高一數(shù)學(xué)：《3-3 冪函數(shù)》名師優(yōu)質(zhì)課導(dǎo)學(xué)案

3．3冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的圖象與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．知識(shí)點(diǎn)二五個(gè)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)函數(shù)(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的圖象如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇單調(diào)性增在[0，＋∞)上增，在(－∞，0]上減增增在(0，＋∞)上減，在(－∞，0)上減知識(shí)點(diǎn)三一般冪函數(shù)的圖象特征1．所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)．2．當(dāng)α>0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)α>1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)0<α<1時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸．3．當(dāng)α<0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)．4．冪指數(shù)互為倒數(shù)的冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．5．在第一象限，作直線x＝a(a>1)，它同各冪函數(shù)圖象相交，按交點(diǎn)從下到上的順序，冪指數(shù)按從小到大的順序排列．預(yù)習(xí)小測(cè)自我檢驗(yàn)1．下列函數(shù)中不是冪函數(shù)的是________．①y＝x0； ②y＝x3；③y＝2x； ④y＝x－1.答案③2．設(shè)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α的值為_(kāi)_______．答案1,3解析當(dāng)冪函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，α＝－1,1,3，又函數(shù)的定義域?yàn)镽，所以α≠－1，所以α＝1,3.3．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，x2________x3.(填“>”“＝”或“<”)答案>4．已知冪函數(shù)f(x)＝xα圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(\r(2),2)))，則f(4)＝________.答案eq\f(1,2)一、冪函數(shù)的概念例1(1)下列函數(shù)：①y＝x3；②y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝ax(a>1)．其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4答案B解析冪函數(shù)有①⑥兩個(gè)．(2)已知是冪函數(shù)，求m，n的值．考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)由冪函數(shù)定義求參數(shù)值解由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判斷函數(shù)為冪函數(shù)的方法(1)自變量x前的系數(shù)為1.(2)底數(shù)為自變量x.(3)指數(shù)為常數(shù)．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過(guò)點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案C解析由冪函數(shù)的定義知k＝1.又feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，解得α＝eq\f(1,2)，從而k＋α＝eq\f(3,2).(2)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數(shù)，則a＋b等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．0答案A解析因?yàn)閒(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數(shù)，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.二、冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用例2(1)已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖象并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．解因?yàn)閒(x)＝xα的圖象過(guò)點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖象如圖所示，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)增區(qū)間為(－∞，0)．(2)下列關(guān)于函數(shù)y＝xα與y＝αxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α∈\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，2，3))))的圖象正確的是()答案C反思感悟(1)冪函數(shù)圖象的畫法①確定冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象：先根據(jù)α的取值，確定冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象．②確定冪函數(shù)在其他象限內(nèi)的圖象：根據(jù)冪函數(shù)的定義域及奇偶性確定冪函數(shù)f(x)在其他象限內(nèi)的圖象．(2)解決與冪函數(shù)有關(guān)的綜合性問(wèn)題的方法首先要考慮冪函數(shù)的概念，對(duì)于冪函數(shù)y＝xα(α∈R)，由于α的取值不同，所以相應(yīng)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性也不同．同時(shí)，注意分類討論思想的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練2(1)如圖所示，C1，C2，C3為冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象，則解析式中的指數(shù)α依次可以取()A.eq\f(4,3)，－2，eq\f(3,4)B．－2，eq\f(3,4)，eq\f(4,3)C．－2，eq\f(4,3)，eq\f(3,4)D.eq\f(3,4)，eq\f(4,3)，－2答案C(2)在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖象可能是()考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象題點(diǎn)冪函數(shù)有關(guān)的知圖選式問(wèn)題答案C解析選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則直線y＝ax－eq\f(1,a)應(yīng)為減函數(shù)，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，冪函數(shù)的指數(shù)a>1，則直線y＝ax－eq\f(1,a)應(yīng)為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則－eq\f(1,a)>0，直線y＝ax－eq\f(1,a)在y軸上的截距為正，D錯(cuò)誤．三、比較冪值的大小例3比較下列各組數(shù)的大?。?1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)與.解(1)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x0.5在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))0.5>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0.5.(2)因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)因?yàn)樵?0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，所以＝1，又在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，所以＝1，所以.反思感悟此類題在構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)要注意冪函數(shù)的特點(diǎn)：指數(shù)不變．比較大小的問(wèn)題主要是利用函數(shù)的單調(diào)性，特別是要善于應(yīng)用“搭橋”法進(jìn)行分組，常數(shù)0和1是常用的中間量．跟蹤訓(xùn)練3比較下列各組數(shù)的大?。?1)和；(2)，和.解(1)函數(shù)y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又3<3.1，所以.(2)所以冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用典例已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N*)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍．考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)利用冪函數(shù)的性質(zhì)解不等式解因?yàn)楹瘮?shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.則原不等式可化為因?yàn)樵?－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).[素養(yǎng)提升]通過(guò)具體事例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，所以，本典例體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)抽象與直觀想象的核心素養(yǎng)．1．以下結(jié)論正確的是()A．當(dāng)α＝0時(shí)，函數(shù)y＝xα的圖象是一條直線B．冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)(0,0)，(1,1)兩點(diǎn)C．若冪函數(shù)y＝xα的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則y＝xα在定義域內(nèi)y隨x的增大而增大D．冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限，但可能在第二象限考點(diǎn)冪函數(shù)的綜合問(wèn)題題點(diǎn)冪函數(shù)的綜合問(wèn)題答案D2．下列不等式成立的是()A. B.C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2 D．答案A3．函數(shù)y＝x－3在區(qū)間[－4，－2]上的最小值是________．答案－eq\f(1,8)解析因?yàn)楹瘮?shù)y＝x－3＝eq\f(1,x3)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝－2時(shí)，ymin＝(－2)－3＝eq\f(1,－23)＝－eq\f(1,8).4．若冪函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝________.答案2解析令m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1.當(dāng)m＝2時(shí)，m2－2m－3＝－3符合要求．當(dāng)m＝－1時(shí)，m2－2m－3＝0不符合要求．故m＝2.5．先分析函數(shù)的性質(zhì)，再畫出其圖象．解，定義域?yàn)镽，在[0，＋∞)上是上凸的增函數(shù)，且是偶函數(shù)，故其圖象如下：1．知識(shí)清單：(1)冪函數(shù)的定義．(2)幾個(gè)常見(jiàn)冪函數(shù)的圖象．(3)冪函數(shù)的性質(zhì)．2．方法歸納：(1)運(yùn)用待定系數(shù)法求冪函數(shù)的解析式．(2)根據(jù)冪函數(shù)的圖象研究?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)即數(shù)形結(jié)合思想．3．常見(jiàn)誤區(qū)：對(duì)冪函數(shù)形式的判斷易出錯(cuò)，只有形如y＝xα(α為常數(shù))為冪函數(shù)，其它形式都不是冪函數(shù)．1．下列函數(shù)中是冪函數(shù)的是()A．y＝x4＋x2 B．y＝10xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝x＋1考點(diǎn)冪函數(shù)的概念題點(diǎn)判斷函數(shù)是否為冪函數(shù)答案C解析根據(jù)冪函數(shù)的定義知，y＝eq\f(1,x3)是冪函數(shù)，y＝x4＋x2，y＝10x，y＝x＋1都不是冪函數(shù)．2．下列冪函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝答案A解析其中y＝x－2和y＝x2是偶函數(shù)，y＝x－1和y＝不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B，D，又y＝x2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意，y＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意，故選A.3．已知f(x)＝，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()A．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)考點(diǎn)比較冪值的大小題點(diǎn)利用單調(diào)性比較大小答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<a<b<1<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故f(a)<f(b)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))，故選C.4．已知y＝(m2＋m－5)xm是冪函數(shù)，且在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，則m的值為()A．－3B．2C．－3或2D．3考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)冪函數(shù)的單調(diào)性答案A解析由y＝(m2＋m－5)xm是冪函數(shù)，知m2＋m－5＝1，解得m＝2或m＝－3.∵該函數(shù)在第一象限內(nèi)是單調(diào)遞減的，∴m<0.故m＝－3.5.如圖所示曲線是冪函數(shù)y＝xα在第一象限內(nèi)的圖象，已知α取±2，±eq\f(1,2)四個(gè)值，則對(duì)應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2)D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析要確定一個(gè)冪函數(shù)y＝xα在坐標(biāo)系內(nèi)的分布特征，就要弄清冪函數(shù)y＝xα隨著α值的改變圖象的變化規(guī)律．隨著α的變大，冪函數(shù)y＝xα的圖象在直線x＝1的右側(cè)由低向高分布．從圖中可以看出，直線x＝1右側(cè)的圖象，由高向低依次為C1，C2，C3，C4，所以C1，C2，C3，C4的指數(shù)α依次為2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2.6．已知2.4α>2.5α，則α的取值范圍是________．答案α<0解析因?yàn)?<2.4<2.5，而2.4α>2.5α，所以y＝xα在(0，＋∞)上為減函數(shù)．故α<0.7．已知m＝(a2＋3)－1(a≠0)，n＝3－1，則m與n的大小關(guān)系為_(kāi)_______．答案m<n解析設(shè)f(x)＝x－1，已知a≠0，則a2＋3>3>0，f(x)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則f(a2＋3)<f(3)，即(a2＋3)－1<3－1，故m<n.8．已知冪函數(shù)f(x)＝(n2＋2n－2)(n∈Z)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則n的值為_(kāi)_______．考點(diǎn)冪函數(shù)的性質(zhì)題點(diǎn)冪函數(shù)的單調(diào)性答案1解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n＝1符合題意．9．已知函數(shù)f(x)＝(m2＋2m)·，m為何值時(shí)，函數(shù)f(x)是：(1)正比例函數(shù)；(2)反比例函數(shù)；(3)冪函數(shù)．解(1)若函數(shù)f(x)為正比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝1，,m2＋2m≠0，))∴m＝1.(2)若函數(shù)f(x)為反比例函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m－1＝－1，,m2＋2m≠0，))∴m＝－1.(3)若函數(shù)f(x)為冪函數(shù)，則m2＋2m＝1，∴m＝－1±eq\r(2).10．點(diǎn)(eq\r(3)，3)與點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,2)))分別在冪函數(shù)f(x)，g(x)的圖象上，問(wèn)當(dāng)x分別為何值時(shí)，有f(x)>g(x)；f(x)＝g(x)；f(x)<g(x)?解設(shè)f(x)＝xα，g(x)＝xβ.因?yàn)?eq\r(3))α＝3，(－2)β＝－eq\f(1,2)，所以α＝2，β＝－1，所以f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分別作出它們的圖象，如圖所示．由圖象知，當(dāng)x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)時(shí)，f(x)>g(x)；當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)＝g(x)；當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)<g(x)．11．已知冪函數(shù)f(x)＝xm－3(m∈N*)為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，則m等于()A．1B．2C．1或2D．3答案B解析因?yàn)閒(x)＝xm－3在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以m－3<0.所以m<3.又因?yàn)閙∈N*，所以m＝1,2.又因?yàn)閒(x)＝xm－3是奇函數(shù)，所以m－3是奇數(shù)，所以m＝2.12．函數(shù)y＝－1的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象大致是()答案B解析y＝－1的定義域?yàn)閇0，＋∞)且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖象是上升的，所以y＝－1關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象是下降的，故選B.13．若<，則a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))解析函數(shù)y＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1≥0，,3－2a≥0，,a＋1<3－2a，))解得－1≤a<eq\f(2,3).14．已知冪函數(shù)f(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(9,3)，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝________，函數(shù)feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－1))的定義域?yàn)開(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),