2020高中數(shù)學(xué) 10 等差數(shù)列的性質(zhì)（含解析）5

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)分層作業(yè)（十)等差數(shù)列的性質(zhì)（建議用時(shí)：60分鐘）[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．在等差數(shù)列{an｝中，a1＋a9＝10,則a5的值為()A．5B．6C．8D．10A[由等差數(shù)列的性質(zhì),得a1＋a9＝2a5，又∵a1＋a9＝10,即2a5＝10，∴a5＝5.］2．?dāng)?shù)列｛an｝滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9,則log6(a5＋a7＋a9）的值是(）A．－2B．－eq\f(1，2)C．2D．eq\f（1，2)C［∵an＋1－an＝3,∴{an｝為等差數(shù)列，且d＝3。a2＋a4＋a6＝9＝3a4，∴a4＝3，a5＋a7＋a9＝3a7＝3(a4＋3d）＝3(3＋3×3）＝36，∴l(xiāng)og6（a5＋a7＋a9)＝log636＝2。]3．在等差數(shù)列{an｝中，a1＝2，a3＋a5＝10，則a7＝（）A．5B．8C．10D．14B[由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又a1＝2，所以a7＝8.]4．已知等差數(shù)列{an｝的公差為d（d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若am＝8，則m等于（）A．8B．4C．6D．12A［因?yàn)閍3＋a6＋a10＋a13＝4a8＝32，所以a8＝8，即m＝8。］5．下列說法中正確的是（）A．若a，b,c成等差數(shù)列，則a2，b2,c2成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列,則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列C．若a，b,c成等差數(shù)列,則a＋2,b＋2,c＋2成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列,則2a，2b，2c成等差數(shù)列C[因?yàn)閍,b，c成等差數(shù)列，則2b＝a＋c，所以2b＋4＝a＋c＋4,即2(b＋2）＝(a＋2）＋（c＋2），所以a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列．]二、填空題6．若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,它們的和為9，平方和為59,則這三個(gè)數(shù)的積為________．－21［設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d,則eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a－d＋a＋a＋d＝9,,（a－d)2＋a2＋（a＋d)2＝59。))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝4））或eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a＝3，，d＝－4.)）∴這三個(gè)數(shù)為－1，3,7或7,3，－1.∴它們的積為－21。]7．若a，b，c成等差數(shù)列，則二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為________．1或2[∵a，b,c成等差數(shù)列,∴2b＝a＋c,∴Δ＝4b2－4ac＝（a＋c)2－4ac＝(a－c）2≥0。∴二次函數(shù)y＝ax2－2bx＋c的圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1或2。]8．在通常情況下,從地面到10km高空，高度每增加1km，氣溫就下降某一個(gè)固定數(shù)值．如果1km高度的氣溫是8。5℃，5km高度的氣溫是－17。5℃，則2km,4km,8km高度的氣溫分別為________、________、________．2℃－11℃－37℃[用｛an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列，則a1＝8。5，a5＝－17.5，由a5＝a1＋4d＝8。5＋4d＝－17。5，解得d＝－6。5，∴an＝15－6。5n.∴a2＝2,a4＝－11，a8＝－37，即2km，4km，8km高度的氣溫分別為2℃，－11℃,－37℃.］三、解答題9．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式．[解]∵a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，∴a4＝5.又∵a2a4a6＝45，∴a2a6＝9,即（a4－2d)(a4＋2d)＝9，（5－2d)（5＋2d）＝9，解得d＝±2.若d＝2,an＝a4＋(n－4）d＝2n－3；若d＝－2,an＝a4＋（n－4)d＝13－2n.10．四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，中間兩數(shù)的和為2，首末兩項(xiàng)的積為－8，求這四個(gè)數(shù)．［解］設(shè)這四個(gè)數(shù)為a－3d，a－d,a＋d，a＋3d（公差為2d）,依題意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d）＝－8,即a＝1，a2－9d2＝－8，∴d2＝1,∴d＝1或d＝－1。又四個(gè)數(shù)成遞增等差數(shù)列，所以d〉0，∴d＝1，故所求的四個(gè)數(shù)為－2，0，2,4。[能力提升練］1．已知等差數(shù)列{an｝滿足a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，則有(）A．a(chǎn)1＋a101〉0 B．a(chǎn)2＋a101〈0C．a(chǎn)3＋a99＝0 D．a(chǎn)51＝51C[根據(jù)性質(zhì)得：a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝2a51，由于a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以a51＝0，又因?yàn)閍3＋a99＝2a51＝0，故選C.］2．在等差數(shù)列｛an}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，則a9－eq\f（1,3）a11的值為()A．14B．15C．16D．17C［設(shè)公差為d，∵a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝120，∴5a8＝120，a8＝24，∴a9－eq\f(1，3)a11＝(a8＋d）－eq\f(1,3)（a8＋3d）＝eq\f（2,3)a8＝16.]3．若m≠n，兩個(gè)等差數(shù)列m，a1，a2，n與m,b1，b2，b3，n的公差分別為d1和d2,則eq\f(d1，d2)的值為________．eq\f(4，3）［n－m＝3d1，d1＝eq\f（1，3)(n－m）．又n－m＝4d2,d2＝eq\f（1，4）(n－m)．∴eq\f(d1,d2）＝eq\f（\f（1,3）（n－m），\f(1,4)(n－m））＝eq\f(4,3）.]4．《九章算術(shù)》“竹九節(jié)"問題:現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子,自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共為3升，下面3節(jié)的容積共為4升,則第5節(jié)的容積為________升．eq\f(67，66）[設(shè)自上而下各節(jié)的容積構(gòu)成的等差數(shù)列為a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8,a9。則eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13，22),，d＝\f(7,66），））故a5＝a1＋4d＝eq\f（67，66).]5．兩個(gè)等差數(shù)列5，8，11,…和3，7，11，…都有100項(xiàng)，那么它們共有多少相同的項(xiàng)？[解］設(shè)已知的兩數(shù)列的所有相同的項(xiàng)構(gòu)成的新數(shù)列為{cn}，c1＝11，又等差數(shù)列5，8，11，…的通項(xiàng)