2021-2022學(xué)年浙江省“9 1”高中聯(lián)盟高一年級(jí)下冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年浙江省“9+1”高中聯(lián)盟高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)滿足，i是虛數(shù)單位，則是（

）A． B． C． D．C【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則直接計(jì)算.【詳解】.故選：C.2．已知為不共線的兩個(gè)單位向量，若與平行，則的值為（

）A． B． C． D．B【分析】根據(jù)平面向量共線定理可得存在唯一實(shí)數(shù)，使得，列出方程組，解之即可得解.【詳解】解：因?yàn)榕c平行，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，又為不共線，所以，解得.故選：B.3．已知的面積為，下圖是的直觀圖，已知，，過(guò)作軸于，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)三角形直觀圖面積和原圖面積之間的關(guān)系，結(jié)合題意，即可容易求得.【詳解】設(shè)三角形直觀圖的面積為，顯然，又，解得.故選：4．如圖是某廠生產(chǎn)的一批不倒翁型臺(tái)燈外形，它由一個(gè)圓錐和一個(gè)半球組合而成.其中，圓錐的底面和球的直徑都是0.6m，圓錐的高是0.4m.要對(duì)這個(gè)臺(tái)燈表面涂一層膠，如果每平方米需要涂膠200克，則共需膠（

）克.A． B． C． D．B【分析】求出圓錐的側(cè)面積和半球面的表面積后，然后乘以200即可．【詳解】由題意圓錐的母線長(zhǎng)為，所以臺(tái)燈表面積為，需膠重量為（克）．故選：B．5．已知是的外心，且滿足，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．C【分析】由知，為直角三角形；根據(jù)在上的投影向量為計(jì)算.【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以外心與中點(diǎn)重合，故為直角三角形.設(shè)，則，，，設(shè)為方向上的單位向量，則在上的投影向量為.故選：C.6．若，則=（

）A． B． C． D．D【分析】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，結(jié)合正弦的二倍角公式，帶值計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.7．在△中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，則等于（

）A．1 B． C．3 D．A【分析】根據(jù)正弦定理，結(jié)合已知條件，即可容易求得結(jié)果.【詳解】在三角形中，由正弦定理可得.故選：A.8．在平面四邊形中，，，.若點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．B【分析】取中點(diǎn)為，結(jié)合極化恒等式以及余弦定理，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，連接，取中點(diǎn)為，作圖如下：，在三角形中，由余弦定理可得：，即，則，故，顯然當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值，故，的最小值為.即的最小值為.故選：二、多選題9．函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)，且為該圖像最高點(diǎn)，則（

）A．B．的一個(gè)對(duì)稱中心為C．函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位可得圖象D．是函數(shù)的一條對(duì)稱軸AB【分析】利用待定系數(shù)法分別求出，注意，從而可求出函數(shù)的解析式，再利用代入檢驗(yàn)法結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性即可判斷BD；根據(jù)平移變換的原則即可判斷C.【詳解】解：因?yàn)闉樵搱D像最高點(diǎn)，所以，又函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，則，又，所以，則，則，所以，由圖可知，所以，所以，所以，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以的一個(gè)對(duì)稱中心為，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)圖像向右平移個(gè)單位可得圖象，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，不是最值，所以不是函數(shù)的一條對(duì)稱軸，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別是，，，則下列正確的是（

）A．若，則有二解B．若有解，則的范圍為C．若，，則的長(zhǎng)度為D．若是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，那么的取值范圍BCD【分析】對(duì)選項(xiàng)A與B：可用余弦定理轉(zhuǎn)化為二次方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題;對(duì)選項(xiàng)C與D：可用，分別表示，，，長(zhǎng)度問(wèn)題轉(zhuǎn)化向量模長(zhǎng)解決.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：在中，由余弦定理可知，，即，整理可得:，即，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)B：在中，由余弦定理可知，，設(shè)，即，整理可得:，因?yàn)橛薪?，方程需有正解，所以且，解得，即，因?yàn)?，則，故選項(xiàng)B正確；對(duì)選項(xiàng)C.因?yàn)?，所以所以，所以，所以選項(xiàng)C正確.對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，設(shè)，因?yàn)椋?，則，因?yàn)楹瘮?shù)是增函數(shù)，所以，故選項(xiàng)D是正確的.故選：BCD.11．設(shè)均為單位向量，對(duì)任意的實(shí)數(shù)有恒成立，則（

）A．與的夾角為 B．C．的最小值為 D．的最小值為BD【分析】根據(jù)已知條件求得的夾角以及數(shù)量積，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)：設(shè)的夾角為，，兩邊平方可得：，即對(duì)任意的恒成立，故可得：，即，則，又，故，故錯(cuò)誤；對(duì)：，故正確；對(duì)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故錯(cuò)誤；對(duì)：，對(duì)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值，故的最小值為，故正確.故選.12．已知正方體的棱長(zhǎng)為，分別為棱的中點(diǎn)，點(diǎn)為內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．對(duì)于任意點(diǎn)，直線與直線為異面直線B．線段長(zhǎng)的最小值為C．三棱錐的體積為定值D．三棱錐外接球的表面積最大值為ACD【分析】結(jié)合圖象可判斷A；取的中點(diǎn)，連接，計(jì)算可判斷B；連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，由正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，由此可判斷CD【詳解】對(duì)于A：由圖象易知四點(diǎn)不可能共面，所以直線與直線為異面直線是異面直線，故A正確；對(duì)于B：取的中點(diǎn)，連接，則易知，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：連接，因?yàn)榉謩e為棱的中點(diǎn)，由正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面垂直的判定定理，可得平面，且平面，平面平面，且與和的交點(diǎn)分別為，且分別為和的中心，為內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)到平面的距離為，又因?yàn)榈拿娣e與都為定值，所以三棱錐的體積為定值，故C正確；對(duì)于D：又C可知三棱錐外接球的球心必在上，其中的外接圓為球的一個(gè)小圓，且為定圓，當(dāng)過(guò)點(diǎn)的球與所在平切于中心時(shí)，此時(shí)球的半徑最小，根據(jù)運(yùn)動(dòng)的思想，可得當(dāng)點(diǎn)與或或重合時(shí)，此時(shí)外接球的半徑最大，設(shè)此時(shí)外接球的半徑為，由正方體的棱長(zhǎng)為1，可得，連接，在等邊中，由，可得，在等邊中，由，可得，則，設(shè)，則，在直角三角形中，有，在直角三角形中，有，所以，解得，所以，所以最大外接球的表面積為，故D正確；故選：ACD三、填空題13．關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個(gè)虛根為，i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)______.5【分析】將虛根代入方程，根據(jù)復(fù)數(shù)相等列出等量關(guān)系，即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可得：，即，故，且，解得.故答案為.14．魯洛克斯三角形是一種特殊的三角形，指分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以其邊長(zhǎng)為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形.它的特點(diǎn)是：在任何方向上都有相同的寬度，機(jī)械加工業(yè)上利用這個(gè)性質(zhì)，把鉆頭的橫截面做成魯洛克斯三角形的形狀，就能在零件上鉆出正方形的孔來(lái).如圖，已知某魯洛克斯三角形的一段弧的長(zhǎng)度為，則該魯洛克斯三角形的面積為_(kāi)_____.【分析】由弧長(zhǎng)公式可求得等邊的邊長(zhǎng)，再根據(jù)該魯洛克斯三角形的面積等于三個(gè)扇形的面積減去2個(gè)的面積，結(jié)合扇形和三角形的面積公式即可得解.【詳解】解：由題意可知，設(shè)，則弧的長(zhǎng)度為，所以，設(shè)弧所對(duì)的扇形的面積為，，則該魯洛克斯三角形的面積為.故答案為.15．已知一個(gè)健身球放在房屋的墻角處，緊靠墻面和地面，即健身球與圍成墻角的三個(gè)兩兩互相垂直的面都相切，若球的體積是，則墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最近距離為_(kāi)_____.【分析】根據(jù)球體的體積公式，結(jié)合題意，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：設(shè)墻角頂點(diǎn)為，球心為，該球與墻面的切點(diǎn)分別為，設(shè)球體的半徑為，因?yàn)槠潴w積為，則，解得，又因?yàn)?，解得，墻角頂點(diǎn)到球面的點(diǎn)的最近距離為.故答案為.16．已知非零平面向量，，滿足，且，若與的夾角為，且，則的最大值是______.【分析】根據(jù)題意做出幾何圖形，結(jié)合平面向量的基本知識(shí)以及正弦定理，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】根據(jù)題意，作圖如下：令，根據(jù)題意可得：，且，取中點(diǎn)為，故，點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)；顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，即；不妨設(shè)三角形的外接圓圓心為，顯然，在三角形中，由正弦定理可得：，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得，同時(shí)；顯然當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值，此時(shí)故，當(dāng)且僅當(dāng)，且四點(diǎn)共線時(shí)取得.故答案為.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：?jiǎn)栴}的關(guān)鍵點(diǎn)是能夠充分的進(jìn)行數(shù)形結(jié)合結(jié)合圓的知識(shí)求解.四、解答題17．如圖，在五棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，，，AE⊥AB，，AA1=3，過(guò)點(diǎn)作截面AB1D1E.(1)求直三棱柱的表面積；(2)求多面體的體積.(1)(2)12【分析】（1）根據(jù)多面體的表面積公式計(jì)算即可；（2）分別求出直三棱柱的體積和直五棱柱的體積，然后相減即可得解.【詳解】（1）解：由題意得：，直三棱柱的表面積為；（2）解：直三棱柱的體積為，如圖，在五邊形中，連接，因?yàn)?，且，AE⊥AB，所以四邊形為矩形，則，所以在中，邊上的高為，所以五邊形的面積為，直五棱柱的體積為，所以多面體的體積為.18．已知函數(shù)(1)求的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，，求.(1)最小正周期為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）先化簡(jiǎn)，再由周期公式可得周期，由可解得遞增區(qū)間；（2）由可得，進(jìn)而得，則，即可求解【詳解】（1）因?yàn)?，所以的最小正周期為，由，得；所以單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）因?yàn)?，所以，即，又，則，又，則，那么，從而.19．在△中，內(nèi)角對(duì)應(yīng)的邊分別為，請(qǐng)?jiān)冖?；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，完成下列問(wèn)題：(1)求角的大小；(2)已知，，設(shè)為邊上一點(diǎn)，且為角的平分線，求△的面積.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正余弦定理，結(jié)合不同的選擇，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，即可求得結(jié)果；（2）根據(jù)余弦定理求得，結(jié)合三角形面積公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）選①，因?yàn)椋?，得，即，由正弦定理得：，因?yàn)?，所?)，所以．選②，因?yàn)?，所以?)得，即，，所以()，所以．選③，因?yàn)?，所以，，，，，，即，因?yàn)?，所以，所以．?）在△中，由余弦定理，則，那么；由角平分線定理,則,那么.20．已知向量，，，，.若與垂直.(1)求的值及與之間的夾角；(2)設(shè)，求的取值范圍.(1)，(2)【分析】（1）由與垂直，可得，即可求出的值；設(shè)與之間的夾角為，先求出的坐標(biāo)，再代入，即可得出答案；（2）將坐標(biāo)代入，可表示出，再代入化簡(jiǎn)結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.【詳解】（1）由化簡(jiǎn)得：，因?yàn)椋?，所以，，則，則因?yàn)?，解得，因?yàn)?，則；設(shè)與之間的夾角為則，因?yàn)?，?（2）由得：，即，，.則，所以.21．如圖，在點(diǎn)處有一座燈塔，是一條直的海岸線，已知，，從燈塔處射出的燈光照到線段上的線段，、是線段（含端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，在轉(zhuǎn)動(dòng)燈光的過(guò)程中，始終保持不變.(1)當(dāng)時(shí)，求被燈光照到的區(qū)域的面積；(2)求海岸線上被照到的線段長(zhǎng)的最小值.(1)(2)【分析】（1）分別利用正弦定理求得，再根據(jù)三角形得面積公式即可得解；（2）設(shè)A到EF的距離為，根據(jù)可求得，從而可得EF的最小值即為面積的最小值，設(shè)，，分別利用正弦定理求得，再根據(jù)三角形得面積公式結(jié)合三角恒等變換求得面積的最小值，從而可得出答案.【詳解】（1）解：在中，，由正弦定理，得，所以，在中，，由正弦定理，得，所以，所以；（2）解：設(shè)A到EF的距離為，由，得，所以EF的最小值即為面積的最小值，設(shè)，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取“”，當(dāng)面積最小時(shí)，由，得，所以線段的最小值為.22．在△中，已知，，，設(shè)點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，點(diǎn)為線段延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且.(1)當(dāng)且是邊上的中點(diǎn)時(shí)，設(shè)與交于點(diǎn)，求線段的長(zhǎng)；(2)若，求的最小值.(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)是三角形的重心，結(jié)合三角形重