2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州市高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．A【分析】首先進(jìn)行并集運(yùn)算，然后計(jì)算補(bǔ)集即可.【詳解】由題意可得：，則.故選：A.2．命題“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù)”的否定是（

）A．任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù) B．任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)C．存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是素?cái)?shù) D．存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)B【分析】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題即可求求解.【詳解】“存在一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方是偶數(shù)”的否定是“任意一個(gè)素?cái)?shù)，它的平方不是偶數(shù)”.故選：B3．若集合A的子集個(gè)數(shù)有4個(gè)，則集合A中的元素個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．4 C．8 D．16A【分析】直接根據(jù)集合元素個(gè)數(shù)和子集個(gè)數(shù)關(guān)系列式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)集合A中的元素個(gè)數(shù)是，則，解得故選：A.4．已知是定義在上的增函數(shù)，則（

）A．函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．函數(shù)為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性定義和其對(duì)稱性可判斷AB；利用奇偶性的定義以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可判斷CD.【詳解】不妨令，則，且的定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，則的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則不可能在上單調(diào)，故AB錯(cuò)誤；令，則，且的定義域?yàn)?，故是奇函?shù)，因?yàn)槭嵌x在上的增函數(shù)，所以由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知，在上是減函數(shù)，故在上是增函數(shù)，故C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.5．已知冪函數(shù)為偶函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)的下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（

）A．的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．的值域?yàn)镃．在上單調(diào)遞減 D．D【分析】根據(jù)為冪函數(shù)且為偶函數(shù)可得，進(jìn)而得，根據(jù)奇偶性的判斷可判斷A，根據(jù)單調(diào)性確定值域可判斷B，C,代入計(jì)算進(jìn)而可判斷D.【詳解】因?yàn)槭莾绾瘮?shù),所以,解得或,又是偶函數(shù),所以,故,故;對(duì)于A;,故是偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B；，由于，所以，故，故值域?yàn)?，故B錯(cuò)誤,對(duì)于C;,由于在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞減，故在遞增，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D；從而，故D正確，故選：D6．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，最小值是，則（

）A．與有關(guān)，且與有關(guān) B．與有關(guān)，但與無關(guān)C．與無關(guān)，且與無關(guān) D．與無關(guān)，但與有關(guān)B【分析】易證得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，分，，和四種情況討論，求出函數(shù)得最大值和最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?，，所以，所以函?shù)關(guān)于對(duì)稱，，當(dāng)時(shí)，，則，與無關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與無關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與有關(guān)，與無關(guān)，當(dāng)時(shí)，，則，與有關(guān)，與無關(guān)，綜上所述與有關(guān)，但與無關(guān).故選：B.7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).利用該結(jié)論，則函數(shù)圖象的對(duì)稱中心是（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)為奇函數(shù)，由奇函數(shù)滿足的關(guān)系式即可列方程求解.【詳解】設(shè)的圖象關(guān)于點(diǎn)，令，則，由為奇函數(shù)，故，即，化簡(jiǎn)得，故且，解得，故對(duì)稱中心為，故選：C8．若將有限集合的元素個(gè)數(shù)記為，對(duì)于集合，，下列說法正確的是（

）A．若，則B．若，則或C．若，則D．存在實(shí)數(shù)，使得C【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再對(duì)分類討論求出集合，最后根據(jù)所給對(duì)于及集合的運(yùn)算一一分析即可.【詳解】解：由，即，解得，所以，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，所以，，所以，故A錯(cuò)誤；由，即，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得，當(dāng)時(shí)解得，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，對(duì)于B：若，若則，則，此時(shí)，若則，則，此時(shí)，綜上可得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，當(dāng)時(shí)顯然滿足，當(dāng)時(shí)則，解得，當(dāng)時(shí)則，解得，綜上可得，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)?，，若，則，此時(shí)，即，則，與矛盾，故D錯(cuò)誤；故選：C二、多選題9．下列命題為真命題的是（

）A．是的必要不充分條件B．或?yàn)橛欣頂?shù)是為有理數(shù)的既不充分又不必要條件C．是的充分不必要條件D．的充要條件是BD【分析】由已知，選項(xiàng)A，可舉例當(dāng)時(shí)，判斷是否滿足必要性；選項(xiàng)B，選項(xiàng)C，選項(xiàng)D，可根據(jù)條件和結(jié)論分別驗(yàn)證充分性和必要性.【詳解】選項(xiàng)A，必要性：，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，，中有一個(gè)數(shù)為有理數(shù)時(shí)，不一定為有理數(shù)（如：），所以或?yàn)橛欣頂?shù)不一定能推導(dǎo)出為有理數(shù)；為有理數(shù)時(shí)，，可能均為無理數(shù)（如：），所以，此時(shí)為有理數(shù)不一定能推導(dǎo)出或?yàn)橛欣頂?shù)，所以該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C，充分性：，必要性：，應(yīng)為充要條件，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，必要性：，所以，即，所以；充分性：，則，該選項(xiàng)正確.故選：BD.10．函數(shù)滿足條件：①對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)恒有；②對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)都有成立，則稱其為函數(shù).下列函數(shù)為函數(shù)的是（

）A． B．C． D．BC【分析】利用函數(shù)的定義結(jié)合圖象逐一判斷即可.【詳解】依題意，對(duì)于定義域內(nèi)任意不相等的實(shí)數(shù)恒有，即是減函數(shù)；對(duì)于定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)都有成立，是下凹函數(shù).A選項(xiàng)中，是減函數(shù)，且，故不滿足條件，不是函數(shù)；B選項(xiàng)中，是減函數(shù)，如圖可知，圖象下凹，，是函數(shù)；C選項(xiàng)中，是減函數(shù)，如圖可知，圖象下凹，，是函數(shù)；D選項(xiàng)中，是增函數(shù)，如圖所示，所以不是函數(shù).故選：BC.11．函數(shù)是定義在上的函數(shù)，則（

）A．若，則函數(shù)的值域?yàn)锽．若，則函數(shù)的值域?yàn)镃．若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍是D．若函數(shù)單調(diào)遞增，則的取值范圍是BD【分析】AB選項(xiàng)利用分段函數(shù)的值域求解判斷；CD選項(xiàng)利用分段函數(shù)的單調(diào)性求解判斷.【詳解】解：若，則函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，，則，當(dāng)時(shí)，，所以，故A錯(cuò)誤B正確；若函數(shù)單調(diào)遞增，則，解得，所以的取值范圍是，故C錯(cuò)誤D正確.故選：BD12．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)，與函數(shù)，是同一個(gè)函數(shù)B．直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)C．滿足“值域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同”的函數(shù)組不存在D．滿足“定義域相同，值域相同，但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同”的函數(shù)有無數(shù)個(gè)ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，以及函數(shù)的三個(gè)要素：定義域，值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】對(duì)于A;函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，定義域相同，故為同一個(gè)函數(shù)，A正確，對(duì)于B;根據(jù)函數(shù)的定義，對(duì)于定義域內(nèi)任意的自變量,都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，故直線與函數(shù)的圖象至多有一個(gè)公共點(diǎn)，B正確，對(duì)于C；如，兩函數(shù)的值域均為，對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D；例如對(duì)任意的一次函數(shù)，定義域值域均為,但對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故D正確，故選：ABD三、填空題13．若，則的取值范圍是____．【分析】直接利用不等式的性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】，①，又，②，①+②可得即的取值范圍是故14．若函數(shù)為奇函數(shù)，則____．3【分析】結(jié)合已知條件，首先利用奇函數(shù)性質(zhì)和賦值法求出參數(shù)，進(jìn)而可得到答案.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，即，故.故3.15．已知正數(shù)滿足，若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是____．【分析】參變分離得，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】由恒成立得恒成立，即求的最小值又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，的最小值為4，即實(shí)數(shù)的最大值是4故4.16．若函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意的，都有，且，則不等式的解集是____．##【分析】由已知，根據(jù)經(jīng)過變形得到，可令，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性，將要求的不等式轉(zhuǎn)化為，然后利用單調(diào)性直接求解即可.【詳解】由已知，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，可設(shè)，則，令，所以，又因?yàn)?，所以函?shù)在上單調(diào)遞增，不等式可變?yōu)?，又因?yàn)?，所以，所以，即，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得.故答案為.四、解答題17．已知函數(shù)的定義域是，集合.(1)若，求，；(2)若命題“，”是真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)，(2)【分析】(1)根據(jù)函數(shù)解析式，求出集合,然后利用集合的運(yùn)算即可求解；(2)將條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，也即，列出條件成立的不等式組，解之即可.【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則有，解得，故.若，則，，.（2）由（1）知：，若命題“”是真命題，則.，

故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18．已知函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值；(2)若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)(2)【分析】（1）由韋達(dá)定理即可求得實(shí)數(shù)的值；（2）分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁降慕饧癁?，所以，且方程的兩不等根為?,（）由韋達(dá)定理得:，解得.（2）當(dāng)時(shí)，不等式為，解得，不等式的解集為，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，由，可得的解集為，所以有，即，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.19．閱讀：序數(shù)屬性是自然數(shù)的基本屬性之一，它反映了記數(shù)的順序性，回答了“第幾個(gè)”的問題.在教材中有如下順序公理：①如果，那么；②如果，那么.(1)請(qǐng)運(yùn)用上述公理①②證明：“如果，那么.”(2)求證：(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用不等式基本性質(zhì)得到，，從而得到；（2）法一：利用基本不等式得到，的取值范圍為，從而且，利用（1）中的結(jié)論即可得到答案；法二：令，得到函數(shù)為對(duì)勾函數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性和值域，令，得到的取值范圍為，此時(shí)，利用其單調(diào)性求出值域，得到答案；法三：令，則，令，得到的取值范圍為，換元后得到，再用作差法和因式分解得到，分和，均有，證明出，證明出結(jié)論.【詳解】（1），且，同理，；（2）法一：當(dāng)同號(hào)時(shí)，，.當(dāng)異號(hào)時(shí)，，，.·綜上可知，的取值范圍為，的取值范圍為且，·由（1）中的結(jié)論可知.法二：令，則關(guān)于的函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，所以的值域?yàn)?令，則的取值范圍為，令函數(shù)，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以函數(shù)的值域?yàn)?，所以，?·法三：令，則，令，則的取值范圍為，又，所以.因?yàn)楫?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，又，所以，原命題即證.20．某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/（kW·h），年用電量為akW·h，本年度計(jì)劃將電價(jià)下降到0.55元/（kW·h）至0.75元/（kW·h）之間，而用戶期望電價(jià)為0.4元/（kW·h）.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為）.該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.3元/（kW·h）.記本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門的收益為（單位：元），實(shí)際電價(jià)為（單位：元/（kW·h））.（收益=實(shí)際電量（實(shí)際電價(jià)成本價(jià)））(1)當(dāng)時(shí)，實(shí)際電價(jià)最低定為多少時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%？(2)當(dāng)時(shí)，求收益的最小值.(1)0.6元/（kW·h）(2)【分析】（1）先表示出下調(diào)電價(jià)后新增用電量，則電力部門的收益當(dāng)時(shí)，代入表達(dá)式中列出不等式，解出結(jié)果即可得實(shí)際電價(jià)最低定價(jià).（2）當(dāng)時(shí)，代入收益中，利用基本不等式求出收益得最小值即可【詳解】（1）由題意知，下調(diào)電價(jià)后新增用電量為.故電力部門的收益，.（1）當(dāng)時(shí)，.由題意知且.化簡(jiǎn)得.解得.或又.·所以實(shí)際電價(jià)最低定為：0.6元/（kW·h）時(shí)，仍可保證電力部門的收益比上年至少增長(zhǎng)20%（2）當(dāng)時(shí)，.令，，.·，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故收益的最小值.21．已知函數(shù)，.(1)當(dāng)時(shí)，，用表示，中的較大者，記為，求的最小值；(2)若不等式對(duì)任意，（）恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(1)(2)【分析】(1)利用分段函數(shù)表示，并利用作差法求出分段函數(shù)中對(duì)應(yīng)的自變量范圍，最后利用單調(diào)性即可求解；(2)構(gòu)造函數(shù)，由單調(diào)性定義可知在上單調(diào)遞增，然后分類討論的參數(shù)和判別式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，由或，此時(shí)；，此時(shí)，從而，結(jié)合一元二次函數(shù)和一次函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而故的最小值為.（2）令，由對(duì)任意，（）恒成立，即對(duì)任意，（）恒成立，故在上單調(diào)遞增，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，的圖像開口向上，①若時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，則若要在上單調(diào)遞增，只需即可，則；②若時(shí)，即或時(shí)，令，解得，，且，則由二次函數(shù)性質(zhì)可知，在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，若要在上單調(diào)遞增，則或解得或，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為.22．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根.(1)求的解析式；(2)設(shè)，①判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明；②已知，求函數(shù)的最小值.(1)(2)①在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②【分析】（1）通過待定系數(shù)的方式，以及條件中二次函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)，，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，列出對(duì)應(yīng)的方程組，從而得到的解析式；（2）①通過單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)；②因?yàn)闂l件中的和中的具有關(guān)系，所以可以換元，并求出的范圍，并將函數(shù)化簡(jiǎn)為，從而求出函