2021年中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-圓：與圓有關(guān)的位置關(guān)系(老師版)

中考真題分類匯編（圓） 與圓有關(guān)的位HI關(guān)系 與圓有關(guān)的位HI關(guān)系一、選擇題（2021?山東省臨沂市）如圖，PA.所分別與。。相切于樂B,N—70°,。為。。上C.125°D.130"C.125°D.130"【分析】由切線的性質(zhì)得出NQGN郎=90°,利用四邊形內(nèi)角和可求/月陽=110。，再利用圓周角定理可求N/療=55°,再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)可求/月⑦【解答】解：如圖所示，連接以，OB,在優(yōu)弧16上取點(diǎn)。，連接月〃，BD,■:AP■:AP、8P是00切線,：.ZOAP=ZOBP=9Q<>,AZAOB=3600-900-90°-70°=110°,AZADB=/AOB=550,2又???圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)，AZACB=18Q0-ZADB=lSQt)-55°=125°.故選：C.（2021?山東省泰安市》如圖，在△■中，四=6,以點(diǎn)月為圓心，3為半徑的圓與邊6C相切于點(diǎn)。，與力C,45分別交于點(diǎn)￡和點(diǎn)G,點(diǎn)尸是優(yōu)弧"上一點(diǎn)，/CDE=18",則Nd叨的度數(shù)是（）A.50° B.48° C.45° D.36°【分析】連接必根據(jù)切線的性質(zhì)得到4aM根據(jù)垂直的定義得到//出=/月％=90°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到N8=30",根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到NQP=60°,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到/附=/血於=72°,根據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論。【解答】解：連接回??6。與。月相切于點(diǎn)。，：.ADX.BC,：.ZADB=ZADC=9Q0,AB=6,AG—AD=3,：.AD=^AB.2AZ5=30°：.ZGAD=6Q<>,:/CDE=\8。,:?NADE=90°-18°=72°,：AD=AE,：.AAED=AADE=ir,AZ/Z4F=180°?/ADE?/AED=180°-72°-72°=36°,AZBAC=ZBAD^ZCAD=600+36°=96°,AZGFE=^/GAE=^X96"=48°,2 2故選：B.

（2021?上海市）如圖，已知長方形A5C。中，A8=4,AO=3,圓6的半徑為1,圓月與圓8內(nèi)切，則點(diǎn)C。與圓月的位置關(guān)系是（ ）A.點(diǎn)。在圓A.點(diǎn)。在圓4外，點(diǎn)，在圓月內(nèi)C.點(diǎn)。在圓4上，點(diǎn)，在圓月內(nèi)B.點(diǎn)。在圓月外，點(diǎn)〃在圓4外D.點(diǎn)。在圓月內(nèi)，點(diǎn)〃在圓4外【答案】C【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切得出圓月的半徑，再判斷點(diǎn)。、點(diǎn)￡到圓心的距離即可:圓月與圓8內(nèi)切，46=4,圓夕的半徑為1???圓力的半徑為5???AD=3<5，點(diǎn)，在圓N內(nèi)在正△45。中，AC=^AB-+BC2=>/42+32=5，點(diǎn)C在圓4上故選:C（2021?山西）如圖，在0中，AB切0于點(diǎn)A,連接0B交0于點(diǎn)C,過點(diǎn)A作AD.//0B交0于點(diǎn)D,連接CD.若NB=50°,則N0CD為（ ）ABAB（2021?四川省涼山州）如圖，等邊三角形ABC的邊長為4,的半徑為尸為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作OC的切線P。，切點(diǎn)為。，則尸。的最小值為【解析】【分析】連接OC和PC,利用切線的性質(zhì)得到CQJ_P。，可得當(dāng)“最小時(shí)，尸。最小，此時(shí)CP_LA8,再求出CP,利用勾股定理求出尸0即可.【詳解】解:連接。C和PC??尸。和圓C相切，：.CQLPQ,即始終為直角三角形，C。為定值，??當(dāng)CP最小時(shí)，P。最小，??△A8C是等邊三角形，??當(dāng)CP_LA8時(shí)，CP最小，此時(shí)CPJ_A8,；4B=BC=AC=4,:.AP=BP=2,:?CP=yjAC2-AP2=273，??圓c的半徑G2=JJ,：,PQ=QcP>_CQ2=3,故答案為：3.ABAB6.（2021?瀘州市）如圖，。。的直徑脛8,AM,AM是它的兩條切線，龍與。。相切于點(diǎn)區(qū)并與4從AV分別相交于。，。兩點(diǎn)，BD,3相交于點(diǎn)尸，若810,則跖的長是,8舊 R10歷 「8厲 n10房A? B? D? 9 9 9 9【答案】A【解析】【分析】過點(diǎn)。作DG1BC于點(diǎn)G,延長CO交DA的延長線于點(diǎn)H,根據(jù)勾股定理求得GC=6,即可得49*俏2,B（=8,再證明△胡盛△理已根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得加㈡階8,即可求得切二10：在Rt△9中，根據(jù)勾股定理可得6。=2折；證明△龍步s△尻尸，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得空=空，由此即可求得6/二）叵.BCBF 9【詳解】過點(diǎn)。作的，笈于點(diǎn)G，延長。交物的延長線于點(diǎn)HBGCNVAIA8A.是它的兩條切線，然與。。相切于點(diǎn)￡：.AD=DE.BC=CE,NDA比NABO90。,:DG工BC,?.四邊形麗為矩形，：.AD=BG,止38,在RtZU?G。中，610,??GC=VCD2-DG2=^102-82=6，:AD=DE,BC=CE.810,：.CD=DE^CE=AD十BC=13:.AD+BG+910,:.AD=噲2,BOCG+BG=8.:ND眸NABK0°,：.AD//BC."AHU/BCO,NHA3/CBO,:0怎OB,：.AH=BOS.:止2,:.HD二刪A廬曲在必中，止2,脛8,:?BD=AB~+AD2=JS+22=2拒，:AD"BJ:?叢DHFsXBCF,DHDF??? = .BCBF.10_2g-5尸8BF解得，5尸叵故選A.（2021?浙江省嘉興市）已知平面內(nèi)有。。和點(diǎn)4B,若。。半徑為2m,線段如=3腐,OB=2cm,則直線也與。。的位置關(guān)系為（ ）A.相離 B.相交 C.相切 D.相交或相切【分析】根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系的判定方法進(jìn)行判斷.【解答】解：。。的半徑為2。S，線段。1=3cs,OB=2cm,即點(diǎn)月到圓心0的距離大于圓的半徑，點(diǎn)6到圓心。的距離等于圓的半徑，???點(diǎn)月在。。外，點(diǎn)￡在上，???直線AB與0。的位置關(guān)系為相交或相切，故選：D.（2021?湖北省荊門市）如圖，%,PB是。0的切線，A,B是切點(diǎn),若NP=70°,則ZABO=（ ）A.30° B.35° C.45° D.55°【分析】連接OA,根據(jù)切線的性質(zhì)得到NP8O=N用。=90°,根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360’得到NBOA=360"-ZPBO-ZPAO-ZP=110<>,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.【解答】解：連接。4，???以，PB是OO的切線，A,8是切點(diǎn)，：,ZPBO=ZPAO=90°,VZP=70°,AZBOA=360o-ZPBO-ZPAO-ZP=U00,*：OA=OB,：.ZABO=ZBAO=^(180°?/BOA)=A(1800-110")=35°,2 2故選：B.

BB（2021?福建省）如圖，A8為。。的直徑，點(diǎn)P在AB的延長線上，PC,P。與。。相切，切點(diǎn)分別為C,D.若A8=6,PC=4,則sinNCAO等于（（2021?吉林省長春市）如圖，A8是。。的直徑，BC是。。的切線，若/胡。=35。,45°55。65°45°55。65°（2021?廣西賀州市）如圖，在放aABC中，ZC=90°946=5,點(diǎn)。在A3上,OB=2,以05為半徑的OO與AC相切于點(diǎn)。，交BC于前E，則CE的長為（ ）D.1【答案】B【解析】

【分析】連接。。，EF,可得OD〃BC,EF//AC,從而得國=絲，—,進(jìn)而BCBABABC即可求解.【詳解】解：連接。。，EF,【詳解】解：連接。。，EF,???。。與AC相切于點(diǎn)。，8尸是。。的直徑,：.ODLAC,FELBC,VZC=90%：.OD//BC9EF//AC,ODOABFBE.??詼一瓦'麗一旅■:AB=5，OB=2,/?OD=OB=2,AO=5-2=3,BF=2X2=4,/?OD=OB=2,AO=5-2=3,BF=2X2=4,.2_3?.——,BC.2_3?.——,BC5._10?? ，34BE5BCBE=-,

3「1082：?CE= =—333故選:B.12.（2021?貴州省貴陽市）如圖，O。與正五邊形A8CDE的兩邊AE,CO相切于A,C兩點(diǎn)，則NAOC的度數(shù)是（ ）C兩點(diǎn)，則NAOC的度數(shù)是（ ）CDA.144B.130C.129D.108A.144B.130C.129D.108【分析】先根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求NE=ND=108°,由切線的性質(zhì)得：ZOAE=ZOCD=90°,最后利用五邊形的內(nèi)角和相減可得結(jié)論.【解答】解:正五邊形的內(nèi)角=（5-2）X18O04-5=108°,???NE=NO=108",???AE、CO分別與OO相切于A、C兩點(diǎn)，：.ZOAE=ZOCD=90,AZAOC=5400-90"-90”-108°-108°=144°,故選:A.二.填空題（2021?岳陽市）如圖，在用nABC中，ZC=90°,A8的垂直平分線分別交AS、AC于點(diǎn)。、E,BE=8,。。為△6CE的外接圓，過點(diǎn)石作。。的切線所交A8于點(diǎn)產(chǎn)，則下列結(jié)論正確的是 .（寫出所有正確結(jié)論的序號）父萬 np1717①AE=此；②NA石。=NC6。：③若ND5石=40。，則oE的長為一：④k="：9 EFBF⑤若石尸=6,則CE=2.24.【答案】①②④⑤【答案】①②④⑤（2021?江蘇省南京市）如圖，F(xiàn)A,GB,HC,ID,JE是五邊形ABCDE外接圓的切線,則/BAF+NCBG+NDCH+NEDI+/AEJ=【答案】180°【答案】180°【解析】【分析】由切線的性質(zhì)可知切線垂直于半徑，所以要求的5個(gè)角的和等于5個(gè)直角減去五邊形的內(nèi)角和的一半.【詳解】如圖：過圓心連接五邊形A8CDE的各頂點(diǎn),則ZOAB+ZOBC+ZOCD+ZODE+ZOEA=NOBA+NOCB+ZODC+ZOED+ZOAE=1(5-2)xl80°=270°:ZBAF+ZCBG+ADCH+AEDI+ZAEJ=5x900-(ZOAB+ZOBC+ZOCD+ZODE+ZOEA)=450°-270°=180°.故答案為：180。.（2021?陜西省）如圖，正方形/心制的邊長為4,。。的半徑為1.若。。在正方形月陽內(nèi)平移（。0可以與該正方形的邊相切）3恒1.【分析】當(dāng)。。與出以相切時(shí)，點(diǎn)月到。。上的點(diǎn)。的距離最大，如圖，過。點(diǎn)作交上BC于E,OF1CD于F,根據(jù)切線的性質(zhì)得到必=a-1,利用正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)0在月。上，然后計(jì)算出月0的長即可.【解答】解：當(dāng)。。與⑦、制相切時(shí)，如圖，過0點(diǎn)作座工6。于￡,0F1CD于F,:.OE=OF=1,:.0C%/分4BCD,???四邊形月砥?為正方形，???點(diǎn)。在1C上，:AC=?BC=5VW2^=V6,：.AQ=0A^0Q=\\[2-&+1=3近，即點(diǎn)月到。。上的點(diǎn)的距離的最大值為3丘3,故答案為3收2.4.（2021?湖北省荊州市）如圖，四是。。的直徑，4。是。。的弦，02UC于〃連接3,過前D作DF〃OC交AB于F,過點(diǎn)6的切線交月。的延長線于E若47=4,DF=?,則2BE=①.【分析】根據(jù)垂徑定理得到皿=%根據(jù)三角形中位線定理求出M根據(jù)勾股定理求出OD，證明△月如△花?，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.【解答】解:VODVAC.血?=4,:.AD=DC=A,：DF//OC、DF==,2:.OC=2DF=5,在RtZkC勿中，＜^=7oC2-CD2=3,

:應(yīng)是。。的切線，:.ABLBE,/ODLAD.：.AADO=/ABE,：/OAD=/EAB,:.△AOD^XAEB,?OD_ADpn3_4BEABBEW解得：BE=邁,2故答案為：正.2（2021?青海?。c(diǎn)尸是非圓上一點(diǎn)，若點(diǎn)尸到。。上的點(diǎn)的最小距離是4函，最大距離是9cm,則。?的半徑是 6.5c勿或2.5czp.【分析】點(diǎn)應(yīng)分為位于圓的內(nèi)部于外部兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)尸在圓內(nèi)時(shí)，直徑=最小距離+最大距離；②當(dāng)點(diǎn)尸在圓外時(shí)，直徑=最大距離-最小距離.【解答】解：分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1,丁點(diǎn)到圓上的最小距離PB=Acm,最大距離PA=9cm,/?直徑AB=459cm=13cm,,半徑r=6.5an；②當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2,丁點(diǎn)到圓上的最小距離PB=Acm,最大距離PA=9cm,，直徑Aff=9cm-4cs=5。卬，,半徑r=2.5an；故答案為：6.5°切或2.5cm.（2021?浙江省杭州）如圖，已知。。的半徑為1,點(diǎn)尸是。。外一點(diǎn)，7為切點(diǎn)，連結(jié)0T,則PT一0一【分析】根據(jù)圓的切線性質(zhì)可得出7為直角三角形，再利用勾股定理求得尸7長度.【解答】解：???尸7是。。的切線，T為切點(diǎn)，:.ota.pt.在中，0—1,???尸7clp2—0T1/一52一如，故："弧.（2021?浙江省溫州市）如圖，。。與△QAB的邊AB相切，切點(diǎn)為B.將△0HB繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△O'A'B,邊A'8交線段A。于點(diǎn)C若NA'=25°,則/【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到NO8A=9（T,連接。。'，如圖，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NA=ZA'=250,ZABA'=ZOBO',BO=BOf,則判斷△00'B為等邊三角形得到N08。'=60"，所以NHB4'=60°,然后利用三角形外角性質(zhì)計(jì)算N0C8.【解答】解：???0。與aOAB的邊AB相切，：.OBLAB,??.NOE4=90°,連接0?！?，如圖，繞點(diǎn)8按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△。，4'B,：.ZA=ZAr=25。，ZABAf=ZOBOf,?：0B=00’，??.△oo'B為等邊三角形，：,ZOBO'=60°,AZABAf=60”，AZOCB=ZA+ZABC=250+60°=85°.（2021?北京市）如圖，PA,尸8是。0的切線，A,8是切點(diǎn).若/尸=50“，則乙4。8三、解答題（2021?甘肅省定西市）如圖，△■內(nèi)接于。0,〃是。。的直徑45的延長線上一點(diǎn),ZDCB=ZOAC.過圓心0作比'的平行線交國的延長線于點(diǎn)E.（1）求證：切是。。的切線：（2）若8=4,36,求。。的半徑及tanN6O的值.【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)與已知條件得出，N%4=NZO,由圓周角定理可得/4^=90°,進(jìn)而得到N位Z?=90°,即可得出結(jié)論;(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理得到四=型=2,設(shè)勿=2x,則OB=OC=3x、OD=OBCE3朗物=5%在RtZ\a》中，根據(jù)勾股定理求出x=l,即。。的半徑為3,由平行線的性質(zhì)得到/。％=/腦;在Rt△牘中，可求得tanNE3=2,即tanZOCB=2.【解答】(1)證明：???勿=。。:.ZOAC=ZOCA,：4DCB=4OAC,：.ZOCA=ZDCB.??45是。。的直徑，AZACB=9Q<>,：.ZOCA+ZOCB=90t，,：.ZDC^ZOCB=90t，,即NOg"。，:.OCA.DC,??%是。。的半徑，??切是。。的切線：(2)解：VOB//AG.BD=CD*OBCE,CD=\,CE=6,.BD=1=1*OB?M設(shè)BD=2x,則OB=OC=3a;OD=OB^BD=5乂/OCA.DC,??△?是直角三角形，在 中，OC+CfT=On,：.(3-y)2+4:=(5jt):,解得，x=l,：.OC=3x=3、即00的半徑為3,:BC"OE、：.40CB=/E0C,在Rt△族中，tanZ￡^f=—=—=2,OC3:.tanZOCB=tanZEOC=2.（2021?湖南省常德市）如圖，在HMA6C中，ZABC=90Qt以A6的中點(diǎn)。為圓心,AB為直徑的圓交AC于〃^是5c的中點(diǎn)，OE1交84的延長線于反（1）求證：尸。是圓。的切線；（2）若6。=4,五6=8,求A5的長.【答案】（1）見解析；（2）VT7-1【解析】【分析】（1）連接如利用等腰三角形性質(zhì)，直角三角形證明8，尸石即可:（2）設(shè)ODr,求證△ODb/，列比例求解即可.【詳解】解：證明：連接勿，如圖：??ZADB=ZBDC=90°，??點(diǎn)夕是成'的中點(diǎn)，:.EAEB,:.ZEDB=ZEBD,??ZEBD+ZABD=90。，ZDAB+ZABD=90°，??ZDAB=ZDBE=ZBDE,'：OMOD,??ZODA=ZDAB=ZDBE=ABDE??ZODA+ZODB=90°，ZCDE=ZADF，ZFDO=90。,??OD1FD??")是圓。的切線.(2)??"是比?中點(diǎn),BE,:.B抉2,???FE=1bE?FB?=,22+82=2歷，在△(?￡>「和△瓦亦中，ZODF=ZEBF=90°,ZF=ZF，：.aODFs^eBF，:.設(shè)如為X,,ODOF xS-x貝lj—=—u>—=—■==,EBFE 22>/17*2zq yj\l解得：x= ,2則A5=2x=VI7-1.(2021?湖南省衡陽市)如圖，四是。。的直徑，〃為。。上一點(diǎn)，5為麗的中點(diǎn)，點(diǎn)。在胡的延長線上，且NS=N6.(1)求證：5是。。的切線：(2)若龐=2,Ne七=30°,求Q7的長.【分析】⑴連結(jié)如利用已知條件證明血L。?即可求證勿是。。的切線；⑵連結(jié)/根據(jù)/延=30°,￡為麗的中點(diǎn)即可求出/反切度數(shù)以及求證三角形助為等邊三角形，進(jìn)而求出/〃如度數(shù)，再利用tanN加。的值即可求出⑺的長.【解答】解：（1）證明：連結(jié)如，如圖所示:區(qū)以=90°,:./BD仇/ADO=g§,又?：OB=OD,/CDA=/B,：.4B=/BDO=4CDA,：.ZCDA+ZADO=9Qt>,Z.ODA-CD,且勿為。。半徑,是。。的切線：：.ZBOE=2ZBDE=Wl,又???￡為標(biāo)的中點(diǎn)，:./EOD=60°,??.△員M為等邊三角形，：?ED=EO=OD=2,又.：4B0D=/B0吩/E0D=\2N,AZZ?O7=180°-NBOD=180°-120°=60在 中，/DOC=60°,OD=2,AtanZZ?^=tan600=—=—=V3,OD2：.CD=243.（2021?懷化市）如圖，在半徑為5cm的。。中，四是。。的直徑，Q?是過。。上一點(diǎn)。的直線，且Ml%于點(diǎn)，，AC平分/朋D,￡是的中點(diǎn)，OE=3cm（1）求證：5是0。的切線：（2）求助的長.【分析】（1）連接3，由月。平分/用切，OA=OC,可得NDAC=NOCA,AD//OC.根據(jù)四工DC，即可證明⑺是。。的切線；（2）由小是△四。的中位線，得AC=6,再證明△力得坦=里,即迫=旦，ACAB6W從而可得AD=^.5【解答】（1）證明：連接0C,如圖：???月。平分/8切，：.ZDAC=ZCAO,：OA=OC,：.ZCAO=ZOCA,：.ZDAC=ZOCA,：.AD//OC.:ADLDC,：.COLDC.??Q?是。。的切線：（2）??"是比'的中點(diǎn)，且宏=仍,，宏是△［的中位線，AC=2OE,?：0E=3,：.AC=6,?.?四是。。的直徑，AZACB=90"=AADC.又NDAC=/CAB,：./\DAC^/\CAB,?AD_ACpnAD_6ACAB6 10.?."=455.（2021?江蘇省連云港）如圖，用“ISC中，ZABC=90°,以點(diǎn)。為圓心，CB為半徑作OC,〃為OC上一點(diǎn)，連接4。、CD,AB=AD,AC平分440.（1）求證：AO是切線；（2）延長4。、6c相交于點(diǎn)￡,若=2S?8c，求tan44C的值.【解析】【分析】（1）利用弘S證明且AZMC,可得/AOC=ZA8C=90。，即可得證；（2）由已知條件可得AEQCsaebA,可得出DC:BA=k.e，進(jìn)而得出CBBA=1:無即可求得tanZBAC；【詳解】（1）???AC平分NH4Q,???ABAC=ADAC.VAB=AD,AC=AC,ABACADAC.?.ZADC=ZABC=90°..\CD±AD,:.AO是OC的切線.(2)由(1)可知，ZEDC=ZABC=90°,又NE=NE，??AEDCsgBA.：SAEDC=2Smbc，且A5AC0ADAC,?q?q=17??一EDC?八EBA一人?乙，:.DC:BA=l：y/2.VDC=CB,，C氏6A=1:@VZABC=90Q6.（2021?宿遷市）如圖，在此△月必中，N水城900,以點(diǎn)。為圓心，）為半徑的圓交月3于點(diǎn)。，點(diǎn)。在邊必上，豆CD=BD.（1）判斷直線切與圓0的位置關(guān)系，并說明理由；24（2）己知tanNOOC=——，吩40,求。。的半徑.7【答案】（1）直線⑦與圓。相切，理由見解析；（2）4JW【解析】【分析】（1）連接。C,證明4）。6+/0。4=90。,可得/0。。=90。，從而可得答案;CD24(2)由0。_1。。,1311/。0。=——=一，設(shè)8=24蒼則OC=7x,再求解OC7OD=25x,OA=7x,再表示08=。。+8。=49x,再利用A。？+6。？=46、列方程解方程，可得答案.【詳解】解：(1)直線5與圓0相切，理由如下：如圖，連接。C-ZAOB=90\OA=OC.NB+ZOAC=90°,ZOAC=ZOCA,-CD=BD,/B=/DCB,AZOCP=1800-90o=90°,??.OC±CD,???oc為G)o的半徑，「.CO是OO的切線.CD24(2)vOCLCDAanZDOC=——=OC7設(shè)CD=24x,則OC=7x,:.OD=yjoc2+CD2=25x,OA=OC=7x,?.CD=BD,BD=24.x,OB=OD+BD=49x,

???A5=40,/40B=90。,:.AO2+BO2=AB\??.(7力+(49無丫=4012 32...x=—,49寸半”-半（負(fù)根舍去）.??。。的半徑為：OC=7x=7xgI=4jI7.（2021?山東省聊城市）如圖，在△月6。中，AB=AC,。。是△月的外接圓，熊是直徑,交瓦于點(diǎn)，，點(diǎn)〃在AC上，連接必過點(diǎn)￡作廳〃回交月〃的延長線于點(diǎn)尸，延長交"于點(diǎn)G.（1）求證：砥是。。的切線:（2）若5。=2,AH=CG=3,求用和制的長.【答案】(1)見解析；（2）【答案】(1)見解析；（2）EF=竺,士叵

9 5【解析】【分析】(1)因?yàn)樗氖侵睆剑灾恍枳C明用【分析】(1)因?yàn)樗氖侵睆?，所以只需證明用1熊即可;（2）因所〃加，可利用""G?D’將要求的旗的長與已知量建立等量關(guān)系；因四邊形月及刀是圓內(nèi)接四邊形，可證得△CDGs^ABG,由此建立Q?與己知量之間的等量關(guān)系.【詳解】（1）證明：???四=月。,??.AB=AC-又???熊是。。的直徑,???BE=CE?:.ZBAE=ZCAE.「月氏月G：.AE\_BC.:./AH仁蚓.YEF"BJ工NAE代NAH0網(wǎng).：.所1AE.???斯是。。的切線.（2）如圖所示，連接0C,設(shè)。。的半徑為工9：AE±BC,：.CH=BH=-BC=-x2=1.2 2?」CG=3,：.HG=HC+CG=l+3=4.AG=y/AH2+HG2=a/32+42=5.在於△GW中，OH2+CH2=OC2>又丁0立冊0M3-JT,/.(3-r)2+l2=r2.解得，r=；3?5_1033*：EF"BC,.AH_HGa，~AE=~EF'.3_4*10-EF?T.”40?br=——.9??四邊形/步6》內(nèi)接于OO,：.ZB+ZADC=1SOQ.??NAOC+NCQG=180',??ZCDG=ZB.,/ZDGC=ZBGA,：?4CDGs^ABG..CD_CG?麗=而\'AC=^CH2+AH2=a/12+32=y/10,：.AB=AC=y/10..CD_3回5“二匹.58.（2021?湖北省隨州市）如圖，。是以A8為直徑的0°上一點(diǎn)，過點(diǎn)。的切線八七交A8的延長線于點(diǎn)石，過點(diǎn)3作5c,。上交A。的延長線于點(diǎn)0,垂足為點(diǎn)尸.AA（1）求證：AB=BC；（2）若O。的直徑A8為9,sinA=1.①求線段8/的長；②求線段8E的長.9（1）見解析；（2）①8/=1：②BE=—7【分析】（1）連接OO,由。石是。。的切線，可得可證。D//5C,可得ZODA=ZC.由O4=OD,可得/8A=/A即可:（2）①連接80,由O。的直徑A8為9,SU1A=，?==，可求5。=3.可證AB3BF1ZA=ZBDF，由$111/50尸=汴=7，BF=1.dD3BE②由（1）可知OD//BF,可證②由（1）可知OD//BF,可證AEBFsAEOD,【詳解】（1）證明：連接OO,TO石是。。的切線,：.DE1OD.又：BC工DE,：.OD//BC,?.ZODA=ZC.又???在△04。中，OA=OD,??ZODA=ZA,??ZC=ZA,:.AB=BC；（2）①連接80，??OO的直徑A8為9,AB=9,在RtAABD中，

VsmA=:.BD=-AB=3.3又?：NOBD+ZA=/FDB+NODB=90。,且NOBD=/ODB,:.ZA=ABDF，在Rtj\BDF中，BF1VsmZBDF=——=-,BD3??BF=-BD=1.3②由(1)可知O0//5尸,：.4D0E^/FBE,40D拄/BFE,BE1即"2BE1即"2BEBF. ',~OE~~OD9解得=經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.9.(2021?湖北省宜昌市)如圖，在菱形月⑥②中，。是對角線切上一點(diǎn)(見＞。0),OE1AB,垂足為￡,以必為半徑的。。分別交左于點(diǎn)私交E0的延長線于點(diǎn)EEF與DC交于點(diǎn)、G.(1)求證：a'是。。的切線：(2)若G是卯的中點(diǎn)，OG=2,DG=1.①求正的長：

②求助的長.【分析】（1）過點(diǎn)。作OJLLBC于前M,證明。妙=比即可；（2）①先求出N，*120",再求出陽=4,代入弧長公式即可;②過A作ANA.BD,由△，%s△的A；對應(yīng)邊成比例求出AD的長.【解答】解：（1）證明：如圖1,過點(diǎn)。作QKL8C于點(diǎn)M/勿是菱形ABCD的對角線，:.NABD=4CBD,VOMLBC.OEA.AB,：.OE=OM??6。是。。的切線.圖1(2)①如圖2,：?OG=—OH^2:AB"CD,0EJLAB,:.OFLCD,：.N06H=90Q,：?sinNGHO=—^2：.ZGHO=3O0,:.NGOH=60°,:?/HOE=120°,:0G=2,??由弧長公式得到底的長：120*4乂兀=?180 3②如圖3,過月作4VJ_初于點(diǎn)A；:DG=\,OG=2,OE=OH=L：.0D=標(biāo),OB=2炳,公三與耳:?XDOGsXDAN,ODDG?—=—,ADDN.遮__L_一位一3疾'2：,AD=^-.210.（2021?山東省蒲澤市）如圖，在。0中，月8是直徑，弦SLAB,垂足為，，￡為標(biāo)上一點(diǎn),尸為弦。。延長線上一點(diǎn)，連接比并延長交直徑.四的延長線于點(diǎn)G，連接熊交々?于點(diǎn)尸，若FE=FP.（1）求證：總是。。的切線：（2）若。。的半徑為8,sinF=2■，求%的長.【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得N1=/兒笫，4FPE=/FEP,由余角的性質(zhì)可求N莊丹N月￡0=90°,可得結(jié)論：（2）由余角的性質(zhì)可求N4N故;，由銳角三角函數(shù)可設(shè)EG=3*OG=5x,在Rt△比G中，利用勾股定理可求x=2,即可求解.【解答】解：（1）如圖，連接出：OA=OE,：.ZJ=AAEO.?CDLAB.：.ZA/iP=9Q0,YFE=FP、：.2FPE=2FEP,ZA+ZAFH=ZA+ZFFE=9Q<>,"FE丹/AEO=9S=4FEO,：.OE工EF,??比是。。的切線：(2)Y/FHG=40EG=9N,，N>NE0G=9O°=/介/5，:.ZF=4EOG,：.sinF=sinZEOG=—=—9OG5設(shè)EG=3x,OG=5at,???^=7oG2-EG2=V25x2-9x2=4AS?：OE=8,:.x=2,:.06=10,：.BG=10-8=2.11.（2021?四川省成都市）如圖，也為。0的直徑，。為。。上一點(diǎn)，連接力C,B3〃為45延長線上一點(diǎn)，連接Q?，且N6QHN4（1）求證：切是。。的切線：（2）若。。的半徑為泥，△胸的面積為2妙，求Q?的長；（3）在（2）的條件下，￡為。。上一點(diǎn)，連接四交線段以于點(diǎn)尸，若更=工，求6尸CF2的長.【分析】（1）連接％由四為。。的直徑，可得N/+N馳=90°,再證明結(jié)合已知N86P=N4可得/月⑦=90°,從而證明Q?是。。的切線：（2）過。作Q/J_于此過6作BN1CD于N,由△板的面積為2爬，可得CM=2,由Z為d/=N月得/=曾，可解得用4旗-1,根據(jù)可得aV=6￥=2,再由CMAM△%得坨=典=典即型_=迤二1=——絲L一，解〃A-2泥-2,WCDCDCMDMDN+22 BD+^5-1=〃計(jì)G—2近；（3）過。作GAL四于M過￡作EH1AB于H,連接0E,由CMLAB,見L粉可得更=些CFCM=此,而2L=Ji,一故HE=LMF=2HF,Rt40EH中,朋=2,可得47=）-面=爬-2,MFCF2設(shè)HF=x,則質(zhì)=2x,則（遙-1）+2/田（旗-2）=2怖，可解得HF=\,MF=2,從而BF=B祖MF=（^5-1）+2=V5+1.【解答】（1）證明：連接%如圖:為。。的直徑，AZACB=9Q<>,ZA+ZABC=90",/0B=OC、：.ZABC=NBCO,又NBCD=4A,"BCA/BCO=琳,即/月⑦=90°,:.OCX.CD,?.Q?是。。的切線：(2)過。作G/1四于M過8作BN1CD于A；如圖:;。。的半徑為，月6=2>/^,??△月回的面積為2泥，：.—AB^CM=2^艮［1」X2近?C”=2娓,2:.CM=2,RtZk6CV中，NBGf=900-ZCBA.Rt△/6。中，ZJ=90°-ZCBA,:.ZBCM=N4/?tanZ5CI/=tanJ,即以=里CMO訓(xùn)= 2，2V5-BM'解得-1,（笈仁返+1已舍去），?ZBCD=N4ABCM=N4:.ZBCD=/BCM,而NBWT=NRm=9（r,BC=BC,：.CN=CM=2,BN=B）f=45-b?ZDNB=NDMC=90；ZD=N〃:?△DB/XDCM,BD=BN=DN*,CDCMDM,叩BD_份1_DN'DN+22 BDW5-1，解得DN=2近-2,:.CD=D2CN=2氐（3）過。作d/J_四于M過后作mL四于訝連接0E,如圖:??CMLAB.EHA.AB.?EF=HE=HF',"cfcmmF,??EF=1,CFT?HE=HF=1??面W5，由（2）知C"=2, -b:.HE=3MF=2HF,Rt△。即中，^=7oE2-HE2=V（V5）2-l2=2,*.AH=OA-0H=\f5-2,設(shè)HF=x,則即=2x,由 可得：B\hgHFrAH=2層,：.（V5-1）+2田B（&-2）=2粕，解得：x=l,:.HF=LMF=2,：.BF=B\f^MF=（V5-1）+2=V5+1.12.（2021?四川省樂山市）如圖，已知點(diǎn)C是以A6為直徑的圓上一點(diǎn)，。是A5延長線上一點(diǎn)，過點(diǎn)。作5。的垂線交AC的延長線于點(diǎn)E，連結(jié)CO,且CD=ED.E（1）求證：。。是O。的切線；（2）若tanNZX若=2,50=1,求O。的半徑.【答案】（1）見解析；（2）-2【解析】【分析】（1）連接OC、BC,根據(jù)已知條件證明ZE+Z（9AC=90°,ZECD+ZOCA=90°即可得解；（2）由（1）可得△DCSsApac,得到0c2=zM?06,令A(yù)O=r,根據(jù)正切的定義列式求解即可：【詳解】解：（1）證明：連結(jié)OC、BC.VOC=OA,DC=DE,AZOCA=ZOAC,ZE=ZDCE.EDLAD???NAZ圮=90。，AZE+Z(9AC=90°,ZECD+ZOCA=90Q,???ZDCB+ZBCO=90°,ADCICO即CO是OO的切線.(2)由(1)知，ZDCB=ZCAO,又/CDB=NADC,，APCBsADAC,即DC2=DADB.令A(yù)O=r,ADC2=(2r+l)l.即DC=12）+1，即DE={2r+l.ADTOC\o"1-5"\h\zVtanZDCE=2,即tanNE=2= ,DE2r+l_???, =2,V2r+13 1解得，.=三或廠=一大（舍），2 2???oo的半徑為2.213.（2021?四川省涼山州）如圖，在用aA5c中，ZC=90°,月E平分NWC交8。于點(diǎn)E,點(diǎn)〃在"上，DELAE.是RAAOE的外接圓，交AC于點(diǎn)、F.（1）求證：力是OO的切線：（2）若OO的半徑為5,AC=8,求S“°e,【答案】（1）見解析；（2）20【解析】【分析】（1）連接/由好必，利用等邊對等角得到一對角相等，再由斯為角平分線得到一對角相等，等量代換得到一對內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到月。與更平行，再根據(jù)兩直線平行同位角相等及NC為直角，得到應(yīng)'與6。垂直，可得出a'為圓。的切線；（2）過￡作用垂直于如利用初5得出△月6比△月出得到月段8,從而可得仍利用勾股定理求出EG,再利用三角形面枳公式可得結(jié)果.【詳解】解：（1）證明：連接您,:OQOE,，N1=N3,???月￡平分/胡。,AZ1=Z2,，N2=N3,/?OE"AC,則比'為圓。的切線；(2)過方乍A；_L四于點(diǎn)G,在△月四和中，Z2=Z1ZC=AAGE,AE=AE：./\ACE^/\AGE(44S),，月會(huì)月合8,??圓。的半徑為5,，止以+如10,，妗3,*,EG^yjOE~—OG~二4，，△月龐的面積=LxAOxEG=Lx10x4=20.2 214.（2021?瀘州市）如圖，△嫉是。。的內(nèi)接三角形，過點(diǎn)。作。。的切線交物的延長線于點(diǎn)尸，月后是。。的直徑，連接屆

（1）求證：ZACF=ZB；（2）若48=8C,ADLBC于點(diǎn)、D,尸C=4,￡4=2,求">?AE的值【答案】（1）證明見詳解；（2）18.【解析】【分析】（1）連接OC,根據(jù)尸C是0。的切線，月￡是。0的直徑，可得ZACF="CO,利用OE=OC,得至ljNOEC=ZECO,根據(jù)圓周角定理可得NOEC=ZB,則可證得ZACF=ZB；（2）由（1）可知NACF=4,易得AAFC?△C77?,則有q=竺1=8,則可得fa? ar）4rA5=5C=6,并可求得8="絲=3,連接BE,易證△A8?Ag,則有h=「fc ABAE可得AD.AE=AB.AC=18.【詳解】解：（1）連接OC二?EC是。。的切線，月少是。。的直徑,/?AOCF=/ACE=90,:.ZACF+ZACO=乙ECO+/ACO=90:.NACF=LECO又?：OE=OC

:.Z_OEC=AECO根據(jù)圓周角定理可得：AOEC=:.4=ZECO,???ZACF=ZB；(2)由(1)可知NACF=4,??,ZAFC=NCFB：.MFC?△CFB?FC_FA,?百一記.FC2??FB=——，?：FC=4,FA=2,：.AB=FB-AF=8-2=6：.AB=FB-AF=8-2=6:.:.AB=BC=6又「AAFC?△6?中,又「AAFC?△6?中,CA_FA~bc~Tc/?CA=FA.BC2x6

丁如圖示，連接如圖示，連接8EVZACD=ZAEB.ZADC=ZABE=90:.LACD^lAEBADAC? ??下一次?\AD9Ah=A6?AC=6x3=18.15.（2021?四川省自貢市）如圖，點(diǎn)〃在以為直徑的。0上，過。作0。的切線交四延長線于點(diǎn)C，AE_LC。于點(diǎn)區(qū)交。。于點(diǎn)尸，連接49,FD.（1）求證：ZDAE=ZDAC；（2）求證：DFAC=ADDC；（3）若sinNC=；,AD=4y/10,求環(huán)的長.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）EF=6.【解析】【分析】（1）連接如BD,由圓的切線的性質(zhì)結(jié)合圓周角定理可求得乙期二乙4被再利用等角的余角相等，可證明結(jié)論；（2）如圖，連接物、BF,利用平行線的性質(zhì)以及圓周角定理證得/合/血方根據(jù)（1）的結(jié)論可證明△J/k△月必，可證明結(jié)論；（3）設(shè)物:0氏%利用三角函數(shù)的定義和勾股定理得到aMx,CD=屏天,AC=5.r,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)求解即可.詳解】（1）證明：連接切，BD,也是。。的切線，〃為切點(diǎn),:.ODLED,/.ZODA+ZEDA=QQ0,,.?45為。。的直徑，AZADB=90°,?.N煙+N勿廬90°,：./OD氏/EDA,:0氏OD,：.ZOD^ZOBD.：./EDM/ABD,??AEVCD,，N斤90°,?. =〃4c(等角余角相等);(2)如圖，連接物、BF,為。。的直徑，:.NA眸90',/.BF//CF,:.“NAB拄/ADF,由(2)得4M^=NmC,/?XAD『MCD,.AD_DF,AC-CD，DFAC=ADDC：(3)過〃作她_四于〃連接辦，BD,設(shè)OQOAx,在Rt/\ODC“i,sinC=-=-OC4:.<76=1as則CD-^OC2-OD2=yfEx，由（2）得。尸?AC=AZ>OC,即。尸=生叵邊亙=4?，5x?：,/a吩NZ?限90°,"0DW/3OH]在RtAODH中,sinZODH=——=-,OD41：.O*—x,4：,DH=4oD2-OH2=孚x,由（1）得4ME=NZMC,D卞D氏g-x,4???N詼NM火圓內(nèi)接四邊形外角等于內(nèi)對角）,由（1）得NEDA二NABD,:./EFA/EDA,:?XEAD~/\EDF,,即孚'4回，EFDF下一碇3??EF——X94在正△龍尸中，E尸+DE?=D尸，即孑+|Wj=（4#『，解得：x=8,3:.EF=—x8=6.416.（2021?天津市）己知△A6C內(nèi)接于00,46=AC,447=42。，點(diǎn)，是OO上一點(diǎn).

（I）如圖①，若5。為。0的直徑，連接C。，求〃8c和NACQ的大??；（H）如圖②，若CO〃ZM,連接AO,過點(diǎn)〃作O。切線，與OC的延長線交于點(diǎn)色求NE的大小.【答案】（I）ZD8c=48。，Z4CD=21°：（II）ZE=36°.【解析】【分析】（I）由圓周角定理的推論可知48=90。，"DC="AC=42。,即可推出〃8。=90。-4。。=48。；由等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可求出ZABC=ZACB=69°,從而求出Z4C￡>=4CD—NAC3=21。.（H）連接O。，由平行線的性質(zhì)可知NACO=44C=42。.由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可求出/4。。=180。一/48。=111。.再由三角形內(nèi)角和定理可求出NDAC=27。.從而由圓周角定理求出NDOC=2NZMC=54。.由切線的性質(zhì)可知/。。E=90。.即可求出ZE=900-ZDOE=36°.【詳解】（【詳解】（I）3。為OO的直徑，??ZBCD=90°.?,在。0中，ZBDC=ZBAC=42°,??ZDBC=90°-ZBDC=48°；AB=AC,ZBAC=42°,???ZABC=ZACB=1(180°-Z^AC)=69°.

:.ZACD=ZBCD-ZACB=21°.(H)如圖，連接OQ.?;CDHBA,?;CDHBA,????ZACD=ZBAC=42°.??四邊形A5CD是圓內(nèi)接四邊形，ZABC=69°,??ZADC=180°-ZABC=111°.??ADAC=180°-ZACD-ZADC=27°.??ZDOC=2ZDAC=54°./。石是oo的切線，:.DEtOD,即N。。石=90。.AZE=90°-ZDOE=36o.17.(2021?湖北省恩施州)如圖，在RtZ\/l緲中，NAOB=90",與月。相交于點(diǎn)瓦連接圓己知/月8=2乙4分.(1)求證：也為。。的切線：(2)若加＞=20,比=15,求"的長.與月5相交于點(diǎn)。,【分析】(1)證&J_四即可證四為。。的切線；(2)作皿_月。于，，利用三角形相似和勾股定理分別求出血和⑦的長度，再利用勾股

定理求出B即可.【解答】(1)證明：???/=必，：.ZOCE=/OEC,=90/ZA0C=2ZACE.=90：.ZOCA=ZOC^ZACE=—(ZOCE+ZOEC^ZAOC)=—X180"2 2:.OCX.AB.?.月5為。。的切線：(2)解：作EHLAC于H,:42=20,8g15,*-J5=7oA2-H3B2=72O2+152=25,??金4?08二?|ab?oc，即20X15^^X25XQC，乙 乙，0C=12,：.AE=OA-OE=2Q-12=8,EHA.AC,OCA.AC:.EH//OC,：./\AEH^/\AOC,?AE_EH..,AOOC即￡=里，2012.?.用=竺5,*#5C=7oB2-OC2=7152-122=9,：.AC=AB-BC=25-9=16,VJj￥=7aE2-EH2=^82-(-^)2=^???紡=月。-月4=16-型=絲，5 5???"=&H2yH2=｛詈)2+(普)2=^1.yD D D18.（2021?浙江省溫州市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過原點(diǎn)。（2,0）,B（0,8）,連結(jié)AB.直線CM分別交OM于點(diǎn)。，E（點(diǎn)。在左側(cè)），交x軸于點(diǎn)0（17,0）（1）求OM的半徑和直線CM的函數(shù)表達(dá)式：（2）求點(diǎn)、D,E的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)P在線段AC上，連結(jié)PE.當(dāng)NAEP與△060的一個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，求所有滿足條件的OP的長.【分析】（1）點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)M（1,4）,則圓的半徑A分=＞（2一1）2+42=/^，再用待定系數(shù)法即可求解：（2）由 得：（X-1）2+（-_L.i+2Z_-4）2=（V17）2,即可求解：4 4（3）①當(dāng)NAEP=NO8O=45°時(shí)，則△4即為等腰直角三角形，即可求解；②NAEP=NBO。時(shí)，則△EA尸進(jìn)而求解；③NAE產(chǎn)=N80。時(shí)，同理可解.【解答】解：（1）???點(diǎn)M是A8的中點(diǎn)，則點(diǎn)M（l,則圓的半徑為AM=d（2-4）2+4、=/^，設(shè)直線CM的表達(dá)式為y=h+〃，則JWk+b-O,解得|"4故直線CM的表達(dá)式為y=--A-+—：4 4

（2）設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)為（x,一且工+」工），4 4由AM="去得：（x-3）2+（-Xy+-H-2=（VI7）83 4解得x=5或-3,故點(diǎn)。、E的坐標(biāo)分別為（-5、（5：（3）（3）過點(diǎn)。作OHJ_O8于點(diǎn)H,則?！?3,由點(diǎn)A、E、B、D由點(diǎn)A、E、B、D的坐標(biāo)得d（g_2）2+0-3）2=8版,同理可得:BD=3孤08=8,①當(dāng)NAEP=NDBO=450時(shí)，則A4EP為等腰直角三角形，EP1AC,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5,5）,故0P=5；②NAEP=NB00時(shí)，??NEAP=NDB0,:.△EAPs/xDBO,?AEAP叩哂_AP_AP??而而’、37?B0豆,解得AP=8,故尸。=10;③NAEP=N8。。時(shí),??NEAP=NDBO,:.AEAPsAOBD,?AE日nAPOBBD8?AE日nAPOBBD8 3a/7則PO=5+9=且L,

4 4解得ap=m,4綜上，OP為5或10或工匚419.（2021?江蘇省鹽城市）如圖，。為線段P8上一點(diǎn)，以。為圓心，OB長為半徑的。。交P8于點(diǎn)A,點(diǎn)C在。。上，連接PC,滿足尸。2=以?尸叢（1）求證：尸C是O。的切線;（2）若A8=3力，求想■的值.BC【分析】（1）由PC2=R1?P8得弛旦■，可證得△RICs△0C&根據(jù)相似三角形的性PCPB質(zhì)得NPCA=NB,根據(jù)圓周角定理得NAC8=9（T,則NCAB+NB=90",由OA=O8得NCAB=NOC4,等量代換可得NPCA+NOCA=90",即。C_LPC,即可得出結(jié)論；（2）由AB=3用