2022-2023學(xué)年福建省龍巖市一級校聯(lián)盟（九校）聯(lián)考高二年級上冊學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年福建省龍巖市一級校聯(lián)盟（九校）聯(lián)考高二上學(xué)期期中考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．直線的傾斜角為A． B． C． D．A【分析】首先將直線化為斜截式求出直線的斜率，然后再利用傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【詳解】由直線，則，設(shè)直線的傾斜角為，所以，所以.故選：A本題考查了直線的斜截式方程、直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則＝（

）A．60 B．62 C．63 D．81C【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式直接求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為,由題可得,即,解得,所以數(shù)列的通項(xiàng)公式,所以.故選:C.3．在等比數(shù)列中，如果，那么（

）A．40 B．36 C．54 D．128D【分析】設(shè)公比為，依題意可得即可求出，最后根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】解：設(shè)公比為，由，，所以，所以.故選：D4．甲、乙兩位旅客乘坐高鐵外出旅游，甲旅客喜歡看風(fēng)景，需要靠窗的座位；乙旅客行動(dòng)不便，希望座位靠過道．已知高鐵二等座的部分座位號碼如圖所示，則下列座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是（

）窗口12過道345窗口6789101112131415……………A．21，28 B．22，29 C．23，39 D．24，40A【分析】根據(jù)兩位乘客的要求用數(shù)列的通項(xiàng)分別表示座位號特點(diǎn)，從而可得答案.【詳解】解：左側(cè)窗口的座位號可以構(gòu)成以1為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為，靠右側(cè)窗口的座位號可以構(gòu)成以5為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為；左側(cè)過道的座位號可以構(gòu)成以2為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為，右側(cè)過道的座位號可以構(gòu)成以3為首項(xiàng)，5為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)為；則符合甲旅客要求的是，；符合甲旅客要求的是，；所以座位號碼符合甲、乙兩位旅客要求的是21，28.故選：A.5．已知橢圓C:,四點(diǎn),,,中恰有三點(diǎn)在橢圓上,則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．D【分析】根據(jù)橢圓的對稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上,代入橢圓方程求出即可.【詳解】根據(jù)橢圓的對稱性可知,在橢圓上,不在橢圓上,在橢圓上.將,代入橢圓方程得:,解得,橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:D.6．已知直線關(guān)于直線對稱的直線被圓截得的弦長為，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．4 B． C．8 D．B【分析】根據(jù)對稱關(guān)系求出直線的方程，再根據(jù)弦長公式即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)為,所以直線經(jīng)過點(diǎn),取直線上一點(diǎn)關(guān)于對稱的點(diǎn)為在直線上,所以,所以的直線方程為,圓心到直線的距離為,圓的半徑,所以,解得,故選:B.7．已知的頂點(diǎn)為是∠BAC的角平分線，則直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是（

）A． B． C． D．B【分析】設(shè)E為∠BAC的角平分線與的交點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)角平線性質(zhì)可得，即，由向量夾角公式求得，可得，即可得答案.【詳解】設(shè)E為∠BAC的角平分線與的交點(diǎn)，設(shè)，則，由是∠BAC的角平分線，則,故,即，則，即，又方程為，即，聯(lián)立，解得，則，故直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)可以是，故選：B.8．已知直線l與橢圓的交點(diǎn)為，且，若，且線段AB的垂直平分線方程為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．A【分析】直線與橢圓方程聯(lián)立，利用判別式得到，再根據(jù)韋達(dá)定理求得，即可得到得取值范圍，再根據(jù)線段的中點(diǎn)在中垂線上，且互相垂直即可得到，從而可求解實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，因?yàn)橹本€與橢圓相交，所以，即，又由韋達(dá)定理得，則有代入則有，解得，所以或.因?yàn)?，所以中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3代入，則中點(diǎn)為，因?yàn)锳B的垂直平分線方程為，所以,且點(diǎn)在中垂線上，所以，所以，因?yàn)榛?，所以所以故選:A.二、多選題9．已知直線，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，直線的傾斜角為 B．直線過定點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，直線在軸上的截距為 D．當(dāng)時(shí)，直線與直線平行BD【分析】由直線斜率和傾斜角關(guān)系可知A錯(cuò)誤；由直線過定點(diǎn)的求法可知B正確；根據(jù)時(shí)，可得在軸上的截距，知C錯(cuò)誤；根據(jù)直線斜率與連線斜率相等可知D正確.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則其傾斜角為，A錯(cuò)誤；對于B，當(dāng)時(shí)，，則直線過定點(diǎn)，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，則其在軸上的截距為，C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，直線斜率；又，，直線與直線平行，D正確.故選：BD.10．已知曲線的方程為，圓M：，則（

）A．曲線表示一條直線B．點(diǎn)與曲線上的點(diǎn)的最短距離為1C．當(dāng)時(shí)，曲線與圓有3個(gè)公共點(diǎn)D．不論取何值，總存在圓，使得圓與圓相切，且圓與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)BCD【分析】根據(jù)曲線化成兩條直線，即可判斷A；利用點(diǎn)到直線的距離判斷B；求解圓心到直線的距離與半徑比大小即可判斷C；根據(jù)圓與圓、直線與圓的位置關(guān)系，判斷D.【詳解】解：對于A，由于曲線的方程為，平方得，即，則曲線表示兩條直線，其方程分別為與，所以A錯(cuò)誤；對于B，點(diǎn)與直線上的點(diǎn)最短距離為到直線上的距離為1，點(diǎn)在直線外，所以點(diǎn)與直線上的點(diǎn)最短距離為點(diǎn)到直線的距離，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，圓為，圓心，半徑，則到直線的距離為，此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，到直線的距離為，則此時(shí)直線與圓相切只有一個(gè)公共點(diǎn)，則曲線與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)，故C正確；對于D，①當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)在圓內(nèi)，則存在，半徑為的圓與圓內(nèi)切，使得圓與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)，如下圖，②當(dāng)時(shí)，原點(diǎn)在圓外，則存在，半徑為的圓與圓外切，使得圓與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)，如下圖③當(dāng)時(shí)，則存在，以為半徑的圓與圓內(nèi)切，此時(shí)到直線的距離，所以圓與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)，如下圖④當(dāng)時(shí)，則存在，以為半徑的圓與圓外切，此時(shí)到直線的距離，所以圓與曲線有4個(gè)公共點(diǎn)，如下圖綜上，故D正確.故選：BCD.11．“臉譜”是戲曲舞臺演出時(shí)的化妝造型藝術(shù)，更是中國傳統(tǒng)戲曲文化的重要載體．如圖，“臉譜”圖形可近似看作由半圓和半橢圓組成的曲線C．半圓的方程為，半橢圓的方程為．則下列說法正確的是（

）A．點(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則△OAB面積的最大值為6B．曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7C．若，P是半橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則cos∠APB的最小值為D．畫法幾何的創(chuàng)始人加斯帕爾·蒙日發(fā)現(xiàn)：橢圓中任意兩條互相垂直的切線，其交點(diǎn)都在與橢圓同中心的圓上．稱該圓為橢圓的蒙日圓，那么半橢圓擴(kuò)充為整個(gè)橢圓：后，橢圓的蒙日圓方程為ABD【分析】選項(xiàng)A，易得，，從而判斷；選項(xiàng)B根據(jù)橢圓的性質(zhì)解決橢圓中兩點(diǎn)間距離問題；選項(xiàng)C由橢圓定義可得到|PA|、|PB|之和為定值，由基本不等式可以得到、|PB|乘積的最大值，結(jié)合余弦定理即可求出cos∠APB的最小值；選項(xiàng)D中分析蒙日圓的關(guān)鍵信息，圓心是原點(diǎn)，找兩條特殊的切線，切線交點(diǎn)在圓上，求得圓半徑得圓方程．【詳解】解：對于A，因?yàn)辄c(diǎn)A在半圓上，點(diǎn)B在半橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB，則，，則，當(dāng)位于橢圓的下頂點(diǎn)時(shí)取等號，所以△OAB面積的最大值為6，故A正確；對于B，半圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離都是，半橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的最小值為，最大值為，所以曲線C上任意一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值與最小值之和為7，故B正確；對于C，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，在△PAB中，，由余弦定理知：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以cos∠APB的最小值為，故C錯(cuò)誤；對于D，由題意知：蒙日圓的圓心O坐標(biāo)為原點(diǎn)(0，0)，在橢圓：中取兩條切線：和，它們交點(diǎn)為，該點(diǎn)在蒙日圓上，半徑為此時(shí)蒙日圓方程為：，故D正確．故選：ABD．12．對于數(shù)列，定義：，稱數(shù)列是的“倒和數(shù)列”．下列關(guān)于“倒和數(shù)列”描述正確的有（

）A．若數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列B．若，則數(shù)列是周期數(shù)列C．若，則其“倒和數(shù)列”有最大值D．若，則其“倒和數(shù)列”有最小值BC【分析】對A：利用函數(shù)單調(diào)性和舉反例判斷；對B：根據(jù)題意整理可得，進(jìn)而分析判斷；對C：分類討論的符號，并結(jié)合數(shù)列單調(diào)性分析判斷；對D：根據(jù)數(shù)列單調(diào)性分析判斷.【詳解】對A：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即在整個(gè)定義域內(nèi)不單調(diào)，故無法判斷數(shù)列一定是單調(diào)遞增數(shù)列，例如，則，可知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；對B：∵，則，又∵，即，則，即，∴，則數(shù)列是以周期為2的周期數(shù)列，B正確；對C：∵，則數(shù)列為遞減數(shù)列，即，令，則，∴當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則.由B可得，若時(shí)，則，則，即，∴，故其“倒和數(shù)列”有最大值，C正確；對D：∵，則數(shù)列為遞增數(shù)列，可得，∴，則，即，故數(shù)列為遞減數(shù)列，無最小值，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題13．到y(tǒng)軸距離等于1的點(diǎn)的軌跡方程為_________．【分析】設(shè)，到y(tǒng)軸距離等于1的點(diǎn)滿足，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，到y(tǒng)軸距離等于1的點(diǎn)滿足，即.故14．已知直線，點(diǎn)為直線l上任意一點(diǎn)，則的最小值為________．【分析】表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離和，由于在直線的同側(cè)，所以將其中一點(diǎn)關(guān)于直線對稱，再利用兩點(diǎn)之間線段最短可求得結(jié)果.【詳解】表示直線上的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離和，即,設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，所以,當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號，所以的最小值為，故答案為.15．已知數(shù)列滿足，，則________．2021【分析】由可得，由累加法可得，結(jié)合求得，即得，即可求得答案.【詳解】由得：，則，由于，故，故，故，故2021.16．橢圓上有且僅有4個(gè)不同的點(diǎn)滿足，其中，則橢圓C的離心率的取值范圍為________．【分析】根據(jù)題意求出點(diǎn)的軌跡方程，從而圓與橢圓有四個(gè)不同的交點(diǎn)即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn),由得,化簡得,依題意得圓與橢圓有四個(gè)交點(diǎn)，所以，即，即，所以，所以.故答案為:.四、解答題17．已知直線的方程為，若直線在y軸上的截距為，且．(1)求直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)；(2)已知直線經(jīng)過與的交點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為3，求直線的方程．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合直線的斜截式方程整理運(yùn)算；（2）設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程，結(jié)合題意運(yùn)算求解.【詳解】（1）∵直線的斜率且，則直線的斜率為，又∵在軸上的截距為，即過點(diǎn)，所以直線方程：，即，聯(lián)立方程得：，解得，故交點(diǎn)為.（2）依據(jù)題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線：且，與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，則直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸圍成的三角形面積為，解得，故方程為：，即.18．記為數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，已知.(1)求{}的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.(1)(2)【分析】（1）利用與關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義與通項(xiàng)運(yùn)算整理；（2），討論的奇偶性，結(jié)合并項(xiàng)求和方法運(yùn)算整理.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則；又∵，則是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴.（2）因?yàn)楫?dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；綜上所述：數(shù)列的前項(xiàng)和為.19．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：，設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N（6，n），．(1)求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l過點(diǎn)（0，－4）且與圓N相交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求此時(shí)直線l的方程．(1)(2)【分析】（1）設(shè)圓方程為，根據(jù)與圓外切得到，解得答案.（2）聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入計(jì)算得到或，驗(yàn)證即可.【詳解】（1）圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，圓，即圓，圓心，半徑；由，解得，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）依題意，直線的斜率存在，設(shè)，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，由，得或，當(dāng)時(shí)，舍去.故直線.20．已知為等差數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，且，，．(1)求與的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)在（2）的條件下，若對任意的，，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．(1)；(2)(3)【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列通項(xiàng)公式可構(gòu)造方程組求得，由此可得；（2）采用分組求和的方式，根據(jù)等比數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得；（3）將恒成立的不等式轉(zhuǎn)化為，令，利用作差的方式可求得的單調(diào)性，得到，由此可得的取值范圍.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由得：，又，，，.（2）由（1）得：，.（3）由（2）得：對任意的，恒成立，對任意的，恒成立；令，則；則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.21．已知圓，直線，點(diǎn)是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)若點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率為的直線，該直線與圓交于、兩點(diǎn)（、位于軸上方），過、分別作直線的垂線，垂線與軸交于、兩點(diǎn)，求的值．(2)過動(dòng)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，試問直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請說明理由．(1)(2)恒過定點(diǎn)【分析】（1）寫出直線的方程，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得為的中點(diǎn)，分析可知，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，進(jìn)而可求得的值；（2）設(shè)點(diǎn)，求出以線段為直徑的圓的方程，將該圓的方程與圓的方程作差可得出直線的方程，即可求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（1）解：由題意可知，直線的方程為，即，如下圖所示：過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理得為的中點(diǎn)，因?yàn)?，，，則為的中點(diǎn)，且，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，故.（2）解：設(shè)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，且，所以，以線段為直徑為圓的方程為，即，將圓的方程與圓的方程作差可得，即直線的方程為，由可得，因此，直線恒過定點(diǎn).22．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，過焦點(diǎn)且垂