2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校高二年級上冊學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年黑龍江省齊齊哈爾市普高聯(lián)誼校高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知空間點，則點P關(guān)于y軸對稱的點的坐標為（

）A． B．C． D．D【分析】利用空間直角坐標系點關(guān)于坐標軸對稱的特點求解作答.【詳解】依題意，點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為.故選：D2．直線：的一個方向向量的坐標為（

）A． B． C． D．D【分析】將直線的方程整理為斜截式，求得斜率，得到方向向量之一，利用直線的方向向量都共線，進而可以判定.【詳解】直線的方程可以改寫為：,斜率為,∴直線的一個方向向量的坐標為,直線的所有的方向向量的坐標為的形式，故只有D是正確的，對應(yīng)的，其余的向量都與這個向量不共線，都是錯誤的.故選：D.3．已知向量，，且，則實數(shù)等于（

）A．1 B． C． D．A【分析】根據(jù)空間向量垂直的坐標運算得到方程，解之即可求出結(jié)果.【詳解】，得.故選：A.4．已知平面內(nèi)有一個點，的一個法向量為，則下列點在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．D【分析】只要給的點與點連接得到的向量與的一個法向量為垂直，則這個點就在平面內(nèi)，否則不在平面內(nèi).【詳解】解：設(shè)①②③④中的點分別為.對于A：令點，，則，所以，故A錯誤；對于B：令點，則，所以，故B錯誤；對于C：令點，則，所以，故C錯誤；對于D：令點，則，所以，故D正確.故選：D5．空間四邊形中，，分別為，的中點，則等于（

）A． B． C． D．B【分析】利用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則可得解.【詳解】如圖，為的中點，.故選：B6．若圓過坐標原點，則實數(shù)m的值為（

）A．1 B．2 C．2或1 D．－2或－1A【分析】把坐標代入圓方程求解．注意檢驗，方程表示圓．【詳解】將代入圓方程，得，解得或0，當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，，不滿足題意.故選：C．7．《九章算術(shù)》是古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，書中記載了一種名為“芻甍”的五面體(如圖)，其中四邊形為矩形，，若，和都是正三角形，且，則異面直線與所成角的大小為（

）A． B． C． D．A【分析】以矩形的中心O為原點，的方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，利用空間向量數(shù)量積坐標公式可得異面直線所成的角．【詳解】如圖，以矩形的中心O為原點，的方向為x軸正方向建立空間直角坐標系，∵四邊形為矩形，和都是正三角形，∴平面，且是線段的垂直平分線.設(shè)，則，∴，∴，∴，∴異面直線與所成的角為.故選：A8．若圓：上存在點，且點關(guān)于直線的對稱點在圓：上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．B【分析】分析可知：關(guān)于直線對稱，點關(guān)于直線的對稱點仍然在圓上，于是可以把問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系問題進行處理.【詳解】根據(jù)題意，圓的圓心坐標為（0，1），半徑為r，直線經(jīng)過點(0,1),即經(jīng)過圓的圓心，所以關(guān)于直線對稱，點關(guān)于直線的對稱點仍然在圓上,為使得點在圓上，即滿足題意的點存在的充分必要條件所以圓與圓有公共點，即相切或相交，圓心距為，所以只需，解得．故選：B.二、多選題9．過點且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為（

）A． B． C． D．AC【分析】分截距為零和不為零兩種情況討論即可.【詳解】當(dāng)截距為0時，過點和原點，直線方程為，即，當(dāng)截距不為0時，設(shè)直線方程為，可得，∴，所以直線方程為,故選：AC.10．若，，與的夾角為120°，則的值為（

）A． B．17 C．1 D．BD【分析】由空間向量夾角的坐標表示求解【詳解】由題意得解得或故選：BD11．圓：和圓：相交于，兩點，若點為圓上的動點，點為圓上的動點，則有（

）A．公共弦的長為 B．的最大值為C．圓上到直線距離等于的點有3個 D．到直線距離的最大值為BD【分析】將兩圓相減得相交弦方程并求交點坐標，即可得；確定兩圓的圓心坐標及其半徑，求出圓心距，最大為圓心距加上兩圓半徑即可；求到直線的距離，判斷與大小即可；求到直線的距離，即可確定到直線距離的最大值.【詳解】由題設(shè)，將兩圓方程相減，可得直線，聯(lián)立圓并整理可得，所以或，可令，，故，A錯誤；又圓，圓，則、且半徑分別為、，所以，要使的最大，即為，B正確；由點到直線的距離為，而，所以圓上到直線距離等于的點有2個，C錯誤；由到直線的距離為，則到直線距離的最大值為，D正確.故選：BD12．如圖，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，若P，Q分別為直線BD，CA上的動點，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)，時，點D到直線PQ的距離為B．線段PQ的最小值為C．平面平面BCDD．當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為BCD【分析】易知，從而平面，進而有平面平面，即可判斷C；建立坐標系，利用向量法可判斷ACD【詳解】取的中點，連接，由題意可知：，因為，所以，又易知，因為，，，所以平面，因為平面，所以平面平面，故C正確；以為原點，分別為軸建立坐標系，則，當(dāng)，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故A錯誤；設(shè)，，由得，，，當(dāng)時，，故B正確；當(dāng)P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設(shè)PQ與AD所成的角為，則，所以PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD三、填空題13．經(jīng)過點和的直線的斜率為___________.【分析】由斜率公式計算．【詳解】由已知所求直線斜率為．故．14．已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標是_________.【分析】根據(jù)投影向量的定義，應(yīng)用空間向量夾角的坐標運算求夾角余弦值，進而求即可.【詳解】，所以向量在向量上的投影向量為.故15．若圓上，有且僅有一個點到的距離為1，則實數(shù)的值為____________.4或6##6或4【分析】考慮點在圓內(nèi)和圓外兩種情況，進而結(jié)合圓的性質(zhì)求得答案.【詳解】由題意，圓心與點的距離為，而圓上有且僅有一個點到的距離為1，根據(jù)圓的性質(zhì)，若點在圓內(nèi)，則，若點在圓外，則.故4或6.16．如圖，在四棱臺中，，，則的最小值為_________.【分析】先判斷出的最小值為四棱臺的高，添加如圖所示的輔助線后可求四棱臺的高，從而可得所求的最小值.【詳解】如圖，設(shè)，則平面，故，的最小值即為四棱臺的高.如下圖，過作，垂足為，過作，垂足為，過作平面，垂足為，連接，則，，因為，，故，故，而，故，所以，因為平面，故，而，故平面，因平面，故，故，故，即的最小值為，故答案為.四、解答題17．已知直線的傾斜角為60°.(1)若直線過點，求直線的方程；(2)若直線在軸上的截距為4，求直線的方程.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率，再根據(jù)直線的點斜式方程即可求解；（2）根據(jù)直線的傾斜角求出直線的斜率，再根據(jù)直線的斜截式方程即可求解.【詳解】（1）∵直線的傾斜角為60°，∴直線的斜率為，∵直線過點，∴由直線的點斜式方程得直線的方程為，即.（2）∵直線的傾斜角為60°，∴直線的斜率為，∵直線在軸上的截距為4，∴由直線的斜截式方程得直線的方程為.18．在三棱錐中，是的中點，在上，且，，，.(1)試用，，表示向量；(2)若底面是等腰直角三角形，且，，求的長.(1)(2)【分析】（1）根據(jù)給定條件利用空間向量線性運算直接寫出并化簡計算即可；（2）利用給定條件借助空間向量的數(shù)量積即可計算EF的長．【詳解】（1）由已知，是的中點，在上，且，則所以（2）因為，，，即，且由（1）知的長為.19．已知圓C經(jīng)過（-1，3），（5，3），（2，0）三點.(1)求圓C的方程；(2)設(shè)點A在圓C上運動，點，且點M滿足，求點M的軌跡方程.(1)(2)【分析】（1）將三點坐標代入圓的一般方程去求解即可得到圓C的方程；（2）以相關(guān)點法去求點M的軌跡方程即可解決.【詳解】（1）設(shè)圓C的方程為則有，解之得則圓C的方程為（2）設(shè)，，則有，，由，可得，解之得由點A在圓C上，得即故點M的軌跡方程為.20．如圖1，在邊長為4的菱形中，，點是中點，將沿折起到的位置，使，如圖2.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值.(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)題意證明平面可得，再結(jié)合即可證明平面；（2）結(jié)合（1）以，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系，利用線面角的坐標法求解即可.【詳解】（1）∵在菱形ABCD中，，于點E，∴，，∴，又∵，，平面，∴平面，平面，∴，又∵，，平面，∴平面；（2）∵平面，，∴以，，所在直線分別為軸，軸和軸，建立空間直角坐標系（如圖），則，，，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，由，，得，令，得，∴，設(shè)直線與平面所成角為，所以，∴直線與平面所成角的余弦值為.21．已知圓的圓心在直線上，且與軸相切于點.(1)求圓的方程；(2)若圓與直線：交于兩點，_____，求的值.從下列兩個條件中任選一個補充在上面問題中并作答：條件①：；條件②.注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分.(1)(2)或【分析】（1）設(shè)圓心和半徑，根據(jù)題意列式求解，即可得圓的方程；（2）對①、②分析均可得圓心到直線的距離，根據(jù)點到直線的距離運算求解.【詳解】（1）圓的圓心為，半徑為，由題意可得，解得，即圓心，半徑為，故圓的方程為.（2）選①：∵，則為等邊三角形，，圓心到直線：的距離，則，解得或.選②：圓心到直線：的距離，則，解得或.22．如圖所示，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，為的中點，為線段上的點.(1)若為線段的中點，求證：//平面；(2)當(dāng)時，求平面與平面夾角的余弦值的范圍.(1)見解析(2)【分析】（1）取中點為，可得，然后利用線面平行的判定定理即得；（2）利用線面垂直的判定定理可得AM⊥平面，進而可得DC⊥平面PAD，可以取的中點，以為坐標原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AD＝2，（），利用空間向量方法求得平面與平面夾角的余弦值關(guān)于的函數(shù)，研究單調(diào)性，從而得到取值范圍.【詳解】（1）取中點為，連接,在中，∵為的中點，為中點，∴,在正方形中，∵為的中點，∴,∴，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵平面，平面，∴平面；（2）在正三角形中，為的中點，∴，當(dāng)時，∵平面，平面，∴AM⊥平面，又∵平面PCD，