)知足方程f(x)x1(1)，將〔1〕式兩邊求導(dǎo)，3.、假定可導(dǎo)函數(shù)2tf(t)dt0得f(x)2xf(x)(2)易知f(x)cex2(c為隨意常數(shù)〕是〔2〕的通解，進(jìn)而f(x)cex2為〔1〕的解，對嗎？4.證明：yc1xc2xlnx是微分方程x2yxyy0的通解.習(xí)題10-2一階微分方程(一)1.求以下微分方程的通解：〔1〕y1y21x2y23xe0(2)yy(3)3extanydx(2ex)sec2ydy02.求以下微分方程知足所給初始條件的特解：〔1〕sinycosxdycosysinxdx,yx04〔2〕xydy0,yx01dx11yx3鐳的衰變速度與它的現(xiàn)存量R成正比，有資料說明，鐳經(jīng)過1600年后，只余原始量R0的一半，試求鐳的量R與時間t的函數(shù)關(guān)系微積分練習(xí)冊[第十章]微分方程與差分方程習(xí)題10-2一階微分方程〔二〕1.填空題〔1〕設(shè)y是dyp(x)yQ(x)的一個解，Y是對應(yīng)的齊次方程的通解，那么該方程的通解dx為___________〔2〕yx1ex是方程xyyxex的一個特解，那么其通解為xyx1ex___________x〔3〕微分方程xyyy2lnx0作變換____________可化為一階線性微分方程〔4〕(xy)y(xy)0的通解為______________xxx(12y)2y(10的通解為〔5〕)edxeydy______________2.求以下微分方程的通解：(1)xyyx23x2(x2xyy2)yy203.求以下微分方程知足所給初始條件的特解：dyycotx5ecosx,y4dxx24.用合適的變量代換將以下方程化為可分離變量的方程，而后求出通解：〔1〕dy(xy)2dx(2)xyyy(lnxlny)5.一曲線過原點，且它在點(x,y)處切線的斜率等于2xy，求該曲線的方程6.設(shè)f(x)可微且知足關(guān)系式x1,求f(x)2f(t)1dtf(x)0習(xí)題10-3一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用1.某商品的需求價錢彈性為EQ，且當(dāng)P=1時，需求量Q=1P(lnP1)EP(1)求商品對價錢的需求函數(shù)〔2〕當(dāng)P時，需求量能否趨于穩(wěn)固？2.某商品的需求量Q對價錢P的彈性3P2，而市場對該商品的最大需求量為1萬件，求需求函數(shù)3.某商品的需求量Q與供給量S都是價錢P的函數(shù)：Qa,SbpP2此中a0,b0為常數(shù)，價錢P是時間t的函數(shù)，且知足dpdtkQ(p)S(p)(k為正常數(shù)〕假定當(dāng)t0時，價錢為1，試求：(1)需求量等于供給量的平衡價錢Pe(2)價錢函數(shù)p(t)(3)limp(t)t4.在某一人群中推行新技術(shù)是經(jīng)過此中已掌握新技術(shù)的人進(jìn)行的，設(shè)該人群的總?cè)藬?shù)為N，在t0時刻已掌握新技術(shù)的人數(shù)為1N，在隨意時刻t已掌握新技術(shù)人數(shù)為x(t)，其10k0變化率與已掌握新技術(shù)人數(shù)和未掌握新技術(shù)人數(shù)之積成正比，比率常數(shù)求x(t)5.某銀行帳戶，以連續(xù)復(fù)利方式計息，年利率為5%，希望連續(xù)20年以每年12000元人民幣的速度用這一帳戶支付員工薪資。假定t以年為單位，寫出余額Bf(t)所知足的微分方程，且問當(dāng)初始存入的數(shù)額B為多少時，才能使20年后帳戶中的余額精準(zhǔn)地減至0.習(xí)題10-4可降階的二階微分方程1.填空題1〕微分方程2〕微分方程

y11x2的通解為_____________.y1(y)2的通解為〔3〕微分方程yyx的通解為_____________.〔4〕微分方程yy(y)2y的通解為_____________.〔5〕微分方程y12(y)20的通解為_____________.y〔6〕設(shè)y1x2與y2x2lnx是方程x2y3xy4y0的特解，那么其方程的通解為____________.2.求以下微分方程知足所給初始條件的特解y3d2y10,yx11,dyx10.dx2dx3.求以下微分方程知足初始條件的特解：(1)yay20,yx00,yx01(2)(1)yeax,yx1yx104.試求yx的經(jīng)過點M(0,1)且在此點與直線x1相切的積分曲線y25.考證y1ex2及y2xex2都是方程y4xy(4x22)y0的解，并寫出該方程的通解.6.設(shè)函數(shù)y1(x),y2(x),y3(x)均是非齊次線性方程d2ydydx2a(x)b(x)yf(x)的dx特解，此中a(x),b(x),f(x)為函數(shù)，并且y2(x)y1(x)常數(shù)，求證y3(x)y1(x)y(x)(1c1c2)y1(x)c1y2(x)c2y3(x)(c1,c2為隨意常數(shù)〕是該方程的通解.7.證明函數(shù)yc1exc2e2x1e5x(c1,c2是隨意常數(shù)〕是方程y3y2ye5x的通12解.習(xí)題10-5二階常系數(shù)線性微分方程〔一〕1.填空題〔1〕微分方程y4y0的通解為_____________________.〔2〕微分方程y4y4y0的通解為_____________________.〔3〕微分方程y2y5y0的通解為_____________________.〔4〕微分方程y2yay0(a為常數(shù)〕的通解為_______________________________________________________________________.〔5〕設(shè)2i為方程ypyqy0的特點方程的兩根，那么其通解為__________________________________.〔6〕設(shè)二階常系數(shù)齊次線性微分方程的二個特點根為r12,r24，那么該二階常系數(shù)齊次線性微分方程為___________________________.2.求以下微分方程知足所給初始條件的特解：(1)y4y3y0,yx06,yx010(2)4y4yy0,yx02,yx00(3)y4y13y0,yx00,yx033.求以y1ex,y2xex為特解的二階常系數(shù)齊次線性微分方程4.方程4y9y0的一條積分曲線經(jīng)過點(,1)且在該點和直線y1x相切，求這條曲線方程5.求x2y(y)20的過〔1，0〕點，且在此點與yx1相切的積分曲線.習(xí)題10-5常系數(shù)線性微分方程〔二〕1.填空題：〔1〕微分方程y2yyxex的特解可設(shè)為型如y_________.〔2〕微分方程y7y6ysinx的特解可設(shè)為型如y_________.〔3〕微方程y2y5yexsin2x的特解可設(shè)為型如y_________.(4)微分方程yyxcosx的特解可設(shè)為型如y_________.(5)微分方程yyxsin2x的特解可設(shè)為型如y_________.2.求以下微分方程的通解：〔1〕y3y2y3xex2〕yyexcosx3.求微分方程知足所給初始條件的特解：yy4xex,yx00,yx01.4.設(shè)函數(shù)yy(x)知足微分方程yy2y3ex，它的圖形在x0處與直線x相切，求該函數(shù)5.設(shè)函數(shù)(x)連續(xù)，且知足(x)exx(t)dtxx(x).t(t)dt，求006.設(shè)函數(shù)y(x)(x0)二階可導(dǎo)，且y(x)0,y(0)1,過曲線yy(x)上隨意一點p(x,y)作該曲線的切線及x軸的垂線，上述兩直線與x軸所圍成的三角形的面積記為s1，區(qū)間[0,x]上以yy(x)為曲邊的曲邊梯形的面積記為s2，恒有2s1s21，求曲線yy(x)的方程.習(xí)題10-6差分與差分方程的觀點常系數(shù)線性差分方程解的構(gòu)造1.填空題〔1〕設(shè)yxex，那么yx______________(2)設(shè)yxx2，那么yx______________(3)設(shè)yxcos2x，那么yx______________(4)差分的運算法那么：(cyx)______________(yxzx)______________2.yxex是方程yx1ayx2ex的一個解，求a.3.求以下函數(shù)的二階差分y2x3x2ylogax(a0,a1)4.給定一階差分方程yx1pyAax，考證：x〔1〕當(dāng)pa0時，yxAax是方程的解.pa〔2〕當(dāng)pa0時，yxAxax1是方程的解習(xí)題10—7一階常系數(shù)線性差分方程〔一〕1.填空題〔1〕一階常系數(shù)齊次線性差分方程yx1ayx0(a0)的通解為_________________2.求以下一階常系數(shù)齊次線差分方程的通解：2yx13yx0(2)yxyx10〔3〕yx1yx0習(xí)題10-7一階常系數(shù)線性差分方程〔二〕1.填空題〔1〕假定f(x)pn(x)，那么一階常系數(shù)非齊次線性差分方程yx1ayxf(x)擁有形如yx________________的特解.當(dāng)1不是特點方程的根時，當(dāng)1是特點方程的根時，

____________;k____________.2.求以下一階差分方程在給定初始條件下的特解(1)2yx15yx0且y03(2)yx0，且y023.求以下一階差分方程的通解〔1〕yx4yx3(2)yx14yx2x2x1〔3〕yt11yt2t2(4)yt1yt2tt4.求以下一階差分方程在給定的初始條件下的特解〔1〕yx14yx2x2x2且y01(2)yx1yx2x,且y02習(xí)題10-9差分方程的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用1.〔存款模型〕設(shè)St為t年終存款總數(shù)，r為年利率，相關(guān)系式St1StrSt，且初始存款為S0，求t年末的本利和.2.設(shè)某產(chǎn)品在時期t的價錢，總供給與總需求分別為Pt,St與Dt，關(guān)于t0,1,2,相關(guān)系St2Pt1式:Dt4Pt14StDt〔1〕求證：由關(guān)系式可推出差分方程Pt12Pt2;〔2〕P0時，求該方程的解.3.設(shè)yt為t期公民收入，ct為t期花費，I為投資〔各期同樣〕，三者相關(guān)系式y(tǒng)tctI,ctyt1，此中01,0t0時，yty0,試求yt和ct4.設(shè)某商品在t時期的供給量st與需求量dt都是這一時期該商品價錢pt的線性函數(shù)，st3pt2,dt45pt且在t時期的價錢pt由pt1及供給量與需求量之差st1dt1按關(guān)系式ptpt11(st1dt1)確立16試求商品的價錢隨時間變化的規(guī)律.習(xí)題11-1常數(shù)項級數(shù)的觀點和性質(zhì)1.填空題〔1〕un收斂，那么lim(un2un3)__________.n1n〔2〕an收斂，且Sa1aa，那么lim(Sn1Sn12Sn)_____.n1n2nn〔3〕1111(11的和是___________()(232)333)2322〔4〕假定n1un的和是3，那么n3un的和是____________〔5〕tn的和是2，那么tn的和是________________2n1n1〔6〕當(dāng)x1時，xn的和是__________________n12.依據(jù)級數(shù)收斂與發(fā)散的定義鑒別以下級數(shù)的斂散性〔1〕1n1(2n1)(2n1)〔2〕(n22n1n)n13.判斷以下級數(shù)的斂散性(1)n11(1)n1(4)nn15(3)nn12(4)nn12n3n(5)6nn1(6)111n125n525習(xí)題11-2正項級數(shù)及其審斂法1.用比較審斂法或比較審斂法的極限形式鑒別以下級數(shù)的斂散性：1〔1〕n1nn11n2cos22n11nn(3)n1sin2n2.用比值審斂法或根值審斂法鑒別以下級數(shù)的斂散性：2nn!(2)n1nn(3)(n)2n1n13n1習(xí)題11-3隨意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂1.鑒別以下級數(shù)的斂散性：〔1〕n23n2nn1(2)3(1)n2nn1(3)(na)n,(a0)n1n12.鑒別以下級數(shù)能否收斂，假定收斂是絕對收斂仍是條件收斂？〔1〕(1)n(1cosa),(a0)n1n(2)(1)n1n2lnn3.級數(shù)an2和bn2都收斂，試證明級數(shù)anbn絕對收斂.n1n1n1習(xí)題11-4泰勒級數(shù)與冪級數(shù)〔一〕1.填空題〔1〕假定冪級數(shù)an(x3)n在x0處收斂，那么在x5處____________〔收斂、發(fā)散〕.n12〔2〕假定limcn2，那么冪級數(shù)cnx2n的收斂半徑為______________.ncn1n0〔3〕(3)nxn的收斂域_____________.n1n〔4〕3(1)nxn的收斂域_____________.n03n〔5〕(1)nx2n1的收斂域_____________.n1n2n〔6〕1n(x2)n的收斂域_____________.n01n22.求以下冪級數(shù)的收斂域：(1)2nxnn1n21(2)2n1x3nn12n(3)1n(x3)nn1n33.假定冪級數(shù)anxn的收斂域是[-9，9]，寫出anx2n的收斂域n1n14.利用逐項求導(dǎo)或逐項積分，求以下級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)(1)nxn1,(1x1)n12)x2n11x1)，并求級數(shù)1的和.,(n1(2n1)2nn12n15.求冪級數(shù)(2n1)xn的收斂域及其和函數(shù).n1習(xí)題11-4泰勒級數(shù)與冪級數(shù)〔二〕1.將以下函數(shù)睜開成的冪級數(shù)，并求睜開式建立的區(qū)間〔1〕ln(ax),(a0)(2)ax,(a0且a1)sin2x(1x)ln(1x)2.將函數(shù)f(x)1在x01處睜開成冪級數(shù).(12x)3.將函數(shù)f(x)31睜開成(x2)的冪級數(shù).x4.將函數(shù)f(x)2x1睜開成(x2)的冪級數(shù).x2x25.f(x)e1處睜開成冪級數(shù)將函數(shù)3x在x6.設(shè)In04sinnxcosxdx,n0,1,2，求In.n0一、填空題〔3′×5=15′〕1.xyze確立是x,y的函數(shù)，那么_______.設(shè)由方程zzx12.設(shè)f(x,y,z)(y)z，那么df(1,1,1)________.x3.1x2y2dxdy=___________.x2y214.假定級數(shù)(unn)收斂，那么limun_____________.n1n1x5.差分方程yx12yx8的通解為__________二、選擇題〔3′×5=15′〕1.以下命題中，正確的選項是〔〕A.假定(x0,y0)是函數(shù)zf(x,y)的駐點，那么zf(x,y)必在(x0,y0)獲得極值B.假定函數(shù)zf(x,y)在(x0,y0)獲得極值，那么(x0,y0)必是zf(x,y)的駐點C.假定函數(shù)zf(x,y)在(x0,y0)處可微，那么(x0,y0)必是zf(x,y)連續(xù)點D.假定函數(shù)zf(x,y)在(x0,y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，那么zf(x,y)在(x0,y0)處必連續(xù)2.設(shè)D由x2y21圍成，那么二重積分If(x2y2)d()D1dy1y2x2y2)dx2d1rf(1)dr0f(000C.42d1f(r)drD.21rf(1)dr0d0003.假定an2收斂，那么an〔〕n1n1nA.絕對收斂B.條件收斂C.發(fā)散D.斂散性不定4.方程yxxydx可化為形如〔〕的微分方程1y12ex11C.yy1D.yy1y(0)0y(1)15.差分方程的特解可設(shè)為〔〕Ab.0x20x30x2b1xb2D.x(b0x2b1xb2)三、計算題〔6′×8=48′〕1.設(shè)zlntanx，求z,z.yxyI11ey/xdx.2.互換積分序次，求0dyy3.求Ix2y21d，此中D:x2y24.D2n4.判斷級數(shù)n1n3n的斂散性.5.求微分方程dyycotx5ecosx知足y()4的特解.dx2微積分〔下〕練習(xí)冊模擬試卷一6.設(shè)

z

f(x,xy)

，此中

f

擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求

2z

.xy7.求級數(shù)

nxn

的收斂域及和函數(shù)

.n18.求微分方程yy4xex的通解.四、應(yīng)用題〔8′×2=16′〕1.假定某產(chǎn)品的銷售量dxx(t)是時間t的可導(dǎo)函數(shù)，假如商品的銷售量對時間的增添速率dt與銷售量x(t)及銷售量靠近于飽和水平的程度Nx(t)之積成正比〔N為飽和水平，比率常數(shù)k0〕，當(dāng)t0時，x1N.10求銷售量x(t).2.設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品需用原料A和B，它們的單位價錢分別是10元和15元，用x單位原料A和y單位原料B可生產(chǎn)20xyx28y2單位的該產(chǎn)品，現(xiàn)要以最低本錢產(chǎn)生112單位的該產(chǎn)品，問需要多少原料A和B？五、證明題〔6′〕設(shè)an1bn1(n1,2;an0,bn0)，證明：假定b收斂，那么a收斂.anbnn1n1微積分〔下〕模擬試卷二一、單項選擇題〔每題3分，共5小題15分〕1.二元函數(shù)zf(x,y)在點(x0,y0)的偏導(dǎo)數(shù)存在，是在該點可微的〔〕A.充分條件B.必需條件C.充要條件D.沒關(guān)條件2.設(shè)D是圓域x2Dy2a2,(a0)D1是D在第一象限局部地區(qū)，那么(xy1)d〔〕DA.4(xy1)dB.(xy1)dC.a2D1D13.以下級數(shù)中發(fā)散的級數(shù)是〔〕1B.(1)nC.11A.1)nD.n12nn1n(nn1n1n4.微分方程yyex1a,b為常數(shù)〕〔〕的一個特解應(yīng)有形式〔式中xxbxC.aexbxD.axexb5.函數(shù)zxy在〔0，0〕點處必定為〔〕A.極大值B.極小值C.沒法確立D.不獲得極值二、填空題〔每題3分，共5小題15分〕1.zexy在點〔2，1〕處的全微分dz________.2.a2x2y2d_______此中D:x2y2a2D3.假定級數(shù)(u2n)收斂，那么limun________.nn1xn14.冪級數(shù)xn的收斂域是__________.n1n2n5.假定是二階線性非齊次微分方程的兩個解為3x2,ex3x2且相應(yīng)齊次方程的一個解為x，那么該非齊次方程的通解為______________.三、計算題〔每題7分，共7小題49分〕1.求過點〔3，1，-2〕且經(jīng)過直線x4y3z52的平面方程.12.設(shè)zf(xy,x22)，此中f擁有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)求2zy.xy11xydy.3.互換積分序次求dx210xy34.求級數(shù)nxn1,(1x1)的和函數(shù).n1微積分〔下〕練習(xí)冊模擬試卷二5.求微分方程dy0的特解.ytanxsecx知足y(0)dx6.求差方程yx15yx3,y07的特解.37.在拋物線y1x2(x0)上求一點P，使P處的切線、拋物線及兩坐標(biāo)軸所圍圖形的面積抵達(dá)最小.四、應(yīng)用題〔每題

8分，共

2小題

16分〕1.求由曲面

z

x2

2y2及

z

62x2

y2所圍成的立體體積

.2.欲造一無蓋的長方體容器，底部造價為每平方米想用36元造一個容積為最大容器，求它的尺寸.五、證明題〔本題5分〕

3元，側(cè)面造價為每平方米

1元，現(xiàn)設(shè)f(x)在x0的某一鄰域內(nèi)擁有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且limf(x)0，證明級數(shù)f(1)絕x0xn1n對收斂.習(xí)題參照答案習(xí)題7-11.〔1〕Ⅳ，Ⅴ，Ⅷ，Ⅲ；2〕〔-3，-2，1〕，〔3，2，-1〕，〔-3，-2，-1〕，〔-3，-2，1〕，〔3，-2，-1〕；3〕〔-4，3，0〕，〔0，3，5〕，〔-4，0，5〕，〔-4，0，0〕，〔0，3，0〕，〔0，0，5〕；〔4〕(a,a,a),(a,a,a),(a,a,a),(a,a,a)2.7,1430,1262;3.(6，,1，19)，〔9，-5，12〕；224.〔-1，2，4〕，〔8，-4，-2〕；5.34,41,5;6.(0,1,2)習(xí)題7-21.(1)2a;(2)b1a;(3)(2,5,14);(4)2;(5)1(3,1,2);214；1；2；3；3.M1M22,cos1/2,cos2,cosr1,2,2233,r；434.24,5,14;24,5,14;7977977975.r0或4,r;26.coscoscosr1,a12,2,2;7.13,9j;8.15,1335習(xí)題7-31.〔1〕3;(2)(4,2,4);(3)3(4);(5)13,13;(6)14;2;2.(1)353;(2)3;5或365；4.〔1〕不共面；〔2〕共面；4.5.(1)3,12,16;(2)25;(3)25;6.475252521062習(xí)題7-4〔一〕1.(1)3x7y5z40;(2)9yz20;(3)A1A2B1B2C1C20,A1B1C1;(4)2,1;(5)xxz1;〔6〕〔1，1，-3〕；A2B2C23422.2x9y6z1210;3.(1)y50,(2)9yz20,(3)x3y0;4.2xyz0;5.x26y3z30,x26y3z30;6.47;37.2x25y11z2700,46x50y122z5100習(xí)題7-4〔二〕1.(1)x4y1z3;(2)x3y2z1;215421〔3〕(3)16x14y11z650;(4)(1,13,1);(5)0;555xy3/2z5/2;x2t2.y3/2t;(不獨一)213z5/23t3.(1)x4y1z3;(2)xy2z4;(3)x2y3z1;2152312314.32;5.7x14y50;2xy5z3206.(1)x3y4z0;(2)d226;7.x9y2z13122習(xí)題7-51.(1)(x1)2(y2)2(z3)29;(2)z2y25x;(3)x2(y1)2z22,(0,1,0),2;(4)OZ軸；〔5〕拋物線，拋物柱面習(xí)題7-61.〔1〕x2平面上的雙曲線；〔2〕xh平面上的雙曲線y2z21h2,yk平面上的橢圓x2z2k21;2c2a2a2c2b2b〔3〕拋物線zx2h2x2za2b2；〔4〕拋物線;；yhy0〔5〕訂交于原點的兩條直線；y3x;z0〔6〕x2y2R2,x2y2zR2x2y22x3cost24.y32y2(1x)293z3sint6.x2y24,x2z4,y2z4;x2y2a2zbarcsinyzbarccosx7.0,a,a;zx0y08.x2y2ax,z2axa2,x0z0習(xí)題8-11.(1)t2f(x,y);(2)13,f(x,y);(3)1x2;(4)x21y12x1y〔5〕(x,y)0x2y21,y24x;(6)(x,y)x0,y0,x2y;(7)(x,y)x0,xyx(x,y)x0,xyx;(8)(x,y)y22x0;2.(1)1;(2)0;(3)5.連續(xù)4習(xí)題8-21.〔1〕2csc2x,2x2csc2x;(2)exy(xyy21),exy(xyx21);yyyyyy11yyy2xy2xyy2x2(3)zxz,xzlnx,z2xzlnx;(4)2y2)2,(x2y2)2,2y2)2;z(x(x(5)(x)z(1zlnx);(6)2fx(a,b)yyyy2.〔1〕zy2(1xy)yx,z(1xy)y[ln(1xy)1xy];xyxyuz(xy)z1uz(xy)z1u(xy)ln(xy)〔2〕,,z1(xy)2zx1(xy)2zy1(xy)2z，0，03z3z14.x2y0,xy2y2;5.2z習(xí)題8-31.〔1〕1，；〔2〕；2.〔1〕略;(2)1,PY;PrkAIAKBIB2(sdttds);(2)dxdy;(3)略;1/3dx23.(1)dy;(st)23習(xí)題8-4(1)2x2ln(3x2222y)(3x3x2,2x3ln(3x2y)(3x2x2;y2y)yy2y)y3(14t2);(3)eaxsinx;(4)ex(1x)(2)1x2e2x1(3t4t3)2(5)2xf1yexyf22yf1xexyf2;(6)f1yf2yzf3,xf2xzf3,xyf32.xf(xy)f(xy)xf(xy);3.f2f1f4.4yf2y3f11y12y22212x212;5.cos2xf112exycosxf13e2x2yf33sinxf1exyf3習(xí)題8-51.〔1〕(1)xy;yzxyzxz2xyz(3)z;(4)(2),xyz;xyxyzxyxyxz2.2y2zez2xy3zy2z2ezz(z42xyz2x2y2)(ezxy)3;3.(z2xy)3;4.1;5.x(6z1),x1;6.2y(3z1)3z習(xí)題8-6e111.〔1〕〔-3，3〕；〔2〕大，8；(3)小，;(4);(5),224422.當(dāng)兩直角邊長均為l時，直角三角形周長最大；23.953,953;4.x32,y43;2222(222)5.x16(p2),x26(p1)p1p2習(xí)題9-11.〔1〕連續(xù)；2〕以zf(x,y)為曲頂，以D為底的曲頂柱體體積的代數(shù)和；3〕,;(4)2.(1)I1I2;(2)I1I2;3.(1)0I16;(2)36I100;4.23習(xí)題9-21.(1)1;(2)3;(3)rdxr2x2f(x,y)dy;r0212f(x,y)dx22f(x,y)dx;(5)111y2f(x,y)dx;(4)1dy11dyy0dyy2y2101arcsiny21x2(6)1dy2arcsinyf(x,y)dx1dyarcsinyf(x,y)dx;(7)0dyexf(x,y)dx;23x(8)0dxf(x,y)dyx/21b2a2)(ed2ec2(2)133;2.(1)(ee);;(3)54621;2習(xí)題9-32cosrf(r2,521.①2d)dr;②4d0rerdr;(2)①2414dseccos②rf(r)dr2drf(r)dr;③00024dsec(rcos,rsin)dr;2.(1)④rf0sectan4

2d2acos2)dr;rf(r002secdrf()dr;04(2ln21);(2)21;(3)R3(4);(4)5;3.R43a4332832習(xí)題10-11.〔1〕2；(2)3；〔3〕yx;(4)(xyy)2(1y2)a2y2;ydyp0ert;(6)dxy1y(0)0k0.03,C為隨意常數(shù);3.不對;4.對y求導(dǎo)代入即可習(xí)題10-2〔一〕1.(1)arcsinyarcsinxc;3xy2C;(3)xlntanyc2.(2)2e3e3ln2e(1)cosx2cosy0;(2)2(x3y3)3(x2y2)50;3.RR0e習(xí)題10-2〔二〕c;(3)z1arctanyx1.(1)Yy;(2);(4)x2y2cecx;(5)x2yeyxy1x23xc;12.(1)y2(2)xy2(1cey);3.ysinx5ecosx132x4.(1)yxtan(xc);(2)y1ecx1x5.y2(exx1)6.f(x)(e2x1)2習(xí)題10-31.(1)Qpp;(2)limQ0;2.ep3p113.(1)pe(a)3;(2)p(t)[pe3(1pe3)e3kbt]3;(3)limp(t)pebt4.x(t)NeNkteNkt;9dB0.05B12000dt當(dāng)B0

240000

240000e1時，

20年后，銀行的余額為

0習(xí)題10-41.(1)yxarctanx1ln(1x2)c1xc2;(2)ylncos(xc1)c2;2(3)yx2xxc2;(4)xc2yc1lnyc1;(5)1y(c1xc2)1;2c1e(6)yc1x2c2x2lnx;2.y2xx23．(1)y1ln(ax1);(2)y12eax1eaxa21eaaaaa4．y1x31x1;5.y(c1c2x)ex262習(xí)題10-5〔一〕1.(1)yc1e4xc2;(2)y(c1c2x)e2x;(3)yex(c1cos2xc2sin2x);(4)a1時，yc1e(11a)xc2e(11a)x,當(dāng)a1時，y(c1c2x)ex,當(dāng)a0時,yex(c1cosa1xc2sina1x);(5)ye2x(c1cosxc2sinx);(6)y6y8y04ex2e3x;(2)yxe2xsin3x2.(1)y(2x)e2;(3)y3.y2yy0;4.ycos3x1sin3x;5.y1(x21)32習(xí)題10-5〔二〕(1)()x;(2)cossin;(3)(cos2sin2)xaxbxbe1.(4)axbx(ccosxdsinx);(5)axb(cxd)cos2x(exf)sin2x2.(1)(1)yc1exc2e2xex(3x23x);(2)yc1cosxc2sinx1exxsinx2223.yexexex(x2x)4.y2e2x2exxex335.(x)1(cosxsinxex);6.yex2習(xí)題10-61.〔1〕ex(e1);(2)2x1;(3)2sin(2x1)sin1;(4)cyx;yxyx2.a2ee2;2yx3x322yx12x10;(3)2yxx22x3.(1)e(e1);(2)loga(x1)2習(xí)題10-7〔一〕1.〔1〕yxcax;2.(1)yxc(3)x;(2)yxc(1)x;(3)yc2習(xí)題10-7〔二〕(1)yxxkQn(x);k0;k12.(1)(1)yx3(5)x;(2)yx=223.(1)yxc5x3;(2)yxc(4)x2x21x364525125(3)yt2t1c(1)t;(4)yt(t2)2tc324.(1)yx36x2x21614)x;(2)5(1)x1x55(yx212512533習(xí)題10-91.ts0(1r)t;2.(2)pt(p02)(2)x2II3I3I3.yt(y0)t,ct(y0)tIIII4.ptc(1)t324習(xí)題11-11.(1)3;(2)0;(3)3;