《工程數(shù)學(xué)基礎(chǔ)（第2版）》第5章常微分方程與拉普拉斯變換

第5章常微分方程與拉普拉斯變換

5.1微分方程的基本概念5.2一階微分方程

5.3可降階的高階微分方程5.4

二階常系數(shù)線性微分方程

5.5微分方程的應(yīng)用5.6

拉普拉斯變換的基本概念5.7拉普拉斯變換的性質(zhì)

5.8拉普拉斯變換的逆變換5.9拉普拉斯變換的簡單應(yīng)用

5.1微分方程的基本概念

例1已知曲線通過點（2，6），且該曲線任意點M(x,y)處的切線的斜率等于，求此曲線方程

例2一質(zhì)量為m的質(zhì)點，從高h(yuǎn)處，只受重力作用從靜止?fàn)顟B(tài)自由下落，試求其運動方程.先看兩個引例相關(guān)概念:

常微分方程微分方程的階通解、特解積分曲線族例3

驗證函數(shù)xC1cosktC2sinkt是微分方程的通解并求滿足初始條件的特解

返回5.2一階微分方程

解法——分離變量法：

第一步：分離變量第二步：兩端積分5.2.1可分離變量的微分方程

例1

求微分方程滿足條件的特解

例2

求方程的通解

5.2.2齊次方程解法——變量代換法：

第一步：方程變形第二步：分離變量第三步：兩端積分第四步：回代求解例3

求微分方程滿足的特解.

例4求微分方程的通解.5.2.3一階線性微分方程分類：

一階線性非齊次微分方程——

一階線性齊次微分方程———

（一）一階線性齊次微分方程的解法——分離變量法其通解為（二）一階線性非齊次微分方程的解法——常數(shù)變易法非齊次方程（1-4）的通解為

或

例5

求方程

的通解例6求微分方程滿足條件的特解.返回5.3可降階的高階微分方程

二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程.把高階方程降階為階數(shù)較低的方程求解，是求解高階微分方程的常用技巧之一.5.3.1y(n)f(x)型的微分方程

解法——直接降階法例1

求微分方程ye2x-cosx

的通解

5.3.2缺項型二階微分方程

型的微分方程型的微分方程解法——變量代換法第一步：變量代換第二步：方程變形第三步：回代求解設(shè)

,

例2

求微分方程滿足初始條件的特解

例3求微分方程的通解

例4

求微分方程滿足初始條件的特解

返回5.4

二階常系數(shù)線性微分方程

分類：

二階常系數(shù)線性非齊次微分方程——

二階常系數(shù)線性齊次微分方程———

5.4.1二階常系數(shù)線性齊次微分方程的解法——特征根法一對共軛復(fù)數(shù)根兩個相等的實特征根兩個不等的實特征根齊次方程的通解形式特征根的情況例1求微分方程的滿足初始條件的特解.

例2求微分方程的通解.

例3求微分方程的通解.

5.4.2二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法

——

特解公式法或待定公式法二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的通解結(jié)構(gòu)為其中y是通解，Y是對應(yīng)齊次微分方程的通解，y*是該方程的特解（一）特解公式法（二）待定系數(shù)法1.型其中為n次待定多項式，即而k的取法如下：

特解為2.型此時方程為其中A,B為待定系數(shù)，而k的取法如下：

其中均為常數(shù)特解為例5

求微分方程的通解.例4求微分方程的一個特解.

例6

求微分方程的一個特解.例7求微分方程滿足的特解.返回應(yīng)用微分方程解決實際問題通常按照下列步驟進(jìn)行：（1）建立模型：分析實際問題，建立微分方程，確定初始條件；（2）求解方程：求出所列微分方程的通解，并根據(jù)初始條件確定出符合實際情況的特解；（3）解釋問題：從微分方程的解，解釋、分析實際問題，預(yù)測變化趨勢.例1

設(shè)RC電路如圖5-3所示，其中電阻R和電容C均為正常數(shù)，電源電壓為E.如果開關(guān)K閉合（t=0）時，電容兩端的電壓求開關(guān)合上后電壓隨時間t

的變化規(guī)律.例2離地面10m高度的釘子上懸掛著一鏈條，鏈條開始滑落時一端距離釘子4m，另一端距離釘子5m，若不計釘子與鏈條間的摩擦力，試求整條鏈子滑下釘子所用的時間.

例3

質(zhì)量為m的重物掛在彈簧下端，使彈簧有一定的伸長而達(dá)到平衡.現(xiàn)再把重物拉下x0個長度單位后放手，如果不計重物與滑道之間的摩擦力，求在彈簧彈力作用下重物在滑道內(nèi)的位移規(guī)律.5.5微分方程的應(yīng)用返回5.6

拉普拉斯變換的基本概念定義2

設(shè)函數(shù)的定義域為，若廣義積分

在p的某一范圍內(nèi)收斂，則此積分就確定了一個參數(shù)為p的函數(shù)，記作，即

函數(shù)叫做的拉普拉斯（Laplace）變換，簡稱拉氏變換（或叫做的像函數(shù)），用記號表示，即

如果是的拉氏變換，那么把叫做的拉氏逆變換（或的像原函數(shù)），記作即

.例1

求指數(shù)函數(shù)的拉氏變換.例2

求一次函數(shù)，a是常數(shù)）的拉氏變換.例3

求單位階梯函數(shù)u(t)的拉氏變換.例4求狄拉克函數(shù)的拉氏變換.例5

求下列函數(shù)的拉氏變換返回5.7拉普拉斯變換的性質(zhì)

性質(zhì)1（線性性質(zhì)）如果是任意常數(shù)，且設(shè)則.性質(zhì)2（平移性質(zhì)）如果，那么.性質(zhì)3（延滯性質(zhì)）如果，那么.

性質(zhì)4（微分性質(zhì)）如果上連續(xù)可微，那么性質(zhì)5（積分性質(zhì)）如果是連續(xù)函數(shù)且可積，那么

性質(zhì)6（相似性質(zhì)）如果那么當(dāng)a>0時，有性質(zhì)7

如果，那么.

且性質(zhì)8如果存在，那么

例1求函數(shù)的拉氏變換.例2求例3

求：

（a>0）;例4*求.

例5

利用微分性質(zhì)求.

例6利用積分性質(zhì)求

例7

求

例8求例9

求返回5.8拉普拉斯變換的逆變換5.8.1直接公式法1.利用拉氏變換表求拉氏變換的逆變換性質(zhì)3（延滯性質(zhì)）

性質(zhì)1（線性性質(zhì)) 性質(zhì)2（平移性質(zhì)） 2.利用拉氏變換的性質(zhì)求拉氏變換的逆變換.例1

求下列函數(shù)的拉氏逆變換：例2求下列函數(shù)的拉氏逆變換：5.8.2部分分式法有理函數(shù)R(x)是指兩個多項式的商，即一般可拆分為整式和真分式之和．例3

將分解為部分分式.例4將(1)分解為部分分式.

例５求下列函數(shù)的拉氏逆變換：

返回5.9拉普拉斯變換的簡單應(yīng)用5.9.1利用拉氏變換解線性微分方程方法及步驟如下：(1)