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設(shè)fg:B→C是兩個(gè)函數(shù),二元關(guān)系f與g的復(fù)合,原該記為 例函數(shù)復(fù)合g°f關(guān)系復(fù)合設(shè)A={1,2,3B={a,bc,dC={xy g°f={(1,x),(2,y), f°g={(1,x),(2,y), 設(shè)f
- g:求:f°g,解:f°g(x)g°f:g°f(x) 定理1設(shè)f:A→B,則h°(g°f)=(h°g)(f°g) 定理設(shè)f:Ag:B→則如果f和g均是單射,則g°f如果f和gg°f如果f和g均是雙射,則g°f 定理2設(shè)f:AB,g:BCf和g均是單射,則g°f若g°f(x1)=g°f(x2),g是單射,所以有f是單射,所以有x1=x2。則g°f是單射函數(shù)。 定理2設(shè)f:AB,g:BCf和g均是滿(mǎn)射,則g°f因?yàn)間則z=g(f(x))=g°f(x)。所以g°f 例A,B,C是三個(gè)集合,f是A到B的 ,g是B到C的 若g°f是A到C的單射,則f是A到B請(qǐng)舉出一個(gè)g°f是A到C的單射,但g不是B到C證:用反證法。如果f不是A到B的單射,則存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2)于是g(f(x1))=g(f(x2)),即gf(x1)=gf(x2),這與gf是單射。 例A,B,C是三個(gè)集合,f是A到B的 ,g是B到C的 若g°f是A到C的單射,則f是A到B請(qǐng)舉出一個(gè)g°f是A到C的單射,但g不是B到C f:A→g:B→g°f:A→單單├單├單├單 例A,B,C是三個(gè)非空集,f是A到B ①證明:若g°f是A到C的滿(mǎn)射,則g是B到C的滿(mǎn)射②給出一個(gè)反例,說(shuō)明g°fg也是滿(mǎn)射,但f證:由g°f對(duì)于任意的c?C,使得g°f(a)=cg(f(a))=c。記b=f(a),即有g(shù)(b)=c即證得g 例A,B,C是三個(gè)非空集,f是A到B ①證明:若g°f是A到C的滿(mǎn)射,則g是B到C的滿(mǎn)射②給出一個(gè)反例,說(shuō)明g°fg也是滿(mǎn)射,但f 8.2 f是A到B的g是B到C的。若gg°f是A到C的滿(mǎn)射。證:用反證法。fy?Bx?Af(x)再由g的單射性,對(duì)于任意x?Ag(f(x))≠g(y)記z=g(y)?C,x?Ag°f(x) f:A→
g:B→
g°f:A→ ├滿(mǎn)├ ├ ├滿(mǎn) 設(shè)若存在函數(shù)g:B→A,使得則稱(chēng)f是右可逆函數(shù),并稱(chēng)g是f的右逆函數(shù)。若存在函數(shù)g:B→A,使得g°f=△A,則說(shuō)f是可逆函數(shù)。 設(shè)f:A→B,若f是可逆函數(shù),存在唯一的g:B→Ag°f=△A證明:由定義知,存在g1:B→A,g2:B→Ag1°f=△A則g1=g1°△B=g1°(f°g2)=(g1°f)即存在g:B→A,使得g°fA,f°g=△B。 逆函數(shù)f-規(guī)定若f:A→B則用f-1表示ff-f-1°f=△A f-1={(x,y)?B×A│(y,x)注意比較:象源集f-1(B’) 定理
設(shè)f:A→Bf是右可逆函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)f 定理4 證明“”對(duì)于任意的使得若存在函數(shù)若存在函數(shù)g:B→A,使得 定理4 “”
B 定理4 “因?yàn)閒y?B,存在x→A,使得f(x)=y。定義一個(gè)從B到A的函數(shù)g,對(duì)于任意的y?B,g(y)=xy,這里取定xyAy’={x?A│f(x)=y?于是對(duì)于任意的 f°g=△B故f 定理42)ff證明“x1,x2?A,若f(x1)=f(x2),因?yàn)榇嬖趃:B→Ag°f 即 故f 定理42)ff“”先看一個(gè)例 定理42)ff
若y?f(A)g(y)=x’x?A。 只證“”因?yàn)閒是雙射函數(shù),所以對(duì)于任意的y?B,由定義,對(duì)于任意的所 g°f=△A 即f是可逆函數(shù)。 例設(shè)f:N→N,f(n)=2n+1,對(duì)于任意的n?N問(wèn)f解:顯然,ff n ng:N→N是f的一個(gè)左逆函數(shù)。這樣的函數(shù)可以舉出無(wú)
已知N是自然數(shù)集,f:N→N,即f是N到N ?f是否有左 ?若有,請(qǐng)給解:顯然,f不是滿(mǎn)射,沒(méi)有右 f是單射,有左 g:N→N,對(duì)于 0
xx
對(duì)于任意的x,y?A,若(x,y)?R當(dāng)且僅當(dāng)f(x)=f(y),則:稱(chēng)函數(shù)φ:A→A/R,對(duì)于任意的a?A,φ(a)=[a]R為自然 f:A/R→B,使得f°φ=f。[a]R→f(a),即 ◆首先必須證明f是函 x?A,∵f(x)=f(x),x,x?R。故R是自反的。對(duì)于任意的x,y?Ax,y?R,∴f(x)=f(y),即有f(y)=f(x),則(y,x)?R。對(duì)于任意的x,y,z?A,若(x,y?R(y,z)?R,則f(x)=f(y)且f(y)=f(z),即有f(x)=f(z) [a]R→f(a),即◆首先必須證明fa]R=[b]R,要證明f(a)=f(b∵[a]R=[b]R,∴a[b]R,∴(a,b)?R,f(a)=f(b)。即對(duì)于任意的x?A/R,存在唯一的f(
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