教學(xué)設(shè)計(jì)完整版：離散型隨機(jī)變量

離散型隨機(jī)變量教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)量規(guī)律的。認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就是指：知道這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果，以及每一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率。而對(duì)于給定的隨機(jī)現(xiàn)象，首先要描述所有可能出現(xiàn)的結(jié)果。在數(shù)學(xué)上處理時(shí)，一個(gè)常用的、也很自然的做法就是用數(shù)來表示結(jié)果，即把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，使得每個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)一個(gè)數(shù)，這樣就可以通過實(shí)數(shù)空間（定量的角度）來刻畫隨機(jī)現(xiàn)象，從而就可以利用數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)分析的方法來研究所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象。簡言之，隨機(jī)變量是連接隨機(jī)現(xiàn)象和實(shí)數(shù)空間的一座橋梁，它使得我們可以借助于有關(guān)實(shí)數(shù)的數(shù)學(xué)工具來研究隨機(jī)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而可以建立起應(yīng)用到不同領(lǐng)域的概率模型，這便是為什么要引入隨機(jī)變量的緣由.隨機(jī)變量在概率統(tǒng)計(jì)研究中起著極其重要的作用，隨機(jī)變量是用來描述隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果的一類特殊的變量，隨機(jī)變量能夠反映隨機(jī)現(xiàn)象的共性，有關(guān)隨機(jī)變量的結(jié)論可以應(yīng)用到具有不同背景的實(shí)際問題中。隨機(jī)變量就是建立了一個(gè)從隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的集合到實(shí)數(shù)集合的映射，這與函數(shù)概念在本質(zhì)上（一種對(duì)應(yīng)關(guān)系）是一致的，隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的范圍相當(dāng)于函數(shù)的定義域，隨機(jī)變量的取值范圍相當(dāng)于函數(shù)的值域。離散型隨機(jī)變量是最簡單的隨機(jī)變量，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系。本節(jié)課主要通過離散型隨機(jī)變量展示用實(shí)數(shù)空間刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的方法。本節(jié)課的重點(diǎn)是怎樣用數(shù)學(xué)的方法來研究隨機(jī)事件(先把隨機(jī)事件映射成隨機(jī)變量，建立隨機(jī)變量X與隨機(jī)事件發(fā)生的概率P之間的函數(shù)關(guān)系，用研究函數(shù)的方法來研究隨機(jī)變量),并在此過程中深刻體會(huì)和領(lǐng)悟隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的工具和橋梁作用。二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1．在對(duì)具體實(shí)例的分析中，認(rèn)識(shí)和體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和建立隨機(jī)變量概念的必要性；2．初步學(xué)會(huì)恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量來描述所感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象（實(shí)際問題），能敘述隨機(jī)變量可能取的值及其所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；3．在列舉的隨機(jī)試驗(yàn)中，通過對(duì)隨機(jī)變量取值的辨析和討論，形成離散型隨機(jī)變量概念，并會(huì)利用離散型隨機(jī)變量刻畫隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果；4．在舉例、觀察、思考、發(fā)現(xiàn)中經(jīng)歷將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，感悟怎樣用數(shù)學(xué)的方法來研究隨機(jī)事件，感悟辨證思維和歸納等數(shù)學(xué)思考的基本方法，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)。三、教學(xué)問題診斷分析本節(jié)課學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)是對(duì)引入隨機(jī)變量目的與作用的認(rèn)識(shí)，了解什么樣的隨機(jī)變量便于研究。隨機(jī)變量這個(gè)概念其實(shí)早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺的“實(shí)際使用”，只是沒有明朗化。學(xué)生學(xué)習(xí)這一概念就是把這些“實(shí)際使用的”規(guī)則、程序、步驟等進(jìn)一步加以明確。所以，教師的責(zé)任就是為學(xué)生建立隨機(jī)變量這個(gè)概念修通渠道?？赏ㄟ^學(xué)生熟悉的擲骰子的隨機(jī)試驗(yàn)讓學(xué)生體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)生，在師生舉例中來體會(huì)隨機(jī)變量概念的發(fā)展，特別是諸如拋擲一枚硬幣等試驗(yàn)，其結(jié)果不具有數(shù)量性質(zhì)，怎么讓學(xué)生自然地想到用數(shù)來表示其試驗(yàn)結(jié)果，并且所用的數(shù)又盡量簡單，便于研究。教學(xué)中需多舉試驗(yàn)結(jié)果本身已具有數(shù)值意義的實(shí)例，來發(fā)揮正遷移作用。通過多舉例讓學(xué)生理解：一旦給出了隨機(jī)變量，即把每個(gè)結(jié)果都用一個(gè)數(shù)表示后，認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象就變成認(rèn)識(shí)這個(gè)隨機(jī)變量所有可能的取值和取每個(gè)值時(shí)的概率。另外，隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量是上、下位概念的關(guān)系，從學(xué)習(xí)的認(rèn)知方式看，下位學(xué)習(xí)依靠的主要是同化，上位學(xué)習(xí)依靠的主要是順應(yīng)，上位學(xué)習(xí)一般采用的思維方法主要是概括和綜合，它主要通過改造（歸納和綜合）原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)內(nèi)容而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。因此，從這一角度來分析，學(xué)生對(duì)隨機(jī)變量概念的學(xué)習(xí)和真正理解比離散型隨機(jī)變量的學(xué)習(xí)要困難一些。故在隨機(jī)變量的教學(xué)中，要特別重視學(xué)生舉例，讓學(xué)生在充分的自主活動(dòng)中體驗(yàn)數(shù)學(xué)化的過程，體驗(yàn)將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程，從而來把握隨機(jī)變量的內(nèi)涵，并在兩個(gè)對(duì)應(yīng)（試驗(yàn)的結(jié)果到對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量、隨機(jī)變量的取值到對(duì)應(yīng)的概率值）的感悟中不斷體會(huì)隨機(jī)變量對(duì)刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性和研究隨機(jī)現(xiàn)象的工具性作用。四、教學(xué)支持條件分析學(xué)生在必修3概率一章中學(xué)習(xí)過的隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件、簡單的概率模型和必修1中學(xué)習(xí)過的變量、函數(shù)、映射等知識(shí)是學(xué)習(xí)、領(lǐng)悟和“接納”隨機(jī)變量概念的重要知識(shí)基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)應(yīng)充分注意這一教學(xué)條件；另外，為更好地形成隨機(jī)變量和離散型隨機(jī)變量兩個(gè)概念，教學(xué)中可借助媒體列舉和展現(xiàn)豐富的實(shí)例和問題，以留給學(xué)生更多的時(shí)間思考和概括。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì)1.理解隨機(jī)變量概念問題1：拋擲一枚骰子，可能出現(xiàn)的結(jié)果有哪些？概率分別是多少？[設(shè)計(jì)意圖]以學(xué)生熟悉的隨機(jī)試驗(yàn)為例，在復(fù)習(xí)舊知中孕育新知。[師生活動(dòng)]畫表一，指出“1點(diǎn)朝上”、“2點(diǎn)朝上”、“3點(diǎn)朝上”等都是隨機(jī)事件，并自然地提出：我們?yōu)榱搜芯窟@些隨機(jī)事件，常常把它們分別與一個(gè)數(shù)字對(duì)應(yīng)起來。比如，用數(shù)字1與“1點(diǎn)朝上”這個(gè)隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)，用數(shù)字2與“2點(diǎn)朝上”這個(gè)隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)，等等。邊說邊填寫數(shù)字，形成表二。表一：拋擲一枚骰子試驗(yàn)結(jié)果（隨機(jī)事件）標(biāo)志1點(diǎn)的面朝上標(biāo)志2點(diǎn)的面朝上標(biāo)志3點(diǎn)的面朝上標(biāo)志4點(diǎn)的面朝上標(biāo)志5點(diǎn)的面朝上標(biāo)志6點(diǎn)的面朝上概率1/61/61/61/61/61/6表二：拋擲一枚骰子試驗(yàn)結(jié)果（隨機(jī)事件）標(biāo)志1點(diǎn)的面朝上標(biāo)志2點(diǎn)的面朝上標(biāo)志3點(diǎn)的面朝上標(biāo)志4點(diǎn)的面朝上標(biāo)志5點(diǎn)的面朝上標(biāo)志6點(diǎn)的面朝上用數(shù)字表示隨機(jī)事件123456概率1/61/61/61/61/61/6引導(dǎo)學(xué)生分析，像這樣“用數(shù)字表示隨機(jī)事件”的量用X來表示，它可以取集合{1，2，3，4，5，6}的值，X是個(gè)變量，也就是，它的取值隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化。從而“形成”隨機(jī)變量概念。讓學(xué)生感受概念的從無到有、自然形成的過程。[設(shè)計(jì)意圖]“在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師的講授仍然是重要的教學(xué)方式之一?！卑言囼?yàn)結(jié)果數(shù)字化，要讓學(xué)生自己想出來是十分困難的。因?yàn)?，這要求對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)有很好的認(rèn)識(shí)才行。而“用數(shù)字來表示隨機(jī)事件”實(shí)際上早已存在于學(xué)生的意識(shí)之中，而且在不少場(chǎng)合都已不自覺地“實(shí)際使用”，如射擊比賽中會(huì)用“環(huán)數(shù)”去表示射擊成績，擲骰子時(shí)會(huì)用“點(diǎn)數(shù)”去表示擲出結(jié)果，抽獎(jiǎng)時(shí)會(huì)對(duì)獎(jiǎng)券“編號(hào)”，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生時(shí)會(huì)用“學(xué)號(hào)”去代替等等，只是沒有明朗化。因而，隨機(jī)變量的概念主要靠教師有啟發(fā)地提問，有意義地講授。讓學(xué)生覺得問題的提出，概念的發(fā)生、發(fā)展過程較為自然，能夠從教師的講授中感受數(shù)學(xué)是怎樣一步步研究現(xiàn)實(shí)世界的。2．對(duì)隨機(jī)變量的認(rèn)識(shí)(對(duì)對(duì)應(yīng)思想——映射、函數(shù)的體驗(yàn))問題2：對(duì)于隨機(jī)變量的每一個(gè)取值都有唯一確定的概率值與它對(duì)應(yīng)。這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是什么？[設(shè)計(jì)意圖]體會(huì)隨機(jī)變量的取值（X）與它所對(duì)應(yīng)的概率值（P）建立了一個(gè)函數(shù)關(guān)系。[師生活動(dòng)]啟發(fā)誘導(dǎo)，形成下表。并引導(dǎo)學(xué)生分析此函數(shù)的三要素.投擲骰子標(biāo)志1點(diǎn)的面朝上標(biāo)志2點(diǎn)的面朝上標(biāo)志3點(diǎn)的面朝上標(biāo)志4點(diǎn)的面朝上標(biāo)志5點(diǎn)的面朝上標(biāo)志6點(diǎn)的面朝上隨機(jī)變量123456函數(shù)↓↓↓↓↓↓概率1/61/61/61/61/61/6問題3：（指著上表第二行）問：每一個(gè)隨機(jī)事件用唯一確定的數(shù)字與它對(duì)應(yīng)，這個(gè)對(duì)應(yīng)是函數(shù)關(guān)系嗎？[設(shè)計(jì)意圖]借機(jī)強(qiáng)調(diào)函數(shù)是實(shí)數(shù)集與實(shí)數(shù)集間的對(duì)應(yīng)。感受把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)字化（成為實(shí)數(shù)）的必要性，體會(huì)引入隨機(jī)變量的必要性。[師生活動(dòng)]師生分析，這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是映射，不能說是函數(shù)關(guān)系。啟發(fā)誘導(dǎo)，形成下表投擲骰子標(biāo)志1點(diǎn)的面朝上標(biāo)志2點(diǎn)的面朝上標(biāo)志3點(diǎn)的面朝上標(biāo)志4點(diǎn)的面朝上標(biāo)志5點(diǎn)的面朝上標(biāo)志6點(diǎn)的面朝上映射↓↓↓↓↓↓隨機(jī)變量123456函數(shù)↓↓↓↓↓↓概率1/61/61/61/61/61/6引導(dǎo)學(xué)生“類比”函數(shù)概念（三要素），領(lǐng)悟兩種對(duì)應(yīng)關(guān)系的差異（明白此處映射對(duì)應(yīng)關(guān)系是人為建立的）。同時(shí)指出：通過映射把隨機(jī)事件與實(shí)數(shù)進(jìn)行對(duì)應(yīng)，也就是，把隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果數(shù)量化，用隨機(jī)變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，這樣就可以用數(shù)學(xué)的工具、數(shù)學(xué)的方法來研究隨機(jī)現(xiàn)象（這就是新概念產(chǎn)生的必要性——為什么要引入隨機(jī)變量？）。接著，進(jìn)一步指出：在學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)（必修3）》時(shí)我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過概率、方差等概念，學(xué)過簡單概率模型，在今后的學(xué)習(xí)中，我們將利用隨機(jī)變量，進(jìn)一步運(yùn)用概率思想思考和研究一些實(shí)際問題。問題4：你能再舉些例子嗎？[設(shè)計(jì)意圖]讓學(xué)生參與舉例，體驗(yàn)將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化（把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)極其重要的數(shù)學(xué)方法）和將隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果數(shù)量化的過程.其意義在于兩個(gè)方面:其一,學(xué)生通過尋找(尋找本身就是一個(gè)甄別隨機(jī)與非隨機(jī)的過程),選擇自己感興趣的隨機(jī)現(xiàn)象,并學(xué)會(huì)用隨機(jī)變量表示隨機(jī)事件;其二,在映射與函數(shù)的辨認(rèn)中體會(huì)隨機(jī)變量在研究隨機(jī)現(xiàn)象中的工具與橋梁作用.同時(shí)進(jìn)一步深刻理解隨機(jī)變量的概念,領(lǐng)悟隨機(jī)變量學(xué)習(xí)的重要性，進(jìn)一步形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識(shí)。[師生活動(dòng)]教師關(guān)注學(xué)生的舉例，關(guān)注其關(guān)鍵過程：哪三個(gè)集合；哪里是映射；哪里是函數(shù)。要求學(xué)生畫表，體會(huì)映射的過程，隨機(jī)變量X是什么？定義域是什么，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值（概率）Y是什么？教師給學(xué)生充分展示和交流所舉例子的時(shí)間。同時(shí)，教師也參與舉例，深刻體會(huì)將實(shí)際問題（隨機(jī)現(xiàn)象）數(shù)學(xué)化（數(shù)字化）的過程，感受建立隨機(jī)變量概念的重要意義。對(duì)學(xué)生列舉的試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件，諸如投擲一枚硬幣的試驗(yàn)等，要引導(dǎo)學(xué)生分析比較，讓學(xué)生體會(huì)對(duì)于同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，可以用不同的隨機(jī)變量來表示。但用哪兩個(gè)數(shù)字來表示，主要是要盡量簡單，合理，便于研究。（在學(xué)生舉例中學(xué)習(xí)如何用隨機(jī)變量去定義試驗(yàn)結(jié)果沒有數(shù)量標(biāo)志的隨機(jī)事件）3．形成離散型隨機(jī)變量概念問題5：隨機(jī)變量的取值都是整數(shù)嗎？你能否舉個(gè)（些）例子，而隨機(jī)變量的取值不是整數(shù)呢？[設(shè)計(jì)意圖]關(guān)注學(xué)生的舉例，借學(xué)生舉出的例子，引導(dǎo)分析數(shù)學(xué)化之后的隨機(jī)變量取值的集合的特征（一個(gè)新概念產(chǎn)生之后，我們應(yīng)該端詳它一番），分辨隨機(jī)變量的類型，即某些隨機(jī)變量的取值是離散的，而有些不是,從而給出離散型隨機(jī)變量的概念。如果學(xué)生列舉的都是離散型隨機(jī)變量，則提出該問，引導(dǎo)再讓學(xué)生舉例，如果學(xué)生還是無法舉出，則可以給出以下問題6。問題6：請(qǐng)仿照剛才的例子，分析下列隨機(jī)現(xiàn)象中的隨機(jī)變量，它可以取哪些值？（教師給出以下兩個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，問學(xué)生）（1）某公交車站每隔10分鐘有1輛汽車到站，某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的,他等車的時(shí)間；（2）檢測(cè)一批燈泡（相同型號(hào)）的使用壽命。[設(shè)計(jì)意圖]通過與前面列舉例子的比較，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)試驗(yàn)結(jié)果中，表示隨機(jī)事件的隨機(jī)變量的取值是一個(gè)區(qū)間，其值無法一一列出，以此形成離散型隨機(jī)變量的概念。同時(shí)明晰在隨機(jī)現(xiàn)象中隨機(jī)變量的取值是豐富多樣的，這也是對(duì)隨機(jī)變量概念（外延）的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)。問題7：如果我們僅僅關(guān)心某人等車的時(shí)間多于5分鐘或不多于5分鐘，那該怎樣定義隨機(jī)變量呢?[設(shè)計(jì)意圖]在研究隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，為研究方便，有時(shí)需要根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨機(jī)變量。讓學(xué)生明白恰當(dāng)定義隨機(jī)變量可以轉(zhuǎn)化問題（即非離散型隨機(jī)變量可以構(gòu)造成離散型隨機(jī)變量），給我們研究問題帶來方便。問（1）師生共同完成后，問（2）讓學(xué)生嘗試構(gòu)造出離散型隨機(jī)變量。4．練習(xí)反饋下列隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果能否用離散型隨機(jī)變量表示？若能，請(qǐng)寫出各隨機(jī)變量可能的取值并說明這些值所表示的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果。（見教科書第45頁）（1）拋擲兩枚骰子,所得點(diǎn)數(shù)之和；（2）某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中射進(jìn)的球數(shù)；（3）任意抽取一瓶某種標(biāo)有2500ml的飲料,其實(shí)際量與規(guī)定量之差。對(duì)于（3），你能根據(jù)所關(guān)心的問題恰當(dāng)?shù)囟x隨