2020高中數(shù)學(xué) 第章 三角恒等變換 .1. 兩角和與差的正切教案（含解析）4

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE11-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3.1。3兩角和與差的正切學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1．能利用兩角和與差的余弦公式、正弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式．(重點(diǎn)）2．掌握兩角和與差的正切公式的變形使用,能利用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的求值、化簡(jiǎn)等．(重點(diǎn)、難點(diǎn)）1．通過(guò)兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理核心素養(yǎng)．2．借助兩角和與差的正切線的應(yīng)用，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng)。1．兩角和的正切公式Tα＋β:tan(α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）.2．兩角差的正切公式Tα－β：tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ，1＋tanαtanβ）.思考：你能舉出幾個(gè)兩角和與差的正切公式的變形式嗎？[提示］(1）tanα＋tanβ＝tan(α＋β）(1－tanαtanβ）．（2)1－tanαtanβ＝eq\f（tanα＋tanβ,tanα＋β）。（3)tanα＋tanβ＋tanαtanβtan（α＋β)＝tan（α＋β）．（4）tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ，tanα＋β）。1．(2019·全國(guó)卷Ⅰ)tan255°＝（)A．－2－eq\r（3) B．－2＋eq\r（3）C．2－eq\r(3） D．2＋eq\r(3）D[tan255°＝tan(180°＋75°)＝tan75°＝tan（45°＋30°)＝eq\f(tan45°＋tan30°,1－tan45°tan30°)＝eq\f（1＋\f（\r（3），3),1－\f(\r（3），3）)＝2＋eq\r(3）.故選D。]2。eq\f(tan75°－tan15°，1＋tan75°tan15°)＝（)A．－eq\r（2） B．eq\r（2）C．－eq\r(3） D．eq\r（3）D[原式＝tan（75°－15°)＝tan60°＝eq\r(3).]3．設(shè)tanα＝eq\f(1,2)，tanβ＝eq\f(1,3），且角α，β為銳角，則α＋β的值是_________．eq\f(π,4)[∵tanα＝eq\f（1，2），tanβ＝eq\f(1，3）∴tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\f(\f(1,2）＋\f(1，3),1－\f(1，2）×\f(1，3））＝1，又∵α，β均為銳角，即α，β∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0,\f（π，2))）,∴0〈α＋β〈π,則α＋β＝eq\f（π，4）.］利用公式化簡(jiǎn)求值【例1】求下列各式的值：（1）tan15°；(2)eq\f（1－\r(3)tan75°，\r(3)＋tan75°）；(3）tan23°＋tan37°＋eq\r(3）tan23°tan37°。[思路探究］把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角(如(1))及公式的逆用(如(2))與活用（如（3）)，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃巫優(yōu)榭梢允褂霉降男问?，從而達(dá)到化簡(jiǎn)或求值的目的．[解］(1）tan15°＝tan(45°－30°）＝eq\f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)＝eq\f（1－\f(\r(3）,3)，1＋\f（\r(3),3))＝eq\f（3－\r(3),3＋\r（3））＝2－eq\r(3)。（2）eq\f（1－\r(3）tan75°，\r(3）＋tan75°)＝eq\f(\f(\r(3)，3）－tan75°,1＋\f（\r（3)，3）tan75°)＝eq\f(tan30°－tan75°，1＋tan30°tan75°)＝tan(30°－75°)＝tan(－45°）＝－tan45°＝－1。（3）∵tan（23°＋37°)＝tan60°＝eq\f（tan23°＋tan37°,1－tan23°tan37°）＝eq\r(3），∴tan23°＋tan37°＝eq\r（3）（1－tan23°tan37°），∴原式＝eq\r(3)(1－tan23°tan37°）＋eq\r（3）tan23°tan37°＝eq\r（3）.1．公式Tα＋β,Tα－β是變形較多的兩個(gè)公式,公式中有tanαtanβ，tanα＋tanβ(或tanα－tanβ),tan（α＋β)(或tan(α－β）)．三者知二可表示或求出第三個(gè)．2．一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．1．求下列各式的值：(1)eq\f(cos75°－sin75°,cos75°＋sin75°）；（2）tan36°＋tan84°－eq\r(3)tan36°tan84°.[解］（1)原式＝eq\f(1－tan75°,1＋tan75°）＝eq\f(tan45°－tan75°，1＋tan45°tan75°）＝tan（45°－75°）＝tan(－30°)＝－tan30°＝－eq\f（\r（3),3).（2）原式＝tan120°（1－tan36°tan84°)－eq\r（3）tan36°tan84°＝tan120°－tan120°tan36°tan84°－eq\r（3）tan36°tan84°＝tan120°＝－eq\r(3)。條件求值（角)問(wèn)題【例2】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α，β,它們的終邊分別與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，已知A，B的橫坐標(biāo)分別為eq\f（\r（2），10），eq\f（2\r(5），5）.（1)求tan（α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．［思路探究]先由任意角的三角函數(shù)定義求出cosα，cosβ,再求sinα，sinβ，從而求出tanα,tanβ，然后利用Tα＋β求tan(α＋β),最后利用α＋2β＝(α＋β）＋β,求tan（α＋2β)進(jìn)而得到α＋2β的值．［解]由條件得cosα＝eq\f（\r(2），10），cosβ＝eq\f（2\r（5），5)，∵α，β為銳角,∴sinα＝eq\f(7\r（2)，10),sinβ＝eq\f(\r(5），5）,∴tanα＝7，tanβ＝eq\f（1,2）。(1）tan(α＋β）＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\f(7＋\f(1，2),1－7×\f(1,2）)＝－3。（2)tan（α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β］＝eq\f（tanα＋β＋tanβ，1－tanα＋β·tanβ）＝eq\f(－3＋\f(1,2），1－－3×\f（1，2）)＝－1，∵α，β為銳角，∴0＜α＋2β＜eq\f(3π，2），∴α＋2β＝eq\f（3π,4）。1．通過(guò)先求角的某個(gè)三角函數(shù)值來(lái)求角．2．選取函數(shù)時(shí)，應(yīng)遵照以下原則：(1)已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；（2）已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)．若角的范圍是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0，\f（π,2）))，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（π，2），\f（π，2)))，選正弦較好．3．給值求角的一般步驟:(1）求角的某一三角函數(shù)值；（2）確定角的范圍；(3）根據(jù)角的范圍寫出所求的角．2．（1)已知α∈eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（π，2）,π）），sinα＝eq\f(3,5)，求taneq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（α＋\f(π，4）））的值；(2）如圖所示，三個(gè)相同的正方形相接，試計(jì)算α＋β的大?。甗解](1）因?yàn)閟inα＝eq\f(3,5），且α∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（π,2），π))，所以cosα＝－eq\f（4,5）,所以tanα＝eq\f（sinα，cosα)＝eq\f(\f（3,5),－\f(4，5))＝－eq\f(3,4）,故taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π，4)）)＝eq\f（tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π，4))＝eq\f(－\f（3，4)＋1，1－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（－\f（3,4))）×1）＝eq\f（1,7).(2)由題圖可知tanα＝eq\f（1，3），tanβ＝eq\f（1，2)，且α，β均為銳角，所以tan（α＋β)＝eq\f（tanα＋tanβ，1－tanαtanβ）＝eq\f(\f(1,3)＋\f（1，2)，1－\f（1,3)×\f（1,2））＝1.因?yàn)棣粒隆剩?，π)，所以α＋β＝eq\f(π,4）.公式的變形應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．判斷三角形的形狀時(shí)，都有哪些特殊三角形？［提示]根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，常見的特殊三角形有等邊三角形、等腰三角形、銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形等．2．在△ABC中，tan（A＋B)與tanC有何關(guān)系？[提示］根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得A＋B＋C＝π，∴A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝tan（π－C）＝－tanC。【例3】已知△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r(3)tanBtanC＝eq\r（3)，且eq\r(3）tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB，判斷△ABC的形狀．［思路探究]eq\x（化簡(jiǎn)條件）→eq\x(求出tanA，tanC)→eq\x(求出角A，C)→eq\x（判斷形狀）.[解］由tanA＝tan[π－(B＋C)］＝－tan（B＋C）＝eq\f(tanB＋tanC,tanBtanC－1)＝eq\f（\r(3）－\r（3）tanBtanC，tanBtanC－1)＝－eq\r（3)。而0°＜A＜180°，∴A＝120°。由tanC＝tan[π－（A＋B)］＝eq\f(tanA＋tanB，tanAtanB－1）＝eq\f（tanA＋tanB，\r(3)tanA＋\r（3)tanB)＝eq\f（\r(3），3),而0°＜C＜180°，∴C＝30°,∴B＝30°.∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形．(變條件)例題中把條件改為“tanB＋tanC－eq\r（3)tanBtanC＝－eq\r（3)，且eq\f(\r（3),3）tanA＋eq\f（\r（3)，3)tanB＋1＝tanAtanB"，結(jié)果如何？[解]由tanA＝tan［π－（B＋C）]＝－tan(B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC，tanBtanC－1）＝eq\f（\r（3)tanBtanC－\r(3），tanBtanC－1）＝eq\r(3)。又0°<A<180°，所以A＝60°.由tanC＝tan［π－（A＋B)]＝eq\f（tanA＋tanB,tanAtanB－1)＝eq\f（tanA＋tanB，\f(\r(3),3）tanA＋\f(\r(3），3）tanB）＝eq\r(3）.又0°〈C<180°，所以C＝60°，所以B＝60°.所以△ABC是等邊三角形．公式Tα＋β的逆用及變形應(yīng)用的解題策略(1）“1”的代換：在Tα＋β中，如果分子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan45°來(lái)代換,以達(dá)到化簡(jiǎn)求值的目的，如eq\f(1－tanα，1＋tanα)＝taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(π,4）－α））；eq\f（\r（3）tanα＋\r（3)，1－tanα）＝eq\r（3）taneq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))）.(2)整體意識(shí)：若化簡(jiǎn)的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個(gè)整體，?？紤]tan（α±β)的變形公式．(教師用書獨(dú)具）1．公式T（α±β）的適用范圍和結(jié)構(gòu)特征(1）由正切函數(shù)的定義可知α、β、α＋β(或α－β）的終邊不能落在y軸上,即不為kπ＋eq\f（π,2）(k∈Z)．(2）公式T(α±β)的右側(cè)為分式形式,其中分子為tanα與tanβ的和或差，分母為1與tanαtanβ的差或和．2．兩角和與差的正切公式的變形變形公式如:tanα＋tanβ＝tan(α＋β）（1－tanαtanβ)；tanα－tanβ＝tan（α－β）（1＋tanαtanβ）；tanαtanβ＝1－eq\f（tanα＋tanβ,tanα＋β）等.1．設(shè)角θ的終邊過(guò)點(diǎn)(2，3),則taneq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（θ－\f（π,4）））＝(）A.eq\f（1，5） B．－eq\f（1,5）C．5 D．－5A［由于角θ的終邊過(guò)點(diǎn)（2，3），因此tanθ＝eq\f（3,2）,故taneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（θ－\f（π，4）)）＝eq\f(tanθ－1，1＋tanθ)＝eq\f(\f（3,2)－1，1＋\f（3，2）)＝eq\f(1,5)，選A.]2．tan10°tan20°＋eq\r（3）(tan10°＋tan20°)等于（）A.eq\f（\r（3），3) B．1C.eq\r（3) D。eq\r（6)B[原式＝tan10°tan20°＋eq\r（3）tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°t