高考理科數(shù)學(xué)試題(北京)

2005年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案(北京)2005年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案(北京)2005年高考理科數(shù)學(xué)試題及答案(北京)2005年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷分第150分。考試時(shí)間

I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，第120分鐘?？荚嚱Y(jié)束，將本試卷和答題卡一并交回。第I卷（選擇題共40分）

I卷

1至

2頁，第

II卷

3至

9頁，共注意事項(xiàng)：1．答第I卷前，考生務(wù)必然自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考試科目涂寫在答題卡上。2．每題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。不能夠答在試卷上。一、本大題共8小題．每題5分，共40分。在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出吻合題目要求的一項(xiàng).（1）設(shè)全集2，則以下關(guān)系中正確的選項(xiàng)是U=R，會(huì)集M={x|x>1，P={x|x>1}（A）M＝P（B）PüM（C）MüP（D）eUMP2）“m=1”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m－2)x+(m+2)y－3=0相互垂直”的2（A）充分必要條件（B）充分而不用要條件（C）必要而不充分條件（D）既不充分也不用要條件（3）若|a|1,|b|

2,c

ab，且

c

a，則向量

a與b的夾角為（A）30°

（B）60°

（C）120°

（D）150°（4）從原點(diǎn)向圓x2＋y2－12y＋27=0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長(zhǎng)為（A）π（B）2π（C）4π（D）6π（5）對(duì)任意的銳角α，β，以下不等關(guān)系中正確的選項(xiàng)是（A）sin(α+β)>sinα+sinβ（B）sin(α+β)>cosα+cosβC）cos(α+β)<sinα＋sinβ（D）cos(α+β)<cosα＋cosβ（6）在正周圍體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是．．．（A）BC//平面PDF（B）DF⊥平面PAE（C）平面PDF⊥平面ABC（D）平面PAE⊥平面ABC（7）北京《財(cái)富》全球論壇時(shí)期，某高校有14名志愿者參加款待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，則開幕式當(dāng)天不同樣的排班種數(shù)為（A）C1412C124C84（B）C1412A124A84（C）C1412C124C84（D）C1412C124C84A33A33（8）函數(shù)f(x)=1cos2xcosx（A）在[0,),(,]上遞加，在[33,2]上遞減,),(2222（B）在[0,),[,3)上遞加，在(,],(3,2]上遞減2222（C）在(,],(3,2]上遞加，在[0,),[,3)上遞減2222（D）在[,3),(3,2]上遞加，在[0,),(,]上遞減2222二、填空題：本大題共6小題；每題5分，共30分。把答案填在題中橫線上。（9）若z1a2i,z234i，且z1為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為．z2（10）已知tan=2，則tanα的值為，tan()的值為.24（11）(x1)6的張開式中的常數(shù)項(xiàng)是（用數(shù)字作答）x（12）過原點(diǎn)作曲線y＝ex的切線，則切點(diǎn)的坐標(biāo)為，切線的斜率為．（13）關(guān)于函數(shù)f(x)定義域中任意的x1，x2（x1≠x2），有以下結(jié)論：①f(x1＋x2)=f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)；③f(x1)f(x2)>0；④f(x1x2)f(x1)f(x2).x1x222當(dāng)f(x)=lgx時(shí)，上述結(jié)論中正確結(jié)論的序號(hào)是.（14）已知n次多項(xiàng)式Pn(x)a0xna1xn1an1xan,若是在一種算法中，計(jì)算x0k（k＝2，3，4，，n）的值需要k－1次乘法，計(jì)算P3(x0)的值共需要9次運(yùn)算（6次乘法，3次加法），那么計(jì)算Pn(x0)的值共需要次運(yùn)算．下面給出一種減少運(yùn)算次數(shù)的算法：P0(x)a0,Pk1(x)xPk(x)ak1（k＝0，1，2，，n－1）．利用該算法，計(jì)算P3(x0)的值共需要6次運(yùn)算，計(jì)算Pn(x0)的2值共需要次運(yùn)算．三、解答題：本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（15）（本小題共13分）已知函數(shù)f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a,（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．（16）（本小題共14分）如圖,在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，DC＝23，AA1＝3，AD⊥DC，AC⊥BD,垂足未E，I）求證：BD⊥A1C；II）求二面角A1－BD－C1的大?。籌II）求異面直線AD與BC1所成角的大?。?7）（本小題共13分）甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為1，乙每次擊中目標(biāo)的概率2，23I）記甲擊中目標(biāo)的次數(shù)為ξ，求ξ的概率分布及數(shù)學(xué)希望Eξ；II）求乙至多擊中目標(biāo)2次的概率；（III）求甲恰好比乙多擊中目標(biāo)2次的概率．（18）（本小題共14分）如圖，直線l1：y＝kx（k>0）與直線l2：y＝－kx之間的陰影地域（不含界線）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2．（I）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2；教育企業(yè)“品牌+營(yíng)銷+管理”綜合解決方案供應(yīng)商TEL:4006-311-456官網(wǎng)：（II）若地域W中的動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（III）設(shè)但是原點(diǎn)O的直線l與（II）中的曲線C訂交于M1，M2兩點(diǎn)，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點(diǎn)．求證△OM1M2的重心與△OM3M4的重心重合．（19）（本小題共12分）1n為偶數(shù)1an設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=a≠，且an12,41n為奇數(shù)an4記bna2n11，n＝＝l，2，3，·．4I）求a2，a3；II）判斷數(shù)列{bn}可否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（III）求lim(b1b2b3bn)．n20）（本小題共14分）設(shè)f(x)是定義在[0,1]上的函數(shù)，若存在x*∈(0，1)，使得f(x)在[0,x*]上單調(diào)遞加，在[x*，1]上單調(diào)遞減，則稱f(x)為[0,1]上的單峰函數(shù)，x*為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．對(duì)任意的[0，l]上的單峰函數(shù)f(x)，下面研究縮短其含峰區(qū)間長(zhǎng)度的方法．I）證明：對(duì)任意的x1，x2∈(0，1)，x1＜x2，若f(x1)≥f(x2)，則(0，x2)為含峰區(qū)間；若f(x1)≤f(x2)，則(x*，1)為含峰區(qū)間；（II）對(duì)給定的r（0＜r＜），證明：存在x1，x2∈(0，1)，滿足x2－x1≥2r，使得由（I）所確定的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度不大于＋r；（III）采用x1，x2∈(0,1)，x1＜x2，由（I）可確定含峰區(qū)間為(0，x2)或(x1，1)，在所得的含峰區(qū)間內(nèi)采用x3，由x3與x1或x3與x2近似地可確定一個(gè)新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為(0，x2)的情況下，試確定x1，x2，x3的值，滿足兩兩之差的絕對(duì)值不小于，且使得新的含峰區(qū)間的長(zhǎng)度縮短到0.34.（區(qū)間長(zhǎng)度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）42005年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試數(shù)學(xué)（理工農(nóng)醫(yī)類）（北京卷）參照答案一、選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分）（1）C（2）B（3）C（4）B（5）D（6）C（7）A（8）A二、填空題（本大題共6小題，每題5分，共30分）（9）8（10）－4；－1（11）15（12）(1,e)；e337（13）②③（14）1n(n＋3)；2n2三、解答題（本大題共6小題，共80分）（15）（共13分）2解：（I）f’(x)＝－3x＋6x＋9．令f‘(x)<0，解得x<－1或x>3，因此函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為（－∞，－1），（3，＋∞）．II）由于f(－2)＝8＋12－18＋a=2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，因此f(2)>f(－2)．由于在（－1，3）上f‘(x)>0，因此f(x)在[－1,2]上單調(diào)遞加，又由于f(x)在[－2，－1]上單調(diào)遞減，因此f(2)和f(－1)分別是f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2．故f(x)=－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，即函數(shù)f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最小值為－7．16）（共14分）I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，∵AA1⊥底面ABCD．∴AC是A1C在平面ABCD上的射影．∵BD⊥AC．∴BD⊥A1C；（II）連結(jié)A1E，C1E，A1C1．與（I）同理可證BD⊥A1E，BD⊥C1E，∴∠A1EC1為二面角A1－BD－C1的平面角．∵AD⊥DC，∴∠A1D1C1=∠ADC＝90°，又A1D1=AD＝2，D1C1=DC＝23，AA1=3且AC⊥BD，教育企業(yè)“品牌+營(yíng)銷+管理”綜合解決方案供應(yīng)商TEL:4006-311-456官網(wǎng)：A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴A1E＝2，C1E＝23，222，∴∠A1EC1＝90°，在△A1EC1中，A1C1＝A1E＋C1E即二面角A1－BD－C1的大小為90°．III）過B作BF//AD交AC于F，連結(jié)FC1，則∠C1BF就是AD與BC1所成的角．∵AB＝AD＝2，BD⊥AC，AE＝1，∴BF=2，EF＝1，F(xiàn)C2，BC＝DC，∴FC1=7，BC1＝15，在△BFC1中，cosC1BF154715,∴∠C1BF=arccos15121555即異面直線AD與BC1所成角的大小為arccos15．56（17）（共13分）解：（I）P(ξ＝0)＝C30(1)31，P(ξ＝1)＝C31(1)33，P(ξ＝2)＝C32(1)33，282828教育企業(yè)“品牌+營(yíng)銷+管理”綜合解決方案供應(yīng)商TEL:4006-311-456官網(wǎng)：P(ξ＝3)＝C33(1)31，28ξ的概率分布以下表：ξ0123P13318888Eξ＝01132331188881.5,（或Eξ=3·）；2（II）乙至多擊中目標(biāo)2次的概率為1－C33(2)3=19；327（III）設(shè)甲恰比乙多擊中目標(biāo)2次為事件A，甲恰擊中目標(biāo)2次且乙恰擊中目標(biāo)0次為事件B1，甲恰擊中目標(biāo)3次且乙恰擊中目標(biāo)1次為事件B2，則A＝B1＋B2，B1，B2為互斥事件．P(A)P(B1)P(B2)311218278924因此，甲恰好比乙多擊中目標(biāo)12次的概率為.24（18）（共14分）解：（I）W1={(x,y)|kx<y<－kx,x<0}，W2={(x,y)|－kx<y<kx,x>0}，（II）直線l1：kx－y＝0，直線l2：kx＋y＝0，由題意得|kxy||kxy|d2,即|k2x2y2|d2，k21k21k21由P(x,y)∈W，知k2x2－y2>0，因此k2x2y2d2，即k2x2y2(k21)d20,k21因此動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為k2x2y2(k21)d20；（III）當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，可設(shè)直線l的方程為x＝a（a≠0）．由于直線l，曲線C關(guān)于x軸對(duì)稱，且l1與l2關(guān)于x軸對(duì)稱，于是M1M2，M3M4的中點(diǎn)坐標(biāo)都為（a，0），因此△OM1M2，△OM3M4的重心坐標(biāo)都為（2a，0），即它們的重心重合，3當(dāng)直線l1與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=mx+n（n≠0）．由k2x2y2(k21)d2022)x222d2d20ymxn，得(km2mnxnk由直線l與曲線C有兩個(gè)不同樣交點(diǎn)，可知k2－m2≠0且8△=(2mn)24(k2m2)(n2k2d2d2)>0設(shè)M1，M2的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，則x1x22mn,y1y2m(x1x2)2n,k2m2設(shè)M3，M4的坐標(biāo)分別為(x3,y3)，(x4,y4)，ykx及ykx得x3nn由mxnymxkm,x4ynkm從而x3x42mnx1x2，k2m2因此y3+y4=m(x3+x4)+2n＝m(x1+x2)+2n＝y(tǒng)1+y2,于是△OM1M2的重心與△OM3M4的重心也重合．（19）（共12分）解：（I）a2＝a1+1=a+1，a3=1a2=1a+1；44228113113（II）∵a4=a3+=2a+,因此a5=a4=a+,482416因此b1=a1－1=a－1,b2=a3－1=1(a－1),b3=a5－1=1(a－1),44424444猜想：{bn}是公比為1的等比數(shù)列·2證明以下：由于bn+1＝a2n+1－1=1a2n－1=1(a2n－1－1)=1bn,(n∈N*)424242因此{(lán)bn}是首項(xiàng)為a－1,公比為1的等比數(shù)列·42b1(11n)b11（III）lim(b1b2bn)lim22(a1).nn111422（20）（共14分）（I）證明：設(shè)x*為f(x)的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，f(x)在[0,x*]上單調(diào)遞加，在[x*,1]上單調(diào)遞減．當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，假設(shè)x*(0,x2)，則x1<x2<x*，從而f(x*)≥f(x2)>f(x1)，這與f(x1)≥f(x2)矛盾，因此x*∈(0,x2)，即(0,x2)是含峰區(qū)間.當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，假設(shè)x*(x2,1)，則x*<≤x1<x2，從而f(x*)≥f(x1)>f(x2)，教育企業(yè)“品牌+營(yíng)銷+管理”綜合解決方案供應(yīng)商TEL:4006-311-456官網(wǎng)：這與f(x1)≤f(x2)矛盾，因此x*∈(x1,1)，即(x1,1)是含峰區(qū)間.II）證明：由（I）的結(jié)論可知：當(dāng)f(x1)≥f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l1＝x2；當(dāng)f(x1)≤f(x2)時(shí)，含峰區(qū)間的長(zhǎng)度為l2=1－x1；關(guān)于上述兩種情況，由題意得x2≤0.5r①1x1≤0.5r由①得1＋x2－x1≤1+2r，即x