2020高中數(shù)學(xué) 第2章 統(tǒng)計(jì) 2.2.1 用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE16-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1。會(huì)用頻率分布表，畫頻率分布直方圖表示樣本數(shù)據(jù)．(難點(diǎn))2．能通過(guò)頻率分布表和頻率分布直方圖對(duì)數(shù)據(jù)做出總體統(tǒng)計(jì)．(重點(diǎn))3．理解莖葉圖的概念，會(huì)畫莖葉圖．（重點(diǎn)）1。通過(guò)頻率分布直方圖和莖葉圖的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2．借助圖表中的數(shù)據(jù)運(yùn)算,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).1．頻率分布直方圖的畫法2．頻率分布折線圖和總體密度曲線（1）頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各小長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)，就得到了頻率分布折線圖．(2)總體密度曲線：隨著樣本容量的增加，作圖時(shí)所分的組數(shù)也在增加，組距減小,相應(yīng)的頻率分布折線圖就會(huì)越來(lái)越接近于一條光滑曲線，統(tǒng)計(jì)中稱之為總體密度曲線，它反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比．3．莖葉圖（1）莖葉圖的制作方法（以兩位數(shù)據(jù)為例):將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖，個(gè)位數(shù)字作為葉，莖相同者共用一個(gè)莖,莖按從小到大的順序從上向下列出．（2)莖葉圖的優(yōu)缺點(diǎn)在樣本數(shù)據(jù)較少時(shí)，用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好．它不但可以保留所有信息,而且可以隨時(shí)記錄，這對(duì)數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來(lái)方便．但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時(shí)，莖葉圖就顯得不太方便，因?yàn)槊恳粋€(gè)數(shù)據(jù)都要在圖中占據(jù)一個(gè)空間,如果數(shù)據(jù)很多，莖葉就會(huì)很長(zhǎng)．思考:通過(guò)抽樣獲取的原始數(shù)據(jù)有何缺點(diǎn)？［提示]因?yàn)橥ㄟ^(guò)抽樣獲得的原始數(shù)據(jù)多而且雜亂，無(wú)法直接從中理解它們的含義，并提取信息，也不便于我們用它來(lái)傳遞信息．1．下列關(guān)于莖葉圖的敘述正確的是(）A．將數(shù)組的數(shù)按位數(shù)進(jìn)行比較,將數(shù)大小基本不變或變化不大的位作為一個(gè)主桿（莖），將變化大的位的數(shù)作為分枝(葉），列在主桿的后面B．莖葉圖只可以分析單組數(shù)據(jù)，不能對(duì)兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行比較C．莖葉圖更不能表示三位數(shù)以上的數(shù)據(jù)D．畫圖時(shí)莖要按照從小到大的順序從下向上列出,共莖的葉可隨意同行列出A［由莖葉圖的概念可得．]2．一個(gè)容量為80的樣本中，數(shù)據(jù)的最大值為152，最小值為60，組距為10，應(yīng)將樣本數(shù)據(jù)分為(）A．10組 B．9組C．8組 D．7組A[由題意知，eq\f(152－60，10）＝9。2，故應(yīng)分成10組．］3．200輛汽車通過(guò)某一段公路時(shí)的時(shí)速的頻率分布直方圖如圖所示，時(shí)速在［50,60）內(nèi)的汽車有()A．30輛 B．40輛C．60輛 D．80輛C[由直方圖知,時(shí)速在[50，60)內(nèi)的頻率為0。03×10＝0。3，故此段內(nèi)汽車有200×0。3＝60輛．]4．如圖是一個(gè)班的語(yǔ)文成績(jī)的莖葉圖(單位：分），則優(yōu)秀率(90分以上）是________,最低分是________。5156034467889735556798023357914％51［由莖葉圖知，樣本容量為25,90分以上有1人，故優(yōu)秀率為eq\f(1，25）×100%＝4%，最低分為51分．］頻率分布直方圖的繪制[探究問(wèn)題]1．要做頻率分布表，需要對(duì)原始數(shù)據(jù)做哪些工作?[提示]分組、頻數(shù)累計(jì)、計(jì)算頻數(shù)和頻率．2．畫頻率分布直方圖時(shí)，如何決定組數(shù)與組距？[提示］若eq\f(極差,組距）為整數(shù)，則eq\f(極差,組距）＝組數(shù)．若eq\f（極差，組距)不為整數(shù)，則eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1（\f（極差,組距)）)＋1＝組數(shù)．注意:[x］表示不大于x的最大整數(shù)．3．同一組數(shù)據(jù)，如果組距不同，得到的頻率分布直方圖也會(huì)不同嗎？[提示］不同．對(duì)于同一組數(shù)據(jù)分析時(shí)，要選好組距和組數(shù),不同的組距與組數(shù)對(duì)結(jié)果有一定的影響．【例1】某中學(xué)從高一年級(jí)隨機(jī)抽取50名學(xué)生進(jìn)行智力測(cè)驗(yàn),其得分如下(單位：分)：4864528671486441867971688284686462688157905274735678476655645688694073976856675970527944556962583258根據(jù)上面的數(shù)據(jù)，回答下列問(wèn)題:（1）這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最高分和最低分分別是多少?（2）將區(qū)間[30,100］平均分成7個(gè)小區(qū)間，試列出這50名學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻率分布表，進(jìn)而畫出頻率分布直方圖；(3)分析頻率分布直方圖，你能得出什么結(jié)論？思路點(diǎn)撥：按畫頻率分布直方圖的步驟進(jìn)行繪制．[解］（1)這次測(cè)驗(yàn)成績(jī)的最低分是32分,最高分是97分．（2）根據(jù)題意，列出樣本的頻率分布表如下:分組頻數(shù)頻率[30,40）10.02[40,50)60。12[50，60）120。24[60，70)140。28［70，80)90。18［80，90)60.12［90,100]20。04合計(jì)501。00頻率分布直方圖如圖所示．（3)從頻率分布直方圖可以看出,這50名學(xué)生的智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)大體上呈兩頭小、中間大，左右基本對(duì)稱,說(shuō)明這50名學(xué)生中智力特別好或特別差的占極少數(shù)，而智力一般的占多數(shù)，這是一種最常見的分布．1．（變條件)美國(guó)歷屆總統(tǒng)中，就任時(shí)年紀(jì)最小的是羅斯福，他于1901年就任,當(dāng)時(shí)年僅42歲；就任時(shí)年紀(jì)最大的是里根，他于1981年就任，當(dāng)時(shí)69歲．下面按時(shí)間順序(從1789年的華盛頓到2009年的奧巴馬，共44任)給出了歷屆美國(guó)總統(tǒng)就任時(shí)的年齡:57,61，57，57，58，57，61,54，68,51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55,54，42,51,56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52,69，64，46，54，48將數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆纸M，并畫出相應(yīng)的頻率分布直方圖．［解]以4為組距，列表如下：頻率分布直方圖如下：2．（變結(jié)論)本例條件不變，若把所給數(shù)據(jù)去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后分成5組，試畫出這48名學(xué)生智力測(cè)驗(yàn)成績(jī)的頻率分布直方圖．［解]列出頻率分布表如下：頻率分布直方圖如下:繪制頻率分布直方圖應(yīng)注意的問(wèn)題（1)組數(shù)與樣本容量有關(guān),一般地,樣本容量越大，所分組數(shù)越多．當(dāng)樣本容量不超過(guò)100時(shí),按數(shù)據(jù)的多少，常分成5～12組．(2）在確定分組區(qū)間的端點(diǎn)，即分點(diǎn)時(shí)，應(yīng)對(duì)分點(diǎn)進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整,使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，并確保每個(gè)數(shù)據(jù)均能落在一個(gè)區(qū)間內(nèi),而不是處于區(qū)間的端點(diǎn)．（3)一般地，頻率分布直方圖中兩坐標(biāo)軸上的單位長(zhǎng)度是不一致的,縱軸是頻率/組距，而不是頻率．頻率分布直方圖的應(yīng)用【例2】如圖所示是總體的一個(gè)樣本頻率分布直方圖，且在[15，18）內(nèi)頻數(shù)為8.（1）求樣本在［15，18）內(nèi)的頻率；(2）求樣本容量;(3)若在［12，15)內(nèi)的小矩形面積為0。06，求在［18，33)內(nèi)的頻數(shù)．思路點(diǎn)撥：緊扣頻率分布直方圖的性質(zhì)，結(jié)合已知數(shù)據(jù)求解．[解]由樣本頻率分布直方圖可知組距為3.(1)由樣本頻率分布直方圖得樣本在[15，18）內(nèi)的頻率等于eq\f(4,75)×3＝eq\f(4，25)。(2)∵樣本在[15，18）內(nèi)頻數(shù)為8，由（1)可知，樣本容量為eq\f（8，\f（4,25))＝8×eq\f（25，4)＝50。（3）∵在[12，15)內(nèi)的小矩形面積為0.06，故樣本在[12，15）內(nèi)的頻率為0。06，故樣本在［15,33)內(nèi)的頻數(shù)為50×(1－0。06）＝47,又在[15，18）內(nèi)頻數(shù)為8，故在［18，33）內(nèi)的頻數(shù)為47－8＝39.頻率分布直方圖的性質(zhì)（1)因?yàn)樾【匦蔚拿娣e＝組距×eq\f（頻率,組距）＝頻率,所以各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率．這樣，頻率分布直方圖就以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各個(gè)小組內(nèi)的頻率大小．（2）在頻率分布直方圖中,各小矩形的面積之和等于1.（3）eq\f（頻數(shù)，相應(yīng)的頻率)＝樣本容量．1．從某小區(qū)抽取100戶居民進(jìn)行月用電量調(diào)查,發(fā)現(xiàn)其用電量都在50至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．（1)求直方圖中x的值；(2)在這些用戶中，求用電量落在區(qū)間［100,250）內(nèi)的戶數(shù)．[解](1)由頻率分布直方圖知［200，250）小組的頻率為1－（0。0024＋0。0036＋0.0060＋0。0024＋0.0012）×50＝0.22，于是x＝eq\f(0.22,50）＝0.0044。(2）∵數(shù)據(jù)落在[100，250）內(nèi)的頻率為(0.0036＋0.0060＋0。0044)×50＝0.7,∴所求戶數(shù)為0.7×100＝70.莖葉圖的繪制及應(yīng)用【例3】某中學(xué)高二（2)班甲、乙兩名學(xué)生自進(jìn)入高中以來(lái),每次數(shù)學(xué)考試成績(jī)情況如下：甲：95，81，75,91,86，89,71，65，76，88，94,110，107.乙：83,86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101。畫出兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖，并根據(jù)莖葉圖對(duì)兩人的成績(jī)進(jìn)行比較．思路點(diǎn)撥:題中可以用十位數(shù)字為莖,個(gè)位數(shù)字為葉作莖葉圖．然后由莖葉圖的特點(diǎn)分析兩人的成績(jī)．［解]甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績(jī)的莖葉圖如圖所示:從這個(gè)莖葉圖上可以看出，乙同學(xué)的得分情況是大致對(duì)稱的，中位數(shù)是98；甲同學(xué)的得分情況,也大致對(duì)稱,中位數(shù)是88。乙同學(xué)的成績(jī)比較穩(wěn)定，總體情況比甲同學(xué)好．繪制莖葉圖的注意點(diǎn)（1)繪制莖葉圖時(shí)需注意“葉"的位置的數(shù)字位數(shù)只有一位，而“莖”的位置的數(shù)字位數(shù)一般不需要統(tǒng)一．(2)莖葉圖可用于確定數(shù)據(jù)的中位數(shù),判斷數(shù)據(jù)大致集中在哪個(gè)莖，是否關(guān)于該莖對(duì)稱，是否分布均勻等．2．從甲、乙兩個(gè)班中各隨機(jī)選出15名同學(xué)進(jìn)行隨堂測(cè)驗(yàn)，成績(jī)的莖葉圖如圖所示,則甲、乙兩組的最高成績(jī)分別是________，________，從圖中看,________班的平均成績(jī)較高．9692乙［由莖葉圖知,甲班最高分是96分，乙班的最高分是92。甲班的成績(jī)集中在60~80間，乙班的成績(jī)集中在70～90間,故乙班的平均成績(jī)較高．]1．總體分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布．2．總體的分布分兩種情況：當(dāng)總體中的個(gè)體取值很少時(shí)，用莖葉圖估計(jì)總體的分布；當(dāng)總體中的個(gè)體取值較多時(shí)，將樣本數(shù)據(jù)恰當(dāng)分組，用各組的頻率分布描述總體的分布，方法是用頻率分布表或頻率分布直方圖.1．判斷下列結(jié)論的正誤（正確的打“√",錯(cuò)誤的打“×"）（1)用樣本的頻率分布可以估計(jì)總體分布． (）(2）頻率分布直方圖的縱軸表示頻率． （)（3）只有兩位的數(shù)據(jù)能用莖葉圖表示． （)[答案］(1）√(2)×（3)×2．觀察新生兒的體重，其頻率分布直方圖如圖所示，則新生兒體重在[2700,3000)內(nèi)的頻率為（）A．0。1B．0。2C．0.3D．0。4C［由圖可得，新生兒體重在[2700，3000）內(nèi)的頻率為0.001×300＝0.3。］3．如圖所示的莖葉圖表示的是一臺(tái)自動(dòng)售貨機(jī)的銷售情況,則莖葉圖中9表示的銷售額為(）eq\b\lc\（\a\vs4\al\co1（1，2\b\lc\｜（\a\vs4\al\co1(028,1349））））A．9B．49C．29D．1349C[觀察莖葉圖，分清楚莖和葉即可．分開莖、葉的豎線左側(cè)僅有一列，表示莖，右側(cè)有多列，表示