2005級(jí)量子力學(xué)期末考試試卷B

2005級(jí)量子力學(xué)期末考試試卷B一、填空（10分）

nlm

R (r)Ynl

(,)中電子的第n個(gè)能級(jí)是 度簡(jiǎn)并的。電子自旋角動(dòng)量的x分量在表象中的矩陣形式為 。x z已知?jiǎng)恿克惴谧鴺?biāo)表象中的形式為?中的形式為 。

x，則坐標(biāo)算符在動(dòng)量表象量子力學(xué)中把粒子的能量和波的頻率粒子的動(dòng)量和波長(zhǎng)聯(lián)系起來的德羅意關(guān)系為 ， 。二、名詞解釋（20分）1．態(tài)疊加原理 2.全同粒子 3.簡(jiǎn)單塞曼效應(yīng) 4.光譜的精細(xì)結(jié)三、解答題（共70分）1．質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中作一維束縛運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)能量本證函數(shù)分別為(x)Ae1

x2 2

B(x2bx2

x22A,B,b,c 均為實(shí)常數(shù)。試確定參數(shù)b,c的取值，并求這兩個(gè)態(tài)的能量之差E E。2 12，厄米算符?與?滿足?

?

1，且????0。求：在?表象中?與?的矩陣表示。在?表象中?的本征值與本征矢。3，氫原子處在基態(tài)(r,,)

1 ra30ea30（1r2）最可幾半徑）動(dòng)能平均值4）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。4(x)Ax(ax，其中阱寬為求：粒子的能量概率分布和能量平均值。5，設(shè)算符???，????1為?的本征矢，相應(yīng)的本征值為。求證u和v?也是?的本征矢，并求出相應(yīng)的本征值。2005級(jí)量子力學(xué)期末考試試卷B答案（每空2分共10分）phnphnp1，n2

2，21 0

3，i

4，Eh， 二、名詞解釋（20分）態(tài)疊加原理 2.全同粒子 塞曼效應(yīng) 4.光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)[solve]1，當(dāng)體系處于某些態(tài)：, , 的疊加態(tài)時(shí)，體系部分的處于1 2 n, , 態(tài)之上。1 2 n2，質(zhì)量，電荷，自旋等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子為全同粒子。3，氫原子或類氫原子在沒有外磁場(chǎng)時(shí)的一條譜線在強(qiáng)外磁場(chǎng)中分裂為3條的現(xiàn)象。4，對(duì)氫原子或類氫原子，在考慮旋軌相互后將使原來簡(jiǎn)并的能級(jí)分裂開來的現(xiàn)象。三．解答題（共70分）1（10分．質(zhì)量為的粒子在勢(shì)場(chǎng)V(x)中作一維束縛運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)能量本證函數(shù)分別為

(x)Ae1

x2 2

(x)B(x2bx2

x22A,B,b,c均為實(shí)常數(shù)。試確定參數(shù)b,c的取值，并求這兩個(gè)態(tài)的能量之差E2

E。1解： (x) (x)分別滿足定態(tài)方程1 2 2 d2 2dx2

V(x) 1

(x)E1 1

(x)

(1)(x)Aex2

2 d2 2dx2

V(x)

(x)E2 2

(x)

(2)將 2 代入方程，得2222V(x)E1

(2x2)

(3)顯然V(x)滿足條件V(-x)=V(x)，故在此勢(shì)場(chǎng)中的一維束縛定態(tài)波函數(shù)有確定的宇稱。而x2 (x)B(x2bxc)e2

2 要有確定的宇稱，其中參數(shù)b必須為零，即x2(x)Aex2

(x)B(x22

2 (4)將 2 與(4)式代入波函數(shù)的正交公式：1*(x)dx0 (5)得c1，即2

1 2(x)B(x22

1)e2

x22 (6)方程（1）與（2）可寫為如下形式22V22V1122E1

2V

2E

(7)2 22222 22222 1

"2

22E222 1

(8)(9)厄米算符?與?滿足?

?

1，且????0。求：在?表象中?與?的矩陣表示。[solve][solve]在?表象中?的本征值與本征矢。[solve]15分）令?的本征值為，則，?，21，1類似的，?的本征值1。于是，在?表象中0 ?1 00

a bc dc d?? ??

? 0 b ? ?

? 0 b由ABBA0易得a=0,d=0.即Bc 0。又由B?B得cb。故Bb 0 再由?21可得b21。于是be，故最終得到?0

eiei 0?

ei

C（25 分）

1

11時(shí)，即為22ei22

0C

CCei

ei2 2 2

1，則可得

Cei。所以

( 2 Cei1

C

1 2 B C2212

1ei?B B

(A)1易得C2

。所以最終可得

( 21B 21同理可得當(dāng)1時(shí)，

( 1ei2 B 2 3，氫原子處在基態(tài)(r,,)

1 ra30e0（r2）a30）動(dòng)量的幾率分布函數(shù)。15分）r

(sin)r3e

adrdd 01 a3

2r 0 20 0 00

4r2 2r2（5分）由徑向幾率分布：nl

(r)R2(r)r2nl

可得10

(r)R2(r)r2 ea010 a300d

2r 2r2 2r d0故 0dr a30

(2re

a a000

a)

0，可解得dr故最可幾半徑為ra0

r0，r1

（舍，ra3 035分）T

1p2d22221 d100r2dr

(r2ddrd

100

)r2(sin)drdd222a2045分）由展開假設(shè)可得(r,,) Cp p

dpdpdpx y z所以Cp

(r,,)(r)dp

12(2)32

10

iaredred積分過程p是不變的，所以設(shè)p沿z軸方向。則prprcos11C 11

ereipraere0

r2(sin)drdd2p )32

a3 0 0 000)2(1 0 )2ap2 220)2(1 0 )2ap2 220)3(1 0 )ap2 2420)3(1 0 )ap2 24221p2420分）(x)Ax(ax)，其中阱寬為，求：粒子的能量概率分布和能量平均值。歸一化

a(x)(x)dx1可得A0

又由一維無限深勢(shì)阱中粒子能量本征函數(shù)n

(x)

sinn2aa2a

30a30a5c a 2(sinx)Ax(ax)dx

[(1)n1]415n 0 a a n33415所以能量的概率分布為

960

c2n

240n6

0n66其中0對(duì)應(yīng)n取偶數(shù)，能量平均值為

n66

對(duì)應(yīng)n取奇數(shù)。2 2 2 a 2E( dx 2x2 2

A2x(ax)

x2

[x(ax)]dxa5230ax(ax)dx520a2510分設(shè)算符???，????