中學幾何輔助線專項突破（上）

幾何輔助線專項突破幾何輔助線專項突破（上）（上）初中數學幾何輔助線專項突破（上）加輔助線又是決定初中幾何成敗的關鍵，在數學圈中流傳著“得輔助線者得幾何，得幾何者得初中數學”的說法。，由此可以看出幾何輔助線的重要性和廣泛的運用新。為了引起同學們的重視，爭取搞定幾何輔助線專項，因此可以將常見的幾何輔助線分門別類的整理出來，專項突破。第一章點撥：和綜合性的探究題將是今后幾年中考數學的重點題型。練習一、解答題（共9題，共0分）1.如圖，已知在中，是邊上的中線，．是上一點，延長交于，，求證：2.如圖所示，在中，交于點，點是中點，交的延長線于點，交于點，若為的角平分線，求證：．23.如圖，在中，．以線段，點為的中點，點，分別為，上的點，且，，為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？4.如圖，已知點為中邊上的中點，．求證：，的平分線分別交，于點，，連接.5.如圖，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍.6.如圖，在中，若，，為邊的中點．求證：．7.如圖，在中，，是的中點，，分別是，延長線上的點，且，則的度數為多少？38.等腰梯形中，，，與交于點，，、、分別是、、的中點，求證：是正三角形．9.如圖，在五邊形中，，，為的中點．求證：．二、材料題（共3題，9小題；共0分）10.一副三角板如圖放置，等腰直角三角板在等腰直角三角形的斜邊中點處，且可以繞點旋轉，在旋轉過程中，兩直角邊的交始終在邊上．固定不動，另一塊三角板的直角頂點放點，，4（（1）在旋轉過程中線段2）若和大小有何關系？證明你的結論．，在旋轉過程中四邊形的面積是否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出它的取值范圍．3）若交點分別在邊相應的圖形，直接寫出結論．1.如圖，是等腰直角三角形，邊上的點，且．（，，的延長線上，則(1)中的結論仍然成立嗎？請畫出1，是斜邊的中點，、分別是、（（（1）請證明：2）請證明：3）若．．，，求的面積（直接寫結果）．12.如圖，在四邊形中，，、分別是．、的中點，連接并延長，分別與、的延長線交于點、（1）求證：．5（2）如圖，在四邊形的中點，連接狀，請直接寫出結論．中，與相交于點于點，，、分別是的形、，分別交、、，判斷（3）如圖中，在的中點，連接，判斷形狀并證明．中，，點在上，，、分別是，連、并延長，與的延長線交于點，若接三、選擇題（共1題，共0分）13.如圖，在中，點是重心，于點，連接并延長交于點，連接并延長交，．若，則的值為（）．A.B.C.D.第二章角平分線點撥：6究題、綜合題成為近幾年中考的熱點題型。練習一、材料題（共4題，9小題；共0分）1.如圖（），把一副三角板和放置在平面直角坐標系中，點在軸正半軸上，直角邊與軸重合，斜邊與軸重合，直角邊．交軸于點，斜邊交軸于點，是的中點，（1）把圖（）中的繞點順時針旋轉得圖（），此時三點的坐標．的面積是，的面積是，分別求，，（2）如圖（），設的平分線和的平分線交于點，的平分線和的平分線交于點，當改變的大小時，的值是否會改變？若改變，請說明理由；若不改變，請求出其值．2.完成下列小題．7（1）如圖，在中，與的角平分線相交于點，過，則線段作，交．于點，交于點．若的長為（2）如圖，在如果中，，求，分別平分的周長．和，，．3.如圖，已知直線，，、在上，且滿足，平分．（（1）求的度數．，那么2）若平行移動的比值是否隨之發(fā)生變化？若變化，找出變化規(guī)律；若不變，求出這個值．（3）在平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，求出度數；若不存在，請說明理由．4.閱讀下列學習材料：8如圖所示，上截取請根據上面的學習材料，解答下列各題：平分，為上一點，為上一點．連接，在射線，連接（如圖），易證≌．（1）如圖所示，在中，與是的外角平分線，是上異于點的任意一點，試比較的大小，并說明理由．（2）如圖所示，上題中是的內角平分線，其它條件不變，求證：．二、解答題（共6題，共0分）5.如圖，已知點是軸上一動點，正好是的角平分線，所在直線的夾角是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由；若不變，請直接寫是軸上一動點，點在線段上，連接，=．問動點，在運動的過程中，與出具體值．96.如圖所示，已知，，求證平分．7.如圖所示，已知中，，是的平分線，，過點作于點，判斷與之間的數量關系，并加以證明．8.如圖所示，已知等腰直角三角形中，，，平分，，垂足為．求證：．9.已知：如圖，，．，于點，是中點．求證：1010.如圖所示，已知中，，，平分，求證：．三、填空題（共2題，共0分）11.在中，，平分．，，，那么點到直線的距離是12.如圖，已知，，且，求．11第三章時，要掌握作輔助線構造圖形的方法。練習一、材料題（共3題，6小題；共0分）1.按要求完成下列各題．1）圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．若，將四個直角三角形中邊長為的直角邊分別向外延長一倍，得到圖所示的“數學風車”，則這個風車的外圍周長是（，．（2）如圖，直線上有三個正方形，，，若，的面積是和，則的面積為．2.如圖，在矩形，，，一把三角尺的直角頂點在滑動時交于點（點．與點，不重合），一直角邊始終經過點，另一直角邊與直線12（（1）求證：2）當．時，求的長．3.如圖，是邊長為的正方形的邊上的一點，矩形的邊過點，．（（1）求的長．2）直接寫出圖中與相似的所有三角形．二、選擇題（共4題，共0分）4.如圖，正方形的邊長為，，，連接，則線段的長為（）．A.B.C.D.5.勾股定理被譽為“幾何明珠”，在數學的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．如上由圖是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的，可以用其面積關系驗證勾股定理．圖是由圖放入長方形內得到的，都在長方形，，，點、、、、、的邊上，則長方形的面積為（）．13A..如圖，正方形B.C.D.6的邊長為，其面積標記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（）．，，按照A.B.C.D.7.如圖，已知與都是等邊三角形，點在邊上（不與，重合），與相交于點，則圖中有（）對相似三角形．A.B.C.D.三、填空題（共1題，共0分）148.如圖，小路是由黑色的正方形理石和白色的三角形理石鋪成，已知中間所有的正方形的面積之和是平方米，小路左側的所有三角形面積之和為平方米，則這條小路一共占地面積是平方米．（直接寫出答案即可）四、解答題（共1題，共0分）9.已知在正方形中，的值．為的中點，于點，求第四章點撥：動圖形相關的動態(tài)幾何題，以及與相似、函數結合的綜合題是中考的重點。練習一、材料題（共3題，6小題；共0分）1.在中，點為的中點．（1）如圖，求證：．（2）延長到，使得，延長到，使得，連結．①如圖，連結，若，請你探究線段與線段之間的數量關系．寫出你的結論，并加以證明；15②請在圖中證明：．2.小偉遇到這樣一個問題，如圖，在梯形中，，，對角線，相交于點．若梯形長的三角形的面積．的面積為，試求以，的長度為三邊小偉是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應想辦法移動這些分散的線段，構造一個三角形，再計算其面積即可他先后嘗試了翻折、旋轉、平移的方法，發(fā)現通過平移可以解決這個問題．他的方法是過點即是以圖參考小偉同學的思考問題的方法，解決下列問題：如，的三條中線分別為．作的平行線交的延長線于點，得到的，，的長度為三邊長的三角形，可得的面積為，如，，16（（（為1）在圖中利用圖形變換畫出并指明以，，的長度為三邊長的一個三角形保留畫圖痕跡）．2）若的面積為，則以，，的長度為三邊長的三角形的面積．3.閱讀下面材料：（1）小明遇到這樣一個問題：如圖，在．已知小明發(fā)現，過點能夠使問題得到解決（如圖）．請回答：的值為中，，求延長線于點，構造分別交的值．于，交于，，作，交，經過推理和計算．（2）參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖，已知平行四邊形和矩形的度數．，與交于點，，求二、解答題（共4題，共0分）4.已知：如圖，在等腰三角形中，延長邊到點，延長邊到點，連接，恰有．求的度數．175.已知，如圖四邊形中，，、分別是和的中點，．、、的延長線分別交于、兩點．求證：6.在中，、分別為、邊上的高，．求證：．7.已知線段、、、、、．．且．求證：．三、選擇題（共1題，共0分）188.如圖，邊長為的正方形在邊長為的正方形所在平面上移動，始終保持（，線段的中點為，的中點為，則線段的長為）．A.B.C.D.四、填空題（共1題，共0分）9.如圖，面積為的平行四邊形紙片中，，，按下列步驟進行裁剪和拼圖．第一步：如圖①，將平行四邊形紙片沿對角線剪開，得到和和紙片，紙片；再將紙片沿剪開（為上任意一點），得到處，將第二步：如圖②，將處；紙片平移至紙片平移至第三步：如圖③，將紙片翻轉過來使其背面朝上置于同側），將重合，中，對角線處（邊與重合，和在紙片翻轉過來使其背面朝上置于同側）．長度的最小值為處，（邊與和在則由紙片拼成的五邊形．19第五章點撥：的重點題型。練習一、填空題（共5題，共0分）1.如圖所示，已知點，直線與兩坐標軸分別交于周長的最小值是、兩點，、分別是上的動點，則，．2.如圖，菱形的邊長為，，點是邊上的動點，點是對．角線上的動點，若使的值最小，則這個最小值為3.如圖，是⊙的直徑，上的一個動點，則，，點為弧的中點，點是直徑的最小值為．204.將矩形紙片按如圖所示的方式折疊，．，為折痕，試問5.如圖，把矩形紙片，將紙片則點的坐標為放入平面直角坐標系中，使、分別落在軸、軸上，連接沿折疊，使點落在點的位置，若．，，二、解答題（共5題，共0分）6.如圖，四邊形為菱形，為邊上一定點，為對角線上一動點．當最小時，畫出點的位置，并說明理由．7.如圖所示，是一矩形的臺球臺面，有黑白兩球分別位于反彈后再擊中白球、？兩點位置上，試問：怎樣撞擊黑球，使黑球先碰撞臺邊218.如圖，為矩形臺球桌面，現有一白球和一彩球，再碰撞臺邊．怎樣擊打白球，才能使白球碰撞臺邊，反彈后擊中彩球？9.如圖所示，為內部一點，使得求的度