2020高中數(shù)學 第一章 空間幾何體 1.1.1 棱柱、棱錐、棱臺的結構特征學案（含解析）2

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE20-學必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1.1棱柱、棱錐、棱臺的結構特征知識導圖學法指導1.通過觀察和感知實物模型，從整體上認識柱、錐、臺、球的結構特征．2．利用柱、錐、臺之間的聯(lián)系來加強記憶，如棱柱、棱錐、棱臺為一類，圓柱、圓錐、圓臺為一類;或分成柱體、錐體、臺體三類來分別認識，只有對比才能把握實質與區(qū)別，只有聯(lián)系才能理解共性與個性．3．與平面幾何體的有關概念、圖形和性質進行適當類比，初步學會用類比的思想分析問題和解決問題．高考導航多面體和旋轉體作為將要在第二章學習的線面位置關系的載體,其結構特征是必考內容,需要重點掌握,題型以客觀題為主，分值5分。知識點一空間幾何體1．空間幾何體的定義空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，若只考慮這些物體的形狀和大小，而不考慮其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖形就叫作空間幾何體．2．空間幾何體的分類多面體旋轉體定義由若干個平面多邊形圍成的幾何體由一個平面圖形繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的封閉幾何體圖形相關概念面：圍成多面體的各個多邊形;棱：相鄰兩個面的公共邊；頂點：棱與棱的公共點軸:形成旋轉體所繞的定直線任意一個幾何體都是由點、線、面構成的.點、線、面是構成幾何體的基本元素．我們還可以從運動的觀點來理解空間基本圖形之間的關系．在幾何中，可以把線看成點運動的軌跡,如果點運動的方向始終不變，那么它的軌跡就是一條直線或線段；如果點運動的方向時刻在變化，則運動的軌跡是一條曲線或曲線的一段．同樣，一條線運動的軌跡可以是一個面，面運動的軌跡（經(jīng)過的空間部分）可以形成一個幾何體．即點動成線，線動成面，面動成體．多面體與旋轉體的異同相同點:兩者都是封閉的幾何體，包括表面及其內部的所有點．不同點:多面體的表面是平面多邊形，旋轉體的側面是曲面，底面為圓．知識點二多面體多面體定義圖形及表示相關概念棱柱有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫作棱柱如圖可記作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′底面(底）:兩個互相平行的面;側面：其余各面;側棱：相鄰側面的公共邊;頂點:側面與底面的公共頂點棱錐有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫作棱錐如圖可記作：棱錐S－ABCD底面(底）:多邊形面;側面：有公共頂點的各個三角形面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：各側面的公共頂點棱臺用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分叫作棱臺如圖可記作：棱臺：ABCD－A′B′C′D′上底面:原棱錐的截面;下底面：原棱錐的底面；側面：其余各面；側棱：相鄰側面的公共邊；頂點：側面與上(下）底面的公共頂點對于多面體概念的理解,注意以下兩個方面（1）多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個多面體至少要四個面．一個多面體由幾個面圍成，就稱為幾面體．（2）多面體是一個“封閉"的幾何體，包括其內部的部分．［小試身手]1．判斷下列命題是否正確。（正確的打“√”,錯誤的打“×”）（1）棱柱的側面都是平行四邊形．（)(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫棱錐．（）（3)用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫棱臺．(）答案：(1）√（2）×(3)×2．下面圖形中,為棱錐的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析:根據(jù)棱錐的定義和結構特征可以判斷，①②是棱錐，③不是棱錐,④是棱錐．故選C.答案：C3．下列圖形中,是棱臺的是()解析：由棱臺的定義知，A、D的側棱延長線不交于一點，所以不是棱臺；B中兩個面不平行，不是棱臺，只有C符合棱臺的定義，故選C.答案:C4．一個棱柱至少有______個面，頂點最少的一個棱臺有______條側棱．解析：面最少的棱柱是三棱柱，它有五個面；頂點最少的一個棱臺是三棱臺，它有三條側棱．答案：53類型一棱柱、棱錐、棱臺的結構特征例1(1)下列命題中正確的是________．(填序號）①有兩個面平行，其余各面都是四邊形的幾何體叫棱柱；②棱柱的一對互相平行的平面均可看作底面;③三棱錐的任何一個面都可看作底面；④棱臺各側棱的延長線交于一點．（2）關于如圖所示幾何體的正確說法的序號為________．①這是一個六面體.②這是一個四棱臺。③這是一個四棱柱.④此幾何體可由三棱柱截去一個三棱柱得到．⑤此幾何體可由四棱柱截去一個三棱柱得到．【解析】(1)結合有關多面體的定義及性質判斷．對于①，還可能是棱臺；對于②，只要看一個正六棱柱模型即知是錯的；對于③，顯然是正確的；④顯然符合定義．故填③④.（2)①正確．因為有六個面，屬于六面體的范圍．②錯誤．因為側棱的延長線不能交于一點，所以不正確．③正確．如果把幾何體放倒就會發(fā)現(xiàn)是一個四棱柱．④⑤都正確．如圖所示．【答案】（1）③④(2）①③④⑤（1）棱柱的概念?實物體?棱柱的特征．（2)棱錐、棱臺的判斷?實物體?棱錐、棱臺的特征．方法歸納在解答關于空間幾何體概念的判斷題時,要注意緊扣定義判斷，這就要求熟悉各種空間幾何體的概念的內涵和外延，切忌只憑圖形主觀臆斷．跟蹤訓練1（1)棱臺不具備的特點是（）A．兩底面相似B．側面都是梯形C．側棱都相等D．側棱延長后都交于一點(2)給出下列幾個命題，其中錯誤的命題是（）A．棱柱的側面都是平行四邊形B．棱錐的側面為三角形,且所有側面都有一個公共頂點C．多面體至少有四個面D．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺解析:(1）由棱臺的定義及特征知，A、B、D是棱臺的特點，故選C.（2）根據(jù)各種幾何體的概念與結構特征判斷命題的真假．A、B均為真命題；對于C，一個圖形要成為空間幾何體，則它至少需有4個頂點,3個頂點只能構成平面圖形，當有4個頂點時,可圍成4個面,所以一個多面體至少應有4個面，而且這樣的面必是三角形，故C也是真命題;對于D，只有當截面與底面平行時才對．答案:(1)C(2)D利用棱柱、棱錐、棱臺的定義來判斷它們的結構特征．類型二簡單幾何體的判定例2如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1。（1）這個長方體是棱柱嗎?如果是，是幾棱柱？為什么？（2)用平面BCFE把這個長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎?如果是,是幾棱柱？如果不是,說明理由．【解析】(1）該長方體是棱柱，并且是四棱柱,因為以長方體相對的兩個面作底面都是四邊形,其余各面都是矩形，當然是平行四邊形，并且四條側棱互相平行．（2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四邊形ABEA1和DCFD1是底面.1．利用棱柱定義來判斷．2．棱柱的分類以底面圖形的形狀來分類．方法歸納解決簡單幾何體的判定問題，需要對簡單幾何體的有關結構特征熟練掌握，如側棱與底面的關系，底面、側面的形狀、截面形狀等，同時還要會計算棱柱、棱錐、棱臺的頂點數(shù)、棱數(shù)及面數(shù)．跟蹤訓練2如圖所示的幾何體中，所有棱長都相等，分析此幾何體有幾個面、幾個頂點、幾條棱？解析：這個幾何體有8個面，都是全等的正三角形；有6個頂點；有12條棱．觀察圖形計算出面、頂點、棱的個數(shù)，四邊形ABCD是否是幾何體的一個面易錯.［基礎鞏固］(25分鐘，60分)一、選擇題（每小題5分，共25分)1．下面的幾何體中是棱柱的有（）A．3個B．4個C．5個D．6個解析:棱柱有三個特征:（1)有兩個面相互平行；(2）其余各面是四邊形;（3）側棱相互平行．本題所給幾何體中⑥⑦不符合棱柱的三個特征，而①②③④⑤符合,故選C。答案：C2．下列關于棱錐、棱臺的說法，其中不正確的是（）A．棱臺的側面一定不會是平行四邊形B．棱錐的側面只能是三角形C．由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐D．棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐解析：選項A正確，棱臺的側面一定是梯形，而不是平行四邊形；選項B正確，由棱錐的定義知棱錐的側面只能是三角形；選項C正確，由四個面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；選項D錯誤，如圖所示四棱錐被平面截成的兩部分都是棱錐．答案：D3．下列實物不能近似看成多面體的是()A．鉆石B．粉筆盒C．籃球D．金字塔解析:鉆石、粉筆盒、金字塔的表面都可以近似看成平面多邊形，所以它們都能近似看成多面體．籃球的表面不是平面多邊形，故不能近似看成多面體．答案：C4．下列三種敘述，正確的有（)①用一個平面去截棱錐，棱錐底面和截面之間的部分是棱臺;②兩個底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺；③有兩個面互相平行，其余四個面都是等腰梯形的六面體是棱臺．A．0個B．1個C．2個D．3個解析:本題考查棱臺的結構特征,①中的平面不一定平行于底面,故①錯；②③可用如圖的反例檢驗,故②③不正確．故選A。答案：A5．一個棱錐的各棱長都相等,那么這個棱錐一定不是(）A．三棱錐B．四棱錐C．五棱錐D．六棱錐解析：由題意可知，每個側面均為等邊三角形，每個側面的頂角均為60°,如果是六棱錐,因為6×60°＝360°，所以頂點會在底面上,因此不是六棱錐．答案：D二、填空題(每小題5分,共15分)6．四棱柱有________條側棱，________個頂點．解析：四棱柱有4條側棱,8個頂點(可以結合正方體觀察求得）．答案：487．下列幾個命題：①棱柱的底面一定是平行四邊形；②棱錐的底面一定是三角形；③棱柱被平面分成的兩部分可以都是棱柱．其中正確的是________．（填序號)解析：①棱柱的底面可以為任意多邊形．②棱錐的底面可以為四邊形、五邊形等．答案：③8．下列說法正確的有________．①棱錐的側面為三角形，且所有側面都有一個公共點；②棱臺的側面有的是平行四邊形，有的是梯形；③棱臺的側棱所在直線均相交于同一點；④多面體至少有四個面．解析：棱錐是由棱柱的一個底面收縮為一個點而得到的幾何體,因而其側面均是三角形,且所有側面都有一個公共點,故①對．棱臺是棱錐被平行于底面的平面所截后,截面與底面之間的部分，因而其側面均是梯形，且所有的側棱延長后均相交于一點（即原棱錐的頂點)，故②錯，③對．④顯然正確．因而正確的有①③④.答案：①③④三、解答題(每小題10分，共20分）9．根據(jù)下列關于空間幾何體的描述，說出幾何體的名稱：（1)由6個平行四邊形圍成的幾何體;（2）由7個面圍成的幾何體，其中一個面是六邊形，其余6個面都是有一個公共頂點的三角形;(3）由5個面圍成的幾何體，其中上、下兩個面是相似三角形，其余3個面都是梯形，并且這些梯形的腰延長后能相交于一點．解析：(1）這是一個上、下底面是平行四邊形,4個側面也是平行四邊形的四棱柱．(2）這是一個六棱錐．（3）這是一個三棱臺．10。如圖所示是一個三棱臺ABC－A′B′C′，試用兩個平面把這個三棱臺分成三部分，使每一部分都是一個三棱錐．解析：過A′，B，C三點作一個平面，再過A′,B,C′作一個平面，就把三棱臺ABC－A′B′C′分成三部分，形成的三個三棱錐分別是A′－ABC，B－A′B′C′，A′－BCC′.(答案不唯一）[能力提升］（20分鐘，40分）11．紙質的正方體的六個面根據(jù)其方位分別標記為上、下、東、南、西、北．現(xiàn)在沿該正方體的一些棱將正方體剪開，外面朝上展平得到如圖所示的平面圖形,則標“△”的面的方位是（)A．南B．北C．西D．下解析：將所給圖形還原為正方體,并將已知面“上"、“東”分別指向上面、東面，則標記“△”的為北面．答案:B12．側棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱．側棱不垂直于底面的棱柱叫作斜棱柱．底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱．底面是平行四邊形的四棱柱叫作平行六面體．側棱與底面垂直的平行六面體叫作直平行六面體．底面是矩形的直平行六面體叫作長方體．棱長都相等的長方體叫作正方體．請根據(jù)上述定義，回答下面的問題（填“一定”、“不一定”“一定不”):（1）直四棱柱________是長方體；(2）正四棱柱________是正方體．解析：根據(jù)上述定義知:長方體一定是直四棱柱，但是直四棱柱不一定是長方體；正方體一定是正四棱柱,但是正四棱柱不一定是正方體．答案：(1）不一定(2)不一定13．畫一個三棱臺，再把它分成：(1）一個三棱柱和另一個多面體；（2）三個三棱錐，并用字母表示．解析：畫三棱臺一定要利用三棱錐．（1)如圖①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，另一個多面體是B′C′BCC″B″.（2）如圖②所示,三個三棱錐分別是A′