控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件

5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（Routh判據(jù)、Hurwitz判據(jù)）5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist判據(jù)）5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題

定義系統(tǒng)受擾動后能否恢復(fù)原來的狀態(tài)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式:如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式:控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件

為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部

系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點(diǎn)，故也可以說充要條件為極點(diǎn)全部在[s]平面的左半面 為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系

5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為

為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系5.3代數(shù)穩(wěn)定性復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：

復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號都相同。（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)

(i=0，1，2，…，n)。要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，必須滿足：

一般取正值，則上述兩條件簡化為——必要條件！（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號都相同。（1）特征方程的各項(xiàng)系充要條件：如果“勞斯陣列”中第一列所有項(xiàng)均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：

充要條件：其中實(shí)部為正的特征根數(shù)＝勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。其中實(shí)部為正的特征根數(shù)＝例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：首先由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件（系數(shù)均大于0）。其次，排勞斯陣列勞斯陣列第一列中解：其次，排勞斯陣列例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 排勞斯陣列第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個實(shí)部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定

二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

對于特征方程階次低（n≤3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化： 二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表:故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是三階系統(tǒng)特征式為，勞

例設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為例設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表符號改變2次，2個正實(shí)根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為勞斯陣列表符號改變2次，無正實(shí)根，有虛根。無正實(shí)根，有虛根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表臨界穩(wěn)定例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為勞斯陣列表臨界穩(wěn)定n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：各階主子行列式均>0即：……系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：……例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。 各系數(shù)排成行列式例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項(xiàng)式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項(xiàng)式例：一個反饋控制系統(tǒng)的特征方程為 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0,試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。例：一個反饋控制系統(tǒng)的特征方程為控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知1.a

為復(fù)數(shù)C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)1.a為復(fù)數(shù)C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)如果C包圍a，則C’

順時針包圍原點(diǎn)1圈；如果C不包圍a，則C’不包圍原點(diǎn)。如果C包圍a，則C’順時針包圍原點(diǎn)1圈；2.2.如果C包圍a，則C’

逆時針包圍原點(diǎn)1圈；如果C不包圍a，則C’不包圍原點(diǎn)。如果C包圍a，則C’逆時針包圍原點(diǎn)1圈；C包圍z個零點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)順時針繞原點(diǎn)1圈，角度增量順時針z圈C包圍z個零點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)順時針繞原點(diǎn)1圈，角度增量順時針zC包圍1個極點(diǎn)，C’逆時針繞原點(diǎn)1圈C包圍p個極點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)逆時針p圈C包圍1個極點(diǎn)，C’逆時針繞原點(diǎn)1圈C包圍p個極點(diǎn)，C’F(s)有m個零點(diǎn)，n個極點(diǎn)，在[s]平面上的C順時針包圍了其中z個零點(diǎn)和p個極點(diǎn)，——映射定理z–p圈。則在[F]平面上的C’順時針包圍原點(diǎn)F(s)有m個零點(diǎn)，n個極點(diǎn)，——映射定理z反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個數(shù)為0

右零點(diǎn)個數(shù)為0逆時針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)順時針繞[s]右半平面的曲線，經(jīng)過的映射，閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個數(shù)為0右零點(diǎn)個數(shù)為0逆F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=F’(s)包圍-1點(diǎn)的圈數(shù)F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=F’(s)包圍-1點(diǎn)的圈數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍

(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。——充要條件Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：1逆時針包圍圈數(shù)：1穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：1逆時針包圍圈數(shù)：1穩(wěn)定例:下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；K>1，穩(wěn)定。例:下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；例:某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷當(dāng)K=10和40時的穩(wěn)定性例:某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷當(dāng)K=10和40時的穩(wěn)定如果開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)或零點(diǎn)，如果開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)或零點(diǎn)，控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件開環(huán)沒有右極點(diǎn)，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定開環(huán)沒有右極點(diǎn)，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定開環(huán)右極點(diǎn)有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定開環(huán)右極點(diǎn)有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1

圈，不穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為從原點(diǎn)右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.50+0-0+0-例如：穩(wěn)定條件：例如：穩(wěn)定條件：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。(1)開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)如何判斷？——勞斯判據(jù)(2)開環(huán)在虛軸上有零極點(diǎn)？——繞道(3)開環(huán)無右極點(diǎn)——不包圍(4)乃氏判據(jù)也適用于有延時環(huán)節(jié)的情況Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛性低，常易產(chǎn)生振動，下面分析其動態(tài)特性。例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長懸臂梁式主軸的工作情況

P（t）——切削力；

y（t）——主軸前端刀具處因切削力產(chǎn)生的變形量；

D——主軸系統(tǒng)的當(dāng)量粘性系數(shù)；

——主軸系統(tǒng)的當(dāng)量剛度。1．機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將主軸簡化為集中質(zhì)量m作用于主軸端部，令主軸端部的運(yùn)動微分方程為其傳遞函數(shù)為P（t）——切削力；1．機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)主軸端部2．切削過程的傳遞函數(shù) 若工件名義進(jìn)給量為，由于主軸的變形，實(shí)際進(jìn)給量為u（t），于是U（s）=Uo（s）-Y（s）

若主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，則刀具每轉(zhuǎn)一周需要時間。刀具在每轉(zhuǎn)動一周中切削的實(shí)際厚度為[u（t）-u（t-τ）]

。

令kc為切削阻力系數(shù)（它表示切削力與切削厚度之比），則2．切削過程的傳遞函數(shù)U（s）=Uo（s）-Y（s） 若主軸其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為則，即令這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)是否包圍（-1，j0）點(diǎn)的問題歸結(jié)為Gm（jω）的極坐標(biāo)軌跡是否包圍Gc(jω）的極坐標(biāo)軌跡的問題。

下面分別作出Gm（jω）和Gc(jω）的極坐標(biāo)軌跡。則，即令這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件曲線③曲線①曲線③曲線①1．若Gm（jω）不包圍Gc(jω），即Gm（jω）與Gc(jω）不相交，如曲線①，則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。因此系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的條件是Gm（jω）中的最小負(fù)實(shí)部的絕對值小于。

無論提高主軸的剛度km，還是減少kc(切削阻力系數(shù)），都可提高穩(wěn)定性，但對提高穩(wěn)定性最有利的是增加阻尼。1．若Gm（jω）不包圍Gc(jω），即 無論提高主軸的剛度2．若Gm（jω）包圍Gc(jω）一部分，即Gm（jω）與Gc(jω）相交，如曲線③，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。

如果在工作頻率ω下，保證τω避開的范圍，也就是適當(dāng)選擇τ系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當(dāng)?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速n(在單刃銑刀時，τ＝1/n)，使Gm（jω）不包圍τω點(diǎn)。

2．若Gm（jω）包圍Gc(jω）一部分，即Gm（jω）與G單位圓→0dB線5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性單位圓→0dB線5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件由伯德圖判穩(wěn)定性設(shè)0型或I型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p

個右根，

且開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，

如果在所有L(ω)≥0頻率范圍內(nèi)，

相頻特性曲線φ(ω)在(-π)線上正負(fù)穿越之差為p/2次，

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。乃氏圖從第三象限穿越負(fù)實(shí)軸到第二象限，負(fù)穿越;

從第二象限穿越負(fù)實(shí)軸到第三象限，正穿越。如果ω=0時，φ(ω)=-π，

乃氏圖向第三象限去，半次正穿越，

向第二象限去，半次負(fù)穿越。由伯德圖判穩(wěn)定性乃氏圖從第三象限穿越負(fù)實(shí)軸到第二象限，負(fù)穿越

圖（a），已知p＝0，即開環(huán)無右特征根，

在L（ω）＞0范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為0，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。

圖（b），已知開環(huán)傳遞函數(shù)有一個右極點(diǎn)，

p=1，在L（ω）＞0的頻率范圍內(nèi)，半次正穿越，

系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圖（a），已知p＝0，即開環(huán)無右特征根，

在L（ω）

圖（c），已知p＝2，在L（ω）＞0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為1-2=-1≠2／2，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。

圖（d），已知p＝2，在L（ω）＞0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿越之差為2-1＝1=2／2，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。圖（c），已知p＝2，在L（ω）＞0的范圍內(nèi)，正負(fù)穿如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)有一定的穩(wěn)定裕量。用勞斯判據(jù)定性→定量虛軸左移σ，令z=s+σ，

將s=z-σ代入系統(tǒng)特征式，

得到z的方程式，采用勞斯判據(jù)，可知距離虛軸σ以右是否有根。5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性如果系統(tǒng)閉環(huán)特征根均在s左半平面，且和虛軸有一段距離，則系統(tǒng)例：

令z=s+1，即s=z–1，代入系統(tǒng)特征式，即z的多項(xiàng)式系數(shù)無相反符號，勞斯陣列第一列未變號，系統(tǒng)在s=-1以右沒有根。實(shí)際4個根為-1,-2,-3,-4例：令z=s+1，即s=z–1，代入系統(tǒng)特用Nyquist圖如果系統(tǒng)穩(wěn)定，Nyquist圖離(-1,j0)越近，相對穩(wěn)定性越差。用Nyquist圖如果系統(tǒng)穩(wěn)定，相對穩(wěn)定性越差。剪切頻率相位裕量增益裕量剪切頻率相位裕量增益裕量增益裕量也可用分貝數(shù)表示：增益裕量也可用分貝數(shù)表示：控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件例：開環(huán)傳遞函數(shù)為求K=10、100時的相位裕量、幅值裕量。K=10作圖法計算法例：開環(huán)傳遞函數(shù)為求K=10、100時的相位裕量、幅值裕量。K=100作圖法計算法K=100作圖法計算法相關(guān)matlab函數(shù)nyquist(s1)s1=tf([40],[0.0050.1510])s1=zpk([],[0-10-20],8000)相關(guān)matlab函數(shù)nyquist(s1)s1=tf([[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(s1)Warning:Theclosed-loopsystemisunstable.>Inlti.marginat89Gm=7.5000e-001Pm=-7.5156e+000Wcg=1.4142e+001Wcp=1.6259e+001求穩(wěn)定裕量Gm —— 增益裕量Pm —— 相位裕量Wcg —— 相位-π處的頻率Wcp —— 剪切頻率[Gm,Pm,Wcg,Wcp]=margin(s1)Wa控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)（Routh判據(jù)、Hurwitz判據(jù)）5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)（Nyquist判據(jù)）5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性5.7控制系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性5控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念5.2系統(tǒng)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題

定義系統(tǒng)受擾動后能否恢復(fù)原來的狀態(tài)5.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：5.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，n(t)為輸入時，系統(tǒng)輸出為：控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式:如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即系統(tǒng)輸出的時域表達(dá)式:控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件

為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

閉環(huán)特征方程式的根全部具有負(fù)實(shí)部

系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點(diǎn)，故也可以說充要條件為極點(diǎn)全部在[s]平面的左半面 為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實(shí)部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系

5.3代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為

為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系5.3代數(shù)穩(wěn)定性復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：

復(fù)數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系：（2）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號都相同。（1）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)

(i=0，1，2，…，n)。要使全部特征根均具有負(fù)實(shí)部，必須滿足：

一般取正值，則上述兩條件簡化為——必要條件?。?）特征方程的各項(xiàng)系數(shù)的符號都相同。（1）特征方程的各項(xiàng)系充要條件：如果“勞斯陣列”中第一列所有項(xiàng)均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：

充要條件：其中實(shí)部為正的特征根數(shù)＝勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。其中實(shí)部為正的特征根數(shù)＝例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：首先由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件（系數(shù)均大于0）。其次，排勞斯陣列勞斯陣列第一列中解：其次，排勞斯陣列例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 排勞斯陣列第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個實(shí)部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定

二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

對于特征方程階次低（n≤3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化： 二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表:故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是三階系統(tǒng)特征式為，勞

例設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為例設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表符號改變2次，2個正實(shí)根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為勞斯陣列表符號改變2次，無正實(shí)根，有虛根。無正實(shí)根，有虛根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表臨界穩(wěn)定例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為勞斯陣列表臨界穩(wěn)定n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)n×n行列式：赫爾維茨穩(wěn)定性判據(jù)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：各階主子行列式均>0即：……系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件：……例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的必要條件。 各系數(shù)排成行列式例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為解：由方程系數(shù)可知滿足穩(wěn)定的由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。由于故該系統(tǒng)穩(wěn)定。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項(xiàng)式是系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式。代數(shù)穩(wěn)定性判據(jù)使用的多項(xiàng)式例：一個反饋控制系統(tǒng)的特征方程為 s3+5Ks2+(2K+3)s+10=0,試確定使該閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的K值。例：一個反饋控制系統(tǒng)的特征方程為控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知1.a

為復(fù)數(shù)C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)1.a為復(fù)數(shù)C為順時針方向5.4乃奎斯特穩(wěn)定性判據(jù)如果C包圍a，則C’

順時針包圍原點(diǎn)1圈；如果C不包圍a，則C’不包圍原點(diǎn)。如果C包圍a，則C’順時針包圍原點(diǎn)1圈；2.2.如果C包圍a，則C’

逆時針包圍原點(diǎn)1圈；如果C不包圍a，則C’不包圍原點(diǎn)。如果C包圍a，則C’逆時針包圍原點(diǎn)1圈；C包圍z個零點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)順時針繞原點(diǎn)1圈，角度增量順時針z圈C包圍z個零點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)順時針繞原點(diǎn)1圈，角度增量順時針zC包圍1個極點(diǎn)，C’逆時針繞原點(diǎn)1圈C包圍p個極點(diǎn)，C’繞原點(diǎn)逆時針p圈C包圍1個極點(diǎn)，C’逆時針繞原點(diǎn)1圈C包圍p個極點(diǎn)，C’F(s)有m個零點(diǎn)，n個極點(diǎn)，在[s]平面上的C順時針包圍了其中z個零點(diǎn)和p個極點(diǎn)，——映射定理z–p圈。則在[F]平面上的C’順時針包圍原點(diǎn)F(s)有m個零點(diǎn)，n個極點(diǎn)，——映射定理z反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個數(shù)為0

右零點(diǎn)個數(shù)為0逆時針包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)順時針繞[s]右半平面的曲線，經(jīng)過的映射，閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)傳遞函數(shù)右極點(diǎn)個數(shù)為0右零點(diǎn)個數(shù)為0逆F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=F’(s)包圍-1點(diǎn)的圈數(shù)F(s)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)=F’(s)包圍-1點(diǎn)的圈數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍

(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定?！湟獥l件Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：0逆時針包圍圈數(shù)：0穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：1逆時針包圍圈數(shù)：1穩(wěn)定右極點(diǎn)數(shù)：1逆時針包圍圈數(shù)：1穩(wěn)定例:下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；K>1，穩(wěn)定。例:下圖所示反饋控制系統(tǒng)，K為何值時穩(wěn)定?K<1，不穩(wěn)定；例:某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷當(dāng)K=10和40時的穩(wěn)定性例:某反饋控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為判斷當(dāng)K=10和40時的穩(wěn)定如果開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)或零點(diǎn)，如果開環(huán)傳遞函數(shù)在虛軸上有極點(diǎn)或零點(diǎn)，控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件開環(huán)沒有右極點(diǎn)，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定開環(huán)沒有右極點(diǎn)，乃氏圖不包圍(-1,j0)，穩(wěn)定開環(huán)右極點(diǎn)有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定開環(huán)右極點(diǎn)有1個，乃氏圖逆時針包圍(-1,j0)1圈，穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,j0)1

圈，不穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)為0；

乃氏圖順時針包圍(-1,例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為例：某系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為從原點(diǎn)右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定從原點(diǎn)右邊繞，順時針2圈，不穩(wěn)定延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.5應(yīng)用乃奎斯特判據(jù)分析延時系統(tǒng)的穩(wěn)定性延時環(huán)節(jié)串聯(lián)在前向通道K滿足什么條件時系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定？5.50+0-0+0-例如：穩(wěn)定條件：例如：穩(wěn)定條件：Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，如果開環(huán)傳遞函數(shù)的Nyquist圖逆時針包圍(－1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于開環(huán)右極點(diǎn)的個數(shù)，則系統(tǒng)穩(wěn)定。(1)開環(huán)右極點(diǎn)個數(shù)如何判斷？——勞斯判據(jù)(2)開環(huán)在虛軸上有零極點(diǎn)？——繞道(3)開環(huán)無右極點(diǎn)——不包圍(4)乃氏判據(jù)也適用于有延時環(huán)節(jié)的情況Nyquist穩(wěn)定判據(jù)在[s]平面作包圍右半平面的D形曲線，延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道延時環(huán)節(jié)并聯(lián)在前向通道例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長懸臂梁式主軸的工作情況，由于主軸剛性低，常易產(chǎn)生振動，下面分析其動態(tài)特性。例：下圖所示為機(jī)床（如鏜床，銑床）的長懸臂梁式主軸的工作情況

P（t）——切削力；

y（t）——主軸前端刀具處因切削力產(chǎn)生的變形量；

D——主軸系統(tǒng)的當(dāng)量粘性系數(shù)；

——主軸系統(tǒng)的當(dāng)量剛度。1．機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)將主軸簡化為集中質(zhì)量m作用于主軸端部，令主軸端部的運(yùn)動微分方程為其傳遞函數(shù)為P（t）——切削力；1．機(jī)床主軸系統(tǒng)的傳遞函數(shù)主軸端部2．切削過程的傳遞函數(shù) 若工件名義進(jìn)給量為，由于主軸的變形，實(shí)際進(jìn)給量為u（t），于是U（s）=Uo（s）-Y（s）

若主軸轉(zhuǎn)速為n，刀具為單齒，則刀具每轉(zhuǎn)一周需要時間。刀具在每轉(zhuǎn)動一周中切削的實(shí)際厚度為[u（t）-u（t-τ）]

。

令kc為切削阻力系數(shù)（它表示切削力與切削厚度之比），則2．切削過程的傳遞函數(shù)U（s）=Uo（s）-Y（s） 若主軸其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為

其閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為則，即令這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)是否包圍（-1，j0）點(diǎn)的問題歸結(jié)為Gm（jω）的極坐標(biāo)軌跡是否包圍Gc(jω）的極坐標(biāo)軌跡的問題。

下面分別作出Gm（jω）和Gc(jω）的極坐標(biāo)軌跡。則，即令這樣一來就將乃氏判據(jù)中開環(huán)頻控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件曲線③曲線①曲線③曲線①1．若Gm（jω）不包圍Gc(jω），即Gm（jω）與Gc(jω）不相交，如曲線①，則系統(tǒng)絕對穩(wěn)定。因此系統(tǒng)絕對穩(wěn)定的條件是Gm（jω）中的最小負(fù)實(shí)部的絕對值小于。

無論提高主軸的剛度km，還是減少kc(切削阻力系數(shù)），都可提高穩(wěn)定性，但對提高穩(wěn)定性最有利的是增加阻尼。1．若Gm（jω）不包圍Gc(jω），即 無論提高主軸的剛度2．若Gm（jω）包圍Gc(jω）一部分，即Gm（jω）與Gc(jω）相交，如曲線③，則系統(tǒng)可能不穩(wěn)定，但在一定條件下也可穩(wěn)定。

如果在工作頻率ω下，保證τω避開的范圍，也就是適當(dāng)選擇τ系統(tǒng)仍可穩(wěn)定。所以，在此條件下系統(tǒng)穩(wěn)定的條件為：選擇適當(dāng)?shù)闹鬏S轉(zhuǎn)速n(在單刃銑刀時，τ＝1/n)，使Gm（jω）不包圍τω點(diǎn)。

2．若Gm（jω）包圍Gc(jω）一部分，即Gm（jω）與G單位圓→0dB線5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性單位圓→0dB線5.6由伯德圖判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制工程第四版第5講控制系統(tǒng)穩(wěn)定性分析課件由伯德圖判穩(wěn)定性設(shè)0型或I型系統(tǒng)開環(huán)特征方程有p

個右根，

且開環(huán)靜態(tài)放大倍數(shù)大于零，

如果在所有L(ω)≥0頻率范圍內(nèi)，

相頻特性曲線φ(ω)在(-π)線上正負(fù)穿越之差為p/2次，

則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。乃氏圖從第三象限穿越負(fù)實(shí)軸到第二象限，負(fù)穿越;

從第二象限穿越負(fù)實(shí)軸到第三象限，正穿越。如果ω=0時，φ(ω)=-π，

乃氏圖向第三象限去，半次正穿