斐波那契數(shù)列

斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，指的是這樣一個數(shù)列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在數(shù)學(xué)上，斐波那契數(shù)列以如下被以遞歸的方法定義：F0=0，F(xiàn)1=1，F(xiàn)n=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）斐波那契數(shù)列指的是這樣一個數(shù)列

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,...特別指出：0是第0項，不是第1項。這個數(shù)列從第二項開始，每一項都等于前兩項之和。斐波那契數(shù)列的發(fā)明者，是意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契（LeonardoFibonacci），生于公元1170年，卒于1240年，籍貫是比薩。他被人稱作“比薩的列昂納多”。1202年，他撰寫了《珠算原理》（LiberAbacci）一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業(yè)團體聘任為外交領(lǐng)事，派駐地點相當(dāng)于今日的阿爾及利亞地區(qū)，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導(dǎo)下研究數(shù)學(xué)。他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯等地研究數(shù)學(xué)。與黃金分割關(guān)系有趣的是：這樣一個完全是自然數(shù)的數(shù)列，通項公式卻是用無理數(shù)來表達的。而且當(dāng)n趨向于無窮大時，后一項與前一項的比值越來越逼近黃金分割0.618.（或者說后一項與前一項的比值小數(shù)部分越來越逼近黃金分割0.618、前一項與后一項的比值越來越逼近黃金分割0.618）1÷1=1，2÷1=2，3÷2=1.5，5÷3=1.666...，8÷5=1.6，…………，89÷55=1.6181818…，…………233÷144=1.618055…75025÷46368=1.6180339889…...越到后面，這些比值越接近黃金比.平方與前后項從第二項開始，每個奇數(shù)項的平方都比前后兩項之積多1，每個偶數(shù)項的平方都比前后兩項之積少1。如：第二項1的平方比它的前一項1和它的后一項2的積2少1，第三項2的平方比它的前一項1和它的后一項3的積3多1。（注：奇數(shù)項和偶數(shù)項是指項數(shù)的奇偶，而并不是指數(shù)列的數(shù)字本身的奇偶，比如從數(shù)列第二項1開始數(shù)，第4項5是奇數(shù)，但它是偶數(shù)項，如果認為5是奇數(shù)項，那就誤解題意，怎么都說不通）證明經(jīng)計算可得：[f(n)]^2-f(n-1)f(n+1)=(-1)^(n-1)生活中斐波那契斐波那契數(shù)列中的斐波那契數(shù)會經(jīng)常出現(xiàn)在我們的眼前——比如松果、鳳梨、樹葉的排列、某些花朵的花瓣數(shù)（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數(shù)e（可以推出更多），黃金矩形、黃金分割、等角螺線，十二平均律等。斐波那契數(shù)與植物花瓣3………百合和蝴蝶花5………藍花耬斗菜、金鳳花、飛燕草、毛茛花8………翠雀花13………金盞和玫瑰21………紫宛34、55、89……………雛菊斐波那契數(shù)還可以在植物的葉、枝、莖等排列中發(fā)現(xiàn)。例如，在樹木的枝干上選一片葉子，記其為數(shù)0，然后依序點數(shù)葉子（假定沒有折損），直到到達與那些葉子正對的位置，則其間的葉子數(shù)多半是斐波那契數(shù)。葉子從一個位置到達下一個正對的位置稱為一個循回。葉子在一個循回中旋轉(zhuǎn)的圈數(shù)也是斐波那契數(shù)。在一個循回中葉子數(shù)與葉子旋轉(zhuǎn)圈數(shù)的比稱為葉序（源自希臘詞，意即葉子的排列）比。多數(shù)的葉序比呈現(xiàn)為斐波那契數(shù)的比。黃金分割隨著數(shù)列項數(shù)的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的0.6180339887..…楊輝三角將楊輝三角左對齊，成如圖所示排列，將同一斜行的數(shù)加起來，即得一數(shù)列1、1、2、3、5、8、……自然界中巧合斐波那契數(shù)列在自然科學(xué)的其他分支，有許多應(yīng)用。例如，樹木的生長，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時間，供自身生長，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹苗在一段間隔，例如一年，以后長出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的枝同時萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹木各個年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。另外，觀察延齡草、野玫瑰、南美血根草、大波斯菊、金鳳花、耬斗菜、百合花、蝴蝶花的花瓣，可以發(fā)現(xiàn)它們花瓣數(shù)目具有斐波那契數(shù)：3、5、8、13、21、……其中百合花花瓣數(shù)目為3，梅花5瓣，飛燕草8瓣，萬壽菊13瓣，向日葵21或34瓣，雛菊有34,55和89三個數(shù)目的花瓣。斐波那契螺旋：具有13條順時針旋轉(zhuǎn)和21條逆時針旋轉(zhuǎn)的螺旋的薊的頭部這些植物懂得斐波那契數(shù)列嗎？應(yīng)該并非如此，它們只是按照自然的規(guī)律才進化成這樣。這似乎是植物排列種子的“優(yōu)化方式”，它能使所有種子具有差不多的大小卻又疏密得當(dāng)，不至于在圓心處擠了太多的種子而在圓周處卻又稀稀拉拉。葉子的生長方式也是如此，對于許多植物來說，每片葉子從中軸附近生長出來，為了在生長的過程中一直都能最佳地利用空間（要考慮到葉子是一片一片逐漸地生長出來，而不是一下子同時出現(xiàn)的），每片葉子和前一片葉子之間的角度應(yīng)該是222.5度，這個角度稱為“黃金角度”，因為它和整個圓周360度之比是黃金分割數(shù)0.618033989……的倒數(shù)，而這種生長方式就決定了斐波那契螺旋的產(chǎn)生。向日葵的種子排列形成的斐波那契螺旋有時能達到89，甚至144條。1922年，兩位法國科學(xué)家通過對花瓣形成過程的計算機仿真實驗，證實了在系統(tǒng)保持最低能量的狀態(tài)下，花朵會以斐波那契數(shù)列長出花瓣。影視作品中的斐波那契數(shù)列斐波那契數(shù)列在歐美可謂是盡人皆知，于是在電影這種通俗藝術(shù)中也時常出現(xiàn)，比如在風(fēng)靡一時的《達芬奇密碼》里它就作為一個重要的符號和情節(jié)線索出現(xiàn)，在《魔法玩具城》里又是在店主招聘會計時隨口問的問題。可見此數(shù)列就像黃金分割一樣流行?？墒请m說叫得上名，多數(shù)人也就背過前幾個數(shù)，并沒有深入理解研究。在電視劇中也出現(xiàn)斐波那契數(shù)列，比如：日劇《考試之神》第五回，義嗣做全國模擬考試題中的最后一道數(shù)學(xué)題，在FOX熱播美劇《Fringe》中更是無數(shù)次引用，甚至作為全劇宣傳海報的設(shè)計元素之一。斐波那契—盧卡斯數(shù)列盧卡斯數(shù)列1、3、4、7、11、18…，也具有斐波那契數(shù)列同樣的性質(zhì)。（我們可稱之為斐波那契—盧卡斯遞推：從第三項開始，每一項都等于前兩項之和f(n)=f(n-1)+f(n-2）。盧卡斯數(shù)列的通項公式為f(n)=[(1+√5）/2]^n+[(1-√5)/2]^n這兩個數(shù)列還有一種特殊的聯(lián)系（如下表所示），F(xiàn)（n）*L（n）=F(2n），及L（n）=F（n-1)+F(n+1)n12345678910…斐波那契數(shù)列F(n)11235813213455…盧卡斯數(shù)列L(n)13471118294776123…F(n)*L(n)138215514437798725846765…類似的數(shù)列還有無限多個，我們稱之為斐波那契—盧卡斯數(shù)列。排列組合有一段樓梯有10級臺階，規(guī)定每一步只能跨一級或兩級，要登上第10級臺階有幾種不同的走法?這就是一個斐波那契數(shù)列：登上第一級臺階有一種登法；登上兩級臺階，有兩種登法；登上三級臺階，有三種登法；登上四級臺階，有五種登法……1，2，3，5，8，13……所以，登上十級，有89種走法。類似的，一枚均勻的硬幣擲10次，問不連續(xù)出現(xiàn)正面的可能情形有多少種？答案是（1/√5)*{[(1+√5)/2]^(10+2)-[(1-√5)/2]^(10+2)}=144種。求遞推數(shù)列a⑴=1，a(n+1)=1+1/a(n）的通項公式由數(shù)學(xué)歸納法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n），將斐波那契數(shù)列的通項式代入，化簡就得結(jié)果。兔子繁殖問題斐波那契數(shù)列又因數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”。一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子？我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對兩個月后，生下一對小兔對數(shù)共有兩對三個月以后，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對－－－－－－依次類推可以列出下表：經(jīng)過月數(shù)0123456789101112幼仔對數(shù)101123581321345589成兔對數(shù)01123581321345589144總體對