《金融衍生工具(第四版)》第18章美式期權(quán)定價

第十八章美式期權(quán)定價

金融衍生工具第十八章2第一節(jié)美式期權(quán)的精確定價無紅利支付股票的美式期權(quán)紅利支付Black近似Roll,Geske和Whaley(RGW)模型

金融衍生工具第十八章3第一節(jié)美式期權(quán)的精確定價美式期權(quán)的精確定價公式僅適用于無紅利支付的美式買權(quán)和僅有一次紅利支付的美式買權(quán)。對于前者，根據(jù)第12章的分析結(jié)論：無紅利支付的美式買權(quán)不會提前執(zhí)行。因此，無紅利支付的美式買權(quán)等同于一個歐式買權(quán)，可以直接用B-S公式計算。對于后者，美式買權(quán)可能在除息日或者期權(quán)到期日被執(zhí)行；若除息日未被執(zhí)行，則該美式期權(quán)將演變?yōu)橐粋€歐式期權(quán)（在到期日執(zhí)行期權(quán)最優(yōu)）。對于這種復合期權(quán)結(jié)構(gòu)，Black提供了美式期權(quán)定價的近似方法；Roll,Geske和Whaley則進一步給出了精確的RGW模型。金融衍生工具第十八章4無紅利支付股票的美式期權(quán)若標的股票在期權(quán)的存續(xù)期內(nèi)不支付任何紅利，則美式買權(quán)絕不會被提前執(zhí)行。貨幣的時間價值以及期權(quán)提供的保險使持有期權(quán)成為更具吸引力的投資方式。一方面，提前執(zhí)行買權(quán)所支付的現(xiàn)金將不再產(chǎn)生利息收入；同時，持有股票的價值還可能跌到執(zhí)行價格以下。因此，對于無紅利支付的美式買權(quán)而言，提前執(zhí)行不是最優(yōu)的決策，美式買權(quán)等價于一個歐式買權(quán)，可以直接用Black-Scholes公式計算。金融衍生工具第十八章5紅利支付對于支付紅利的股票，美式買權(quán)可以視為一系列歐式買權(quán)的復合。在任意兩個除權(quán)日之間，美式買權(quán)都不會被提前執(zhí)行（理由同上）。在除權(quán)日前的瞬間，投資者將判斷是否執(zhí)行該期權(quán)。若執(zhí)行美式買權(quán)，則該期權(quán)的存續(xù)期中止；若不執(zhí)行，則可能的執(zhí)行時點將是下一個除權(quán)日前的瞬間；這樣不斷往下，直到期權(quán)在最后到期日被執(zhí)行（等同于歐式期權(quán)）。當我們已知標的股票的紅利支付情況時，便可以根據(jù)上面的思路，逐一判斷美式期權(quán)在哪個除權(quán)時點將被提前執(zhí)行。我們的結(jié)論是：通常而言，支付紅利的美式買權(quán)若被提前執(zhí)行，一定是在最后一個除權(quán)時點前的瞬間。金融衍生工具第十八章6Black近似在考慮提前執(zhí)行期權(quán)的情況時，Black（1975）提出了一種近似處理方法。正如之前提到的：具有紅利支付的美式買權(quán)等價于一系列歐式買權(quán)的復合。Black指出，可以分別計算美式期權(quán)提前執(zhí)行和不提前執(zhí)行條件下對應的歐式期權(quán)價值，然后取兩者之大為美式期權(quán)的近似價值。用數(shù)學符號表示即為：其中，代表Black-Scholes公式計算的價值，代表除權(quán)日前的瞬時時刻，為美式買權(quán)的到期日。在大多數(shù)情況下，Black近似效果似乎都不錯。但Roll,Geske和Whaley仍然提出了更為精確的美式買權(quán)價值公式。金融衍生工具第十八章7Roll,Geske和Whaley(RGW)模型由Roll,Geske和Whaley提出的RGW定價模型是除Black-Scholes外唯一可為美式期權(quán)給出精確定價的方法。但它僅適用于期權(quán)存續(xù)期內(nèi)只支付一次現(xiàn)金紅利的美式股票買權(quán)。RGW模型相比于前面的Black近似方法，提高了期權(quán)估價的精確度，這主要源于兩方面的原因：第一涉及提前執(zhí)行決策的時刻；第二涉及波動率的使用方式。金融衍生工具第十八章8第二節(jié)美式期權(quán)定價的分析近似類模型

Barone-Adesi和Whaley（1987）近似其他分析近似類模型金融衍生工具第十八章9Barone-Adesi和Whaley（1987）近似

Barone-Adesi和Whaley（1987）基于由MacMilan（1986）提出的二次估計方法給出了美式期權(quán)定價的二次估計式。該近似類模型適用于標的股票連續(xù)支付股利的美式期權(quán)，期權(quán)的價值被分解為兩部分：歐式期權(quán)的價值和提前執(zhí)行權(quán)利所要求的溢價。金融衍生工具第十八章10其他分析近似類模型

Bjerksund-Stensland的分析近似模型使用觸發(fā)價格（TriggerPrice）作為美式期權(quán)被提前執(zhí)行的條件。這種方法不僅提高了期權(quán)價值計算的速度，同時相對于Barone-Adesi和Whaley（1987）模型而言，計算的精度也有所提高。有興趣的讀者可以參閱文獻：Closed-FormApproximationofAmericanOption,ScandinavianJournalofManagement,1993。Geske和Johnson（1984）提供了一種美式賣權(quán)的估值方法。Geske和Johnson將一個美式賣權(quán)視作一系列百慕大式期權(quán)，同時，他們還使用了Richardson關(guān)于有限差分算術(shù)平均值估計技術(shù)來提高收斂的速度。有興趣的讀者可以參考相關(guān)文獻。Ju和Zhong（1999）綜合MacMilan（1986）以及Barone-Adesi和Whaley（1987）的研究成果，對美式期權(quán)的定價進行了改進，尤其是提高了期權(quán)存續(xù)期較短或者較長的美式期權(quán)的定價精度。關(guān)于定價公式的具體細節(jié)，有興趣的讀者可以參閱相關(guān)文獻。金融衍生工具第十八章11第三節(jié)美式期權(quán)定價的數(shù)值方法——二叉樹模型美式期權(quán)定價最常用的方法是數(shù)值解法。二叉樹模型是美式期權(quán)定價強有力的工具，一方面，二叉樹模型結(jié)構(gòu)簡單，可以運用風險中性定價進行計算；另一方面，二叉樹模型還可解決美式期權(quán)提前執(zhí)行的問題。本節(jié)將介紹如何構(gòu)造二叉樹模型進行美式股票期權(quán)定價，在此基礎(chǔ)上，我們還將擴展傳統(tǒng)的股價二叉樹模型（如考慮時間依賴的利率）以使其適用于處理兩個標的變量的期權(quán)定價或某些路徑依賴的衍生證券定價。金融衍生工具第十八章12已知紅利支付率假設(shè)標的股票的現(xiàn)價，年波動率，該股票2個月后將支付紅利，預計紅利率（即紅利與股票價格之比）為5%。以該股票為標的物的美式買權(quán)期限4個月，執(zhí)行價格，無風險利率為=6%。我們以1個月為區(qū)間，構(gòu)造該股票價格的4期二叉樹模型。構(gòu)造股票價格二叉樹所需參數(shù)如下所示：金融衍生工具第十八章13已知紅利支付率302.5933.674.5426.730.7035.906.5828.501.4222.62040.3010.4531.992.8925.39020.15045.2315.2335.905.9028.50022.62017.950ABCD7.79圖18.2已知紅利支付率的美式買權(quán)二叉樹定價金融衍生工具第十八章14已知紅利支付率

在二叉樹的末端，美式期權(quán)的價值為，如上圖所示。根據(jù)風險中性定價原理，從二叉樹的末端逆向推導出第三階段末各節(jié)點所對應的期權(quán)價值。以節(jié)點A為例，根據(jù)風險中性定價原理，期權(quán)價值為10.45，其余節(jié)點同理推知。在第三階段末各節(jié)點處，根據(jù)風險中性定價得到的價值都大于提前執(zhí)行的價值，即美式期權(quán)不會被提前執(zhí)行，由于到期前最后一次紅利分發(fā)發(fā)生在第二階段末，這正好驗證了我們之前提到的性質(zhì)“支付紅利的美式買權(quán)若被提前執(zhí)行，一定是在最后一個除權(quán)時點前的瞬間”。金融衍生工具第十八章15已知紅利支付率唯一可能提前執(zhí)行的時間點在第二階段末除權(quán)日前的瞬間，我們接下來就分析第二階段末除權(quán)日前的瞬間各點的提前執(zhí)行決策，即二叉樹圖中的B、C、D各點。以B點為例，若不提前執(zhí)行美式期權(quán)，則期權(quán)的價值為6.58。若在B點提前執(zhí)行美式買權(quán)，則期權(quán)的價值為35.90/0.95-30=7.79，大于6.58。故在B點，投資者應該選擇提前執(zhí)行美式買權(quán)。同理，對于C點和D點，我們可以運用相同的分析方法。在C點，若提前執(zhí)行，則期權(quán)的價值為0；若不提前執(zhí)行，期權(quán)的價值為1.42。故投資者不會選擇提前執(zhí)行美式買權(quán)。在D點，期權(quán)處于虛值狀態(tài)，投資者不會提前執(zhí)行，期權(quán)的價值為0。已知第二階段末各節(jié)點的期權(quán)價值及是否提前行權(quán)決策后，再利用風險中性定價原理，可以繼續(xù)推出第一階段末各節(jié)點對應的期權(quán)價值，分別為：4.54和0.70元，投資者不會提前執(zhí)行。最終，可以得到該美式期權(quán)的價值為2.59元。金融衍生工具第十八章16時間依賴的利率當為美式期權(quán)定價時，通常我們假設(shè)利率為常數(shù)。但是如果利率的期限結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)陡峭的上升或下降的趨勢時，這一假設(shè)顯然是不合理的。較為合理的方法是假設(shè)未來某一時間段內(nèi)的利率等于當前這一時間段的遠期利率。這時，不支付紅利的股票價格的運動過程滿足：在這種情況下，構(gòu)造二叉樹模型時，只需要調(diào)整每個節(jié)點上升和下降的概率。由于和與無關(guān)，因此二叉樹的形狀不會改變。在這些節(jié)點的概率為：上升概率：下降概率：金融衍生工具第十八章17控制變量的技術(shù)在為美式期權(quán)進行定價時，為了校正叉樹模型的定價誤差，可以采用控制變量技術(shù)。控制變量技術(shù)假設(shè)：使用二叉樹模型進行歐式期權(quán)定價所產(chǎn)生的誤差與美式期權(quán)定價產(chǎn)生的誤差相等。由于我們可以使用Black-Scholes公式得到歐式期權(quán)的精確值，從而可以計算出叉樹模型的定價誤差。假設(shè)基于同一個二叉樹模型的歐式期權(quán)和美式期權(quán)價值分別為和，而根據(jù)Black-Scholes公式，歐式期權(quán)的精確價值為，則二叉樹模型的定價誤差為。經(jīng)誤差校正后的美式期權(quán)價值為：金融衍生工具第十八章18構(gòu)造二叉樹圖的其他方式由Cox、Ross和Rubinstein最初提出的二叉樹模型并不是構(gòu)造叉樹模型的唯一方法?；貞浀?4章中關(guān)于二叉樹模型參數(shù)的決定，在風險中性世界中，二叉樹模型的三個參數(shù)，，應滿足下面兩個條件：另外一種可行的方法是假設(shè)，當?shù)母唠A小量可以忽略時，我們可以推導出下面一組解：金融衍生工具第十八章19構(gòu)造二叉樹圖的其他方式如果標的股票以的連續(xù)紅利率支付紅利，那么上式中的應替換成。這種方法的優(yōu)點在于風險中性概率不受股價波動率和時間段劃分的影響。但使用這種叉樹模型計算Delta、Gamma和Rho時，則略顯復雜。金融衍生工具第十八章20第四節(jié)美式期權(quán)定價的數(shù)值方法——三叉樹模型三叉樹定價模型最早由Boyle提出，并由Boyle應用于標的資產(chǎn)向量的美式期權(quán)定價。一般的三叉樹如圖18.6所示。假設(shè)為時間段的長度，Pu、Pm和Pd分別為每個節(jié)點處價格上升、持平和下降的概率。u和d分別代表價格上升和下降的幅度。同二叉樹模型一樣，參數(shù)Pu

、Pm、Pm,u

、和d的確定應保證：三叉樹模型中股價變化的均值和方差等于風險中性世界中連續(xù)時間模型的股價變化均值和方差。金融衍生工具第十八章21對于不支付紅利的股票，當?shù)母唠A小量可忽略時,使用限制條件，可以給出一種可行的參數(shù)估計方案：對于以連續(xù)紅利率支付紅利的股票，可以用替代上式中的。三叉樹模型的計算過程與二叉樹模型完全一樣。對于美式期權(quán)，仍然涉及到在每個節(jié)點處進行提前行權(quán)的判斷。金融衍生工具第十八章22S圖18.6三叉樹股價圖金融衍生工具第十八章23二叉樹和三叉樹方法都是比較好的數(shù)值計算方法,它們都收斂于Black-Scholes期權(quán)定價公式的價格。但相比于二叉樹模型，三叉樹圖的價格收斂速度更快。形象地講，在二叉樹圖中，期權(quán)價格要經(jīng)歷2q個階段劃分才會收斂到真實價格；而在三叉樹模型中，期權(quán)價格只要經(jīng)歷q個階段劃分就會收斂到真實價格。從下面的小例子可以看出三叉樹模型具有更快的價格收斂速度。金融衍生工具第十八章24第五節(jié)美式期權(quán)定價的數(shù)值方法——有限差分法有限差分方法也廣泛用于美式期權(quán)的定價。不同于叉樹模型，有限差分法并不涉及新的股價運動模式（如二叉樹運動），也無需利用風險中性定價的原理。因此，它主要是一種數(shù)學處理方法，利用差分方程來近似求解衍生證券滿足的微分方程。金融衍生工具第十八章25第五節(jié)美式期權(quán)定價的數(shù)值方法——有限差分法有限差分方法也廣泛用于美式期權(quán)的定價。不同于叉樹模型，有限差分法并不涉及新的股價運動模式（如二叉樹運動），也無需利用風險中性定價的原理。因此，它主要是一種數(shù)學處理方法，利用差分方程來近似求解衍生證券滿足的微分方程。金融衍生工具第十八章26第五節(jié)美式期權(quán)定價的數(shù)值方法——有限差分法內(nèi)含的有限差分法外推的有限差分法金融衍生工具第十八章27第六節(jié)蒙特卡洛模擬（MonteCarloSimulation）應用蒙特卡洛模擬的局限最小二乘蒙特卡洛模擬金融衍生工具第十八章28蒙特卡洛模擬的局限蒙特卡洛模擬不僅適用于單標的資產(chǎn)的期權(quán)定價，還可以模擬多標的資產(chǎn)的價格路徑，從而克服了二叉樹模型和有限差分模型不能為多標的資產(chǎn)期權(quán)定價的問題。另外，通過蒙特卡洛模擬產(chǎn)生的標的資產(chǎn)價格的樣本路徑還可用于一些路徑依賴型期權(quán)的定價，如亞式期權(quán)、回望期權(quán)等。雖然蒙特卡洛模擬在如何提高計算精度和運算速度方面已經(jīng)取得了很多成果（如：對偶變量技術(shù)、控制變量技術(shù)、間隔抽樣法、偽隨機序列抽樣法等），但蒙特卡洛模擬法不能產(chǎn)生樣本路徑上的期權(quán)價格，從而