控制工程基礎(chǔ)-課件

5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析

控制系統(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)性能的圖解方法。分析的基點(diǎn)是：給予線性定常系統(tǒng)不同頻率下的三角函數(shù)輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出是相同頻率的三角函數(shù)，僅是幅值和初相位不同。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.1基本概念頻域分析法是自動(dòng)控制理論的重要方法，主要特點(diǎn)是：

(1)基于頻率特性函數(shù)的系統(tǒng)建模和性能分析的物理意義明確；

(2)利用開(kāi)環(huán)頻率特性的圖形分析方法，形象、直觀，計(jì)算量少；

(3)適用于純滯后系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的性能分析?？刂葡到y(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)（即正弦輸入信號(hào)）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也稱為諧波響應(yīng)，或三角函數(shù)響應(yīng)。5.控制系統(tǒng)的頻域分析不失一般性，線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可計(jì)算如下：系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出(pi是系統(tǒng)極點(diǎn))頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)（即正弦輸入信號(hào)）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也可見(jiàn)：在輸入為正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號(hào)，只是輸出的幅值是輸入幅值的|Φ(jω)|倍，輸出的初相位φ(ω)是輸出相位(ωt+φ)與輸入相位(ωt)之差。于是，定義：5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻率特性函數(shù)：系統(tǒng)在正弦信號(hào)輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比的關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，即可見(jiàn)：在輸入為正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號(hào)，只5.控制系統(tǒng)的頻域分析

實(shí)際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式，仍然是反映系統(tǒng)輸入/輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。頻率特性函數(shù)是關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，可以有三種表示方式：代數(shù)形式指數(shù)形式三角形式實(shí)頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實(shí)部ΦR(ω)虛頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的虛部ΦI(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析實(shí)際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)，即相頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的相位函數(shù)，即

系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比的關(guān)于頻率的正實(shí)函數(shù)

系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差的關(guān)于頻率的實(shí)函數(shù)

應(yīng)當(dāng)指出：頻率特性函數(shù)不僅定義在正弦函數(shù)輸入下，實(shí)際是定義在三角函數(shù)或諧波函數(shù)輸入下。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為計(jì)算輸入信號(hào)為:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)，(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出。反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及其頻率特性函數(shù)為反饋控制系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)為因此，(1)u(t)=sin(t+300)時(shí)，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1(2)u(t)=2cos(2t-450)時(shí)，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時(shí)，5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計(jì)算與表示

系統(tǒng)頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式。求取系統(tǒng)頻率特性函數(shù)主要是計(jì)算其幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)：(1)令s=jω，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)直接求取例題5.2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，計(jì)算其頻設(shè)s=jω，代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，有率特性函數(shù)。幅頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)實(shí)頻函數(shù)虛頻函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計(jì)算與表示5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗(yàn)方法求取

由于線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)（諧波信號(hào)）輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出仍為正弦信號(hào)（諧波信號(hào)），且信號(hào)頻率一致，只是信號(hào)幅值和相位有變化。因此，對(duì)于待求系統(tǒng)頻率特性的裝置，通過(guò)試驗(yàn)輸入幅值、相位和頻率已知的三角函數(shù)，測(cè)量其穩(wěn)態(tài)輸出（包括幅值、相位）；不斷的改變輸入信號(hào)的頻率，就會(huì)測(cè)量得到不同頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出。ωω|G(jω)|φ(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗(yàn)方法求取ωω|G(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示頻域分析法實(shí)際上是基于頻率特性圖的一種圖形分析法。系統(tǒng)頻率特性圖主要有：極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

極坐標(biāo)圖是頻率變化（ω=0→∞）時(shí)，頻率特性函數(shù)的向量（或?qū)嵅?、虛部）在?fù)平面上描繪的圖形，即ReIm5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示極坐標(biāo)圖

因此，對(duì)于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和相位（或?qū)嵅亢吞摬浚┰趶?fù)平面上逐點(diǎn)描繪就可繪出極坐標(biāo)圖。這項(xiàng)工作目前采用計(jì)算機(jī)輔助繪圖方法很容易實(shí)現(xiàn)。極坐標(biāo)圖的規(guī)律是：5.控制系統(tǒng)的頻域分析極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)（ω=0）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)

沒(méi)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，其極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)位于復(fù)平面上的實(shí)軸上；有v(≠0)個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)位于-900v方位的無(wú)窮遠(yuǎn)。極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)（ω→∞）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式階數(shù)m和分母多項(xiàng)式階數(shù)n的差(n-m)有關(guān)(n-m)>0時(shí)，其極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)以-(n-m)900的方位置于復(fù)平面上的原點(diǎn)；(n-m)=0時(shí)，極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)位于復(fù)平面上的實(shí)軸上。在中頻段的極坐標(biāo)圖與頻率特性函數(shù)的參數(shù)有關(guān)

這時(shí)與系統(tǒng)性能密切相關(guān)的部分，尤其是穿越實(shí)軸部分應(yīng)該準(zhǔn)確繪制。因此，對(duì)于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是以頻率為橫坐標(biāo)軸，幅頻函數(shù)、相頻函數(shù)分別為縱座標(biāo)軸的二個(gè)圖形，且頻率橫坐標(biāo)軸按自然對(duì)數(shù)分度，幅頻函數(shù)的縱坐標(biāo)軸按分貝數(shù)分度，相頻函數(shù)的縱座標(biāo)軸按角度或弧度分度。ω0102050100ω0.10.20.51.01001020502.05.0lgω橫坐標(biāo)的分度說(shuō)明幅頻特性的分貝表示對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)幅頻特性圖對(duì)數(shù)相頻特性圖decdec5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）對(duì)數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析①計(jì)算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計(jì)算對(duì)數(shù)幅頻特性函數(shù)和對(duì)數(shù)相頻特性函數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)ω

ω

0

Tω<<1時(shí)，1/T1/TTω=1時(shí)，0

-450

-900

Tω>>1時(shí)，-20dB/dec-3轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為①計(jì)算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計(jì)算對(duì)數(shù)幅頻特性函數(shù)和對(duì)數(shù)相頻特性函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)

ω

ω

0

ω<<1時(shí)，1/T

900

00

-900

ω>>1時(shí)，-20dB/dec1

1/τ-20dB/dec0dB/dec20

轉(zhuǎn)折頻率非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：將傳遞函數(shù)化為以時(shí)間常數(shù)表示的典型環(huán)節(jié)相乘的形式對(duì)數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律對(duì)各典型環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)求倒數(shù)，得到轉(zhuǎn)折頻率ωi=1/Ti(ωi=1/τi)。并將轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注到橫坐標(biāo)軸上確定ω=1，L(ω)=20lgK的點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)（1，20lgK）畫(huà)斜率為-20v(dB/dec)的直線，并沿頻率軸方向每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，就在該轉(zhuǎn)折頻率處按±20k(dB/dec)改變直線斜率。k為轉(zhuǎn)折頻率所對(duì)應(yīng)典型環(huán)節(jié)的階數(shù)；“+”對(duì)應(yīng)分子多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)折頻率，“-”對(duì)應(yīng)分母多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對(duì)數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個(gè)以斜率為±20k(dB/dec)的對(duì)數(shù)幅頻直線段內(nèi)，相應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖的相頻漸近線斜率為±900k的直線計(jì)算各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位數(shù)值，并用光滑曲線逼近漸近線。最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律應(yīng)當(dāng)指出：不論是最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻特性圖的漸近線圖繪制都一樣最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖的漸近線與對(duì)數(shù)幅頻特性圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系；非最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖需描點(diǎn)繪制系統(tǒng)的頻率特性圖沒(méi)必要在每個(gè)頻段上都精確繪制，尤其是高頻段圖形可以大致繪出5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對(duì)數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個(gè)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為將已知傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為時(shí)間常數(shù)的形式計(jì)算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：ω1=1/2.5=0.4，ω2=1/0.5=2，ω3=1/0.1=10，ω4=1/0.05=20。將這些轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在對(duì)數(shù)（幅/相）頻率特性圖的橫坐標(biāo)上傳遞函數(shù)中有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，則在對(duì)數(shù)幅頻圖中，過(guò)點(diǎn)ω=1,L(ω)=20lg25=28dB，即過(guò)（1，28）點(diǎn)畫(huà)一條斜率為-20(dB/dec)的直線，該直線沿頻率軸方向延伸首先遇到ω1，它對(duì)應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω1處變化-20(dB/dec)成斜率為-40(dB/dec)的直線，繼續(xù)沿頻率軸方向延伸又遇到ω2，它對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω2處變化20(dB/dec)成斜率為-20(dB/dec)的直線，直至繪制到ω4以后5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)、(ω2，ω3)、(ω3，ω4)、(ω4，∞）上，對(duì)數(shù)幅頻圖的漸近線斜率分別為-20、-40、-20、-40、-60（dB/dec）。則其相頻圖在這些頻率段內(nèi)的漸近線分別是-900、-1800、-900、-1800、-2700。（最小相位系統(tǒng)）計(jì)算系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位角ω11ω2ω3ω4ω28L(ω)-60(dB/dec)-20(dB/dec)-40(dB/dec)-40(dB/dec)-20(dB/dec)ω1ω2ω3ω4ω-900-1800-2700φ(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖，繪出它的相頻特性圖，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)ωL(ω)501000-20dB/dec-40dB/decωφ(ω)1000-900-18005.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)

這是根據(jù)系統(tǒng)頻率特性圖（極坐標(biāo)圖、對(duì)數(shù)圖）來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，也稱為奈奎斯特(Nyquist)判據(jù)。(1)幅角原理設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（zi、pj是系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)）zizipjpjσjωs平面zizipjpjReImG(s)平面奈氏圍線極坐標(biāo)曲線5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(s)的任一極點(diǎn)、零點(diǎn)的封閉奈氏圍線內(nèi)部含有G(s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)分別為Np、Nz，則其極坐標(biāo)曲線在G(s)平面上也是一條封閉曲線，且內(nèi)部包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)N為

N=Nz-NpN>0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的方向與奈氏圍線包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)的方向一致；N<0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的方向與奈氏圍線包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)的方向相反；N=0，表明極坐標(biāo)曲線不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。注意：封閉曲線順時(shí)針包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)（或原點(diǎn)）是指按順時(shí)針?lè)较蜓厍€行進(jìn)一周時(shí)，所包圍的極點(diǎn)、零點(diǎn)（或原點(diǎn)）總處于行進(jìn)中的右側(cè)。一般規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榉忾]曲線的正方向。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為表明：F(s)的分子多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。亦即F(s)的零點(diǎn)是系統(tǒng)的特征根，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。為此，取s平面上奈氏圍線由整個(gè)虛軸和半徑無(wú)窮大的包圍整個(gè)虛軸右邊的半圓弧組成（若F(s)在虛軸上有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則奈氏圍線從其右側(cè)以半徑為無(wú)窮小的圓弧繞過(guò)）。從而可獲得F(s)平面上包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的封閉曲線，且滿足：N=Nz-Np。（Nz、Np是奈氏圍線按正方向包圍的F(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)）5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+ω=∞|s|→∞-1ReIm-1ReIm

對(duì)于F(s)，一般分母多項(xiàng)式階數(shù)大于分子多項(xiàng)式階數(shù)，因此奈氏圍線的|s|→∞部分對(duì)應(yīng)F(s)平面的原點(diǎn)（若分子與分母的階數(shù)相等，則奈氏圍線的|s|→∞部分對(duì)應(yīng)F(s)平面的某點(diǎn)），表明選取的奈氏圍線主要是考察ω=-∞→∞部分對(duì)應(yīng)的F(s)的包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圍線部分。判別F(s)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的情況與判別G(s)H(s)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的情況是一致的。005.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+5.控制系統(tǒng)的頻域分析

下面分析所選取奈氏圍線(即虛軸和包含虛軸右邊的半徑無(wú)窮大半圓弧)經(jīng)過(guò)G(s)H(s)映射的G(s)H(s)的極坐標(biāo)曲線的情況：奈氏圍線的虛軸部分映射情況：此時(shí)s=jω，且ω=-∞→∞，對(duì)應(yīng)的是G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)曲線。由于G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)共軛，即G(jω)H(jω)關(guān)于ω=-∞→0和ω=0→∞的極坐標(biāo)曲線對(duì)稱于實(shí)軸。從而只需繪制ω=0→∞的G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)圖，按對(duì)稱原理就可繪出ω=-∞→0對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)曲線包含虛軸右邊半徑無(wú)窮大圓弧的映射情況：此時(shí)s→∞,由于G(s)H(s)

的分子多項(xiàng)式階數(shù)m是小于或等于分母多項(xiàng)式階數(shù)n，因此包含虛軸右邊半徑無(wú)窮大圓弧的映射是G(s)H(s)平面上的一點(diǎn)（m<n時(shí)是坐標(biāo)原點(diǎn)）當(dāng)G(s)H(s)在虛軸上有極點(diǎn)（一般為積分環(huán)節(jié)的極點(diǎn)）時(shí)，奈氏圍線就從其右邊以半徑無(wú)窮小的圓弧繞過(guò)。這段從ω=0-→0+的半徑無(wú)窮小圓弧映射到G(s)H(s)平面上就是相角變化1800v（v是G(s)H(s)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)）半徑無(wú)窮大的弧線5.控制系統(tǒng)的頻域分析下面分析所選取奈氏圍5.控制系統(tǒng)的頻域分析

至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的情況來(lái)判斷：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面右半部分具有Np個(gè)極點(diǎn)，且在ω=-∞→∞范圍內(nèi)的極坐標(biāo)曲線圍繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=-Np。則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Reω=0+ω=0-ω=+∞ω=-∞-1Im-1-Kω=0+ω=0-ReImω=+∞ω=-∞穩(wěn)定K>1時(shí)穩(wěn)定5.控制系統(tǒng)的頻域分析至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)其5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ReImReImReImL(ω)φ(ω)ωω0-18001-1——穿越頻率(截止頻率)——相位相交頻率基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若G(s)H(s)在s平面右半部分有Np個(gè)極點(diǎn)，在對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻率范圍內(nèi)，其相頻特性曲線φ(ω)穿越-1800相位線的總次數(shù)的2倍為N，且滿足N=-Np，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。負(fù)穿越有關(guān)系：5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性(1)相對(duì)穩(wěn)定性的概念

相對(duì)穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)距離不穩(wěn)定（或臨界穩(wěn)定）狀態(tài)的程度。一般用“穩(wěn)定裕量”指標(biāo)評(píng)價(jià)。相位裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在穿越頻率處的相位角與-1800的差γ>0，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其大小表示穩(wěn)定的程度；γ<0，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；γ=0，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。增益裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在相位相交頻率處的幅頻特性的倒數(shù)Kg>1，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其值越大表示穩(wěn)定程度越高；Kg<1，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；Kg=1，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性(1)相5.控制系統(tǒng)的頻域分析相位裕量和增益裕量的幾何意義ReIm-1γdKg=1/d0ωωL(ω)φ(ω)-1800γL(ωg)應(yīng)當(dāng)指出：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)有極點(diǎn)位于虛軸右邊時(shí)，不能應(yīng)用穩(wěn)定裕量來(lái)判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.控制系統(tǒng)的頻域分析相位裕量和增益裕量的幾何意義ReIm(2)相對(duì)穩(wěn)定性的計(jì)算5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.9：已知反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為(1)K=1時(shí)的穩(wěn)定裕量？(2)L(ωg)≥

20dB，γ≥400的K?開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是最小相位系統(tǒng)520ωL(ω)0ωc-20dB/dec-40dB/dec-60dB/dec20lgK1K=1時(shí)，20lgK=0dB，表明此時(shí)ωc=1(2)相對(duì)穩(wěn)定性的計(jì)算5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.9：已5.控制系統(tǒng)的頻域分析（1）K=1,L(ωg)=?,γ=?增益裕量相位裕量5.控制系統(tǒng)的頻域分析（1）K=1,L(ωg)=?,γ=5.控制系統(tǒng)的頻域分析（2）L(ωg)=20dB,γ≥400,K=?計(jì)算可知：當(dāng)K=5.22時(shí)，L(ωg)=13.6dB<20dB，不滿足要求；K=2.5時(shí)，可同時(shí)滿足L(ωg)≥20dB,γ≥4005.控制系統(tǒng)的頻域分析（2）L(ωg)=20dB,γ≥405.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.10：已知單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試分析系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)，k與n的關(guān)系。這是最小相位系統(tǒng)，開(kāi)環(huán)頻率函數(shù)為系統(tǒng)穩(wěn)定：5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.10：已知單位反饋控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的頻域分析

系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性是很重要的工程問(wèn)題。系統(tǒng)穩(wěn)定程度過(guò)高，系統(tǒng)的響應(yīng)就很慢，這很難滿足工程實(shí)際的要求；系統(tǒng)過(guò)低的穩(wěn)定程度，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)就會(huì)很差，易于造成工程故障或事故。因此，恰當(dāng)?shù)姆€(wěn)定程度是工程的需要。-20dB/dec-20dB/decωc0-900-1800-2700高頻段中頻段低頻段一般地：相位裕量γ=300-600

增益裕量L(ωg)≥6dB5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的頻域分析5.5閉環(huán)系統(tǒng)性能的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析(1)閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)頻域指標(biāo)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)頻域指標(biāo)有二類：閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)頻域指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)閉環(huán)系統(tǒng)的典型幅頻特性圖ωM(ω)M(0)0.707M(0)Mrωrωb帶寬Mr——諧振峰值M(0)——零頻值。反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能ωr——峰值頻率ωb——帶寬。反映系統(tǒng)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)性能(2)閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)穿越頻率、相位裕量、增益裕量、相位相交頻率。穿越頻率大，帶寬就大。5.5閉環(huán)系統(tǒng)性能的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析(1)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系一階系統(tǒng)

設(shè)單位反饋一階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)分別為

單位階躍響應(yīng)的調(diào)整時(shí)間為

表明：帶寬越大，調(diào)整時(shí)間越短，系統(tǒng)響應(yīng)就越快！5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系一階系5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)

設(shè)單位反饋二階系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)和閉環(huán)傳遞函數(shù)Φ(s)分別為當(dāng)0≤ξ≤0.707時(shí)，系統(tǒng)的二個(gè)特征根是共軛復(fù)根，表明有諧振產(chǎn)生5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)設(shè)單位反饋二階系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)是

顯然，二階系統(tǒng)的頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)有聯(lián)系，由阻尼系數(shù)ξ和固有頻率ωn決定。5.控制系統(tǒng)的頻域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域指標(biāo)是顯然，二階系5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法是經(jīng)典控制理論的主要方法，是控制工程基礎(chǔ)課程的重點(diǎn)內(nèi)容。頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)的一種數(shù)學(xué)模型，反映系統(tǒng)的響應(yīng)特性最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)的特征和區(qū)別是什么？必須認(rèn)識(shí)清楚!頻域穩(wěn)定判據(jù)和相對(duì)穩(wěn)定性是頻域分析法的重點(diǎn)內(nèi)容需掌握系統(tǒng)性能的頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻域分析法是經(jīng)典控制理論的主要方法，5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.控制系統(tǒng)的頻域分析

控制系統(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)性能的圖解方法。分析的基點(diǎn)是：給予線性定常系統(tǒng)不同頻率下的三角函數(shù)輸入，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)輸出是相同頻率的三角函數(shù)，僅是幅值和初相位不同。5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.1基本概念頻域分析法是自動(dòng)控制理論的重要方法，主要特點(diǎn)是：

(1)基于頻率特性函數(shù)的系統(tǒng)建模和性能分析的物理意義明確；

(2)利用開(kāi)環(huán)頻率特性的圖形分析方法，形象、直觀，計(jì)算量少；

(3)適用于純滯后系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)的性能分析?？刂葡到y(tǒng)的頻域分析法是以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)的一種分析系統(tǒng)頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)（即正弦輸入信號(hào)）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也稱為諧波響應(yīng)，或三角函數(shù)響應(yīng)。5.控制系統(tǒng)的頻域分析不失一般性，線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)可計(jì)算如下：系統(tǒng)傳遞函數(shù)系統(tǒng)輸入系統(tǒng)輸出(pi是系統(tǒng)極點(diǎn))頻率響應(yīng)：系統(tǒng)對(duì)諧波輸入信號(hào)（即正弦輸入信號(hào)）的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，也可見(jiàn)：在輸入為正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號(hào)，只是輸出的幅值是輸入幅值的|Φ(jω)|倍，輸出的初相位φ(ω)是輸出相位(ωt+φ)與輸入相位(ωt)之差。于是，定義：5.控制系統(tǒng)的頻域分析頻率特性函數(shù)：系統(tǒng)在正弦信號(hào)輸入下，其穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比的關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，即可見(jiàn)：在輸入為正弦信號(hào)時(shí)，線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出也為正弦信號(hào)，只5.控制系統(tǒng)的頻域分析

實(shí)際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式，仍然是反映系統(tǒng)輸入/輸出之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。頻率特性函數(shù)是關(guān)于頻率的復(fù)變函數(shù)，可以有三種表示方式：代數(shù)形式指數(shù)形式三角形式實(shí)頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的實(shí)部ΦR(ω)虛頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的虛部ΦI(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析實(shí)際上，頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)，即相頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的相位函數(shù)，即

系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的幅值與輸入幅值之比的關(guān)于頻率的正實(shí)函數(shù)

系統(tǒng)的相頻特性函數(shù)的物理意義是：系統(tǒng)在正弦函數(shù)輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出的相位與輸入相位之差的關(guān)于頻率的實(shí)函數(shù)

應(yīng)當(dāng)指出：頻率特性函數(shù)不僅定義在正弦函數(shù)輸入下，實(shí)際是定義在三角函數(shù)或諧波函數(shù)輸入下。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅頻特性函數(shù)：系統(tǒng)頻率特性的幅值函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為計(jì)算輸入信號(hào)為:(1)u(t)=sin(t+300)，(2)u(t)=2cos(2t-450)，(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時(shí)的穩(wěn)態(tài)輸出。反饋控制系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)及其頻率特性函數(shù)為反饋控制系統(tǒng)幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.1：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出y(t)為因此，(1)u(t)=sin(t+300)時(shí)，即有ω=1，∠u(t0)=300，|u(t)|=1(2)u(t)=2cos(2t-450)時(shí)，即有ω=2，∠u(t0)=-450，|u(t)|=2(3)u(t)=sin(t+300)-2cos(2t-450)時(shí)，5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)于正弦、余弦函數(shù)輸入u(t)，系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計(jì)算與表示

系統(tǒng)頻率特性函數(shù)是系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一種特殊形式。求取系統(tǒng)頻率特性函數(shù)主要是計(jì)算其幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)：(1)令s=jω，由系統(tǒng)傳遞函數(shù)直接求取例題5.2：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，計(jì)算其頻設(shè)s=jω，代入系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中，有率特性函數(shù)。幅頻特性函數(shù)相頻特性函數(shù)實(shí)頻函數(shù)虛頻函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.2系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的計(jì)算與表示5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗(yàn)方法求取

由于線性系統(tǒng)在正弦信號(hào)（諧波信號(hào)）輸入下，穩(wěn)態(tài)輸出仍為正弦信號(hào)（諧波信號(hào)），且信號(hào)頻率一致，只是信號(hào)幅值和相位有變化。因此，對(duì)于待求系統(tǒng)頻率特性的裝置，通過(guò)試驗(yàn)輸入幅值、相位和頻率已知的三角函數(shù)，測(cè)量其穩(wěn)態(tài)輸出（包括幅值、相位）；不斷的改變輸入信號(hào)的頻率，就會(huì)測(cè)量得到不同頻率下的穩(wěn)態(tài)輸出。ωω|G(jω)|φ(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)由試驗(yàn)方法求取ωω|G(jω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示頻域分析法實(shí)際上是基于頻率特性圖的一種圖形分析法。系統(tǒng)頻率特性圖主要有：極坐標(biāo)圖和對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖（Nyquist圖）

極坐標(biāo)圖是頻率變化（ω=0→∞）時(shí)，頻率特性函數(shù)的向量（或?qū)嵅俊⑻摬浚┰趶?fù)平面上描繪的圖形，即ReIm5.控制系統(tǒng)的頻域分析(3)頻率特性函數(shù)的圖形表示極坐標(biāo)圖

因此，對(duì)于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和相位（或?qū)嵅亢吞摬浚┰趶?fù)平面上逐點(diǎn)描繪就可繪出極坐標(biāo)圖。這項(xiàng)工作目前采用計(jì)算機(jī)輔助繪圖方法很容易實(shí)現(xiàn)。極坐標(biāo)圖的規(guī)律是：5.控制系統(tǒng)的頻域分析極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)（ω=0）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)中所含積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)有關(guān)

沒(méi)有積分環(huán)節(jié)時(shí)，其極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)位于復(fù)平面上的實(shí)軸上；有v(≠0)個(gè)積分環(huán)節(jié)時(shí)，極坐標(biāo)圖的起點(diǎn)位于-900v方位的無(wú)窮遠(yuǎn)。極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)（ω→∞）與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子多項(xiàng)式階數(shù)m和分母多項(xiàng)式階數(shù)n的差(n-m)有關(guān)(n-m)>0時(shí)，其極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)以-(n-m)900的方位置于復(fù)平面上的原點(diǎn)；(n-m)=0時(shí)，極坐標(biāo)圖的終點(diǎn)位于復(fù)平面上的實(shí)軸上。在中頻段的極坐標(biāo)圖與頻率特性函數(shù)的參數(shù)有關(guān)

這時(shí)與系統(tǒng)性能密切相關(guān)的部分，尤其是穿越實(shí)軸部分應(yīng)該準(zhǔn)確繪制。因此，對(duì)于不同的頻率ω，依據(jù)系統(tǒng)頻率特性函數(shù)的幅值和5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.3：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.4：繪制系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖，已知5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是以頻率為橫坐標(biāo)軸，幅頻函數(shù)、相頻函數(shù)分別為縱座標(biāo)軸的二個(gè)圖形，且頻率橫坐標(biāo)軸按自然對(duì)數(shù)分度，幅頻函數(shù)的縱坐標(biāo)軸按分貝數(shù)分度，相頻函數(shù)的縱座標(biāo)軸按角度或弧度分度。ω0102050100ω0.10.20.51.01001020502.05.0lgω橫坐標(biāo)的分度說(shuō)明幅頻特性的分貝表示對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖對(duì)數(shù)幅頻特性圖對(duì)數(shù)相頻特性圖decdec5.控制系統(tǒng)的頻域分析對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖（Bode圖）對(duì)數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.控制系統(tǒng)的頻域分析①計(jì)算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計(jì)算對(duì)數(shù)幅頻特性函數(shù)和對(duì)數(shù)相頻特性函數(shù)例題5.5：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為5.5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)ω

ω

0

Tω<<1時(shí)，1/T1/TTω=1時(shí)，0

-450

-900

Tω>>1時(shí)，-20dB/dec-3轉(zhuǎn)折頻率轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為①計(jì)算系統(tǒng)的幅頻特性函數(shù)和相頻特性函數(shù)②計(jì)算對(duì)數(shù)幅頻特性函數(shù)和對(duì)數(shù)相頻特性函數(shù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.6：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖L(ω)φ(ω)

ω

ω

0

ω<<1時(shí)，1/T

900

00

-900

ω>>1時(shí)，-20dB/dec1

1/τ-20dB/dec0dB/dec20

轉(zhuǎn)折頻率非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)5.控制系統(tǒng)的頻域分析③繪制對(duì)數(shù)幅頻特性圖和對(duì)數(shù)相頻特性圖5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：將傳遞函數(shù)化為以時(shí)間常數(shù)表示的典型環(huán)節(jié)相乘的形式對(duì)數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律對(duì)各典型環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)求倒數(shù)，得到轉(zhuǎn)折頻率ωi=1/Ti(ωi=1/τi)。并將轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注到橫坐標(biāo)軸上確定ω=1，L(ω)=20lgK的點(diǎn)，即過(guò)點(diǎn)（1，20lgK）畫(huà)斜率為-20v(dB/dec)的直線，并沿頻率軸方向每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，就在該轉(zhuǎn)折頻率處按±20k(dB/dec)改變直線斜率。k為轉(zhuǎn)折頻率所對(duì)應(yīng)典型環(huán)節(jié)的階數(shù)；“+”對(duì)應(yīng)分子多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)折頻率，“-”對(duì)應(yīng)分母多項(xiàng)式的轉(zhuǎn)折頻率5.控制系統(tǒng)的頻域分析控制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)頻率特性圖的繪制規(guī)律：5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對(duì)數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個(gè)以斜率為±20k(dB/dec)的對(duì)數(shù)幅頻直線段內(nèi)，相應(yīng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖的相頻漸近線斜率為±900k的直線計(jì)算各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位數(shù)值，并用光滑曲線逼近漸近線。最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖的繪制規(guī)律應(yīng)當(dāng)指出：不論是最小相位系統(tǒng)，還是非最小相位系統(tǒng)，其對(duì)數(shù)幅頻特性圖的漸近線圖繪制都一樣最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖的漸近線與對(duì)數(shù)幅頻特性圖有對(duì)應(yīng)關(guān)系；非最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)相頻特性圖需描點(diǎn)繪制系統(tǒng)的頻率特性圖沒(méi)必要在每個(gè)頻段上都精確繪制，尤其是高頻段圖形可以大致繪出5.控制系統(tǒng)的頻域分析以直線型對(duì)數(shù)幅頻特性圖為依據(jù)，在每個(gè)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為將已知傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)化為時(shí)間常數(shù)的形式計(jì)算各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率：ω1=1/2.5=0.4，ω2=1/0.5=2，ω3=1/0.1=10，ω4=1/0.05=20。將這些轉(zhuǎn)折頻率標(biāo)注在對(duì)數(shù)（幅/相）頻率特性圖的橫坐標(biāo)上傳遞函數(shù)中有一個(gè)積分環(huán)節(jié)，則在對(duì)數(shù)幅頻圖中，過(guò)點(diǎn)ω=1,L(ω)=20lg25=28dB，即過(guò)（1，28）點(diǎn)畫(huà)一條斜率為-20(dB/dec)的直線，該直線沿頻率軸方向延伸首先遇到ω1，它對(duì)應(yīng)一階慣性環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω1處變化-20(dB/dec)成斜率為-40(dB/dec)的直線，繼續(xù)沿頻率軸方向延伸又遇到ω2，它對(duì)應(yīng)一階微分環(huán)節(jié)，則直線的斜率在ω2處變化20(dB/dec)成斜率為-20(dB/dec)的直線，直至繪制到ω4以后5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.7：繪制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖，已5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)、(ω2，ω3)、(ω3，ω4)、(ω4，∞）上，對(duì)數(shù)幅頻圖的漸近線斜率分別為-20、-40、-20、-40、-60（dB/dec）。則其相頻圖在這些頻率段內(nèi)的漸近線分別是-900、-1800、-900、-1800、-2700。（最小相位系統(tǒng)）計(jì)算系統(tǒng)在各轉(zhuǎn)折頻率處的準(zhǔn)確相位角ω11ω2ω3ω4ω28L(ω)-60(dB/dec)-20(dB/dec)-40(dB/dec)-40(dB/dec)-20(dB/dec)ω1ω2ω3ω4ω-900-1800-2700φ(ω)5.控制系統(tǒng)的頻域分析在頻率段(0，ω1)、(ω1，ω2)5.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅頻特性圖，繪出它的相頻特性圖，并求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)ωL(ω)501000-20dB/dec-40dB/decωφ(ω)1000-900-18005.控制系統(tǒng)的頻域分析例題5.8：已知最小相位系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)

這是根據(jù)系統(tǒng)頻率特性圖（極坐標(biāo)圖、對(duì)數(shù)圖）來(lái)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的判據(jù)，也稱為奈奎斯特(Nyquist)判據(jù)。(1)幅角原理設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為（zi、pj是系統(tǒng)的零點(diǎn)、極點(diǎn)）zizipjpjσjωs平面zizipjpjReImG(s)平面奈氏圍線極坐標(biāo)曲線5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.3系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域判據(jù)5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(s)的任一極點(diǎn)、零點(diǎn)的封閉奈氏圍線內(nèi)部含有G(s)的極點(diǎn)數(shù)和零點(diǎn)數(shù)分別為Np、Nz，則其極坐標(biāo)曲線在G(s)平面上也是一條封閉曲線，且內(nèi)部包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圈數(shù)N為

N=Nz-NpN>0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的方向與奈氏圍線包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)的方向一致；N<0，表明極坐標(biāo)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的方向與奈氏圍線包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)的方向相反；N=0，表明極坐標(biāo)曲線不包圍坐標(biāo)原點(diǎn)。注意：封閉曲線順時(shí)針包圍極點(diǎn)、零點(diǎn)（或原點(diǎn)）是指按順時(shí)針?lè)较蜓厍€行進(jìn)一周時(shí)，所包圍的極點(diǎn)、零點(diǎn)（或原點(diǎn)）總處于行進(jìn)中的右側(cè)。一般規(guī)定順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榉忾]曲線的正方向。5.控制系統(tǒng)的頻域分析幅角原理：設(shè)s平面上的一條不穿越G(5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為表明：F(s)的分子多項(xiàng)式是系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式，分母多項(xiàng)式是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式。亦即F(s)的零點(diǎn)是系統(tǒng)的特征根，F(xiàn)(s)的極點(diǎn)是系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。為此，取s平面上奈氏圍線由整個(gè)虛軸和半徑無(wú)窮大的包圍整個(gè)虛軸右邊的半圓弧組成（若F(s)在虛軸上有極點(diǎn)和零點(diǎn)，則奈氏圍線從其右側(cè)以半徑為無(wú)窮小的圓弧繞過(guò)）。從而可獲得F(s)平面上包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的封閉曲線，且滿足：N=Nz-Np。（Nz、Np是奈氏圍線按正方向包圍的F(s)的零點(diǎn)數(shù)和極點(diǎn)數(shù)）5.控制系統(tǒng)的頻域分析(2)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)對(duì)于控制系統(tǒng)的5.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+ω=∞|s|→∞-1ReIm-1ReIm

對(duì)于F(s)，一般分母多項(xiàng)式階數(shù)大于分子多項(xiàng)式階數(shù)，因此奈氏圍線的|s|→∞部分對(duì)應(yīng)F(s)平面的原點(diǎn)（若分子與分母的階數(shù)相等，則奈氏圍線的|s|→∞部分對(duì)應(yīng)F(s)平面的某點(diǎn)），表明選取的奈氏圍線主要是考察ω=-∞→∞部分對(duì)應(yīng)的F(s)的包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的圍線部分。判別F(s)曲線包圍坐標(biāo)原點(diǎn)的情況與判別G(s)H(s)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的情況是一致的。005.控制系統(tǒng)的頻域分析σjω-jωω=-∞ω=0-ω=0+5.控制系統(tǒng)的頻域分析

下面分析所選取奈氏圍線(即虛軸和包含虛軸右邊的半徑無(wú)窮大半圓弧)經(jīng)過(guò)G(s)H(s)映射的G(s)H(s)的極坐標(biāo)曲線的情況：奈氏圍線的虛軸部分映射情況：此時(shí)s=jω，且ω=-∞→∞，對(duì)應(yīng)的是G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)曲線。由于G(-jω)H(-jω)與G(jω)H(jω)共軛，即G(jω)H(jω)關(guān)于ω=-∞→0和ω=0→∞的極坐標(biāo)曲線對(duì)稱于實(shí)軸。從而只需繪制ω=0→∞的G(jω)H(jω)的極坐標(biāo)圖，按對(duì)稱原理就可繪出ω=-∞→0對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)曲線包含虛軸右邊半徑無(wú)窮大圓弧的映射情況：此時(shí)s→∞,由于G(s)H(s)

的分子多項(xiàng)式階數(shù)m是小于或等于分母多項(xiàng)式階數(shù)n，因此包含虛軸右邊半徑無(wú)窮大圓弧的映射是G(s)H(s)平面上的一點(diǎn)（m<n時(shí)是坐標(biāo)原點(diǎn)）當(dāng)G(s)H(s)在虛軸上有極點(diǎn)（一般為積分環(huán)節(jié)的極點(diǎn)）時(shí)，奈氏圍線就從其右邊以半徑無(wú)窮小的圓弧繞過(guò)。這段從ω=0-→0+的半徑無(wú)窮小圓弧映射到G(s)H(s)平面上就是相角變化1800v（v是G(s)H(s)中積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)）半徑無(wú)窮大的弧線5.控制系統(tǒng)的頻域分析下面分析所選取奈氏圍5.控制系統(tǒng)的頻域分析

至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)其開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的極坐標(biāo)曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)的情況來(lái)判斷：奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)H(s)在s平面右半部分具有Np個(gè)極點(diǎn)，且在ω=-∞→∞范圍內(nèi)的極坐標(biāo)曲線圍繞(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=-Np。則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。Reω=0+ω=0-ω=+∞ω=-∞-1Im-1-Kω=0+ω=0-ReImω=+∞ω=-∞穩(wěn)定K>1時(shí)穩(wěn)定5.控制系統(tǒng)的頻域分析至此，控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性可以通過(guò)其5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不穩(wěn)定ReImReImReImL(ω)φ(ω)ωω0-18001-1——穿越頻率(截止頻率)——相位相交頻率基于Bode圖的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)：若G(s)H(s)在s平面右半部分有Np個(gè)極點(diǎn)，在對(duì)數(shù)幅頻特性L(ω)>0的頻率范圍內(nèi)，其相頻特性曲線φ(ω)穿越-1800相位線的總次數(shù)的2倍為N，且滿足N=-Np，則閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。負(fù)穿越有關(guān)系：5.控制系統(tǒng)的頻域分析ω=∞ω=0+ω=-∞ω=0--1不5.控制系統(tǒng)的頻域分析5.4控制系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性(1)相對(duì)穩(wěn)定性的概念

相對(duì)穩(wěn)定性是指穩(wěn)定系統(tǒng)的穩(wěn)定狀態(tài)距離不穩(wěn)定（或臨界穩(wěn)定）狀態(tài)的程度。一般用“穩(wěn)定裕量”指標(biāo)評(píng)價(jià)。相位裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在穿越頻率處的相位角與-1800的差γ>0，表明系統(tǒng)是穩(wěn)定的，其大小表示穩(wěn)定的程度；γ<0，表明系統(tǒng)不穩(wěn)定；γ=0，表明系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定。增益裕量：閉環(huán)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)在相位相交