高等數(shù)學(xué)上-ch2-24極限運(yùn)算法則

五、極限運(yùn)算定理10設(shè)limfx)Alimgx)B,lim[f(x)g(x)]Alim[f(x)g(x)]Alimf(x)Ag(

其中B limf(x) limg(x)f(x)A g(x)B 其中0由無窮小運(yùn)算法則,[f(x)g(x)](A

0.(1)成立[f(x)g(x)](A (A)(B)AB (2)成立f(x)AAABAg(x) B B(B

BA又0,B

x

時B B2

B

B

B12

12B(B

1B22

21B(B1B(B

有界推論1如果limfx)存在,而C為常數(shù)則lim[Cf(x)]Climf(常數(shù)因子可以提到極限記號外面推論

如果limfx)存在,而k是正整數(shù),lim[f(x)]k[limf(x)]klimf(x), limg(x)(2)(3中不可缺條件

limg(x)B04例8x2

x3 23x2 lim(x23x

limx2lim3x

(limx)23limx 2232 3x2

x33x

limx3 lim(x23x

233

73小結(jié)

設(shè)f(x)a0xna1xn1 an,則limf(x)a(limx)na(limx)n1

axnaxn1

f(x0設(shè)f(x)P(x),且Q(x) 則Q(x)limP(x)limf(x)xx0

P(x0

0f(x0

lim

Q(x0若Q(x0)0, 則商的法則不能應(yīng)用例9x1

4x 2x lim(x22x3) 商的法則不能 又lim(4x13

x22x34x1

03由無窮小與無窮大的關(guān)系,x1

4x 2xx2例10x1

22x3 x1時,分子,分母的極限都是零

0型)x2 (x1)(x22x1

2x

(x3)(x(消零因子法limx1 (消零因子法x1x 例

limx

x

x lim

x3 13(x

x

(x1)(x3

(x1)(x2x1)3(x

(x1)(x3lim

x x

lim (x1)(x2) x

x

x1(x1)(x2xlimx1x

xx

339例11

2x33x25x7x3

4x2解x時分子,分母的極限都是無窮大.型先用x3去除分子分母,分出無窮小,再求極限33

5

23

2x7x34x2 x xa0,當(dāng)nbaxmaxm1 lim 0,當(dāng)n

bxnbxn1

,當(dāng)n子,分母,以分出無窮小,然后再求極限.例 解 分子分母同除以9n9 9 lim

41 1 思考題在某個過程中，若f(x)有極限g(x)無極限，那f(xg(x)是否有極限？為什么 極限不存不一定，可能存在，可能不存2、復(fù)合函數(shù)求極限的變量代換（換元）法定理 函數(shù)ux在x0的某去心鄰域?x0內(nèi)有定義對任意x?x0,xu0limxu0xx0fu滿

limfuA limfxlimfu 例解uxx2已知limu 16∴原式=16 6解:方法 令u

x,則limux1u21x u

u1

lim(u1xlim(x x1) xx

例11：

limx2lim limxx1limx21

x2

x21x2x21x212

n(1

lim lim(2x3)10(x

x

例 x21x21x

x

11

t1,txlim1 111

1t2原式

t0 t

t t1t21t2t0 例.a解 令t1,x0lim31

3t31t

t

t lim3t31at 1a a3、極限存在準(zhǔn)準(zhǔn)則 ?g(x)f(x)h(x),limg(x)x

limh(x)xxlimfx2(單調(diào)有界準(zhǔn)fx是a,b f(x)間內(nèi)的單調(diào)有界函數(shù)，limf(x)x

xa 說明：1(,b),(a,或(,) 設(shè)單位圓O,圓心角AOB (0x2

Box limsinxlimsinxx 于是有sinx x弧 tanxsinxxtan

即cosxsinxx上式對于x0也成立2

0

x時20cosx

1cos

2sin2x2(x

x22x2x

lim(1cosx)

limcosx

lim1

limsinx

例

1(xn aa

n1,2),

a0limxn

12

a) xxnxn11

a)1(1a)

∴l(xiāng)imxnA1(Aa

A x10,xn0,

limxn 4、兩個重要limsinlimsinxx例 解 limsinkxlimksinkxklimsinkx k k例9

limxsin 解 例

求lim1cosx

2sin2

sin2解原式lim

1lim

sin

2

(x)221lim( 2

12 212例 求

sin

（m,n為正整數(shù) sinlimsin sinlimsinmx mnx0nn

sin 例 求limtan 解：limtan limsinx x0 例

limarcsin limarcsin

tarcsint0sinlim(11)lim(11)xxxlim(11lim(11lim(1x) x1lim(1 例

求lim(11)x 原式lim[(11)x 1e

1)x例17求lim3x)2x. 2 原式

)x2]2

e2.

x x例

求lim(1k)xxxxxx解原式

k)k]k例18求lim(1cosx)3secx. 解原式