高一數(shù)學(xué)：《5-5 三角恒等變換》名校精品導(dǎo)學(xué)案

第五章三角函數(shù)5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換1．能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式，體會(huì)其中的三角恒等變換的基本思想方法，以及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．2．了解三角恒等變換的特點(diǎn)、變換技巧，掌握三角恒等變換的基本思想方法，能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．重點(diǎn)：能用二倍角公式導(dǎo)出半角公式及進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用．難點(diǎn)：能利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)、求值以及三角恒等式的證明和一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．1．你能填寫(xiě)出下面我們學(xué)習(xí)了的公式嗎？；；。提出問(wèn)題學(xué)習(xí)了和（差）角公式、二倍角公式以后，我們就有了進(jìn)行三角恒等變換的新工具，從而使三角恒等變換的內(nèi)容、思路和方法更加豐富．例７試以cosα表示sin2α2例８求證：（1）sinαcosβ=12[(2)sinθ+cosφ=2sin例８的證明用到了換元的方法．如把α+β看作θ，α-β看作φ，從而把包含α,β的三角函數(shù)式轉(zhuǎn)化為θ，φ的三角函數(shù)式．或者，把sinαcosβ看作x，cosαsinβ看作y，把等式看作x

，y的方程，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程（組）求x

．它們都體現(xiàn)了化歸思想．例９求下列函數(shù)的周期，最大值和最小值：（１）y=sinx+3cosx；（２）例10如圖5.5-2，已知OPQ是半徑為１，圓心角為π2的扇形，C是扇形弧上的動(dòng)點(diǎn)，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形．記∠COP＝α，求當(dāng)角α取何值時(shí)，矩形ABCD1．若cosα＝eq\f(2,3)，α∈(0，π)，則coseq\f(α,2)的值為()A．eq\f(\r(6),6)B．－eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(30),6)D．－eq\f(\r(30),6)2．已知cosα＝eq\f(3,5)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π，2π))，則sineq\f(α,2)等于()A．eq\f(\r(5),5)B．－eq\f(\r(5),5)C．eq\f(4,5)D．eq\f(2\r(5),5)3．已知sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，則sin2α的值等于()A．eq\f(7,16)B．－eq\f(7,16)C．－eq\f(9,16)D．eq\f(9,16)4．函數(shù)y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x的最小正周期為_(kāi)_______．5．求證：4sinθcos2eq\f(θ,2)＝2sinθ＋sin2θ.6、如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長(zhǎng)方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長(zhǎng)最大？1．知識(shí)：如何采用兩角和或差的正余弦公式進(jìn)行合角,借助三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)求值.其中三角函數(shù)最值問(wèn)題是對(duì)三角函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì),以及誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、和(差)角公式的綜合應(yīng)用,也是函數(shù)思想的具體體現(xiàn).如何科學(xué)的把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題,如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式;求解三角函數(shù)在某一區(qū)間的最值問(wèn)題．2．思想：本節(jié)課通過(guò)由特殊到一般方式把關(guān)系式化成的形式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生探究、歸納、類(lèi)比的能力.通過(guò)探究如何選擇自變量建立數(shù)學(xué)關(guān)系式，可以很好地培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和應(yīng)用意識(shí)，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)．[來(lái)源:學(xué)參考答案：知識(shí)梳理學(xué)習(xí)過(guò)程例７解：α是α2的二倍角．在倍角公式cos2α=1-2sin2α中，以α代替2α得cosα=1-2sin所以sin2α2=在倍角公式cos2α=2cos2α-1中，以α代替2α，以得cosα=2cos所以cos2α2=將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除，得tan2α例８證明：（１）因?yàn)閟inα+β=sinαcosβ+sinα-β=將以上兩式的左右兩邊分別相加，得sinα+β+sinα-β=即sinαcosβ=（2）由（1）可得sinα+β+sinα-β設(shè)α=θ+φ2把α，β代入①，即得sinθ+cosφ=2sin例９分析：便于求周期和最大值、最小值的三角函數(shù)式是y=Asin(x+φ)

,利用和角公式將其展開(kāi)，可化為）y=asinx+bcosx的形式．反之，利用和（差）角公式，可將y=asinx+bcosx轉(zhuǎn)化為y=Asin(x+φ)的形式，進(jìn)而就可以求得其周期和最值了．解：（1）y=sinx+3cosx=2（1=2（sinxcosπ3+cosxsin因此，所求周期為2π，最大值為２，最小值為－２．你能說(shuō)說(shuō)①這一步變形的理由嗎？（２）設(shè)y=3sinx+4cosx=Asinx+φ則3sinx+4cosx=Asinxcosφ+Acosxsinφ于是Acosφ=3．于是A所以A2取A＝５，則cosφ=35,由y=5sin可知，所求周期為2π，最大值為5，最小值為－5例10分析:要求當(dāng)角取何值時(shí),矩形ABCD的面積S最大,可分二步進(jìn)行.①找出S與之間的函數(shù)關(guān)系;②由得出的函數(shù)關(guān)系,求S的最大值.解：在中,,.在中,,所以,,所以,.設(shè)矩形的面積為,則.對(duì)于第二步求具體值,要首先確定變量的取值范圍:由,得.所以當(dāng),即時(shí),因此,當(dāng)時(shí),矩形的面積最大,最大面積為.注：（1）在求解最大值時(shí)，要特別注意“”這一隱含條件;（2）應(yīng)用問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，最后要回歸到實(shí)際問(wèn)題.三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．【解析】由題意知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴coseq\f(α,2)>0，coseq\f(α,2)＝eq\r(\f(1＋cosα,2))＝eq\f(\r(30),6).【答案】C2．【解析】由題知eq\f(α,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sineq\f(α,2)>0，sineq\f(α,2)＝eq\r(\f(1－cosα,2))＝eq\f(\r(5),5).【答案】A3．【解析】由sinα－cosα＝－eq\f(5,4)，(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1－sin2α＝eq\f(25,16)，所以sin2α＝－eq\f(9,16).【答案】C4．【解析】∵y＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋cos2x＝eq\f(\r(3),2)sin2x＋eq\f(1,2)cos2x＋eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋eq\f(1,2)，∴函數(shù)的最小正周期T＝eq\f(2π,2)＝π.【答案】π5．【證明】法一：左邊＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ＋sin2θ＝右邊，所以原式成立．法二：右邊＝2sinθ＋2sinθcosθ＝2sinθ(1＋cosθ)＝2sinθ·2cos2eq\f(θ,2)＝4sinθcos2eq\f(θ,2)＝左邊，所以原式成立．6、【精彩點(diǎn)撥】eq\x(設(shè)∠AOB＝α)→eq\x(建立周長(zhǎng)lα)→eq\x(求l的最大值)【解答】設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長(zhǎng)為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，∴l(xiāng)＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα＝R(sinα＋cosα)＋R＝eq\r(2)Rsineq\b\lc\(\rc\)