2020高中數(shù)學(xué) 第章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 1 利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE13-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．2．掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法．（重點(diǎn))3．能利用導(dǎo)數(shù)求不超過三次多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．（難點(diǎn)）1.通過學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理素養(yǎng)．2．通過利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的關(guān)系導(dǎo)數(shù)值切線的斜率傾斜角曲線的變化趨勢函數(shù)的單調(diào)性＞0＞0銳角上升單調(diào)遞增＜0＜0鈍角下降單調(diào)遞減思考1：觀察下列各圖，完成表格內(nèi)容．函數(shù)及其圖象切線斜率k正負(fù)導(dǎo)數(shù)正負(fù)單調(diào)性正正［1,＋∞)上單調(diào)遞增正正R上單調(diào)遞增負(fù)負(fù)(0,＋∞）上單調(diào)遞減負(fù)負(fù)（0,＋∞)上單調(diào)遞減負(fù)負(fù)(－∞,0)上單調(diào)遞減思考2:在區(qū)間（a,b)上，如果f′（x)＞0,則f（x)在該區(qū)間是增函數(shù)，反過來也成立嗎?［提示]不一定成立．例如f(x）＝x3在R上為增函數(shù),但f′(0）＝0，即f′(x)＞0是f(x）在該區(qū)間上為增函數(shù)的充分不必要條件．1．函數(shù)f(x）＝x＋lnx在(0,6）上是()A．增函數(shù)B．減函數(shù)C．在eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1，e))）上是減函數(shù)，在eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1，e），6）)上是增函數(shù)D．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（0，\f（1,e)））上是增函數(shù)，在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,e)，6))上是減函數(shù)A[∵x∈（0,＋∞），f′（x)＝1＋eq\f(1，x）＞0，∴函數(shù)在（0，6)上單調(diào)遞增．]2．函數(shù)f（x)＝ex－x的單調(diào)遞增區(qū)間是(）A．（－∞，1］ B．［1，＋∞）C．（－∞,0] D．（0，＋∞)D[由f′(x）＝ex－1＞0得x＞0,故選D.］3．若函數(shù)y＝x3＋ax在R上是增函數(shù),則a的取值范圍是________．[0,＋∞)[∵y′＝3x2＋a且y＝x3＋ax在R上是增函數(shù)．∴3x2＋a≥0在R上恒成立，即a≥－3x2在R上恒成立．∴a≥(－3x2)max,∴a≥0。]判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性【例1】判斷y＝ax3－1(a∈R)在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性．[思路探究]eq\x(求導(dǎo)數(shù))→eq\x(對a進(jìn)行分類討論)→eq\x(每種情況下確定函數(shù)在－∞，＋∞上的單調(diào)性)［解］∵y′＝3ax2，又x2≥0。(1）當(dāng)a＞0時(shí),y′≥0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增;（2)當(dāng)a＜0時(shí),y′≤0，函數(shù)在R上單調(diào)遞減；(3）當(dāng)a＝0時(shí)，y′＝0，函數(shù)在R上不具備單調(diào)性．判斷函數(shù)單調(diào)性的兩種方法(1)利用函數(shù)單調(diào)性的定義,在定義域內(nèi)任取x1，x2，且x1〈x2，通過判斷f(x1）－f(x2）的符號確定函數(shù)的單調(diào)性;（2)利用導(dǎo)數(shù)判斷可導(dǎo)函數(shù)f(x）在(a,b)內(nèi)的單調(diào)性，步驟是：①求f′（x)；②確定f′(x)在（a，b）內(nèi)的符號；③得出結(jié)論．提醒：所有函數(shù)性質(zhì)的研究必須保證在定義域內(nèi)這個(gè)前提下進(jìn)行．1．證明函數(shù)y＝lnx＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)．[證明］顯然函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x＞0},又因?yàn)閥′＝(lnx＋x)′＝eq\f（1，x）＋1，當(dāng)x＞0時(shí),y′＞1＞0,所以y＝lnx＋x在其定義域內(nèi)為增函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例2】（1)求函數(shù)f（x)＝3x2－2lnx的單調(diào)區(qū)間；(2）討論函數(shù)f(x)＝x2－alnx(a≥0)的單調(diào)性．［思路探究](1）eq\x(\a\al(求定，義域))→eq\x（\a\al(求導(dǎo)數(shù),f′x））→eq\x(\a\al(解f′x＞0,得增區(qū)間))→eq\x(\a\al（解f′x＜0，得減區(qū)間))(2）用分類討論的方法確定f′(x）的符號,確定函數(shù)在各區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性．［解](1）f（x）＝3x2－2lnx的定義域?yàn)?0，＋∞）．f′(x)＝6x－eq\f（2,x）＝eq\f(23x2－1，x)＝eq\f(2\r(3）x－1\r（3）x＋1，x）,當(dāng)x＞0,解f′(x)＞0,得x＞eq\f(\r（3)，3)，由x＜0，解f′（x）＜0，得0＜x＜eq\f（\r（3），3）.∴函數(shù)f(x)＝3x2－2lnx的單調(diào)遞增區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（3)，3)，＋∞)),單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3）））.(2)函數(shù)f（x）的定義域是（0，＋∞)，f′（x)＝2x－eq\f（a,x）＝eq\f(2x2－a,x）。設(shè)g(x）＝2x2－a，由g(x）＝0,得2x2＝a。當(dāng)a＝0時(shí),f′（x)＝2x＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間(0，＋∞）上單調(diào)遞增；當(dāng)a>0時(shí)，由g(x）＝0,得x＝eq\f（\r（2a)，2)或x＝－eq\f(\r(2a),2)（舍去)．當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(0,\f（\r（2a)，2)））時(shí)，g(x)＜0，即f′（x）＜0，當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2a），2）,＋∞））時(shí)，g（x)＞0，即f′(x）＞0.所以當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（\r(2a）,2）))上單調(diào)遞減，在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(\r（2a）,2)，＋∞）)上單調(diào)遞增．綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0,＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x)在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（\r(2a），2)，＋∞)）上單調(diào)遞增，在eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(\r（2a）,2）))上單調(diào)遞減．1求函數(shù)y＝fx單調(diào)區(qū)間的步驟①確定函數(shù)y＝fx的定義域.②求導(dǎo)數(shù)y′＝f′x.,③解不等式f′x〉0，函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上為增函數(shù)；解不等式f′x〈0,函數(shù)在單調(diào)區(qū)間上為減函數(shù).2含有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題的處理方法①在判斷含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性時(shí),不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來確定f′x的符號,否則會產(chǎn)生錯(cuò)誤.②分類討論是把數(shù)學(xué)問題劃分為若干個(gè)局部問題，在每一個(gè)局部問題中,原先的不確定因素,就變成了確定性問題，當(dāng)這些局部問題都解決了，整個(gè)問題就解決了.2．已知函數(shù)f(x）＝eq\f（1,2)x2－（a＋m)x＋alnx，且f′（1）＝0，其中a，m∈R.（1)求m的值；（2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．[解](1）由題設(shè)知，函數(shù)f（x)的定義域?yàn)?0，＋∞），f′(x)＝x－(a＋m)＋eq\f(a,x)。由f′（1)＝0，得1－(a＋m)＋a＝0，解得m＝1。（2）由（1）得f′（x）＝x－（a＋1)＋eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a＋1x＋a,x）＝eq\f(x－ax－1，x）.當(dāng)a>1時(shí)，由f′(x）＞0,得x>a或0<x<1,此時(shí)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(a，＋∞),(0,1)；當(dāng)a＝1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,＋∞);當(dāng)0〈a<1時(shí)，由f′（x)〉0，得x〉1或0〈x〈a，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞),(0,a）;當(dāng)a≤0時(shí),由f′（x）〉0,得x〉1，此時(shí)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞)．綜上,當(dāng)a〉1時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（a，＋∞),（0,1）;當(dāng)a＝1時(shí),f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0,＋∞);當(dāng)0<a〈1時(shí)，f（x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，(0，a);當(dāng)a≤0時(shí)，f(x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，＋∞).含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題[探究問題］1．利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，需要先確定什么?[提示］函數(shù)的定義域,解答函數(shù)問題要遵循“定義域優(yōu)先原則"．2．函數(shù)f(x)在區(qū)間（a，b）上f′(x）＞0與函數(shù)在區(qū)間(a，b）上是增函數(shù)有何關(guān)系？[提示]由函數(shù)f（x）在(a，b）上f′(x）>0?函數(shù)f（x)在（a,b）上是增函數(shù),即函數(shù)f（x）在（a,b）上f′(x)〉0是f（x)在（a，b）上是增函數(shù)的充分不必要條件．【例3】函數(shù)f(x）＝kx－lnx在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．［思路探究］求導(dǎo)后，把求k的范圍轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在(1，＋∞）上恒成立問題．［解］由于f′（x）＝k－eq\f（1,x），f(x）＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞增?f′(x）＝k－eq\f(1，x)≥0在(1，＋∞)上恒成立．所以k≥eq\f（1,x),而0＜eq\f（1，x）＜1，所以k≥1，即k的取值范圍為[1，＋∞)．1．(變換條件)若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間（1，＋∞）上單調(diào)遞減,求k的取值范圍．[解]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝kx－lnx，故f′（x)＝k－eq\f（1，x）,函數(shù)在區(qū)間(1，＋∞)上單調(diào)遞減，則f′(x）≤0在(1，＋∞)上恒成立，即k－eq\f(1，x)≤0在區(qū)間(1,＋∞）上恒成立,故k≤eq\f（1，x)在區(qū)間（1,＋∞)上恒成立,因?yàn)樵趨^(qū)間（1，＋∞)上0<eq\f（1，x)〈1，故k≤0.2．(變換條件)試求函數(shù)f(x)＝kx－lnx的單調(diào)區(qū)間．［解］因?yàn)楹瘮?shù)f(x）＝kx－lnx的定義域?yàn)椋?，＋∞)，又f′(x)＝k－eq\f(1,x)，當(dāng)k≤0時(shí),f′（x)＝k－eq\f(1,x）≤0恒成立，故函數(shù)在區(qū)間(0，＋∞）上為減函數(shù)；當(dāng)k＞0時(shí),令f′(x）＞0解得x＞eq\f（1,k）,令f′(x）＜0解得x＜eq\f（1,k）。綜上所述：當(dāng)k≤0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(0，＋∞)；當(dāng)k＞0時(shí)，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，k），＋∞）)，減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（0,\f（1，k)）)。（1)利用導(dǎo)數(shù)法解決取值范圍問題的兩個(gè)基本思路①將問題轉(zhuǎn)化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′（x）≥0(或f′（x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質(zhì)求解參數(shù)范圍，然后檢驗(yàn)參數(shù)取“＝"時(shí)是否滿足題意．②先令f′(x)〉0(或f′（x）〈0），求出參數(shù)的取值范圍后，再驗(yàn)證參數(shù)取“＝"時(shí)f(x）是否滿足題意．（2)恒成立問題的重要思路①m≥f(x)恒成立?m≥f（x)max。②m≤f（x)恒成立?m≤f（x）min。提醒：對含參數(shù)問題的討論，要始終注意定義域的影響以及分類討論的標(biāo)準(zhǔn)．1．思考辨析（1)函數(shù)f(x）在區(qū)間（a，b)內(nèi)單調(diào)遞增，則f′（x)＞0.(）（2）一般地，如果一個(gè)函數(shù)在某一范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)的絕對值較大，那么函數(shù)在這個(gè)范圍內(nèi)變化得快，這時(shí)，函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數(shù)的圖象就比較“平緩”． （)（3）函數(shù)y＝ex＋x在R上是增函數(shù)． （)[提示］（1)×f′（x）≥0且f′（x）不恒為0.(2)√(3)√2．函數(shù)f(x）＝lnx－ax（a＞0）的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(0,\f(1，a)）) B．eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,a），＋∞）)C．(0,＋∞) D．(0,a)A［f（x)的定義域?yàn)閧x｜x＞0｝，且a＞0。由f′（x)＝eq\f(1，x）－a＞0得0＜x＜eq\f（1，a）.]3．若函數(shù)f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增，則m的取值范圍是（)A．m≥eq\f（4,3） B．m＞eq\f（4，3）C．m≤eq\f(4,3） D．m＜eq\f（4，3）A［∵函數(shù)f（x）＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞,＋∞）內(nèi)單調(diào)遞增,∴f′（x）＝3x2＋4x＋m≥0在R上