2020高中數(shù)學(xué) 第一章 空間幾何體 1.1.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征學(xué)案（含解析）2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精PAGE20-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精1.1.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征知識(shí)導(dǎo)圖學(xué)法指導(dǎo)1.通過(guò)觀察和感知實(shí)物模型，從整體上認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征．2．利用柱、錐、臺(tái)之間的聯(lián)系來(lái)加強(qiáng)記憶，如棱柱、棱錐、棱臺(tái)為一類(lèi)，圓柱、圓錐、圓臺(tái)為一類(lèi);或分成柱體、錐體、臺(tái)體三類(lèi)來(lái)分別認(rèn)識(shí)，只有對(duì)比才能把握實(shí)質(zhì)與區(qū)別，只有聯(lián)系才能理解共性與個(gè)性．3．與平面幾何體的有關(guān)概念、圖形和性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)類(lèi)比，初步學(xué)會(huì)用類(lèi)比的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題．高考導(dǎo)航多面體和旋轉(zhuǎn)體作為將要在第二章學(xué)習(xí)的線面位置關(guān)系的載體,其結(jié)構(gòu)特征是必考內(nèi)容,需要重點(diǎn)掌握,題型以客觀題為主，分值5分。知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體1．空間幾何體的定義空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，若只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來(lái)的空間圖形就叫作空間幾何體．2．空間幾何體的分類(lèi)多面體旋轉(zhuǎn)體定義由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體圖形相關(guān)概念面：圍成多面體的各個(gè)多邊形;棱：相鄰兩個(gè)面的公共邊；頂點(diǎn)：棱與棱的公共點(diǎn)軸:形成旋轉(zhuǎn)體所繞的定直線任意一個(gè)幾何體都是由點(diǎn)、線、面構(gòu)成的.點(diǎn)、線、面是構(gòu)成幾何體的基本元素．我們還可以從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來(lái)理解空間基本圖形之間的關(guān)系．在幾何中，可以把線看成點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡,如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方向時(shí)刻在變化，則運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運(yùn)動(dòng)的軌跡可以是一個(gè)面，面運(yùn)動(dòng)的軌跡（經(jīng)過(guò)的空間部分）可以形成一個(gè)幾何體．即點(diǎn)動(dòng)成線，線動(dòng)成面，面動(dòng)成體．多面體與旋轉(zhuǎn)體的異同相同點(diǎn):兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內(nèi)部的所有點(diǎn)．不同點(diǎn):多面體的表面是平面多邊形，旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面是曲面，底面為圓．知識(shí)點(diǎn)二多面體多面體定義圖形及表示相關(guān)概念棱柱有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫作棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底）:兩個(gè)互相平行的面;側(cè)面：其余各面;側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊;頂點(diǎn):側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)棱錐有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的多面體叫作棱錐如圖可記作：棱錐S－ABCD底面(底）:多邊形面;側(cè)面：有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：各側(cè)面的公共頂點(diǎn)棱臺(tái)用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺(tái)如圖可記作：棱臺(tái)：ABCD－A′B′C′D′上底面:原棱錐的截面;下底面：原棱錐的底面；側(cè)面：其余各面；側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊；頂點(diǎn)：側(cè)面與上(下）底面的公共頂點(diǎn)對(duì)于多面體概念的理解,注意以下兩個(gè)方面（1）多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個(gè)多面體至少要四個(gè)面．一個(gè)多面體由幾個(gè)面圍成，就稱(chēng)為幾面體．（2）多面體是一個(gè)“封閉"的幾何體，包括其內(nèi)部的部分．［小試身手]1．判斷下列命題是否正確。（正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”）（1）棱柱的側(cè)面都是平行四邊形．（)(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．（）（3)用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺(tái)．(）答案：(1）√（2）×(3)×2．下面圖形中,為棱錐的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析:根據(jù)棱錐的定義和結(jié)構(gòu)特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐,④是棱錐．故選C.答案：C3．下列圖形中,是棱臺(tái)的是()解析：由棱臺(tái)的定義知，A、D的側(cè)棱延長(zhǎng)線不交于一點(diǎn)，所以不是棱臺(tái)；B中兩個(gè)面不平行，不是棱臺(tái)，只有C符合棱臺(tái)的定義，故選C.答案:C4．一個(gè)棱柱至少有______個(gè)面，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)有______條側(cè)棱．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有五個(gè)面；頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺(tái)是三棱臺(tái)，它有三條側(cè)棱．答案：53類(lèi)型一棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征例1(1)下列命題中正確的是________．(填序號(hào)）①有兩個(gè)面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②棱柱的一對(duì)互相平行的平面均可看作底面;③三棱錐的任何一個(gè)面都可看作底面；④棱臺(tái)各側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．（2）關(guān)于如圖所示幾何體的正確說(shuō)法的序號(hào)為_(kāi)_______．①這是一個(gè)六面體.②這是一個(gè)四棱臺(tái)。③這是一個(gè)四棱柱.④此幾何體可由三棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到．【解析】(1)結(jié)合有關(guān)多面體的定義及性質(zhì)判斷．對(duì)于①，還可能是棱臺(tái)；對(duì)于②，只要看一個(gè)正六棱柱模型即知是錯(cuò)的；對(duì)于③，顯然是正確的；④顯然符合定義．故填③④.（2)①正確．因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍．②錯(cuò)誤．因?yàn)閭?cè)棱的延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，所以不正確．③正確．如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．【答案】（1）③④(2）①③④⑤（1）棱柱的概念?實(shí)物體?棱柱的特征．（2)棱錐、棱臺(tái)的判斷?實(shí)物體?棱錐、棱臺(tái)的特征．方法歸納在解答關(guān)于空間幾何體概念的判斷題時(shí),要注意緊扣定義判斷，這就要求熟悉各種空間幾何體的概念的內(nèi)涵和外延，切忌只憑圖形主觀臆斷．跟蹤訓(xùn)練1（1)棱臺(tái)不具備的特點(diǎn)是（）A．兩底面相似B．側(cè)面都是梯形C．側(cè)棱都相等D．側(cè)棱延長(zhǎng)后都交于一點(diǎn)(2)給出下列幾個(gè)命題，其中錯(cuò)誤的命題是（）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．棱錐的側(cè)面為三角形,且所有側(cè)面都有一個(gè)公共頂點(diǎn)C．多面體至少有四個(gè)面D．用一個(gè)平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)解析:(1）由棱臺(tái)的定義及特征知，A、B、D是棱臺(tái)的特點(diǎn)，故選C.（2）根據(jù)各種幾何體的概念與結(jié)構(gòu)特征判斷命題的真假．A、B均為真命題；對(duì)于C，一個(gè)圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個(gè)頂點(diǎn),3個(gè)頂點(diǎn)只能構(gòu)成平面圖形，當(dāng)有4個(gè)頂點(diǎn)時(shí),可圍成4個(gè)面,所以一個(gè)多面體至少應(yīng)有4個(gè)面，而且這樣的面必是三角形，故C也是真命題;對(duì)于D，只有當(dāng)截面與底面平行時(shí)才對(duì)．答案:(1)C(2)D利用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義來(lái)判斷它們的結(jié)構(gòu)特征．類(lèi)型二簡(jiǎn)單幾何體的判定例2如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1。（1）這個(gè)長(zhǎng)方體是棱柱嗎?如果是，是幾棱柱？為什么？（2)用平面BCFE把這個(gè)長(zhǎng)方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱？如果不是,說(shuō)明理由．【解析】(1）該長(zhǎng)方體是棱柱，并且是四棱柱,因?yàn)橐蚤L(zhǎng)方體相對(duì)的兩個(gè)面作底面都是四邊形,其余各面都是矩形，當(dāng)然是平行四邊形，并且四條側(cè)棱互相平行．（2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.1．利用棱柱定義來(lái)判斷．2．棱柱的分類(lèi)以底面圖形的形狀來(lái)分類(lèi)．方法歸納解決簡(jiǎn)單幾何體的判定問(wèn)題，需要對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的有關(guān)結(jié)構(gòu)特征熟練掌握，如側(cè)棱與底面的關(guān)系，底面、側(cè)面的形狀、截面形狀等，同時(shí)還要會(huì)計(jì)算棱柱、棱錐、棱臺(tái)的頂點(diǎn)數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)．跟蹤訓(xùn)練2如圖所示的幾何體中，所有棱長(zhǎng)都相等，分析此幾何體有幾個(gè)面、幾個(gè)頂點(diǎn)、幾條棱？解析：這個(gè)幾何體有8個(gè)面，都是全等的正三角形；有6個(gè)頂點(diǎn)；有12條棱．觀察圖形計(jì)算出面、頂點(diǎn)、棱的個(gè)數(shù)，四邊形ABCD是否是幾何體的一個(gè)面易錯(cuò).［基礎(chǔ)鞏固］(25分鐘，60分)一、選擇題（每小題5分，共25分)1．下面的幾何體中是棱柱的有（）A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)解析:棱柱有三個(gè)特征:（1)有兩個(gè)面相互平行；(2）其余各面是四邊形;（3）側(cè)棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個(gè)特征，而①②③④⑤符合,故選C。答案：C2．下列關(guān)于棱錐、棱臺(tái)的說(shuō)法，其中不正確的是（）A．棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形B．棱錐的側(cè)面只能是三角形C．由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐解析：選項(xiàng)A正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；選項(xiàng)B正確，由棱錐的定義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；選項(xiàng)C正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；選項(xiàng)D錯(cuò)誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．答案：D3．下列實(shí)物不能近似看成多面體的是()A．鉆石B．粉筆盒C．籃球D．金字塔解析:鉆石、粉筆盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多邊形，所以它們都能近似看成多面體．籃球的表面不是平面多邊形，故不能近似看成多面體．答案：C4．下列三種敘述，正確的有（)①用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺(tái);②兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；③有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體是棱臺(tái)．A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)解析:本題考查棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,①中的平面不一定平行于底面,故①錯(cuò)；②③可用如圖的反例檢驗(yàn),故②③不正確．故選A。答案：A5．一個(gè)棱錐的各棱長(zhǎng)都相等,那么這個(gè)棱錐一定不是(）A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐解析：由題意可知，每個(gè)側(cè)面均為等邊三角形，每個(gè)側(cè)面的頂角均為60°,如果是六棱錐,因?yàn)?×60°＝360°，所以頂點(diǎn)會(huì)在底面上,因此不是六棱錐．答案：D二、填空題(每小題5分,共15分)6．四棱柱有________條側(cè)棱，________個(gè)頂點(diǎn)．解析：四棱柱有4條側(cè)棱,8個(gè)頂點(diǎn)(可以結(jié)合正方體觀察求得）．答案：487．下列幾個(gè)命題：①棱柱的底面一定是平行四邊形；②棱錐的底面一定是三角形；③棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的是________．（填序號(hào))解析：①棱柱的底面可以為任意多邊形．②棱錐的底面可以為四邊形、五邊形等．答案：③8．下列說(shuō)法正確的有________．①棱錐的側(cè)面為三角形，且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn)；②棱臺(tái)的側(cè)面有的是平行四邊形，有的是梯形；③棱臺(tái)的側(cè)棱所在直線均相交于同一點(diǎn)；④多面體至少有四個(gè)面．解析：棱錐是由棱柱的一個(gè)底面收縮為一個(gè)點(diǎn)而得到的幾何體,因而其側(cè)面均是三角形,且所有側(cè)面都有一個(gè)公共點(diǎn),故①對(duì)．棱臺(tái)是棱錐被平行于底面的平面所截后,截面與底面之間的部分，因而其側(cè)面均是梯形，且所有的側(cè)棱延長(zhǎng)后均相交于一點(diǎn)（即原棱錐的頂點(diǎn))，故②錯(cuò)，③對(duì)．④顯然正確．因而正確的有①③④.答案：①③④三、解答題(每小題10分，共20分）9．根據(jù)下列關(guān)于空間幾何體的描述，說(shuō)出幾何體的名稱(chēng)：（1)由6個(gè)平行四邊形圍成的幾何體;（2）由7個(gè)面圍成的幾何體，其中一個(gè)面是六邊形，其余6個(gè)面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形;(3）由5個(gè)面圍成的幾何體，其中上、下兩個(gè)面是相似三角形，其余3個(gè)面都是梯形，并且這些梯形的腰延長(zhǎng)后能相交于一點(diǎn)．解析：(1）這是一個(gè)上、下底面是平行四邊形,4個(gè)側(cè)面也是平行四邊形的四棱柱．(2）這是一個(gè)六棱錐．（3）這是一個(gè)三棱臺(tái)．10。如圖所示是一個(gè)三棱臺(tái)ABC－A′B′C′，試用兩個(gè)平面把這個(gè)三棱臺(tái)分成三部分，使每一部分都是一個(gè)三棱錐．解析：過(guò)A′，B，C三點(diǎn)作一個(gè)平面，再過(guò)A′,B,C′作一個(gè)平面，就把三棱臺(tái)ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三個(gè)三棱錐分別是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一）[能力提升］（20分鐘，40分）11．紙質(zhì)的正方體的六個(gè)面根據(jù)其方位分別標(biāo)記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開(kāi)，外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形,則標(biāo)“△”的面的方位是（)A．南B．北C．西D．下解析：將所給圖形還原為正方體,并將已知面“上"、“東”分別指向上面、東面，則標(biāo)記“△”的為北面．答案:B12．側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．側(cè)棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體．側(cè)棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體．底面是矩形的直平行六面體叫作長(zhǎng)方體．棱長(zhǎng)都相等的長(zhǎng)方體叫作正方體．請(qǐng)根據(jù)上述定義，回答下面的問(wèn)題（填“一定”、“不一定”“一定不”):（1）直四棱柱________是長(zhǎng)方體；(2）正四棱柱________是正方體．解析：根據(jù)上述定義知:長(zhǎng)方體一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是長(zhǎng)方體；正方體一定是正四棱柱,但是正四棱柱不一定是正方體．答案：(1）不一定(2)不一定13．畫(huà)一個(gè)三棱臺(tái)，再把它分成：(1）一個(gè)三棱柱和另一個(gè)多面體；（2）三個(gè)三棱錐，并用字母表示．解析：畫(huà)三棱臺(tái)一定要利用三棱錐．（1)如圖①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一個(gè)多面體是B′C′BCC″B″.（2）如圖②所示,三個(gè)三棱錐分別是A′